中心極限定理地內(nèi)涵和應(yīng)用

中心極限定理的內(nèi)涵和應(yīng)用在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，中心極限定理是非常重要的一節(jié)內(nèi)容，而且是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)之間承前啟后的一個(gè)重要紐帶。中心極限定理是概率論中討論隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限的一組定理。這組定理是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)和誤差分析的理論基礎(chǔ)，指出了大量隨機(jī)變量之和近似服從于正態(tài)分布的條件。故為了深化同學(xué)們的理解并掌握其重要性，本組組員共同努力，課外深入學(xué)習(xí)，詳細(xì)地介紹了中心極限定理的內(nèi)涵及其在生活實(shí)踐中的應(yīng)用。一、獨(dú)立同分布下的中心極限定理及其應(yīng)用在對(duì)中心極限定理的研究中，我們不妨由淺入深地來(lái)學(xué)習(xí)，為此我們先來(lái)研究一下在獨(dú)立同分布條件下的中心極限定理，即如下的定理1:定理l(林德伯格-勒維中心極限定理)設(shè)｛X｝是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(X)=日,Var(X)=b2>0存在，若記UX-npi=4=1 = 。、:n則對(duì)任意實(shí)數(shù)y，有l(wèi)imP{YlimP{YnnT8Vy}=^(y)1=jy.e2dt.一8『2n(1)證明：為證明(1)式，只須證｛Y｝的分布函數(shù)列弱收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。由n定理可知：只須證｛Y｝的特征函數(shù)列收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù)。為此，設(shè)nX-p的特征函數(shù)為中(t)，則Y的特征函數(shù)為^Y^)=平&)]又因?yàn)镋(X-p)=0，Var(X-p)=c2，所以有時(shí)(0)=0，中”(0)=-c2。于是,特征函數(shù)中(t)有展開式12 、一1 ,、中(t)=中(0)+^(0)+中(0)—+O(t2)=1一一b2t2+o(t2)2 2從而有l(wèi)im9Y“nlim9Y“nT+8n(t)=lim1-nT+8t2 /2五o(n)一2而e-2正是N(0,1)分布的特征函數(shù)，定理得證。這個(gè)中心極限定理是由林德貝格和勒維分別獨(dú)立的在1920年獲得的，定理告訴我們，對(duì)于獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其共同分布可以是離散分布，也可以是連續(xù)分布，可以是正態(tài)分布，也可以是非正態(tài)分布，只要其共同分布的方C11111111■■ -"差存在，且不為零，就可以使用該定理的結(jié)論。定理1的結(jié)論告訴我們：只有當(dāng)n充分大時(shí)，Y才近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布nN(0,1)，而當(dāng)n較小時(shí)，此種近似不能保證。也就是說(shuō)，在n充分大時(shí)，可用N(0,1)近似計(jì)算與Y有關(guān)事件的概率，而n較小時(shí)，此種計(jì)算的近似程度是得不到保障的。當(dāng)Y?N(0,1)時(shí)，則有UX?N(np,nb2),X?N(日,胃)i=1 n經(jīng)過(guò)多方面的理論研究，我們可知定理1主要適用于以下兩個(gè)方面；應(yīng)用一：求隨機(jī)變量之和S落在某區(qū)間的概率(例如例2.)。應(yīng)用二：已知隨機(jī)變量之和S取值的概率，求隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)n。在日常生活中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)有很多的例子均可用林德伯格-勒維中心極限定理來(lái)解決。在此我們從中選擇了幾個(gè)典型而又帶有新意的例子，僅供大家參考。例1?用中心極限定理說(shuō)明在正常的射擊條件下，炮彈的射程服從或近似服從正態(tài)分布。[1]解：設(shè)a為理論射程，&為實(shí)際射程，則門二&-a為實(shí)際射程對(duì)理論射程的偏差，顯然&二門+a,故只需證門?N(p,b2)。由于在實(shí)際射擊中，有很多不可控制的隨機(jī)因素在不斷變化，所以造成了實(shí)際射程對(duì)理論射程的偏差，若設(shè)&:射擊時(shí)炮身振動(dòng)引起的偏差，&:炮彈外形差異引起的偏差，&3:炮彈內(nèi)火藥的成分引起的偏差，&4:射擊時(shí)氣流的差異引起的偏差……，&:……，顯然有門_Z&ii=1..?影響實(shí)際射程的因素是大量的，?.?這里的n一定很大，又...炮身的振動(dòng)、炮彈的外形、火藥的成分、氣流的變化…….這些因素之間沒(méi)有什么關(guān)系(或有微弱關(guān)系)。?.?由它們引起的&1,&2， &可看做是相互獨(dú)立的。而正常的射擊條件也就是對(duì)射程有顯著影響的因素已被控制，所以 &,&2,……&所起的作用可看做是同樣微小。..?由中心極限定理可知門?N(|!,b2)。..F可正，可負(fù)且相會(huì)均等 .?.p=0 ..?門?N(0,b2)。則&=門+a?N(a,b2)從這個(gè)例子來(lái)看，雖然看上去有點(diǎn)復(fù)雜，但是我們還是很清晰地可以看到如果一個(gè)隨機(jī)變量能表示成大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和，并且其中每一個(gè)隨機(jī)變量所起的作用都很微小，則這個(gè)隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布，這給我們的計(jì)算帶來(lái)很大方便?，F(xiàn)在的旅游、汽車等行業(yè)越來(lái)越受歡迎，為了體現(xiàn)中心極限定理的重要性，我們不妨從現(xiàn)實(shí)生活中的熱門行業(yè)說(shuō)起，看看它到底起到怎樣的重要性。例2.某汽車銷售點(diǎn)每天出售的汽車服從參數(shù)為人=2的泊松分布，若一年365天都經(jīng)營(yíng)汽車銷售，且每天出售的汽車數(shù)是相互獨(dú)立的，求一年中售出700輛以上汽車的概率。[1]解：設(shè)&為第i天出售的汽車的數(shù)量，則&=&+&+......+&為一年的總銷i 1 2 365量，由E(&)=Var(&)=2，知E(&)=365X2=730ii利用中心極限定理得P(&>700)=1-P(&W700)e1—中(70073030)=1-①(一1.11)=0.8665從此例可以看出，中心極限定理揭示了離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的內(nèi)在關(guān)系，即離散型隨機(jī)變量的極限分布是正態(tài)分布。事實(shí)上，在現(xiàn)實(shí)生活中的很多方面，我們都能清晰地看到中心極限定理的存在。那么在理論中，我們也可用它來(lái)解決一些比較抽象的問(wèn)題，比如下面的極限求解問(wèn)題。例3.利用中心極限定理證明：lime一nU竺=1 [1]…提！2k=0證明：設(shè)｛&k｝獨(dú)立同分布且&k?P(1),k=1,2…….則a=E(&)=l,b2=Var(&)=1..?由泊松分布的可加性知U&?P(n)k=1?.?尸件J5卜E?E&=k]=E§-n*=1 /k=0*i=1 /k=0,又?.?由中心極限定理知：匹＜"=芯&一）一n<0=P&-1）＜0"k=1k）"k=1k；k=1k」=P[-L￡&-1）＜0卜中（0）nk=1k 」=—（n—8）2nnk?.lime-n乙一…k!f k=0如果在林德伯格-勒維中心極限定理中，x服從二項(xiàng)分布，就可以得到以下的定理：定理2（棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理）設(shè)n重伯努利試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p（0<p<1）,記S為n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且記Y*=3n—np，則對(duì)任意實(shí)數(shù)y,有l(wèi)imP（Y*<y）=。（y）=—Jye-了dtn Jnpq n 2兀_8nT8該定理是林德伯格-萊維中心極限定理的特殊情況，是最早的中心極限定理。大約在1733年，棣莫弗對(duì)p=1證明了上述定理，后來(lái)拉普拉斯把它推廣至2p是任意一個(gè)小于l的正數(shù)上去。它表明，n充分大時(shí)，Y*=%一迎分布近似服從與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，常稱為n MPq“二項(xiàng)分布收斂于正態(tài)分布”，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n充分大時(shí)，我們可以利用該定理的結(jié)論來(lái)計(jì)算二項(xiàng)分布的概率。由于此定理有更廣泛的實(shí)際應(yīng)用，我們將在下面的部分具體地分析棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用。二、獨(dú)立不同分布下的中心極限定理及其應(yīng)用前面我們已經(jīng)在獨(dú)立同分布的條件下，解決了隨機(jī)變量和的極限分布問(wèn)題。在實(shí)際問(wèn)題中說(shuō)諸X具有獨(dú)立性是常見的，但是很難說(shuō)諸X是“同分布"的隨i i機(jī)變量。比如在我們的生活中所遇到的某些加工過(guò)程中的測(cè)量誤差Y，由于其n是由大量的“微小的”相互獨(dú)立的隨機(jī)因素X.疊加而成的，即Y=咒X，諸X.i=1間具有獨(dú)立性，但不一定同分布。在此，我們還要深入地研究在獨(dú)立不同分布的

前提下，各隨機(jī)變量和的極限分布問(wèn)題，目的是給出極限分布為正態(tài)分布的條件。為使極限分布是正態(tài)分布，必須對(duì)Y^^^X的各項(xiàng)有一定的要求。譬如若i=1允許從第二項(xiàng)開始都等于0，則極限分布顯然由X］的分布完全確定，這時(shí)就很難得到什么有意思的結(jié)果。這就告訴我們，要使中心極限定理成立，在和的各項(xiàng)中不應(yīng)有起突出作用的項(xiàng)，或者說(shuō)，要求各項(xiàng)在概率意義下“均勻地小”。下面我們來(lái)分析如何用數(shù)學(xué)式子來(lái)明確表達(dá)這個(gè)要求。設(shè)｛X｝是一個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差：E（X）=r.,Var（X）=c,i=1,2,???.要討論隨機(jī)變量的和Y=&，我們先將其標(biāo)準(zhǔn)化，即將它減去均值、除i=1以標(biāo)準(zhǔn)差，由于TOC\o"1-5"\h\zE(Y)=R+R+?一+r,b(Y)=-Var(Y)二〈b2+b2+..?+b2，n 1 2 n n"n"12 n, Y—(r+r+???+r)—X—u,且記。(Y)=B，貝寸Y的標(biāo)準(zhǔn)化為Y*=— 1 2 =^―i a。nnn n B B如果要求中各項(xiàng)X―七“均勻地小”，即對(duì)任意的T>0,要求事件BnA={X\.Ui>T}={X-u\>^B}發(fā)生的可能性小，或直接要求其概ni B ii nn率趨于0.為達(dá)到這個(gè)目的，我們要求limP(maxlX.—u.1>TB)=0。nT8 1<i<n 1 1 n因?yàn)镻(max|X一u1<i<n1 1>tB)=P(Y(IX-u>TB))P(max|X一u1<i<n1 1n ii n ii n'i=1 i=1其密度函數(shù)為￡』（xi其密度函數(shù)為￡』（xi=1lX-URp(x)，則上式右邊-u)2p(x)dx二￡f p（尤）dx<一\__=1x-u,“B. t2Bn因此，只要對(duì)任意的t>0,有(2)lim—\—￡f (x-u)2p(x)dx=0(2)nBni=1lx-um ii ，就可保證Y*中各加項(xiàng)“均勻地小”。n上述條件（2）稱為林德伯格條件⑵。林德伯格證明了滿足（2）條件的和Y*n的極限分布是正態(tài)分布，這就是下面給出林德伯格中心極限定理。

定理3(林德伯格中心極限定理)設(shè)獨(dú)立的隨機(jī)變量序列設(shè)｛X｝滿足(2)林德伯格條件，則對(duì)任意的x，有l(wèi)imP(土工(X—目)<x)=—^f*e普dt.… B.=i^ .寸2兀f假如獨(dú)立隨機(jī)變量序列｛X｝具有同分布和方差有限的條件，則必定滿足以上(2)林德伯格條件，也就是說(shuō)定理l是定理3的特例。這一點(diǎn)是很容易證明的：設(shè)｛X｝是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，為確定起見，設(shè)諸X.是連續(xù)隨機(jī)變量，其共同的密度函數(shù)為p(x),四.=pq.=6這時(shí)B=0』云,由此得—^―Xf (x—p)2p(x)dx= —f(x—p)2p(x)dx.Bni=1x—pi>電 . nG2|x-pi"n .因?yàn)榉讲畲嬖?，即Var(X.)=f+8(x_p)2p(x)dx<s,—8所以其尾部積分一定有l(wèi)imf _(x_p.)2p(x)dx=。，故林德伯格條nfs\x_p.卜tbn件滿足。林德伯格條件雖然比較一般，但該條件較難驗(yàn)證，因此在實(shí)際的應(yīng)用中，我們都不怎么使用林德伯格中心極限定理。在此情況下，為了使獨(dú)立不同分布的中心極限定理便于運(yùn)用，我們深入研究了下面的李雅普諾夫(Lyapunov)中心極限定理。我們之所以講李雅普諾夫中心極限定理便于運(yùn)用，是因?yàn)槔钛牌罩Z夫條件比較驗(yàn)證，而且它只對(duì)矩提出要求，為我們的求解帶來(lái)了極大的方便之處。為此我們特地分一節(jié)內(nèi)容來(lái)研究它，希望它的出現(xiàn)能引起我們的極大重視。三、李雅普諾夫中心極限定理的特殊應(yīng)用2+5)=°,則隨機(jī)定理4(李雅普諾夫中心極限定理)設(shè)｛Xn｝為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，并且E(X)=pVar(X)=。2〉0,(k=1,2,???，n),2+5)=°,則隨機(jī)XX—Xp一k=^的分布Bn記B=Xbk2,若存在5〉0,滿足lim*寸E(lXkXX—Xp一k=^的分布Bn變量之和XX的標(biāo)準(zhǔn)化變量Z=k1kk1kk—1 n :Var(Xx.)' k=1函數(shù)F(x),對(duì)于任意的x滿足火-￡七1-limF(x)=limP(^=1 k= <x)=_J*e2dt=①(x)。nr+8nnr+8 B J2兀—sn這個(gè)定理是李雅普諾夫在1900年提出的。它表明，在定理?xiàng)l件下，隨機(jī)變量5—￡七Z=4一kBk=1k，當(dāng)n很大時(shí)，近似地服從正態(tài)分布N(0,1),由此，當(dāng)n很大n時(shí)，Ex二BZ￡七近似地服從正態(tài)分布N(t七，B2)。也就是說(shuō)，無(wú)， knnk kn ，k—1 k—1 k—1論各個(gè)隨機(jī)變量xg=1,2，…,n)服從什么分布，只要滿足定理?xiàng)l件，那么它們的和￡X，當(dāng)n很大時(shí)，就近似地服從正態(tài)分布，這就是為什么正態(tài)隨機(jī)變量kk—1在概率論中占有重要地位的一個(gè)基本原因。在實(shí)際生活的很多問(wèn)題中，所考慮的隨機(jī)變量往往可以表示成很多個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量之和。例如：在任一指定時(shí)刻，一個(gè)城市的耗電量是大量用戶的耗電量的總和；一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)的測(cè)量誤差是由許多觀察不到的、可加的微小誤差所合成的，它們往往近似地服從正態(tài)分布。在現(xiàn)實(shí)生活中，人們往往比較在意錢的花費(fèi)，那么在器件價(jià)格預(yù)算方面，李雅普諾夫中心極限定理又有著怎樣的神奇之處呢？請(qǐng)看下面這例題。例4.某種器件使用壽命(單位：小時(shí))服從指數(shù)分布，其平均使用壽命為20小時(shí)，具體使用時(shí)是一器件損壞后立即更換另一個(gè)新器件，如此繼續(xù)，已知每個(gè)器件進(jìn)價(jià)為a元。試求在年計(jì)劃中應(yīng)為此器件作多少預(yù)算才可能有95%的把握一年夠用(假定一年有2000個(gè)工作小時(shí))？[3]解：設(shè)第k個(gè)器件使用壽命為X.，由于xk服從參數(shù)為人的指數(shù)分布，且E(X)=20，所以E(X)=1，X=—，那么，Var(X)=—=400。TOC\o"1-5"\h\z/ /X20 iX2假定一年至少準(zhǔn)備n件才能有95%的把握夠用，k=1,2,-??,n,X『X2,---,X了相互獨(dú)立，記七=￡Xi，由李雅普諾夫中心極限定理知P{Y>2000}=0.95n—1即0.05=P{Y<2000}=P{Yn-20n<2000—?0n}w$(2000-30n)n 20tn 20*n 20、n2000—20n n—100 n—100所以偵 =—)=饑一)w0.95。查表得：一=1.64,nw118。20、.n v'n n所以，在年計(jì)劃中應(yīng)為此器件作118件預(yù)算才可能有95%的把握一年夠用。

四、中心極限定理在二項(xiàng)分布中的特殊應(yīng)用由于二項(xiàng)分布在實(shí)際問(wèn)題中有著大量的應(yīng)用，因此在這些中心極限定理中，棣一拉中心極限定理有著更重要的地位，它可以解決的問(wèn)題類型也特別多。如果在棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理中，我們將二項(xiàng)分布看成是n個(gè)獨(dú)立同分布的0—1分布的和，于是我們能得到下面的棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理，即如下的兩個(gè)定理：設(shè)X~B(n,p)，則局部極限定理當(dāng)n較大時(shí)，P(X=k)(n) 1 -(k-當(dāng)n較大時(shí)，P(X=k)pkqn-k=_. _e2npq{kJ J2^npq積分極限定理當(dāng)n較大時(shí)，當(dāng)n較大時(shí)，P(a<X<b)=F(b)-F(a)=。"wpqJ-0|=I(npq其中q=1一p,k=0,1,2,...n該定理的具體應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面：應(yīng)用一：導(dǎo)出貝努利大數(shù)定理。應(yīng)用二：近似計(jì)算服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量在某范圍內(nèi)取值的概率。應(yīng)用三：已知服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量在某范圍內(nèi)取值的概率，估計(jì)該范圍(或該范圍的最大值)。應(yīng)用四：與用頻率估計(jì)概率有關(guān)的二項(xiàng)分布的近似計(jì)算。這里主要闡述棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理在現(xiàn)實(shí)生活中有關(guān)二項(xiàng)分布的應(yīng)用問(wèn)題。在前面的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)知道了“二項(xiàng)分布的泊松近似”，即用泊松分布來(lái)作為相應(yīng)的二項(xiàng)分布的近似。在二項(xiàng)分布b(n,p)中，當(dāng)n較大，而p又較小的情況下時(shí)，我們有以下的泊松定理。定理5(泊松定理)在n重伯努利試驗(yàn)中，記事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為Pn(與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān))，如果當(dāng)n—8時(shí)，有nP^X，則一. (n)— 、人k.lim Pk(1—Pk)n-k=e-人IkJn' -k!n—8、 /而在二項(xiàng)分布b(n,p)中，當(dāng)n較大，p又不小時(shí)，且當(dāng)p處在np>5和n(1—p)>5時(shí)，則用正態(tài)分布近似比較好，這就用到了棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理在各個(gè)方面都有著廣泛的應(yīng)用，尤其是在管理中也有著不小的應(yīng)用，請(qǐng)看下面的這例題：例5.水房擁擠問(wèn)題：假設(shè)紹興文理學(xué)院要建新校區(qū)，里面有學(xué)生5000人，只有一個(gè)開水房。由于每天傍晚打開水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)同學(xué)排長(zhǎng)隊(duì)的現(xiàn)象，為此校學(xué)生會(huì)特向后勤集團(tuán)提議增設(shè)水龍頭。假設(shè)后勤集團(tuán)經(jīng)過(guò)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生在傍晚一般有1%的時(shí)間要占用一個(gè)水龍頭，現(xiàn)有水龍頭45個(gè)，現(xiàn)在總務(wù)處遇到的問(wèn)題是：未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？至少要裝多少個(gè)水龍頭，才能以95%以上的概率保證不擁擠？[4]分析：首先，我們先設(shè)5000個(gè)學(xué)生中占有水龍頭的人數(shù)為隨機(jī)變量X,未新裝水龍頭前，擁擠的概率為p。因?yàn)轭}中占有水龍頭的人和人之間是獨(dú)立的，而且占用水龍頭的概率都一樣為0.01。因此比較容易看出，此題中的X是服從二項(xiàng)分布的，所以我們可用二項(xiàng)分布的方法將p的具體值求出來(lái)，即有了下面的解法一：解法一：(1).因?yàn)閄?8(5000,0.01)，所以有/ \(5000) ..P(X=k)= 0.01k(0.99)5000—k,其中k=0,1,2,...5000,kkkJ于是有”- - 弭5(5000)p=P(&〉45)=1—P(0<^<45)=1-交 0.01k0.995000—kk=0技 J(2).欲求m,使得P(0獎(jiǎng)<m)>0.95，貝寸(5000〉0.0100.995000>0.95并 0.01k0.995000—0.0100.995000>0.95kk=0kk J這種方法可以把p和m的具體值求出來(lái)。但是，用這種方法做這道題的時(shí)候，在求X等于某一個(gè)值的時(shí)候都比較困難，更何況求上千個(gè)呢，所以這種方法理論上可以，但是實(shí)際上是行不通的。當(dāng)二項(xiàng)分布不好求時(shí)，我們還學(xué)過(guò)用泊松分布來(lái)近似，因?yàn)椴此煞植际怯斜砜刹榈?，那么這道題可不可以用泊松分布來(lái)近似呢？應(yīng)該說(shuō)是不可以的，因?yàn)槎?xiàng)分布去近似泊松分布的時(shí)候，要求二項(xiàng)分布中的n要比較大，p要比較小，而且np也要不大，而本題中，np=50,顯然是太大了，所以用泊松分布近似是行不通的。那么現(xiàn)在再讓我們看看中心極限定理，它是可以用來(lái)近似二項(xiàng)分布b(n,p)的，只要該二項(xiàng)分布中的n較大，p又不小時(shí)，且當(dāng)p處在np〉5和n(1—p)〉5時(shí)，就可以用正態(tài)分布來(lái)近似。而這里，np=50,n(1—p)=4950，均滿足中心極限定理的條件，故有了下面的解法二：解法二：(1).設(shè)同一時(shí)刻，5000個(gè)學(xué)生中占用水龍頭的人數(shù)為X,則

X?B(5000,0.01)擁擠的概率是”- - 弭5(5000)p=P(&〉45)=1-P(0<^<45)=1-交 0.0M0.995000Tk=°技)由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理，n=5000,p=0.01,q=0.99,np=50,<npq=7.0445-45-50、.. )-9(7.04尸(0<&<45)=奴°^°)=9(-0.71)-尸(0<&<45)=奴即擁擠的概率為P(&〉45)=1-0.2389=0.7611(2).欲求m，使得P(0<&<m)>0.95,則由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理可知，9(M可知，9(M)-9(

7.040-50

7.04)>0.95由于9(°^°)=9(-7.09)牝07.04m—50、即9( )>0.957.04m-50查表得>1.6457.04即m>61.6故需裝62個(gè)水龍頭，才能以95%以上的概率保證不擁擠。從這一題中，我們可明顯地看出中心極限定理在實(shí)際應(yīng)用中起到很重要的作用，尤其是棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理能很好地處理好二項(xiàng)分布中的近似計(jì)算問(wèn)題。-—-—L■—-—- -：—■—正所謂“人有旦夕禍福，月有陰晴圓缺”，我們生活在這世上并總不是那么一帆風(fēng)順的，因此很多人都想去買保險(xiǎn)，為的只是以防萬(wàn)一。而很多年長(zhǎng)的人，也會(huì)選擇去買養(yǎng)老保險(xiǎn)。那么我們是不是很想知道中心極限定理在保險(xiǎn)方面的應(yīng)用呢？請(qǐng)看以下這道例題：例6.某保險(xiǎn)公司有2500個(gè)人參加保險(xiǎn)，每人每年付1200元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.002，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得20萬(wàn)元。問(wèn)：(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？(2)保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于1010萬(wàn)元，200萬(wàn)元的概率各為多大？⑶分析：首先，我們先設(shè)一年內(nèi)死亡的人數(shù)為隨機(jī)變量X，保險(xiǎn)公司虧本的概率為P。因?yàn)轭}中人和人之間是獨(dú)立的，而且死亡的概率都一樣為0.002，因此比較容易看出，此題中的X是服從二項(xiàng)分布的，我們也可用二項(xiàng)分布的方法把p具體地求出來(lái)，但要想求出P(X=k)=]2500]0.002k(0.998)2500-k絕非易事，更何偵)況還要算上幾千個(gè)呢？為此我們不妨用中心極限定理來(lái)求解它。解：設(shè)X為一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則X?8(2500,0.002)，np=5，np(1-p)=1.99由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理知15-5 .P(虧本)=P(20X>300)=P(X>15)=1-P(X<15)牝1-偵^=)=1-^(4.48)<4.99二1-0.99993=0.00007所以，保險(xiǎn)公司虧本的概率為0.00007，幾乎為0。由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理知10-5P(利潤(rùn)>100)=P(300-20X>100)=P(X<10)例(=)=0.98<4.995-5P(利潤(rùn)>200)=P(300-20X>200)=P(X<5)例(~^=)=0.5,4.99以上結(jié)果說(shuō)明，保險(xiǎn)公司幾乎不可能虧本.不過(guò)，關(guān)鍵之處是對(duì)死亡率的估計(jì)必須正確，如果所估計(jì)的死亡率比實(shí)際低，甚至低得多，那么，情況就會(huì)不同。五、中心極限定理與切比雪夫不等式的聯(lián)系與區(qū)別前面我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了切比雪夫不等式，為了更好地與中心極限定理相比較，我們先來(lái)熟悉一下何為切比雪夫不等式。切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X具有有限期望日和方差Var(X)，則對(duì)與任意正數(shù)8,有如下的不等式成立p(iX-四i>e)<Va￥2。82從上述切比雪夫不等式的定義可知，它和中心極限定理一樣，都可以對(duì)所求的問(wèn)題進(jìn)行適度地估計(jì)，而且切比雪夫不等式和中心極限定理都要用到變量的期望日與方差Var(X)。但不同的是，切比雪夫不等式在應(yīng)用中，是在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下，只利用X的期望與方差，即可對(duì)X的概率分布進(jìn)行估值，但往往這種情況下估出來(lái)的值是粗糙的。而中心極限定理在生活中的應(yīng)用則是對(duì)于相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列｛X｝，不管X(i=1,2,...,n)服從什么分布，只要它們n i是服從同一分布，且有數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)n充分大時(shí)，這些隨機(jī)變量之和乎X就近似地服從正態(tài)分布N(四q2)。為了加深對(duì)它們的理解，請(qǐng)先看以下ii=1這道例題：

例7.假設(shè)電站電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7,而假定開關(guān)之間彼此獨(dú)立，估計(jì)夜晚開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率。[5]分析：首先，我們先設(shè)夜晚開著的燈數(shù)為隨機(jī)變量X，夜晚開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率為P。因?yàn)轭}中燈和燈之間是獨(dú)立的，而且開著的概率都一樣為0.7，因此比較容易看出，此題中的X是服從二項(xiàng)分布的，所以我們可用二項(xiàng)分布的方法將P的具體值求出來(lái)，但是根據(jù)第四部分的分析，我們可知算一個(gè)P(X=k)=]1OOO°]0.7k(0.3)10000-k就很困難，那么如果要算3999個(gè)這樣的值是不偵)是顯得不太實(shí)際呢？仔細(xì)觀察這題的問(wèn)題，不難發(fā)現(xiàn)，最后所求的區(qū)間是關(guān)于隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX對(duì)稱的區(qū)間，而且是要估計(jì)最后的結(jié)果，因此我們可以用切比雪夫不等式來(lái)估計(jì)。我們都知道，切比雪夫有著一個(gè)重要的不等式，即P《X-E(X)<18)>1-Var(X)，所以有著下面的解法一：：&2解法一：因?yàn)閄?8(10000,0.7)，所以E(X)=10000*0.7=7000,Var(X)=10000*0.7*0.3=2100,因此，才艮據(jù)切比雪夫不等式，有p=P(6800<X<7200)=P(IX-70001<200)>1-1002=0.9475因此由切比雪夫不等式估計(jì)出的最后結(jié)果為pe[0.9475,1]，區(qū)間長(zhǎng)度較短，結(jié)果較好。切比雪夫不等式估計(jì)出來(lái)的結(jié)果是比較好，但是這還只是估計(jì)出結(jié)果屬于的區(qū)間，到底結(jié)果是多少還是不知道。要想知道具體結(jié)果是什么，還是用中心極限定理來(lái)研究比較簡(jiǎn)單。根據(jù)棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理的積分極限定理，我們可知例題的條件符合它，為此我們有如下的解法：解法二：因?yàn)閄?8(10000,0.7)，所以根據(jù)積分極限定理有，(6800-7000|T2T00/p=P(6800(6800-7000|T2T00/p=P(6800<Xv7200-F(720Q—F(6800)=。盤(4.37)-。(-盤(4.37)-。(-4.37)=2^(4.37)-1,據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表，有小(4.37)=0.999993788，所以p=P(6800<X<7200)=2x0.999993788-1=0.999987576從這一題中，我們可明顯地看出切比雪夫不等式和中心極限定理在處理二項(xiàng)分布中的近似計(jì)算問(wèn)題時(shí)都有著極其強(qiáng)大的功能。但是相比于切比雪夫不等式，我們也可明顯地看出中心極限定理的精確與方便。

例8.現(xiàn)有一大批種子，其中良種占1，今在其中任選6000粒，試分別用6切比雪夫不等式估計(jì)和用中心極限定理計(jì)算在這些種子中良種所占的比例與16之差小于1%的概率是多少？⑹分析：我們不妨先設(shè)6000粒種子中良種的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，這些種子中良種所占的比例與1之差小于1%的概率為P。因?yàn)轭}中良種之間是獨(dú)立的，而且6是良種的概率都一樣為1。所以我們可知，X服從于二項(xiàng)分布，即有6X?5(6000,6)。解：設(shè)選出的種子中的良種粒數(shù)為X，則X?5(6000,1)，于是，6E(X)=1000,Var(X)=迎0，要估計(jì)的概率為P{I-^-1I〈上}6 60006100(1)用切比雪夫不等式估計(jì)此概率：P{|M-1I〈上}=P{IX-10001<60}>1-Var(X)=1-5000x-^=1-0.231560006100 602 6 3600=0.7685。即用切比雪夫不等式來(lái)估計(jì)此概率不小于0.7685⑵由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理，對(duì)于二項(xiàng)分布5(6000,1)，可用正態(tài)6分布N(1000,5000)來(lái)近似，于是所求概率為6(1060-1000(1060-1000)^V5000/6J?f皿-1000]L<5000/6)尸{I——-1< }=P{940<X<1060}=甲60006100總2中(2.0785)-1=0.9625。即用中心極限定理來(lái)估計(jì)此概率不小于0.9625。從上例看出：用切比雪夫不等式只能得到要求的概率不小于0.7685，而用中心極限定理可得出要求的概率近似等