中考數(shù)學(xué)圓的綜合綜合經(jīng)典題及詳細答案

中考數(shù)學(xué)圓的綜合綜合經(jīng)典題及詳細答案一、圓的綜合1.如圖，四邊形0ABe是平行四邊形，以。為圓心，0A為半徑的圓交AB于D,延長A。交。于E,連接CD,CE,若CE是。。的切線，解答下列問題：(1)求證：CD是。0的切線；(2)若BC=4,CD=6,求平行四邊形0ABC的面積.【解析】試題分析：(1)連接OD,求出NEOC=N口0^根據(jù)SAS推出△EOS△DOC,推出NODC=NOEC=90°,根據(jù)切線的判定推出即可；(2)根據(jù)切線長定理求出CE=CD=4,根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出OA=OD=4,根據(jù)平行四邊形的面積公式=24COD的面積即可求解.試題解析：(1)證明：連接OD,;OD=OA,「.NODA=NA,丁四邊形OABC是平行四邊形，OCIIAB,「.NEOC=NA,NCOD=NODA,「.NEOC=NDOC,在^EOC和^DOC中，'OE=OD</EOC=/DOC^OC=OC?.△EOC^△DOC(SAS),「.NODC=NOEC=90°,即OD±DC,?.CD是。O的切線；(2)由(1)知CD是圓O的切線，?.△CDO為直角三角形，1:'△cdo=CD?OD,又丁0A=BC=0D=4,1?SacDo=2X6x4=12,???平行四邊形OABC的面積S=2S.cdo=24.2.如圖，OM交x軸于B、C兩點，交y軸于八，點M的縱坐標(biāo)為2.B(-3<3,0),C(<3,0).(1)求OM的半徑；(2)若CE±AB于H,交y軸于F,求證：EH=FH.(3)在(2)的條件下求AF的長.4 也 匕【答案】(1)4；(2)見解析；(3)4.【解析】【分析】(1)過M作MT±BC于T連BM,由垂徑定理可求出BT的長，再由勾股定理即可求出BM的長；(2)連接AE,由圓周角定理可得出NAEC=NABC,再由AAS定理得出^AEHM△AFH,進而可得出結(jié)論；(3)先由(1)中^BMT的邊長確定出NBMT的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)可求出CG的長，由平行四邊形的判定定理判斷出四邊形AFCG為平行四邊形，進而可求出答案.【詳解】(1)如圖(一)，過M作MT±BC于T連BM,「BC是O0的一條弦，MT是垂直于BC的直徑，BT=TC=1BC=2<3,??.BM=V12T4=4；(2)如圖(二)，連接AE,則NAEC=NABC,;CE±AB,「.NHBC+NBCH=90°在^COF中，ZOFC+ZOCF=90°,ZHBC=ZOFC=ZAFH,在^AEH和^AFH中，ZAFH=/AEH</AHF=/AHE,AH=AH：.△AE也△AFH(AAS),EH=FH；(3)由(1)易知，ZBMT=ZBAC=60°,作直徑BG,連CG,則NBGC=NBAC=60°,VOO的半徑為4,CG=4,連AG,丁ZBCG=90°,CG_Lx軸，CGIIAF,ZBAG=90°,AG±AB,CE±AB,AGIICE,「?四邊形AFCG為平行四邊形，AF=CG=4.【點睛】本題考查的是垂徑定理、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵..（類比概念）三角形的內(nèi)切圓是以三個內(nèi)角的平分線的交點為圓心，以這點到三邊的距離為半徑的圓，則三角形可以稱為圓的外切三角形，可以得出三角形的三邊與該圓相切.以此類推，如圖1,各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形

（性質(zhì)探究）如圖1,試探究圓外切四邊形的ABCD兩組對邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關(guān)系猜想結(jié)論：（要求用文字語言敘述）寫出證明過程（利用圖1,寫出已知、求證、證明）（性質(zhì)應(yīng)用）①初中學(xué)過的下列四邊形中哪些是圓外切四邊形（填序號）A：平行四邊形：B：菱形：C：矩形；D：正方形②如圖2，圓外切四邊形ABCD，且AB=12,CD=8,則四邊形的周長是.③圓外切四邊形的周長為48cm,相鄰的三條邊的比為5：4：7,求四邊形各邊的長.【答案】見解析.【答案】見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)切線長定理即可得出結(jié)論；（2）①圓外切四邊形是內(nèi)心到四邊的距離相等，即可得出結(jié)論；②根據(jù)圓外切四邊形的對邊和相等，即可求出結(jié)論；③根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)求出第四邊，利用周長建立方程求解即可得出結(jié)論.【詳解】性質(zhì)探討：圓外切四邊形的對邊和相等，理由：如圖1,已知：四邊形ABCD的四邊AB,BC,CD,DA都于。O相切于G,F,E,H.求證：AD+BC=AB+CD.證明：:AB,AD和。O相切，」.AG=AH,同理：BG=BF,CE=CF,DE=DH,「.AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圓外切四邊形的對邊和相等.故答案為：圓外切四邊形的對邊和相等；性質(zhì)應(yīng)用：①;根據(jù)圓外切四邊形的定義得：圓心到四邊的距離相等.;平行四邊形和矩形不存在一點到四邊的距離相等，而菱形和正方形對角線的交點到四邊的距離相等.故答案為：B,D；②:圓外切四邊形ABCD,「.AB+CD=AD+BC.;AB=12,CD=8,「.AD+BC=12+8=20,「.四邊形的周長是AB+CD+AD+BC=20+20=40.故答案為：40；」?設(shè)此三邊為5x,4x,7x，根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)③;相鄰的三條邊的比為5：4：7,得：第四邊為5」?設(shè)此三邊為5x,4x,7x，根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)???圓外切四邊形的周長為48cm,，4x+5x+7x+8x=24x=48,，x=2,??.此四邊形的四邊為4x=8cm,5x=10cm,7x=14cm,8x=16cm.【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了新定義圓的外切的性質(zhì)，四邊形的周長，平行四邊形，矩形，菱形，正方形的性質(zhì)，切線長定理，理解和掌握圓外切四邊形的定義是解答本題的關(guān)鍵..如圖，為。。的直徑，點。為八B下方。。上一點，點C為弧八BD的中點，連接CD,CA.（1）求證：ZABD=2ABDC；（2）過點C作CHLAB于兒交4）于E,求證：EA=EC；（3）在（2）的條件下，若0H=5,4）=24,求線段DE的長度.9【答案】（1）證明見解析；（2）見解析；（3）DE二萬.【解析】【分析】（1）連接AD，如圖1,設(shè)NBDC=a,NADC=B，根據(jù)圓周角定理得到NCAB=NBDC=a，由AB為。。直徑，得到NADB=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件得到NACE=NADC，等量代換得到NACE=NCAE，于是得到結(jié)論；（3）如圖2,連接0C，根據(jù)圓周角定理得到NCOB=2NCAB，等量代換得到NCOB=NABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到OH=5,根據(jù)勾股定理得到AB=、SD2+BD2=26，由相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】（1）連接AD.如圖1，設(shè)NBDC=a，NADC=3，則NCAB=NBDC=a，

?.?點C為弧八BD中點，，AC=?.?點C為弧八BD中點，，AC=CD, D4C=B，.???/B為。。直徑,Z>408=90°,「.01+0=90°,0=90°-a,(P-a),ZABD=2a,?.NABD=2NBDC；C cZDAB=^>-a,ZABD=90°-ZDAB=90°-(2)CH±AB,ZACE+ZCAB=ZADC+ZBDC=90°,?：ZC4B=ZCDB,：.ZACE=NADC,ZC4E=ZADC,ZACE=ACAE,AE=CE；(3)如圖2,連接。C,NC0B=2NC4B,OHOC1-：ZABD=2ABDC,ZBDC=NCAB,/.ZCOB=ZOHOC1;OH=5,「.BD=10■：;OH=5,「.BD=10'AB=VAD2+BD2=26,「.AO=13,「.AH=18,「△AHE-△「△AHE-△ADBAHAEADAB18AE即——=一2426oBUIoBUI【點睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.5.如圖1,將長為10的線段OA繞點O旋轉(zhuǎn)90°得到03,點A的運動軌跡為AB，P是半徑0B上一動點，Q是AB上的一動點，連接PQ.發(fā)現(xiàn)：NPOQ發(fā)現(xiàn)：NPOQ=時，PQ有最大值，最大值為.思考：(1)如圖2,若P是0B中點，且QP±OB于點P,求BQ的長;(2)如圖3,將扇形AOB沿折痕AP折疊，使點B的對應(yīng)點B'恰好落在OA的延長線上，求陰影部分面積;探究：如圖4,將扇形OAB沿PQ折疊，使折疊后的弧QB'恰好與半徑OA相切，切點為C,若0P=6,求點。到折痕PQ的距離.【答案】發(fā)現(xiàn)：90°,10思考：（1）二~3兀；（2）25n-100+：2+100；（3）點O到折痕PQ的距離為＜30.【解析】分析：發(fā)現(xiàn)：先判斷出當(dāng)PQ取最大時，點Q與點A重合，點P與點B重合，即可得出結(jié)論；思考：（1）先判斷出NPOQ=60°，最后用弧長用弧長公式即可得出結(jié)論；（2）先在RSB'OP中，OP2+（10、.'2-10）2=（10-OP）2，解得OP=10%2-10，最后用面積的和差即可得出結(jié)論.探究：先找點O關(guān)于PQ的對稱點O',連接OO‘、O‘B、O’C、O'P,證明四邊形OCO'B是矩形，由勾股定理求O'B,從而求出OO′的長，則OM=1OO'=".30.詳解：發(fā)現(xiàn)：.「P是半徑OB上一動點，Q是AB上的一動點,「?當(dāng)PQ取最大時，點Q與點A重合，點P與點B重合，此時，NPOQ=90°,PQ=、OAA22+OB2=10x.2；思考：（1）如圖，連接OQ,()???點P是OB的中點，「?OP=1OB=1OQ.2 2;QP±OB,「.NOPQ=90°OP1在RSOPQ中，COSNQOP=7777=2,OQ2「.NQOP=60°,1 60兀義1010'1=18^二T兀；(2)由折疊的性質(zhì)可得，BP=B'P,AB'=AB=10x2,在RSB'OP中，OP2+(10工2-10)2=(10-OP)2解得op=ioJJ-io,S=S-2Sa=90兀*102-2義-x10*(10*'2-10)陰影扇形AOB△AOP360 2 '=25n-10022+100；探究：如圖2,找點O關(guān)于PQ的對稱點0',連接OO‘、O‘B、O’C、O'P,則OM=O'M,OO'±PQ,O'P=OP=3,點?！荁Q所在圓的圓心，O'C=OB=10，;折疊后的弧QB′恰好與半徑OA相切于C點，「.OSAO，???O'CIIOB，「?四邊形OCO'B是矩形，在RSO'BP中，O‘B=%；62—42=2x/5，在RSOBO'K，OO'=\：-02-(2v;5)2=2<30，「.OM=5OO'=5X2<30=v30，即O到折痕PQ的距離為、/30.點睛：本題考查了折疊問題和圓的切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定，熟練掌握弧長公式n兀Rl= （n為圓心角度數(shù)，R為圓半徑），明確過圓的切線垂直于過切點的半徑，這是常180考的性質(zhì)；對稱點的連線被對稱軸垂直平分..如圖，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=1，點P在AB邊上，OP的半徑為定長.當(dāng)點P與點B重合時，OP恰好與AC邊相切；當(dāng)點P與點B不重合時，OP與AC邊相交于點M和點N.（1）求OP的半徑；（2）當(dāng)AP=6/時，試探究△八「1\/1與4PCN是否相似，并說明理由.【答案】（1）半徑為35；（2）相似，理由見解析.【解析】【分析】（1）如圖，作BDLAC,垂足為點D,OP與邊AC相切，則BD就是OP的半徑，利用解直角三角形得出BD與AD的關(guān)系，再利用勾股定理可求得BD的長；（2）如圖，過點P作PH±AC于點七作BDLAC，垂足為點D，根據(jù)垂徑定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的長，從而求出AM、NC的長，然后求出AMT、PN的值，得出AM=PN，利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩MPNC MPNC三角形相似即可證明.【詳解】（1）如圖，作BDLAC，垂足為點D，?.?OP與邊AC相切，「?BD就是OP的半徑，在Rt△ABD中，tanA=萬=五設(shè)BD=x，則UAD=2x，「?X2+(2X)2=152,解得：x=3y'5,.??半徑為3A；(2)相似，理由見解析，如圖，過點P作PH±AC于點H,作BDLAC,垂足為點D,」.PH垂直平分MN,「.PM=PN,在RSAHP中，tanA=1=PH,2AH設(shè)PH=y,AH=2y,y2+(2y)2=(6<5)2解得：y=6(取正數(shù))，ph=6,AH=12,在RSMPH中，MH=—MH=—62=3「.MN=2MH=6,「.AM=AH-MH=12-3=9,NC=AC-MN-AM=20-6-9=5,,AM_9_3<5PN3v5 = -= ? = MP3t5 5NC5AMPN」. = =MPNC又「PM=PN,「.NPMN=NPNM,「.NAMP=NPNC,「.△AMP-△PNC.【點睛】本題考查了解直角三角形、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強，有一定的難度，正確添加輔助線、靈活應(yīng)用相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵..如圖，A是以BC為直徑的OO上一點，AD±BC于點D,過點B作OO的切線，與CA的延長線相交于點E,G是AD的中點，連結(jié)CG并延長與BE相交于點F,延長AF與CB的延長線相交于點P.(1)求證：BF=EF：(2)求證：PA是OO的切線；(3)若FG=BF,且OO的半徑長為322，求BD的長度.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)2J2【解析】分析：(1)利用平行線截三角形得相似三角形，得△BFC-△DGC且4FEC-△GAC,得到對應(yīng)線段成比例，再結(jié)合已知條件可得BF=EF；(2)利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和等邊對等角，得到NFAO:NEBO,結(jié)合BE是圓的切線，得到%_LO4,從而得到力是圓。的切線；(3)點F作FHL\D于點H,根據(jù)前兩問的結(jié)論，利用三角形的相似性質(zhì)即可以求出BD的長度.詳解：證明：(1);BC是圓。的直徑，BE是圓。的切線，EB±BC.又.'.ADWBE.△BFd△DGC,△FEC-△GAC,.EFCFEFCF- = , = ,CGCGAGCGBFEF「.一一—DGAG丁G是AD的中點,「.DG—AG,「.BF—EF；⑵連接AO,AB.丁BC是圓O的直徑，「.NBAC=90°,由⑴得：在RtABAE中，F(xiàn)是斜邊BE的中點,「.AF—FB—EF,可得NFBA—NFAB,又「OA—OB,「.NABO—NBAO,丁BE是圓O的切線，「.NEBO=90°,「.NFBA+NABO—90°,「.NFAB+NBAO—90°,即NFAO—90°,「.PA±OA,「?PA是圓O的切線；(3)過點F作FH±AD于點H,E由(2),知NFBA=NBAF,「.BF=AF.;BF=FG,「.AF=FG,??.△AFG是等腰三角形.;FH±AD,「.AH=GH,;DG=AG,「.DG=2HG.HGDG「FHHBD,BFHAD,NFBD=90°,???四邊形BDHF是矩形，「.BD=FH,FHHG_1CD-DG―2BD_1——,CD2:。的半徑長為3,?=BC=6.、.-'2,一一「.BD=3BC=2、；2.點睛：本題考查了切線的判定、勾股定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì).結(jié)合已知條件準(zhǔn)確對圖形進行分析并應(yīng)用相應(yīng)的圖形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8.如圖，△ABC內(nèi)接于。0,且AB為。O的直徑.NACB的平分線交。O于點D,過點D作。。的切線PD交CA的延長線于點P,過點A作AE_LCD于點E,過點B作BF_LCD于點(1)求證：DPIIAB；(2)若AC=6,BC=8,求線段PD的長.【答案】詳見解析【解析】【分析】(1)連接0D,由AB為O。的直徑，根據(jù)圓周角定理得NACB=90。，再由ZACD=ZBCD=45°,則NDAB=ZABD=45°,所以△DAB為等腰直角三角形，所以DO_LAB,根據(jù)切線的性質(zhì)得OD_LPD,于是可得到DPIIAB.(2)先根據(jù)勾股定理計算出AB=10,由于△DAB為等腰直角三角形，可得到AD二AB10由4ACE為等腰直角三角形，得到AE=CEAD二AB10由4ACE為等腰直角三角形，得到AE=CE=AC=72"，在RtAAED中利用勾股定理計算出DE=4<2，則易證得「.△PDA-△-PDPCD，得到正PAADPDCD5^，所以PA=5PD,7K2 7PC=5PD，然后利用PC=PA+AC可計算出PD.【詳解】解：(【詳解】解：(1)證明：如圖，連接OD,丁AB為。O的直徑，，NACB=90°.「NACB的平分線交。O于點D,「.NACD=NBCD=45°.??.NDAB=NABD=45°.「.△DAB為等腰直角三角形.「.DO±AB.丁PD為。O的切線，，OD±PD.

DPIIAB.(2)在Rt^ACB中，AB-BC；=DPIIAB.(2)在Rt^ACB中，AB-BC；=1。，?「△DAB為等腰直角三角形，??.WD=￥=&=5也、，一一,_一一, AC6-CD,…CE為等腰直角三角形.在Rt^AED中，DE=JaD：_AE\=#5#, =40,CD=CE-DE=3應(yīng)?"=『也?ABIIPD,ZPDA=ZDAB=45°./.ZPAD=ZPCD.又?「ZDPA=ZCPD,△PDA-△pcd.pc=ro=cn=7^「?PA=ZpD,PC=5PD.7又:PC=PA+AC,「.5PD+6=5PD,解得3S

PD=—.49.對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的線段MN和點R給出如下定義：點A是線段MN上一個動點，過點A作線段MN的垂線l，點P是垂線l上的另外一個動點.如果以點P為旋轉(zhuǎn)中心，將垂線l沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°后與線段MN有公共點，我們就稱點P是線段MN的“關(guān)聯(lián)點”.如圖，M(1,2),N(4,2).(1)在點P1(1,3),P2(4,0),P3(3,2)中，線段MN的“關(guān)聯(lián)點”有—；(2)如果點P在直線y=%+1上，且點P是線段MN的“關(guān)聯(lián)點”，求點P的橫坐標(biāo)x的取值范圍；(3)如果點P在以。(1,一1)為圓心，,為半徑的。。上，且點P是線段MN的“關(guān)聯(lián)點”，直接寫出O。半徑r的取值范圍.【答案】(1)P和P.；(2)K%W入3T；(3)三3WrW3+k3.13 2 2【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意求出點P的橫坐標(biāo)的范圍，再求出P點的縱坐標(biāo)范圍即可得出結(jié)果；（2）由直線y=x+l經(jīng)過點M（1,2）,得出x“，設(shè)直線y=x+l與P4N交于點A,過點A作AB_LMN于B,延長AB交x軸于C,則在△AMN中，MN=3,ZAMN=45°,ZANM=30°,設(shè)AB=MB=a,tanNANM="，即tan30°=—匕，求出a即可得出結(jié)果；BN 3-a（3）圓心O到P4的距離為r的最大值，圓心O到MP5的距離為r的最小值，分別求出兩個距離即可得出結(jié)果.【詳解】（1））如圖1所示：圖1??點A是線段MN上一個動點，過點A作線段MN的垂線1，點P是垂線l上的另外一個動點，M（1，2），N（4，2），.?.點P的橫坐標(biāo)1<x<4，:以點P為旋轉(zhuǎn)中心，將垂線1沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°后與線段MN有公共點，當(dāng)NMPN=60°時，PM=MN0=衛(wèi)=<3，tan60。v3同理P'N=<3，??點P的縱坐標(biāo)為2-、運或2+后，即縱坐標(biāo)2-；3<y<2+、；3，線段MN的“關(guān)聯(lián)點〃有P1和P3；故答案為：P1和P3；（2）線段MN的“關(guān)聯(lián)點〃P的位置如圖所示,直線y=X+1經(jīng)過點M（1，2），?x>1.設(shè)直線y=x+1與匕/v交于點x.過點八作《B_LM/V于B,延長八B交x軸于C.由題意易知，在△AM/V中，MN=3,/AMN=45°,AANM=30°.^AB=MB=a,a「?tanzATW=——，即tan30o=——,3—a3%；3—3TOC\o"1-5"\h\z解得a= .2???點A的橫坐標(biāo)為x=a+1=3d3—3+1=3"T.\o"CurrentDocument"2 2? /3。-1\o"CurrentDocument"-x< .……3<3-1\o"CurrentDocument"綜上1<x< .2(3)點P在以O(shè)(1,-1)為圓心，r為半徑的。O上，且點P是線段MN的“關(guān)聯(lián)點”，如圖3所示：:t曰/連接P4O交x軸于點D，P4、M、D、O共線，則圓心O到P4的距離為r的最大值，由(1)知：MP4=NP5=<3，即OD+DM+MP4=1+2+\運=3+<3，圓心O到MP5的距離為r的最小值，作OE，MP5于E，連接OP5,則OE為r的最小值，MP屋MN2+NP;=(32+(73)2=2<3，OM=OD+DM=1+2=3，△OMP的面積=1OE?MP『1OM?MN，即1xOEx2<3=1x3x3,5 2 52 2 2解得：。E=手?苧處3+、,3.【點睛】本題是圓的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、最值等知識，熟練掌握〃關(guān)聯(lián)點〃的含義，作出關(guān)于MN的〃關(guān)聯(lián)點〃圖是關(guān)鍵.10.解決問題：（1）如圖①，半徑為4的。。外有一點P,且尸。=7,點A在。。上，則PA的最大值和最小值分別是和.（2）如圖②，扇形AOB的半徑為4,N495=45。，P為弧AB上一點，分別在OA邊找點E,在OB邊上找一點F,使得△際周長的最小，請在圖②中確定點E、F的位置并直接寫出尸周長的最小值；拓展應(yīng)用G）如圖③，正方形ABCD的邊長為4J2；E是CD上一點（不與D、C重合）,CF1BE于F,P在BE上，且PF=CF,M、N分別是AB、AC上動點，求好MN周長的最小值.【答案】（1）11,3；（2）圖見解析，*EF周長最小值為4V2；（3）4^10—4、；2.【解析】【分析】（D根據(jù)圓外一點P到這個圓上所有點的距離中，最遠是和最近的點是過圓心和該點的直線與圓的交點，容易求出最大值與最小值分別為11和3；G）作點P關(guān)于直線OA的對稱點＜，作點P關(guān)于直線OB的對稱點P2,連接P、P2,與OA、OB分別交于點E、F,點E、F即為所求，此時△PEF周長最小，然后根據(jù)等腰直角三角形求解即可；G）類似（2）題作對稱點，#MN周長最小=PP2,然后由三角形相似和勾股定理求解.【詳解】解：（D如圖①，?.?圓外一點P到這個圓上所有點的距離中，最大距離是和最小距離都在過圓心的直線OP上，此直線與圓有兩個交點，圓外一點與這兩個交點的距離個分別最大距離和最小距離./.PA的最大值=PA2=PO+OA2=7+4=11,PA的最小值=PA1=PO—OA1=7-4=3,故答案為11和3；（2）如圖②，以O(shè)為圓心，OA為半徑，畫弧AB和弧BD,作點P關(guān)于直線OA的對稱點<，作點P關(guān)于直線OB的對稱點q，連接仆、P2，與OA、OB分別交于點E、F,點E、F即為所求.連接OP、0P2、OP、PE、PF,TOC\o"1-5"\h\z由對稱知識可知，NAOP=ZAOP,ZBOP=ZBOP,PE=PE,PF=PF1 2 1 2\o"CurrentDocument"...ZAOP+ZBOP=ZAOP+ZBOP=ZAOB=45,1 2ZPOP=450+45°=90°,1 2???△P］為等腰直角三角形，???PPfOP=4K2,12 1\o"CurrentDocument"PPFF周長=PE+PF+EF=PE+PF+EF=PP4V-2,止匕時△PEF周長最小.1 2 12 故答案為4<2；G）作點P關(guān)于直線AB的對稱P1,連接AP、BP,作點P關(guān)于直線AC的對稱P2,連接P1、P2，與AB、AC分別交于點M、k如圖③由對稱知識可知，PM=PM,PN=PN,aPMN周長TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2=PM+PN+MN=PM+PN+MN=PP,1 2 12此時，△PMN周長最小=P1P2.由對稱性可知，ZBAP=ZBAP,ZEAP=ZEAP,AP=AP=AP,1 2 1 2\o"CurrentDocument"???ZBAP+ZEAP=ZBAP+ZEAP=ZBAC=45°1 2ZPAP=45°+45°=90°,1 2AP\為等腰直角三角形，△尸/WN周長最小值PP=2AAP，當(dāng)AP最短時，周長最小.12連接DF./CF1BE，且PF=CF,PC=:.ZPCF=45。，CF=<2??ZAC5=45。，:.ZPCF=ZACD,ZPCA=ZFCD,ACCdACPC,在^APC與aDFC中，——= ,ZPCA=ZFCDCDCF.△APC?aDFC,

???絲二任二在，DFCDaAP=&DF.?/BFC=90,取AB中點O..??點F在以BC為直徑的圓上運動，當(dāng)D、F、O三點在同一直線上時，DF最短.DF=DO-FO=%OC2+CD2-OC=v；(2<2)2+(4<2)2-2；2=2<10-2d2,...AP最小值為AP=2DDF??此時，MN周長最小值PP=2AAP=■五?%2DF=22?12口口【點睛】本題考查圓以及正方形的性質(zhì)，運用圓的對稱性和正方形的對稱性是解答本題的關(guān)鍵.11.如圖1,在R3ABC中，NABC=90°,BA=BC,直線MN是過點A的直線CD±MN于點D,連接BD.(1)觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC,AD,BD之間有什么數(shù)量關(guān)系.經(jīng)過觀察思考，小明出一種思路：如圖1,過點B作BELBD,交MN于點E,進而得出：DC+AD=BD.(2)探究證明將直線MN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時線段DC,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明(3)拓展延伸在直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)△ABD面積取得最大值時，若CD長為1,請直接寫B(tài)D的長.

【答案】(1)<2；(2)AD-DC-.'2BD；(3)BD=AD=%2+1.【解析】【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DC,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系(2)過點B作BELBD,交MN于點E.AD交BC于O,證明ACDB^AAEB，得到CD=AE,EB=BD,根據(jù)ABED為等腰直角三角形，得到DE=\；2BD,再根據(jù)DE=AD—AE=AD—CD，即可解出答案.(3)根據(jù)A、B、C、D四點共圓，得到當(dāng)點D在線段AB的垂直平分線上且在AB的右側(cè)時，△ABD的面積最大.在DA上截取一點H,使得CD=DH=1,則易證CH=AH=<2,由BD=AD即可得出答案.【詳解】解：(1)如圖1中，由題意：ABAEZABCD,「.AE=CD,BE=BD,「.CD+AD=AD+AE=DE,???abde是等腰直角三角形，:DE=t：2BD,??.DC+AD=QBD,故答案為2.AD-DC=%2BD.證明：如圖，過點B作BE_LBD,交MN于點E.AD交BC于0..ZABC=ZDBE=90°,..ZABE+ZEBC=ZCBD+ZEBC,..ZABE=ZCBD.ZBAEZAOB=90°,/BCD+NCOD=90。,ZAOB=ZCOD,..ZBAE=ZBCD,..ZABE=ZDBC.又.AB=CB,..ACDB^AAEB,..CD=AE,EB=BD,??.ABD為等腰直角三角形，DE=、①BD.DE=AD-AE=AD-CD,「?AD-DC=v-'2BD.(3)如圖3中，易知A、B、C、D四點共圓，當(dāng)點D在線段AB的垂直平分線上且在AB的右側(cè)時，△ABD的面積最大.圖3此時DG^AB,DB=DA,在DA上截取一點H,使得CD=DH=1,則易證CH=AH=<2,「?BD=AD=<2+1.【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及圖形的應(yīng)用，正確作輔助線和熟悉圖形特性是解題的關(guān)鍵.12.如圖，已知：AB是。O的直徑，點C在。O上，CD是。O的切線，AD±CD于點D,E是AB延長線上一點，CE交。O于點F,連接OC、AC.（1）求證：AC平分NDAO.（2）若NDAO=105°,ZE=30°①求NOCE的度數(shù)；②若。。的半徑為2J2，求線段EF的長.【答案】（1）證明見解析；（2）①NOCE=45°；②EF=2<3-2.【解析】【試題分析】（1）根據(jù)直線與OO相切的性質(zhì)，得OCLCD.又因為ADLCD，根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線也平行，得：AD//OC.NDAC=NOCA.又因為OC=OA，根據(jù)等邊對等角，得NOAC=NOCA.等量代換得：NDAC=NOAC.根據(jù)角平分線的定義得：AC平分NDAO.（2）①因為AD//OC，NDAO=105°，根據(jù)兩直線平行，同位角相等得，NEOC=NDAO=105°，在AOCE中，nE=30°，利用內(nèi)角和定理，得：NOCE=45°.②作OGLCE于點G，根據(jù)垂徑定理可得FG=CG，因為OC=2<2，NOCE=45°.等腰直角三角形的斜邊是腰長的22倍，得CG=OG=2.FG=2在RtAOGE中，NE=30°，得GE=2<3，則EF=GE-FG=2<3-2.【試題解析】（1）:直線與OO相切，「.OC±CD.又;AD±CD，「.AD//OC.「.NDAC=NOCA.又「OC=OA，「.NOAC=NOCA.「.NDAC=NOAC.」.AC平分/DAO.（2）解:①:AD//OC，NDAO=105°，」.NEOC=NDAO=105°;NE=30°，」.NOCE=45°.②作OG^CE于點G，可得FG=CG;OC=2d2，NOCE=45°.「.CG=OG=2.「.FG=2.「在RtAOGE中，NE=30°，「.GE=2、/3.「.EF=GE-FG=2/-2.

【方法點睛】本題目是一道圓的綜合題目，涉及到圓的切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及判定，三角形內(nèi)角和，垂徑定理，難度為中等.13.如圖，已知AB是。。的直徑，P是BA延長線上一點，PC切。。于點C,CD±AB,垂足為D.S陰影部分【詳解】S陰影部分【詳解】，(1)求證：ZPCA=NABC；(2)過點A作AEIIPC交。。于點E,交CD于點F,交BC于點M,若NCAB=2NB,CF=耳，求陰影部分的面積.【答案】(1)詳見解析；(2).一【解析】【分析】(1)如圖，連接OC,利用圓的切線的性質(zhì)和直徑對應(yīng)的圓周角是直角可得ZPCA=NOCB，利用等量代換可得NPCA=NABC.(2)先求出△OCA是等邊三角形，在利用三角形的等邊對等角定理求出FA=FC和CF=FM,然后分別求出AM、AC、MO、CD的值，分別求出Snaoe、S扇形boe、S的值，利用二SAA0e+S扇形BOE-SAABM，然后通過計算即可解答.「PC切。O于點C，cOC±PC,???ZPCA+ZACO=90°,44AB是。0的直徑，ZACB=ZACO+OCB=905/.ZPCA=ZOCB,OC=OB,/.ZOBC=ZOCB,ZPCA=ZABC；??????△ACB中，ZACB=905ZCAB=2ZB,ZB=30:NCAB=605/.△OCA是等邊三角形，CD±AB,/.ZACD+ZCAD=ZCAD+zABC=90^ZACD=ZB=305PCIIAE/.ZPCA=ZCAE=305/.FC=FA,同理，CF=FM,「.AM=2CF=2召，RtAACM中，易得AC=2<3x三=3=OC,;NB=ZCAE=30°,「.NAOC=NCOE=60°,「.NEOB=60°,「.NEAB=NABC=30°,「.MA=MB,連接OM,EG，AB交AB于G點，如圖所示，;OA=OB,;OA=OB,「.MO±AB,AMO=OAxtan30°=常3「△CDOK△EDO(AAS),「.EG=CD=ACxsin60°=333,2一 1 .一丁「.S=AB義MO=3%.3AABM 2 '同樣，易求SAAOE9<3 ,4同樣，易求SAAOE9<3 ,4S扇形BOE60兀義32_3兀360 2S陰影部分=S+S—SAA0E 扇形BOE AABM_9y/3+3兀-3<3【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、解直角三角形、扇形面積和識圖的能力，綜合性較強，有一定難度，熟練掌握定理并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.14.已知八C=DC,AC±DC,直線M/V經(jīng)過點4作DB_LMN,垂足為B,連結(jié)CB.撼知］如圖①，點人B在8同側(cè)，且點B在八C右側(cè)，在射線八M上截取4E=BD,連結(jié)CE,可證從而得出EC=BC,ZECB=90°,進而得出NABC=度；［探究］如圖②，當(dāng)點4B在8異側(cè)時，［感知］得出的NABC的大小是否改變？若不改變，給出證明；若改變，請求出NABC的大小.［應(yīng)用］在直線M/V繞點八旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)NBCD=30。，8。