初二數(shù)學根與系數(shù)的關系練習題

初二一元二次方程根與系數(shù)的關系習題的求根公式為［準備知識回顧］：1、一兀二次方程ax2+bx+c=0(a豐0)的求根公式為一b+x：b2一4ac2a(b2一4ac>0)。2、一兀二次方程ax2+bx+c=0（a豐0）根的判別式為：A=b2-4ac（1）當A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。（2）當A=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根。（3）當Av0時，方程沒有實數(shù)根。反之：方程有兩個不相等的實數(shù)根，貝V；方程有兩個相等的實數(shù)根，則;方程沒有實數(shù)根，則［韋達定理相關知識］1若一元二次方程ax2+bx+c=0（a豐0）有兩個實數(shù)根x和x，那么12x+x=，x?x=。我們把這兩個結論稱為一元1212二次方程根與系數(shù)的關系，簡稱韋達定理。2、如果一元二次方程x2+px+q=0的兩個根是x和x，則x+x=，1212x?x=。123、以x和x為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2-（x+x）x+x?x=01212124、在一元二次方程ax2+bx+c=0（a豐0）中，有一根為0，則c=;有一根為1，則a+b+c=;有一根為-1，則a-b+c=；若兩根互為倒數(shù)，則c=；若兩根互為相反數(shù)，則b=。5、二次三項式的因式分解（公式法）在分解二次三項式ax2+bx+c的因式時，如果可用公式求出方程33)ax2+bx+c=0（a豐0）的兩個根x和x，那么ax2+bx+c=a（x一x）（x一x）.如果1212方程ax2+bx+c=0（a豐0）無根，則此二次三項式ax2+bx+c不能分解.［基礎運用］例1:已知方程3x2-（k-1）x+2二0的一個根是1，則另一個根是，k二。解:變式訓練:1、已知x=-1是方程3x2+2x+k=0的一個根，則另一根和k的值分別是多少?2、方程x2-kx-6=0的兩個根都是整數(shù)，則k的值是多少？例2：設x和x是方程2x2+4x-3=0，的兩個根，利用根與系數(shù)關系求下列各12式的值：(1)x2(1)x2+x212(2)(x+1)(x+1)1211—+—xx124)(x-x)212變式訓練：1、已知關于x的方程3x2-10x+k=0有實數(shù)根，求滿足下列條件的k值：（1）有兩個實數(shù)根。（2）有兩個正實數(shù)根。（3）有一個正數(shù)根和一個負數(shù)根。（4）兩個根都小于2。2、已知關于x的方程x2-2ax+a=0。（1）求證：方程必有兩個不相等的實數(shù)根。（2）a取何值時，方程有兩個正根。（3）a取何值時，方程有兩異號根，且負根絕對值較大（4）a取何值時，方程到少有一根為零？選用例題：例3：已知方程ax2+bx+c=0(a豐0)的兩根之比為1:2,判別式的值為1,則a與b是多少？例4、已知關于x的方程x2+2(m+2)x+m2-5=0有兩個實數(shù)根，并且這兩個根的平方和比兩個根的積大16,求m的值。例5、若方程x2-4x+m=0與x2-x-2m=0有一個根相同，求m的值?；A訓練：TOC\o"1-5"\h\z關于x的方程ax2-2x+1=0中，如果a<0，那么根的情況是()(A)有兩個相等的實數(shù)根(B)有兩個不相等的實數(shù)根(C)沒有實數(shù)根(D)不能確定設x,x是方程2x2-6x+3=0的兩根，則x2+x2的值是()1212(A)15(B)12(C)6(D)3下列方程中，有兩個相等的實數(shù)根的是()(A)2y2+5=6y(B)X2+5=2\；5x(C)馬3X2—\；2x+2=0(D)3x2—2”J6x+1=04?以方程X2+2x—3=0的兩個根的和與積為兩根的一元二次方程是()(A)y2+5y—6=0(B)y2+5y＋6=0(C)y2—5y＋6=0(D)y2—5y—6=0如果x,x是兩個不相等實數(shù)，且滿足X2—2x=1,X2—2x=1,121122那么x?x等于()12(A)2(B)—2(C)1(D)—1關于x的方程ax2-2x+1=0中，如果a<0,那么根的情況是()(A)有兩個相等的實數(shù)根(B)有兩個不相等的實數(shù)根(C)沒有實數(shù)根(D)不能確定設x,x是方程2x2—6x+3=0的兩根，則X2+X2的值是()1212(A)15(B)12(C)6(D)3如果一兀二次方程X2+4x+k2=0有兩個相等的實數(shù)根，那么k=如果關于x的方程2x2—(4k+1)x+2k2—1=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是已知x,x是方程2x2—7x+4=0的兩根，則x+x=,x?x=121212(x—X)2=12若關于X的方程(m2—2)x2—(m-2)x+1=0的兩個根互為倒數(shù)，則m=.二、能力訓練：1、不解方程，判別下列方程根的情況：(1)X2—x=5(2)9x2—6：J2+2=0(3)x2—x+2=o2、當m二時，方程X2+mx+4=0有兩個相等的實數(shù)根；當m二時，方程mx2+4x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根;3、已知關于x的方程10X2—(m+3)x+m-7=0，若有一個根為0，則m二，3這時方程的另一個根是；若兩根之和為一匚，則m二，這時方程的5兩個根為.4、已知3—寸2是方程X2+mx+7=0的一個根，求另一個根及m的值。5、求證：方程(m2+l)x2—2mx+(m2+4)=0沒有實數(shù)根。6、求作一個一兀二次方程使它的兩根分別是1—#5和1+\；5。7、設x,x是方程2x2+4x—3=0的兩根，利用根與系數(shù)關系求下列各式的值:12(1)(x+1)(x+1)12(1)(x+1)(x+1)12xx(2)t+1xx

123)x2+xx+2x11218、如果X2-2(m+l)x+m2+5是一個完全平方式，貝Um二;9、方程2x(mx-4)=X2-6沒有實數(shù)根，則最小的整數(shù)m二；10、已知方程2(x—1)(x—3m)=x(m—4)兩根的和與兩根的積相等，則m二11、設關于x的方程X2-6x+k=0的兩根是m和n,且3m+2n=20,則k值為12、設方程4x2—7x+3=0的兩根為x,x，不解方程，求下列各式的值：121(1)x2+x2(2)x—x(3)認x、:x(4)xx2+，x1212屮1”2122113、實數(shù)s、t分別滿足方程19s2+99s+1=0和且19+99t+t2=0求代數(shù)st+4s+1tst+4s+1t的值。14、已知a是實數(shù)，且方程X2+2ax+l=0有兩個不相等的實根，試判別方程X2+2ax+l(a2X2—a2—1)=0有無實根？15、求證：不論k為何實數(shù)，關于x的式子(x—1)(x—2)—k2都可以分解成兩個一次因式的積。16、實數(shù)K在什么范圍取值時，方程kx2+2(k-1)x-(k-1)二0有實數(shù)正根?訓練(一)1、不解方程，請判別下列方程根的情況；TOC\o"1-5"\h\z(1)212+31—4=0,;(2)16x2+9=24x,;(3)5(u2+l)—7u=0,;2、若方程X2—(2m—1)x+m2+1=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是;3、一元二次方程X2+px+q=0兩個根分別是2+叮3和2—，則p=,q=;4、已知方程3x2—19x+m=0的一個根是1,那么它的另一個根是,m=;5、若方程X2+mx—1=0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，那么m的值是;6、m,n是關于x的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式mn=。7、已知關于x的方程X2—(k+1)x+k+2=0的兩根的平方和等于6,求k的值；8、如果a和B是方程2x2+3x—1=0的兩個根，利用根與系數(shù)關系，求作一個一元二次方程，使它的兩個根分別等于元二次方程，使它的兩個根分別等于a+9、已知a,b,c是二角形的二邊長，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有兩個相等的實數(shù)根，求證：這個三角形是正三角形取什么實數(shù)時，二次三項式2x2—(4k+1)x+2k2—1可因式分解.

已知關于X的一元二次方程m2X2+2(3—m)x+l=O的兩實數(shù)根為a,B,若s=~a+存，求s的取值范圍。訓練(二)1、已知方程X2—3x+1=0的兩個根為a,B，則a+B二,aB二；2、如果關于x的方程x2—4x+m=0與x2—x—2m=0有一個根相同,則m的值3、已知方程3、已知方程2x2—3x+k=0的兩根之差為2土，則k=TOC\o"1-5"\h\z4、若方程X2+(a2—2)x—3二0的兩根是1和一3,貝Ua二;5、方程4x2—2(a-b)x—ab=0的根的判別式的值是;6、若關于x的方程X2+2(m—1)x+4m2=0有兩個實數(shù)根，且這兩個根互為倒數(shù)，那么m的值為；7、已知p<0,q<0，則一元二次方程X2+px+q=0的根的情況是_8、以方程X2—3x—1=0的兩個根的平方為根的一元二次方程是.9、設x,x是方程2x2—6x+3=0的兩個根，求下列各式的值：12(1)x2x+xx2121211(2)xx1210．m取什么值時，方程2x2－（4m+1）x+2m2－1=0（1）有兩個不相等的實數(shù)根，（2）有兩個相等的實數(shù)根，（3）沒有實數(shù)根11.設方程X2+px+q=0兩根之比為1:2，根的判別式A=1，求p,q的值。12.是否存在實數(shù)k，使關于x的方程9x2-（4k-7）x-6k2=0的兩個實根x,x12x3滿足訂，如果存在，試求出所有滿足條件的k的值，如果不存在，請說明x22理由。元二次方程根與系數(shù)關系專題訓練主編：閆老師1、如果方程ax2+bx+c=0(aH0)的兩根是x]、x2，那么x]+x2=,x]?x2=。2、已知x]、x2是方程2x2+3x—4二0的兩個根，那B么：xi+x2二；x[?x2二；—+—；xx12x2]+x22=;(x]+])(x2+l)=;Ix]—x2I—。TOC\o"1-5"\h\z3、以2和3為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為])是。4、如果關于x的一元二次方程x2+^2x+a=0的一個根是1—「2,那么另一個根是,a的值為。5、如果關于x的方程x2+6x+k=0的兩根差為2,那么k=。6、已知方程2x2+mx—4=0兩根的絕對值相等，則m二。7、一元二次方程px2+qx+r=0(pH0)的兩根為0和一1,貝Uq:p=。&已知方程x2—mx+2=0的兩根互為相反數(shù)，則m=。9、已知關于x的一元二次方程(a2—1)x2—(a+1)x+]=0兩根互為倒數(shù)，則a=。10、已知關于x的一元二次方程mx2—4x—6=0的兩根為x]和x2，且x]+x2=—2,則m=,(x]+x2)x1-x2二。11、已知方程3x2+x—1=0,要使方程兩根的平方和為13，那么常數(shù)項應改9為。12、已知一元二次方程的兩根之和為5,兩根之積為6,則這個方程為。13、若a、B為實數(shù)且|a+B—3|+(2—aB)2=0，則以a、B為根的一元二次方程為。(其中二次項系數(shù)為1)14、已知關于x的一元二次方程x2—2(m—1)x+m2=0。若方程的兩根互為倒數(shù)，則TOC\o"1-5"\h\zm二；若方程兩根之和與兩根積互為相反數(shù)，則m二。15、已知方程x2+4x—2m=0的一個根a比另一個根B小4,則a二；B二；m二。16、已知關于x的方程x2—3x+k=0的兩根立方和為0,則*=11317、已知關于x的方程x2—3mx+2(m—1)=0的兩根為x］、x2，且一+一=-—，則xx412m二。18、關于x的方程2x2—3x+m=0，當時，方程有兩個正數(shù)根；當m時，方程有一個正根，一個負根；當m時，方程有一個根為0。19、若方程x2—4x+m=0與x2—x—2m=0有一個根相同，則m二。20、求作一個方程，使它的兩根分別是方程x2+3x—2=0兩根的二倍，則所求的方程為。21、一元二次方程2x2—3x+1=0的兩根與x2—3x+2=0的兩根之間的關系是。22、已知方程5x2+mx—10=0的一根是一5，求方程的另一根及m的值。23、已知2+Y3是x2—4x+k=0的一根，求另一根和k的值。24、證明：如果有理系數(shù)方程x2+px+q=0有一個根是形如A+.B的無理數(shù)(A、B均為有理數(shù))，那么另一個根必是A—、：B。25、不解方程，判斷下列方程根的符號，如果兩根異號，試確定是正根還是負根的絕對值大？(1)x2-運X-5=0,(2)x2-2花+^3=026、已知xi和X2是方程2x2—3x—1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的值：33x1x2+x1x227、已知xi和x2是方程2x2—3x—l二0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的值：11+-x2x21228、已知xi和x2是方程2x2—3x—1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的值：(x21—x22)229、已知xi和x2是方程2x2—3x—1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的值：xi—x230、已知xi和x2是方程2x2—3x—1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的值：x2—2x131、已知xi和X2是方程2x2—3x—1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的值：x5i?x22+x2i?x5232、求一個一元二次方程，使它的兩個根是2+^6和2—。33、已知兩數(shù)的和等于6，這兩數(shù)的積是4，求這兩數(shù)。34、造一個方程，使它的根是方程3x2—7x+2=0的根；(i)大3；(2)2倍；(3)相反數(shù)；(4)倒數(shù)。35、方程x2+3x+m=0中的m是什么數(shù)值時，方程的兩個實數(shù)根滿足：(1)一個根比另一個根大2；(2)一個根是另一個根的3倍；(3)兩根差的平方是17。36、已知關于x的方程2x2—(m—1)x+m+1=0的兩根滿足關系式x]—x2=1,求m的值及兩個根。37、a、B是關于x的方程4x2—4mx+m2+4m=0的兩個實根，并且滿足9q—1)(卩—1)-1=Z，求m的值。10038、已知一元二次方程8x2—(2m+l)x+m—7=0,根據(jù)下列條件，分別求出m的值:兩根互為倒數(shù)；兩根互為相反數(shù)；有一根為零；有一根為1；兩根的平方和為丄。6439、已知方程x2+mx+4=0和x2—(m—2)x—16=0有一個相同的根，求m的值及這個相同的根。40、已知關于x的二次方程x2—2(a—2)x+a2—5=0有實數(shù)根，且兩根之積等于兩根之和的2倍，求a的值。41、已知方程x2+bx+c=0有兩個不相等的正實根，兩根之差等于3,兩根的平方和等于29，求b、c的值。42、設：3a2—6a—11=0,3b2—6b—11=0且aHb，求a4—b4的值。43、試確定使x2+(a—b)x+a二0的根同時為整數(shù)的整數(shù)a的值。44、已知一元二次方程(2k—3)x2+4kx+2k—5=0,且4k+1是腰長為7的等腰三角形的底邊長，求：當k取何整數(shù)時，方程有兩個整數(shù)根。45、已知：a、B是關于x的方程x2+(m—2)x+1=0的兩根，求(1+ma+a2)(1+mB+B2)的值。46、已知xi,x2是關于x的方程x2+px+q=0的兩根，xi+1、X2+1是關于x的方程x2+qx+p=0的兩根，求常數(shù)p、q的值。47、已矢口xi、x2是關于x的方程x2+m2x+n=0的兩個實數(shù)根；yl、y2是關于y的方程y2+5my+7=0的兩個實數(shù)根，且x]—y1=2,x2—y2=2，求m、n的值。48、關于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有兩個乘積為1的實根，x2+2(a+m)x+2a—m2+6m—4二0有大于0且小于2的根。求a的整數(shù)值。49、關于x的一元二次方程3x2—(4m2—1)x+m(m+2)=0的兩實根之和等于兩個實根的倒數(shù)和，求m的值。50、已知：a、B是關于x的二次方程：(m—2)x2+2(m—4)x+m—4=0的兩個不等實根。若m為正整數(shù)時，求此方程兩個實根的平方和的值；若a2+B2=6時，求m的值。51、已知關于x的方程mx2—nx+2=0兩根相等，方程x2—4mx+3n二0的一個根是另一個根的3倍。求證：方程x2—(k+n)x+(k—m)=0—定有實數(shù)根。52、關于x的方程X2-2mx+1n2=0,其中m、n分別是一個等腰三角形的腰長和底4邊長。求證：這個方程有兩個不相等的實根；若方程兩實根之差的絕對值是8，等腰三角形的面積是12，求這個三角形的周長。53、已知關于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有兩個實根xi和x2(xiHx2),在數(shù)軸上，表示x2的點在表示x1的點的右邊，且相距p+1,求p的值。54、已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為a、B,且兩個關于x的方程x2+(a+1)x+B2二0與x2+(B+1)x+a2二0有唯一的公共根，求a、b、c的關系式。55、如果關于x的實系數(shù)一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有兩個實數(shù)根a、B,那么(a—l)2+(B—l)2的最小值是多少？56、已知方程2x2—5mx+3n=0的兩根之比為2:3,方程x2—2nx+8m=0的兩根相等(mnHO)。求證：對任意實數(shù)k,方程mx2+(n+k—l)x+k+l=0恒有實數(shù)根。57、(1)方程x2—3x+m=0的一個根是弋2,貝V另一個根是。(2)若關于y的方程y2—my+n=0的兩個根中只有一個根為0,那么m,n應滿足。58、不解方程,求下列各方程的兩根之和與兩根之積x2+3x+1=0；59、不解方程,求下列各方程的兩根之和與兩根之積3x2－2x－1=0；60、不解方程,求下列各方程的兩根之和與兩根之積－2x2+3=0；61、不解方程,求下列各方程的兩根之和與兩根之積2x2+5x=0。62、已知關于x的方程2x2+5x=m的一個根是一2,求它的另一個根及m的值。63、已知關于x的方程3x2—l=tx的一個根是一2,求它的另一個根及t的值。64、設xi，X2是方程3x2—2x—2=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的值：(x1—4)(x2—4)；3443x1x2+x1x2；(3)x(3)x+I1込人1)x——23x丿133(4)x13+x23。65、設xi，X2是方程2x2—4x+1=0的兩個根，求丨x]—x2丨的值。66、已知方程x2+mx+12=0的兩實根是xi和x2，方程x2—mx+n=0的兩實根是xi+7和X2+7,求m和n的值。67、以2，－3為根的一元二次方程是()A.x2+x+6=0B.x2+x－6=0C.x2－x+6=0D.x2－x－6=068、以3，－1為根，且二次項系數(shù)為3的一元二次方程是()A.3x2－2x+3=0B.3x2+2x－3=0C.3x2－6x－9=0D.3x2+6x－9=069、兩個實數(shù)根的和為2的一元二次方程可能是()A.x2+2x－3=0B.x2－2x+3=0C.x2+2x+3=0D.x2－2x－3=0TOC\o"1-5"\h\z70、以一3,—2為根的一元二次方程為,以卞3—1,v3+1為根的一元二次方程為,22以5,—5為根的一元二次方程為,以4,-為根的一元二次方程為。471、已知兩數(shù)之和為—7，兩數(shù)之積為12，求這兩個數(shù)。72、已知方程2x2—3x—3=0的兩個根分別為a,b,利用根與系數(shù)的關系，求一個一元二次方程，使它的兩個根分別是：(1)a+1.b+12b2a(2丿一ab773、一個直角三角形的兩條直角邊長的和為6cm，面積為2cm2，求這個直角三角形斜邊的長。74、在解方程x2+px+q=0時，小張看錯了p,解得方程的根為1與一3；小王看錯了q,解得方程的根為4與一2。這個方程的根應該是什么？75、關于x的方程X2—ax—3=0有一個根是1,則8=，另一個根是。76、若分式的值為0,貝收的值為x+1()A.—1B.3C.—1或3D.—3或177、若關于y的一元二次方程y2+my+n=0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，則()A.m=0且n±0B.n=0且m±0C.m=0且nW0D.n=0且mW078、已知x1，X2是方程2x2+3x—1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的值：(2x1—3)(2x2—3)；33x1x2+x1x2。79、已知a2=1—a，b2=1—b，且aHb，求(a—1)(b—1)的值。

80、如果x=1是方程2x2—3mx+l=0的一個根，則m=，另一個根TOC\o"1-5"\h\z為。lll81、已知m2+m—4=0,+—-4=0,m,n為實數(shù)，且m豐一，則n