新高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)：專題十二 考點(diǎn)33 空間向量及其運(yùn)算（A卷）

新高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)：專題十二考點(diǎn)33空間向量及其運(yùn)算（A卷）1.向量，，若，且，則的值為()A.-1 B.1 C.-4 D.42.空間中任意四個(gè)點(diǎn)，則()A. B. C. D.3.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則()A. B.C. D.4.在正方體中，下列各式的運(yùn)算結(jié)果為向量的是()①；②；③；④.A.①② B.②③ C.③④ D.①④5.在空間四邊形ABCD中，連接AC，BD，若是正三角形，且E為其重心，則的化簡(jiǎn)結(jié)果是()

A. B. C. D.6.已知正方體的棱長(zhǎng)為a，且與相交于點(diǎn)O，則有()

A. B. C. D.7.已知，，，若三個(gè)向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則實(shí)數(shù)的值為()

A.0 B.5 C.9 D.8.(多選)已知向量，，，下列等式中正確的是()A. B.C. D.9.(多選)如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此之間的夾角都是60°，則下列說法中正確的是()

A.B.C.向量與的夾角是60°D.與AC所成角的余弦值為10.空間直角坐標(biāo)系中與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______________.11.化簡(jiǎn)：_______________.12.已知，.若，則______；若，則________.13.在正三棱柱中，M為的重心，若，，，則_______________.14.如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為.

（1）求A到平面的距離；

（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值.15.在四棱錐中，底面ABCD，，，，.（1）證明：；（2）求PD與平面PAB所成的角的正弦值.

答案以及解析1.答案：C解析：，，解得.由，得，解得，，故選C.2.答案：C解析：利用空間向量運(yùn)算法則即可得出.3.答案：A解析：，，，因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共面，所以，，共面，即存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使得，即消去，得，故選A.4.答案：C解析：，①錯(cuò)；，②錯(cuò)；，③對(duì)；，④對(duì).故選C.5.答案：C解析：如圖所示，取BC的中點(diǎn)F，則，又E為正三角形BCD的重心，即DF上靠近F的三等分點(diǎn)，所以，則.

6.答案：B解析：對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，，故B正確；

對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.

故選B.7.答案：D解析：，，與不共線，又，，三個(gè)向量共面，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使，即，故選D.8.答案：BCD解析：易得.，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以，所以B選項(xiàng)正確；，所以C選項(xiàng)正確；，即，，所以D選項(xiàng)正確.故選BCD.9.答案：AB解析：由題意可知平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則，所以，而，所以A正確；，所以B正確；向量，顯然為等邊三角形，故，所以向量與的夾角是120°，即向量與的夾角是120°，所以C不正確；因?yàn)?，所以，，，所以，所以D不正確.故選AB.10.答案：解析：在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的坐標(biāo)是，設(shè)點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是，因此空間直角坐標(biāo)系中與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.11.答案：解析：原式.12.答案：；解析：由，得，解得.由，得，且，解得，，所以.13.答案：解析：如圖，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，

在正三棱柱中，M為的重心，，，，.14.答案：（1）（2）解析：（1）設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，

因?yàn)橹比庵捏w積為4，

所以，

又的面積為，，

所以，即點(diǎn)A到平面的距離為.

（2）取的中點(diǎn)E，連接AE，則，

因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?/p>

所以平面，所以，

又平面ABC，

所以，因?yàn)?，所以平面?/p>

所以.

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由（1）知，，所以，，

因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，

所以，，，，，，

則，，

設(shè)平面ABD的法向量為，

則即

令，得，

又平面BDC的一個(gè)法向量為，

所以，

設(shè)二面角的平面角為，

則，

所以二面角的正弦值為.15.答案：（1）證明見解析（2）解析：解：（1）如圖所示，取AB中點(diǎn)為O，連接DO，CO，則.

又，所以四邊形DCBO為平行四邊形.

又，

所以四邊形DCBO為菱形，所以.

同理可得，四邊形DCOA為菱形，所以，

所以.

因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，所以，

又，平面ADP，所以平面ADP.

因?yàn)槠矫鍭DP，所以.（2）由（1）知，又，所以，

所以三角形ADO為正三角形.

過點(diǎn)D作垂直于DC的直線為x軸，DC所在直線為y軸，DP所在直線