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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的最小正周期為的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.2.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則()A.0 B.55 C.66 D.783.函數(shù)(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的大致圖像為()A. B. C. D.4.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有勾六步,股八步,問(wèn)勾中容圓,徑幾何?”其意思為:“已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為6步和8步,問(wèn)其內(nèi)切圓的直徑為多少步?”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自內(nèi)切圓的概率是()A. B. C. D.5.函數(shù)的大致圖象是A. B. C. D.6.將一塊邊長(zhǎng)為的正方形薄鐵皮按如圖(1)所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器,將該容器按如圖(2)放置,若其正視圖為等腰直角三角形,且該容器的容積為,則的值為()A.6 B.8 C.10 D.127.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則()A. B.C. D.8.已知命題,且是的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.9.已知、,,則下列是等式成立的必要不充分條件的是()A. B.C. D.10.已知,若則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.11.是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,、分別為、的中點(diǎn),沿把折起,使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置,連接、,當(dāng)四棱錐的外接球的表面積最小時(shí),四棱錐的體積為()A. B. C. D.12.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一個(gè)元素,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)______.14.函數(shù)過(guò)定點(diǎn)________.15.的角所對(duì)的邊分別為,且,,若,則的值為_(kāi)_________.16.若隨機(jī)變量的分布列如表所示,則______,______.-101三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在角中,角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,若.(1)求角A;(2)若的面積為,求的周長(zhǎng).18.(12分)已知.(1)若是上的增函數(shù),求的取值范圍;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).19.(12分)已知,,不等式恒成立.(1)求證:(2)求證:.20.(12分)在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知,且.(I)求角的大?。唬á颍┤?,求面積的取值范圍.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)如圖,在四邊形ABCD中,AB//CD,∠ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF.(Ⅰ)求證:平面ADE⊥平面BDEF;(Ⅱ)若二面角CBFD的大小為60°,求CF與平面ABCD所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
先由函數(shù)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)的解析式,從而得出的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是,所以,即,所以,的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)解析式為,由于其圖象關(guān)于軸對(duì)稱,所以,又,所以,所以,所以,因?yàn)榈倪f增區(qū)間是:,,由,,得:,,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為().故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性,對(duì)稱性,單調(diào)性,圖象的平移,在進(jìn)行圖象的平移時(shí),注意自變量的系數(shù),屬于中檔題.2.D【解析】
先分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計(jì)算出的值,可進(jìn)一步得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后代入轉(zhuǎn)化計(jì)算,再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算出結(jié)果.【詳解】解:由題意得,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí),;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,所以故選:D【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題,以及數(shù)列求和,考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,等差數(shù)列的求和公式,屬于中檔題.3.D【解析】由題意得,函數(shù)點(diǎn)定義域?yàn)榍?,所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且,所以函數(shù)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故選D.4.C【解析】
利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑,再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積,根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式,即可求解.【詳解】由題意,直角三角形的斜邊長(zhǎng)為,利用等面積法,可得其內(nèi)切圓的半徑為,所以向次三角形內(nèi)投擲豆子,則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計(jì)算問(wèn)題,其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì),求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.5.A【解析】
利用函數(shù)的對(duì)稱性及函數(shù)值的符號(hào)即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù),可排除B選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,可排除D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即,可排除C選項(xiàng),故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷,函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用,屬于中檔題.6.D【解析】
推導(dǎo)出,且,,,設(shè)中點(diǎn)為,則平面,由此能表示出該容器的體積,從而求出參數(shù)的值.【詳解】解:如圖(4),為該四棱錐的正視圖,由圖(3)可知,,且,由為等腰直角三角形可知,,設(shè)中點(diǎn)為,則平面,∴,∴,解得.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查三視圖和錐體的體積計(jì)算公式的應(yīng)用,屬于中檔題.7.D【解析】
利用是偶函數(shù)化簡(jiǎn),結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性,比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù),,而,因?yàn)樵谏线f減,,即.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】
求出命題不等式的解為,是的必要不充分條件,得是的子集,建立不等式求解.【詳解】解:命題,即:,是的必要不充分條件,,,解得.實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍,其思路方法:(1)解決此類問(wèn)題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.(2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí),一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).9.D【解析】
構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù),由得出,分、、三種情況討論,利用放縮法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出或,再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù),,則,,所以,函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù),當(dāng)時(shí),則,;當(dāng)時(shí),,.由得.①若,則,即,不合乎題意;②若,則,則,此時(shí),,由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,;③若,則,則,此時(shí),由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,.綜上所述,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵,解題時(shí)要注意對(duì)的取值范圍進(jìn)行分類討論,考查推理能力,屬于中等題.10.C【解析】
根據(jù),得到有解,則,得,,得到,再根據(jù),有,即,可化為,根據(jù),則的解集包含求解,【詳解】因?yàn)?,所以有解,即有解,所以,得,,所以,又因?yàn)椋裕?,可化為,因?yàn)?,所以的解集包含,所以或,解得,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關(guān)系的應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題,11.D【解析】
首先由題意得,當(dāng)梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時(shí),外接球的半徑最小,通過(guò)圖形發(fā)現(xiàn),的中點(diǎn)即為梯形的外接圓圓心,也即四棱錐的外接球球心,則可得到,進(jìn)而可根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖,四邊形為等腰梯形,則其必有外接圓,設(shè)為梯形的外接圓圓心,當(dāng)也為四棱錐的外接球球心時(shí),外接球的半徑最小,也就使得外接球的表面積最小,過(guò)作的垂線交于點(diǎn),交于點(diǎn),連接,點(diǎn)必在上,、分別為、的中點(diǎn),則必有,,即為直角三角形.對(duì)于等腰梯形,如圖:因?yàn)槭堑冗吶切?,、、分別為、、的中點(diǎn),必有,所以點(diǎn)為等腰梯形的外接圓圓心,即點(diǎn)與點(diǎn)重合,如圖,,所以四棱錐底面的高為,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查四棱錐的外接球及體積問(wèn)題,關(guān)鍵是要找到外接球球心的位置,這個(gè)是一個(gè)難點(diǎn),考查了學(xué)生空間想象能力和分析能力,是一道難度較大的題目.12.B【解析】
化簡(jiǎn)得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,結(jié)合0<A<π,可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用,兩角差的正弦公式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是靈活利用基本公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2【解析】
利用AB中有且只有一個(gè)元素,可得,可求實(shí)數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個(gè)元素,所以,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算,集合交集的運(yùn)算本質(zhì)是存同去異,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14.【解析】
令,,與參數(shù)無(wú)關(guān),即可得到定點(diǎn).【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,函數(shù)值與參數(shù)無(wú)關(guān),所有過(guò)定點(diǎn).故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的定點(diǎn)問(wèn)題,關(guān)鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無(wú)關(guān),熟記常見(jiàn)函數(shù)的定點(diǎn)可以節(jié)省解題時(shí)間.15.【解析】
先利用余弦定理求出,再用正弦定理求出并把轉(zhuǎn)化為與邊有關(guān)的等式,結(jié)合可求的值.【詳解】因?yàn)?,故,因?yàn)椋?由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足,所以即.因?yàn)?,解得或(舍?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,注意結(jié)合求解目標(biāo)對(duì)所得的方程組變形整合后整體求解,本題屬于中檔題.16.【解析】
首先求得a的值,然后利用均值的性質(zhì)計(jì)算均值,最后求得的值,由方差的性質(zhì)計(jì)算的值即可.【詳解】由題意可知,解得(舍去)或.則,則,由方差的計(jì)算性質(zhì)得.【點(diǎn)睛】本題主要考查分布列的性質(zhì),均值的計(jì)算公式,方差的計(jì)算公式,方差的性質(zhì)等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)1.【解析】
(1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得sinAsinB=sinBcosA,求得tanA=,結(jié)合范圍A∈(0,π),可求A=.(2)利用三角形的面積公式可求bc=8,由余弦定理解得b+c=7,即可得解△ABC的周長(zhǎng)的值.【詳解】(1)由題意,在中,因?yàn)?,由正弦定理,可得sinAsinB=sinBcosA,又因?yàn)?,可得sinB≠0,所以sinA=cosA,即:tanA=,因?yàn)锳∈(0,π),所以A=;(2)由(1)可知A=,且a=5,又由△ABC的面積2=bcsinA=bc,解得bc=8,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得:25=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24,整理得(b+c)2=49,解得:b+c=7,所以△ABC的周長(zhǎng)a+b+c=5+7=1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,三角形的面積公式,余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.18.(1)(2)三個(gè)零點(diǎn)【解析】
(1)由題意知恒成立,構(gòu)造函數(shù),對(duì)函數(shù)求導(dǎo),求得函數(shù)最值,進(jìn)而得到結(jié)果;(2)當(dāng)時(shí)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),再證,.【詳解】(1)由得,由題意知恒成立,即,設(shè),,時(shí),遞減,時(shí),,遞增;故,即,故的取值范圍是.(2)當(dāng)時(shí),單調(diào),無(wú)極值;當(dāng)時(shí),,一方面,,且在遞減,所以在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn).另一方面,,設(shè),則,從而在遞增,則,即,又在遞增,所以在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn).因此,當(dāng)時(shí)在和各有一個(gè)零點(diǎn),將這兩個(gè)零點(diǎn)記為,,當(dāng)時(shí),即;當(dāng)時(shí),即;當(dāng)時(shí),即:從而在遞增,在遞減,在遞增;于是是函數(shù)的極大值點(diǎn),是函數(shù)的極小值點(diǎn).下面證明:,由得,即,由得,令,則,①當(dāng)時(shí),遞減,則,而,故;②當(dāng)時(shí),遞減,則,而,故;一方面,因?yàn)?,又,且在遞增,所以在上有一個(gè)零點(diǎn),即在上有一個(gè)零點(diǎn).另一方面,根據(jù)得,則有:,又,且在遞增,故在上有一個(gè)零點(diǎn),故在上有一個(gè)零點(diǎn).又,故有三個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.在研究函數(shù)零點(diǎn)時(shí),有一種方法是把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解,再把方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn),特別是利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題,這樣就可利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性與極值,從而得出函數(shù)的變化趨勢(shì),得出結(jié)論.19.(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)先根據(jù)絕對(duì)值不等式求得的最大值,從而得到,再利用基本不等式進(jìn)行證明;(2)利用基本不等式變形得,兩邊開(kāi)平方得到新的不等式,利用同理可得另外兩個(gè)不等式,再進(jìn)行不等式相加,即可得答案.【詳解】(1)∵,∴.∵,,,∴,∴,∴.(2)∵,,即兩邊開(kāi)平方得.同理可得,.三式相加,得.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式、應(yīng)用基本不等式證明不等式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和推理論證能力.20.(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】
(I)根據(jù),利用二倍角公式得到,再由輔助角公式得到,然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.(Ⅱ)根據(jù)(I)由余弦定理得到,再利用重要不等式得到,然后由求解.【詳解】(I)因?yàn)椋?,,,或,或,因?yàn)?,所以所以;(Ⅱ)由余弦定理得:,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào),又因?yàn)?,所以,所以【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角公式,輔助角公式以及余弦定理,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.21.(1)(2)當(dāng)時(shí),的取值范圍為;當(dāng)時(shí),的取值范圍為.【解析】
(1)當(dāng)時(shí),分類討論把不等式化為等價(jià)不等式組,即可求解.(2)由絕對(duì)值的三角不等式,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“”,分類討論,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,不等式可化為或或,解得不等式的解集為.(2)由絕對(duì)值的三角不等式,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“”,所以當(dāng)時(shí),的取值范圍為;當(dāng)時(shí),的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對(duì)值的不等式的求解,以及絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用,其中解答中熟記含絕對(duì)值不等式的解法,以及合理應(yīng)用絕對(duì)值的三角不等式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.22.(1)見(jiàn)解析(2)【解析】分析:(1)根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面BDEF;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法即可求CF與平面ABCD所成角的正弦值;也可以應(yīng)用常規(guī)法,作出線面角,放在三角形當(dāng)中來(lái)求解.詳解:(Ⅰ)在△AB
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