公共基礎(chǔ)-2011-精講10第20講義

【例l-4-9】冪級 的收斂域知級數(shù)收斂半徑Rlx＝1

1x1(1)n1（A）1,l（A）1,l（B）l,1（C）l,l（D）l,1n1

收斂，故應(yīng)選（D（A）條件收（B）絕對收（C）發(fā)（D）收斂性不能確【解】由a(x1)n的結(jié)構(gòu)知其收斂區(qū)間的中心為x1，已知x1此級數(shù)的一個nn斂點(diǎn)，設(shè)其收斂半徑為R，則R(112，而x2與收斂區(qū)間中心x＝1距離為11R，由冪級數(shù)的收斂性（定理）知，此級數(shù)在x=2處絕對收斂，故應(yīng)選（B1411利用逐項(xiàng)求導(dǎo)法求級的和函數(shù)冪級數(shù)

xn的和函數(shù)是1(1x11利用逐項(xiàng)求導(dǎo)公式，l412】將函數(shù)1展開成（x3）的冪級數(shù)x而因1413】展開成x冪級數(shù)［解］先將有理分式分解成部分分式之和三、級（一 級數(shù)概．系數(shù)和級f（x）是周期為2π周期函數(shù)，則下面公式中出現(xiàn)的積都存在，則系數(shù)a0，a1,,bl…叫做函數(shù)f（x）的系數(shù)，級叫做函數(shù)f（x）的級數(shù)．雷收斂定f（x）是周期2π的周期函數(shù)，如果它滿足條件（1）在一個周期內(nèi)連續(xù)，或只有有限個第一類間斷點(diǎn)（2在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點(diǎn)則f（x的級數(shù)收斂且當(dāng)x是f（x的連續(xù)點(diǎn)時，級數(shù)收斂f（x）；當(dāng)xf（x）的間斷點(diǎn)時，級數(shù)收斂于1f(xf(x2（二）正弦級數(shù)和余弦級．正弦級若f（x）是周期為2π的奇函數(shù)，則它的系數(shù)它的級數(shù)是只含有正弦項(xiàng)的正弦級．余弦級若f（x）是周期為2π的偶函數(shù)，則它的系數(shù)它 級數(shù)是只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)的余弦級（三）周期為2l的周期函數(shù)的級設(shè)f（x）是周期為2l的周期函數(shù)，則它的系數(shù)而它的級數(shù)（四）例1414f（x）是周期為2π的周期函數(shù)，它在[-π，π，上的表達(dá)為問f（x）的級數(shù)在x＝-π處收斂于何值【解】所給函數(shù)滿 雷收斂定理的條件，x＝-π是函數(shù)的間斷點(diǎn)，按收斂定理它的葉級數(shù)在x＝-π處收斂1415】函展開成級數(shù)函數(shù)f(x2x2在[,外作周期延拓，注意到f（x）是偶函數(shù)，由于f區(qū)間[-π，π]滿足收斂定理的條件，在π，π]上連續(xù)，且f（π）=f（π，第五 微分方一、基本概（一）微分方表示未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、自變量之間的關(guān)系的方程，稱為微分方程。微分方程中所出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階。（二）微分方程的解、通那么函數(shù)y(x就稱為微分方程（15l）在區(qū)間I的解如果二元代數(shù)方程(x,y)0所確定的隱函數(shù)是某微分方程的解，那么(x,y)0稱為該微分方含有n個獨(dú)立的任意常數(shù)的微分方程的解，稱為n階微分方程的通解（三）初始條件與特0能用來確定通解中的任意常數(shù)的條件稱為初始條件。通常一階微分方程的初始條件為y|xxy00二階微分方程的初始條件為y|xxy0y|xxy0 通解中的任意常數(shù)全都確定后，就得到一個確定的解，稱為微分方程的特解（四）例 1-5-l】驗(yàn)證函數(shù)yCexCe2x是微分方程yy2y0的通 代入方程所給方程是二階的，所給函數(shù)中恰好含Cl、C2兩個任意常數(shù)，且e2xexe3x常數(shù)，一階微分方稱為可分離變量的方程。把式中ydy入方程的一端，xdx入另一端，成這一步驟稱為分離變量。分離變量后，兩端可分別積g（yf（x）的原函數(shù)依次為G（y）與F（x，即得方程（1-52）的通15-2xOy面上一條曲線通過點(diǎn)（2,3