高斯光束的傳輸變換

2.7高斯光束的傳輸本節(jié)利用高斯光束的復(fù)參數(shù)表示法和ABCD定律簡(jiǎn)潔地處理基模高斯光束在自由空間和通過(guò)近軸光學(xué)元件的傳輸變換。2.7.1光線傳輸矩陣光線傳輸矩陣法就是以幾何光學(xué)為基礎(chǔ)，用矩陣的形式表示光線的傳輸和變換的方法。該方法主要用于描述幾何光線通過(guò)近軸光學(xué)元件和波導(dǎo)的傳輸，也可用來(lái)處理激光束的傳輸。任一旁軸光線在某一給定參考面內(nèi)都可以由兩個(gè)坐標(biāo)參數(shù)來(lái)表征，光線離軸線的距離r及光線與軸線的夾角e。將這兩個(gè)參數(shù)構(gòu)成一個(gè)列陣，各種光學(xué)元件或光學(xué)系統(tǒng)對(duì)光線的變換作用可用一個(gè)二行二列的方陣來(lái)表示，變換后的光線參數(shù)可寫(xiě)成方陣與列陣乘積的形式。近軸光線通過(guò)距離L均勻空間的變換我們分析近軸光線在均勻空間通過(guò)距離L的傳輸，如圖2-22所示，假定光線從入射參考面P]出發(fā)，其初始坐標(biāo)參數(shù)為片和傳輸?shù)絽⒖济鍼2時(shí)，光束參數(shù)變?yōu)閞2和02，由幾何光學(xué)的直進(jìn)原理可知222圖2-22圖2-22近軸光線通過(guò)長(zhǎng)度L均勻空間的傳輸b2(2.7.1)(2.7.2)b2(2.7.1)(2.7.2)r二r+0L2110=021這個(gè)方程組可表示成下述矩陣形式LYr10、1即可用一個(gè)二階方陣來(lái)描述光線在均勻空間中傳輸距離L時(shí)所引起的坐標(biāo)變換(2.7.3)近軸光線通過(guò)薄透鏡的變換如圖2-23所示，近軸光線通過(guò)一個(gè)焦距為f的薄透鏡。設(shè)透鏡的兩個(gè)主平面（此處為兩參考面卩卡口P2）間距可忽略，入射透鏡前光束參數(shù)為和e],出射后變?yōu)閞2和e2，由透鏡成像公式，可寫(xiě)成如下關(guān)系式 22

表示成下述矩陣形式(r)29丿'2y表示成下述矩陣形式(r)29丿'2y圖2-23光線通過(guò)薄透鏡的變換(2.7.4)I—1仃0r)1丿〔9］丿(2.7.5)則薄透鏡的傳輸矩陣為(2.7.6)這里設(shè)會(huì)聚透鏡f〉0,發(fā)散透鏡f〈0。近軸光線經(jīng)過(guò)不同折射率的界面如圖2-24所示，近軸光線經(jīng)過(guò)一個(gè)界面發(fā)生折射。設(shè)光線由折射率片的介質(zhì)射入折射率為氣的介質(zhì)，入射界面前光束參數(shù)為r1和91，出射后變?yōu)榇蚝?2，由折射定律，可寫(xiě)成如下關(guān)系式圖2-24圖2-24光線通過(guò)界面的變換(2.7.7)在界面發(fā)生折射的傳輸矩陣為(2.7.8)

表3-1為一些光學(xué)元件的傳輸矩陣。其中曲率半徑為R的凹面鏡與焦距f=R/2的薄透鏡對(duì)近軸光線的傳輸矩陣是相同的，兩者是等效的。表3-1一些光學(xué)元件的傳輸矩陣距離為L(zhǎng)的均勻介質(zhì)11陀 1 H . fl11 I,,+,,-1 -——L *i/1LH1丿折射率n,長(zhǎng)度L的均勻介質(zhì) 1 ■‘1l/n\01丿折射率突變的平面(10、0n/n丿12折射率突變的球面/\'1 0n-n .t 1n/nRn 1、22丿焦距f的薄透鏡/1 0、-1/f1丿曲率半徑R的球面反射鏡1 0、-2/R1丿平面反射鏡'10、\01丿直角全發(fā)射棱鏡 ? '-1 -2d/n\0-1丿當(dāng)光線通過(guò)由n個(gè)光學(xué)元件組合而成的復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)，依光線通過(guò)順序，各元件的傳輸(2.7.9)矩陣分別為，M],M2,…,Mn，入射系統(tǒng)前光束參數(shù)為片和J,出射后變?yōu)閞n和9n，則有(2.7.9)(r](r)n=MMM10n210\n丿\1丿由n個(gè)光學(xué)元件組合而成的復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的傳輸矩陣為

(AB)(AB)二MICD丿MM212.7.10)2.7.2高斯光束的基本性質(zhì)和q參數(shù)由(2.3.16),(2.3.33)和(2.3.19)式，沿z向傳輸?shù)幕８咚构馐杀硎疽韵嗤男问経oo(X，y，Z)=cw(z)r2 r2ew^(z)el[Uoo(X，y，Z)=cw(z)r2 r2ew^(z)el[k(z+2r(z))+①]2.7.11)其中C為常數(shù)因子，r2二x2+y2，其他參量分別表示為w(z)=w0I kz1+(亠)2' 兀w210=W：1+(—)2

叫z02.7.12)兀W2 zR(z)=z[1+( -)2]=z[1+(—)2]kz z2.7.13)2.7.14)式中z0成為高斯光束的瑞利長(zhǎng)度或共焦參數(shù),w(z),R(z丿分別為z處光斑半徑和等相位面的曲率半徑。若已知高斯光束腰斑大小w(或共焦參數(shù)z°)及其位置,可由式(2.7.12)和(2.7.13)確定與束腰相距Z處的光斑半徑w(z)和等相位面曲率半徑R(z)，從而可以確定整個(gè)高斯光束的結(jié)構(gòu)，并由式(2.7.11)得到空間任意一點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)。同樣，若已知軸上z處w(z)和R(z)，則可以確定高斯光束腰斑大小和位置，從而確定整個(gè)高斯光束。另外，還可引用高斯光束的復(fù)曲率半徑-q參數(shù)來(lái)描述高斯光束。將(2.7.11)式中與r有關(guān)的因子放在一起U00(x,y,z)=r2 1 kC-lk[ -l]e 2R(z)兀w2(z)e-i(kz+①)w(z)2.7.15)定義一個(gè)新的復(fù)參數(shù)q(z)1 1k= —l—q(z) R(z)兀w2(z)2.7.16)則式(2.7.11)可寫(xiě)為U00(x,y,z)=cw(z)2i-lke2q(z)e—l(kz+①)2.7.17)參數(shù)q(z)稱為高斯光束的復(fù)曲率半徑，它將描述高斯光束基本特征的兩個(gè)參數(shù)w(z)和R(z)統(tǒng)一在一個(gè)表達(dá)式中，是表征高斯光束的又一個(gè)重要參數(shù)。已知坐標(biāo)z處的q(z)可很方便的求出該處的w(z)和R(z)，從而確定整個(gè)高斯光束的結(jié)構(gòu)。若以q0=q(0)表示腰斑z=0處的q參數(shù)值，此位置R(0)―巴w(O)=w0，由式(2.7.16)

(2.7.18)上述介紹的三組參數(shù)都可以用來(lái)表征高斯光束,但利用q參數(shù)研究高斯光束的傳輸變換更為簡(jiǎn)便。2.7.3高斯光束的傳輸變換某光學(xué)系統(tǒng)對(duì)傍軸光線的變換矩陣為，某高斯光束入射該光學(xué)系統(tǒng)前的某光學(xué)系統(tǒng)對(duì)傍軸光線的變換矩陣為，某高斯光束入射該光學(xué)系統(tǒng)前的q參數(shù)值為幻，出射高斯光束的q參數(shù)值為q2，則有(2.7.19)Aq+B(2.7.19)q=12Cq+D1成為高斯光束傳輸變換的ABCD定律?，F(xiàn)通過(guò)兩個(gè)簡(jiǎn)單例子說(shuō)明其有效性。1.高斯光束在自由空間的傳輸高斯光束在自由空間傳輸時(shí)，其w（z）和R（z）服從（2.7.12）和（2.7.13）式，將其代入q參數(shù)定義式（2.7.16），可推導(dǎo)出(2.7.20)兀w2(2.7.20)q(z)=i s+z=q+z九 o其中q0為z=0點(diǎn)的復(fù)曲率半徑，設(shè)光束由Z］處傳輸?shù)絑2,Z］和Z2出的q參數(shù)分別為q1和q2,則有 '212q二q(z)二q+z2202q二q(z)二q+z1101(2.7.21)q=q+（z-z）=q+L(2.7.21)21211I和z2之間的距離。該式與將自由空間光線變換矩陣代入（2.7.19）式所得的結(jié)果相同。2.高斯光束經(jīng)過(guò)薄透鏡的變換如圖2-25,一高斯光束經(jīng)過(guò)一薄透鏡變換后變成另一高斯光束，設(shè)入射光束到達(dá)透鏡前表面時(shí)等位面M1的曲率半徑為R］，光斑半徑為w＜，出射高斯光束離開(kāi)透鏡后表面的等位面圖2-25圖2-25高斯光束經(jīng)過(guò)薄透鏡的變換(2.7.22)同時(shí)規(guī)定沿光傳輸方向的發(fā)散球面波曲率半徑R為正，匯聚球面波R為負(fù)，由透鏡成像公式，我們有1 1 1 — — R R F121 1 1 — — R R F12其中F為透鏡焦距。由(2.7.22)式變換可得(1 ?九)(1 ?九)1( —i)—( —i)二\o"CurrentDocument"R 兀w2 R 兀w2 F1122即\o"CurrentDocument"1 1 1 — — q q F12(2.7.23)(2.7.24)(2.7.25)將薄透鏡的變換矩陣代入（2.7.19）式所得的結(jié)果與（2.7.25）式相同利用q參數(shù)分析高斯光束傳輸，形式簡(jiǎn)潔，對(duì)于復(fù)雜的光學(xué)系統(tǒng)，也可很方便地求出各處的q參數(shù)，從而求出該光束的參數(shù)特征。2.7.4高斯光束的聚焦在實(shí)際應(yīng)用中，如激光打孔、激光切割和焊接中需要將激光束進(jìn)行聚焦，聚焦一般采用透鏡或凹面鏡，從這兩者的變換矩陣可以看出，它們的效果是一致的，這一節(jié)主要討論高斯光束通過(guò)薄透鏡的聚焦。一個(gè)理想的透鏡并不改變高斯光束橫向場(chǎng)分布，即高斯模經(jīng)過(guò)透鏡后仍將保持為相同階次的模，但透鏡將改變光束參數(shù)w（z丿和R（z）。如圖2.26所示，設(shè)束腰半徑為w0的高斯光束入射到焦距為F的薄透鏡，束腰與透鏡的距離為1,經(jīng)由透鏡出射的高斯光束束腰半徑變?yōu)閣,，其束腰與透鏡的距離變?yōu)閘。同時(shí)假設(shè)入射光束和出射光束束腰處的q參數(shù)分別為q0和q0'。圖2-26圖2-26高斯光束的聚焦由前面介紹，光線從入射光束束腰處傳輸?shù)匠錾涔馐幍膫鬏斁仃嘢B、'11'、'1 0、'11、‘1-1'/F 1+1'—11'/F、<01丿廠1/F1,<0 1>、—1/F 1—1/F丿(2.7.26)兀W2將其代入高斯光束傳輸變換公式（2.7.19）,并利用q0=p=iZ01，可求得

l ll' Z2l' ll'1 ll'[[(1一一)(l+l'--)一F(1—-)]-iZ[(l+l'--)-+(1--)(1--)]1_f ffF01 FFFFq0' (l+1'--)2+Z2(1-1-)2F°】F1 .九= —i-R' Kw'200(2.7.27)利用Ro'=^,可得到l'二F+ l'二F+ □F2(l一F)2+(2.7.28)2(2.7.29)將(2.7.29)(2.7.28)式和(將(2.7.29)(2.7.28)式和(2.7.29)式揭示了物方和像方高斯光束之間的關(guān)系。下面我們對(duì)透鏡的聚焦特性進(jìn)行討論。1.F一定時(shí)，圖2-27F一定時(shí),式對(duì)l求一階偏導(dǎo)W0‘隨l的變化關(guān)系wFwF(F-1)0dl [Z2+(l一F)2]3/201dw'—二(2.7.30)當(dāng)l<F時(shí),當(dāng)l<F時(shí),dw'/dl>0,0w0‘隨l減小而單調(diào)減小，當(dāng)1=0時(shí)，Wo'取得最小值。；；1+；；1+(Kw2/XF)2 貞+(盒/F)2此時(shí)不論F為多大，只要F〉0,總有w,>wo，總有一定的會(huì)聚效果。>w0，(2.7.31)當(dāng)l>F時(shí)，Qw,/dl<0,w0‘隨l增大而減小，當(dāng)l-g時(shí)，由(2.7.28)和(2.7.29)式，有w0/—0,l'^F一般情況下w0/—0,l'^F一般情況下,l?F時(shí)有. 九Fw'沁 — ，/'uF0w兀J1+(1//Kw2)2^w(l)00式中w(l丿為入射在透鏡表面上高斯光束光斑半徑。若同時(shí)滿足l>>Z01時(shí)，有'Fw—0/0當(dāng)入射高斯光束腰斑離透鏡距離較大時(shí)，/越大，F(xiàn)越小，聚焦效果越好當(dāng)l=F時(shí)，這時(shí)w,取得最大值w'-乞，/'—F0兀w(2.7.32)(2.7.33)(2.7.34)0只有當(dāng)F〈Z01時(shí)，才有聚焦效果。2./圖2-28l一定時(shí)W,隨F的變化關(guān)系將(2.7.29)式對(duì)F求一階偏導(dǎo)，dw'4dw'4二w

dF '當(dāng)F=R(l)時(shí)，w0Z2+/(/-F)0[Z2+(/—F)2]3/21取得最大值(2.7.35)[1+(l/[1+(l/Z)2]1/2二w(l)001(2.7.36)0 I式中的R(l)和w(l)分別是入射高斯光束在透鏡處等相位面的曲率半徑和光斑半徑。當(dāng)FvR(l)時(shí)，w,隨F減小而單調(diào)減小。當(dāng)F=R(l)/2時(shí)，w,=w0，只有當(dāng)FvR(l)/2時(shí)，透鏡才有聚焦效果，F(xiàn)越小，聚焦效果越好。當(dāng)Fvvl時(shí)，(2.7.37)w'上兀w(l)(2.7.37)當(dāng)F>R(1)時(shí)，w0‘隨F增加而單調(diào)減小，在此范圍無(wú)聚焦作用。2.7.5高斯光束的匹配某些應(yīng)用場(chǎng)合，需要將激光諧振腔產(chǎn)生的高斯光束注入到另外一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)(諧振腔、光波導(dǎo)和干涉儀等)，將涉及到高斯光束的匹配問(wèn)題。這些光學(xué)系統(tǒng)都有自己的本征模，在模式匹配的情況下，激光諧振腔產(chǎn)生的單模高斯光束只會(huì)激發(fā)起該光學(xué)系統(tǒng)一個(gè)相對(duì)應(yīng)的單

模，而不激起系統(tǒng)的其它模式。這時(shí)激光器輸出的基模能量將完全轉(zhuǎn)化為該光學(xué)系統(tǒng)中基模的能量。如果不匹配，將激起系統(tǒng)中多種模場(chǎng)的能量，降低了耦合系數(shù)，增加了損耗。如圖2-29，兩個(gè)諧振腔個(gè)產(chǎn)生一高斯光束，光束I和II的束腰半徑分別為w0和w0‘，在其間適當(dāng)位置插入一個(gè)適當(dāng)焦距的透鏡后，光束I和II互為共軛光束，則該透鏡實(shí)現(xiàn)兩個(gè)腔的高斯模匹配。現(xiàn)需要確定兩高斯光束束腰與透鏡的距離l和1'及透鏡焦距F的關(guān)系(1-/'/F 1+1'-11'/F、-1/F1(1-/'/F 1+1'-11'/F、-1/F1-1/F丿(2.7.38)光束I和II的束腰的q參數(shù)q1和q2分別為(2.7.39).兀w'2q=i 0—=iZ”2九02(2.7.40)將(2.7.38)(2.7.39)(2.7.40)代入高斯光束傳輸變換公式(2.7.19)，計(jì)算可得wI \o"CurrentDocument"1-F=±iJF2-Z2w'耳 o2 0 (2.7.41)w1 1'-F=±fiIF2-Z2w、 0i 0其中Z0稱為匹配特征長(zhǎng)度。Z=ZZ00102(2.7.42)當(dāng)w0和w0'給定時(shí)，（2.7.41）式中包含三個(gè)未知量1，1'及F，其中一個(gè)可任意選擇。如給定一個(gè)F,只要F>Z0，可以計(jì)算出一組，1和1'及透鏡焦距F，從而可以確定兩個(gè)腔的相對(duì)位置及其各自與透鏡的距離。如果給定兩個(gè)腔的相對(duì)位置，即兩個(gè)束腰之間的距離(2.7.43)這時(shí)，F(xiàn)不能任意選擇，須由（2.7.41）和（2.7.43）可解出唯——組1，1'及F。2.7.6高斯光束的準(zhǔn)直許多應(yīng)用場(chǎng)合，需要改善光束的方向性，即壓縮光束的發(fā)散角，通常稱為光束的準(zhǔn)直問(wèn)題。我們討論薄透鏡對(duì)高斯光束發(fā)散角的影響，隨后討論望遠(yuǎn)鏡準(zhǔn)直系統(tǒng)。由（2.3.37）式，腰斑半徑w0的基模高斯光束遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角與束腰半徑成反比。m 2九26二 （2.7.44）兀w0可見(jiàn)，為了壓縮高斯光束的發(fā)散角，應(yīng)該使高斯光束束腰半徑擴(kuò)大，與聚焦情況相反。束腰半徑為w0的高斯光束入射到焦距為F的薄透鏡，由（2.7.34）式，當(dāng)l=F時(shí)，出射光束的束腰半徑w,取得最大值,九Fw'二 （2.7.45）o兀w0此時(shí)，相應(yīng)發(fā)散角為2九小w26二 二2— （2.7.46）兀w' F0對(duì)于焦距一定的薄透鏡，當(dāng)l=F時(shí)，w,取得最大值，廠達(dá)到最小值。這種情況下，透鏡焦距F越長(zhǎng)，9’越小。另外，由<2.7.）式可見(jiàn)，出射高斯光束的發(fā)散角不僅與薄透鏡的焦距有關(guān)，還與入射高斯光束的束腰半徑w0有關(guān)，w0越小，準(zhǔn)直效果越好。由此我們得到一個(gè)啟發(fā)，先用一個(gè)短焦距透鏡將高斯光束強(qiáng)聚焦，以獲得很小的束腰半徑，然后再用一個(gè)長(zhǎng)焦距透鏡來(lái)改善其方向性，如圖2-30所示，這就是望遠(yuǎn)鏡準(zhǔn)直系統(tǒng)。當(dāng)1>>F］當(dāng)1>>F］時(shí)得到一個(gè)極小束腰半徑的光束，有(2.7.47)w'亠(2.7.47)0兀w(l)式中w（l丿為入射在透鏡L1表面上高斯光束光斑半徑。聚焦光斑正好在L1焦面上，也在長(zhǎng)焦距透鏡L2（焦距F2）的后焦面上，則由（2.7.34）式，出射光束的束腰半徑為

〃九Fw=芬 (2.7.48)0兀w'0若以29,29z和2e〃分別表示入射高斯光束、經(jīng)L］聚焦后的高斯光束和經(jīng)L2準(zhǔn)直后的光束的發(fā)散角，則該望遠(yuǎn)鏡準(zhǔn)直系統(tǒng)對(duì)高斯光束的準(zhǔn)直倍率為”0 Fw(l) “ /&、M'= =M.1+( )2 (2.7.49)0"Fw\ 兀w2100其中M=FF,，為望遠(yuǎn)鏡的放大倍率，即幾何壓