逼近擬合中的基本概念

會計學(xué)1逼近擬合中的基本概念控制誤差的度量標(biāo)準(zhǔn)第1頁/共29頁幾個概念第2頁/共29頁常用范數(shù)第3頁/共29頁第4頁/共29頁其它概念內(nèi)積的概念第5頁/共29頁有關(guān)定理(證明見P66)稱為格拉姆(Gram)矩陣，則G非奇異的充分必要條件是u1,…,un線性無關(guān)第6頁/共29頁權(quán)函數(shù)的概念第7頁/共29頁定義設(shè)稱

為函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的內(nèi)積.其中為區(qū)間[a,b]上的權(quán)函數(shù),且滿足下面兩個條件:函數(shù)內(nèi)積的定義容易驗證,上述定義的函數(shù)內(nèi)積滿足一般內(nèi)積概念中四條基本性質(zhì).第8頁/共29頁函數(shù)的歐幾里得范數(shù)定義設(shè)稱為函數(shù)f(x)的歐幾里得范數(shù),或2范數(shù).第9頁/共29頁數(shù)據(jù)擬合第10頁/共29頁函數(shù)逼近第11頁/共29頁最佳一致逼近第12頁/共29頁最佳平方逼近第13頁/共29頁超定方程組的最小二乘解第14頁/共29頁第15頁/共29頁第16頁/共29頁仍然是已知x1…xm

;y1…ym,求一個簡單易算的近似函數(shù)P(x)

f(x)。但是①

m

很大；②

yi本身是測量值，不準(zhǔn)確，即yi

f(xi)這時沒必要取P(xi)=yi,而要使P(xi)yi總體上盡可能小。常見做法：

使最小/minimaxproblem/

太復(fù)雜使最小不可導(dǎo)，求解困難使最小/Least-Squaresmethod/多項式擬合第17頁/共29頁最小二乘擬合多項式

/L-Sapproximatingpolynomials/第18頁/共29頁第19頁/共29頁對應(yīng)法方程（或正規(guī)方程組/normalequations/）為：回歸系數(shù)/regressioncoefficients/第20頁/共29頁定理5.證明：記法方程組為Ba=c.則有其中對任意，必有。若不然，則存在一個使得…即是n

階多項式的根則B為正定陣，則非奇異，所以法方程組存在唯一解。第21頁/共29頁廣義多項式擬合定義

線性無關(guān)/linearlyindependent/函數(shù)族{0(x),1(x),…,n(x),…}滿足條件：其中任意函數(shù)的線性組合

a00(x)+a11(x)+…+ann(x)=0對任意x[a,b]成立當(dāng)且僅當(dāng)a0=a1=…=an=0。定義考慮一般的線性無關(guān)函數(shù)族={0(x),1(x),…,n(x),…}，其有限項的線性組合稱為廣義多項式

/generalizedpolynomial/.第22頁/共29頁常見廣義多項式：

{j(x)=xj}對應(yīng)代數(shù)多項式/algebraicpolynomial/

{j(x)=cosjx}、{j(x)=sinjx}{j(x),j(x)

}對應(yīng)三角多項式/trigonometricpolynomial/

{j(x)=

,ki

kj

}對應(yīng)指數(shù)多項式/exponentialpolynomial/第23頁/共29頁定義廣義L-S擬合：①

離散型/*discretetype*/在點集{x1…xm}

上測得{y1…ym}，在一組權(quán)系數(shù){w1…wm}下求廣義多項式P(x)

使得誤差函數(shù)最小。

=-=niiiiyxPw12])([②

連續(xù)型

/*continuoustype*/已知y(x)

C[a,b]以及權(quán)函數(shù)(x)，求廣義多項式P(x)

使得誤差函數(shù)

=最小。dxxyxPxba2)]()([)(-r內(nèi)積與范數(shù)離散型連續(xù)型則易證(f,g)

是內(nèi)積，而是范數(shù)。(f,g)=0表示f

與g

帶權(quán)正交。廣義L-S問題可敘述為：求廣義多項式P(x)使得最小。第24頁/共29頁nkyaknjjjk,...,0,),(),(0===jjj設(shè)則完全類似地有：)(...)()()(1100xaxaxaxPnnjjj+++=法方程組

/*normalequations*/即：),(),(),(00yyaabnnjiijjjjj===c第25頁/共29頁例：用來擬合，w1解：0(x)=1，1(x)=x，2(x)=x2第26頁/共29頁例：連續(xù)型擬合中，取則Hilbert陣！改進(jìn)：若能取函數(shù)族={0(x),1(x),…,n(x),…}，使得任意一對i(x)和j(x)兩兩（帶權(quán)）正交，則B就化為對角陣！這時直接可算出ak=

正交多項式的構(gòu)造：將正交函數(shù)族中的k取為k

階多項式，為簡單起見，可取k的首項系數(shù)為1

。有遞推關(guān)系式：其中第27頁/共29頁例：用來擬合，w1解：通過正交多項式0(x),1(x),2(x)求解設(shè))()()(221100xaxaxayjjj++=1)(0=xj229),(),(0000==jjjya25),(),(00001==jjjjax25)()()(011-=-=xxxxjaj537),(),(1111==jjjya25),(),(11112==jjjj