名師課件：人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊251 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

2.5.1

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程核心素養(yǎng)

1.掌握橢圓的定義.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及其推導(dǎo)過程.(邏輯推理)3.能根據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,掌握待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(數(shù)學(xué)運算)思維脈絡(luò)激趣誘思知識點撥在2000多年以前,古希臘數(shù)學(xué)家最先開始研究圓錐曲線,并獲得了大量的成果.其中數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面截割圓錐的方法來研究這種曲線,他的著作《圓錐曲線論》是古代光輝的科學(xué)成果.下面探究幾個最基礎(chǔ)的問題:激趣誘思知識點撥問題1

通過平面截割圓錐的方法你能得到幾種曲線?提示:用垂直于錐軸的平面去截圓錐,得到的是圓;把平面漸漸傾斜,就能得到橢圓;當(dāng)平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時,得到拋物線;繼續(xù)用余下的傾斜角度的平面截割,可得到雙曲線,見下圖所示.問題2

從集合或軌跡的角度,類比圓的定義,如何定義橢圓?提示:平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.激趣誘思知識點撥1.橢圓的定義

激趣誘思知識點撥微思考橢圓的定義中去掉限制條件后,動點P的軌跡還是橢圓嗎?提示:不是.當(dāng)2a<|F1F2|時,動點P的軌跡不存在.當(dāng)2a=|F1F2|時,動點P的軌跡為線段F1F2.微練習(xí)到兩個定點F1(-7,0)和F2(7,0)的距離之和為14的點P的軌跡是(

)A.橢圓

B.線段C.圓 D.以上都不對解析:∵點P到兩定點的距離之和為14等于|F1F2|,∴軌跡是一條線段.答案:B激趣誘思知識點撥2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點在x軸上焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系b2=a2-c2激趣誘思知識點撥名師點析

(1)在已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解題時,應(yīng)特別注意a>b>0這個條件.(2)焦點三角形中常用的關(guān)系式①|(zhì)PF1|+|PF2|=2a.激趣誘思知識點撥微練習(xí)

激趣誘思知識點撥解析:(2)設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1,F2,若|PF1|=2,結(jié)合橢圓定義|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.答案:(1)D

(2)D

(3)C激趣誘思知識點撥微思考能否根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,判定焦點位置?提示:能.根據(jù)x2與y2的分母的大小來判定,哪個的分母大,焦點就在哪個軸上.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測如果中心在原點,但焦點的位置不能明確是在x軸上,還是在y軸上,那么方程可以設(shè)為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),進而求解.2.待定系數(shù)法求圓錐曲線方程能有力地明晰數(shù)學(xué)運算的目標(biāo)性和方向性,能較好地體現(xiàn)運用解析法進行數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點在y軸上,且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0);探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,先根據(jù)橢圓定義,確定a2,b2的值,再結(jié)合焦點位置寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2已知橢圓兩個焦點的坐標(biāo)分別是(0,5),(0,-5),橢圓上一點P到兩焦點的距離之和為26,求滿足條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測橢圓定義的應(yīng)用例3如圖所示,已知動圓P過定點A(-3,0),并且在定圓B:(x-3)2+y2=64的內(nèi)部與其內(nèi)切,求動圓圓心P的軌跡方程.解:設(shè)動圓P和定圓B內(nèi)切于點M,動圓圓心P到兩定點A(-3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以動圓圓心P的軌跡是以A,B為左、右焦點的橢圓,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

利用橢圓定義求動點軌跡方程的三個步驟

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

(1)橢圓上一點P(不與焦點共線)與橢圓的兩個焦點F1,F2構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點三角形.解關(guān)于橢圓的焦點三角形的問題,通常要利用橢圓的定義,再結(jié)合正弦定理、余弦定理等知識求解.(2)焦點三角形的常用公式①焦點三角形的周長L=2a+2c.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究

若將例4中“∠F1PF2=60°”變?yōu)椤啊螾F1F2=90°”,求△F1PF2的面積.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(3)由直線AB過橢圓的一個焦點F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|,所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.答案:(1)C

(2)A

(3)8探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測易錯點——因?qū)E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程認識不清而致錯

錯因分析錯解中沒有注意到橢圓方程中a>b>0這一條件,當(dāng)a=b時,方程并不表示橢圓.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.已知橢圓的焦點為(-1,0)和(1,0),點P(2,0)在橢圓上,則橢圓的方程為(

)答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.若方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓,那么實數(shù)k的取值范圍是(

)A.(0,+∞) B.(0,2)C.(1,+∞) D.(0,1)答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:4探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.如圖所示,在圓C:(x+1)2+y2=25內(nèi)有一點A(1,0).Q為圓C上任意一點,線段AQ的垂直平分線與C,Q的連線交于點M,當(dāng)點Q在圓C上運動時,求點M的軌跡方程.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:如圖所示,連接MA.由