2023屆河南省新未來聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆河南省新未來聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用交集的定義求解即可【詳解】.故選:.2．設(shè)，其中為實(shí)數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得答案.【詳解】，解得.故選：D.3．2022年5月，居民消費(fèi)價格走勢為113.52點(diǎn)，同比增長率為2.01%，增速高于平均值1.105%，增速樂觀．下表統(tǒng)計了近6年的消費(fèi)價格走勢，令2015年12月時，；2016年6月時，，依次類推，得到x與居民消費(fèi)價格y（點(diǎn)）的線性回歸方程為．由此可估計，2022年6月份的消費(fèi)價格約為（

）A．113.5點(diǎn) B．113.8點(diǎn) C．117.3點(diǎn) D．119.1點(diǎn)【答案】B【分析】由題意及圖表，可得，代入線性回歸方程可得答案.【詳解】由題意及圖表，可得當(dāng)2021年12月時，，故當(dāng)2022年6月時，.把代入，得．故選：B．4．設(shè)向量的夾角的余弦值為，且，則（

）A．3 B．4 C． D．6【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積公式計算可得答案.【詳解】由題意可得.故選：C.5．函數(shù)在區(qū)間上的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，判其奇偶性，利用取特殊點(diǎn)，可得答案.【詳解】解：由，可知其定義域?yàn)?，且，則函數(shù)是偶函數(shù)，排除選項(xiàng)C．又，，排除選項(xiàng)B，D．故選：A．6．若曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)切點(diǎn)處的切線方程的求解方法求出切線方程，并求出橫縱截距即可求解.【詳解】∵，∴，∴．∵，∴切線方程為，可化為．令，得；令，得．∴，解得．故選:B．7．已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】將遞推式兩邊同時倒下，然后構(gòu)造等差數(shù)列求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】解：∵，∴，∴．∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，∴，∴．∴，∴數(shù)列的前10項(xiàng)和．故選:C．8．如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（

）A． B． C． D．12【答案】D【分析】多面體的直觀圖可以看成由長方體去掉兩個體積相等的三棱柱，求出對應(yīng)體積即可【詳解】由三視圖還原該幾何體，得幾何體如圖所示，則該幾何體的體積為．故選：D．9．已知橢圓，直線與橢圓相切，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】聯(lián)立直線與橢圓的方程得到一元二次方程，令，即可解得，進(jìn)而得到橢圓的離心率.【詳解】聯(lián)立直線與橢圓的方程可得，.所以，，解得.所以，則，，所以.故選：B.10．在正方體中，已知，點(diǎn)O在棱上，且，則正方體表面上到點(diǎn)O距離為5的點(diǎn)的軌跡的總長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意找到平面平面都有軌跡，都為個圓周即可求解.【詳解】依題意，∵，，，∴，，所以,所以，又因?yàn)?，所以，所?即．在平面內(nèi)滿足條件的點(diǎn)的軌跡為，該軌跡是以5為半徑的個圓周，所以長度為；同理，在平面內(nèi)滿足條件的點(diǎn)軌跡長度為；在平面內(nèi)滿足條件的點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓弧，長度為；同理，在平面ABCD內(nèi)滿足條件的點(diǎn)的軌跡為以A為圓心，AE為半徑的圓弧，長度為．故軌跡的總長度為．故選:C．11．已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有1個零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角恒等變換化簡，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意得當(dāng)時，，因?yàn)樵趦?nèi)有且僅有1個零點(diǎn)，所以，解得，故選：D12．柏拉圖多面體并不是由柏拉圖所發(fā)明，但卻是由柏拉圖及其追隨者對它們所作的研究而得名，由于它們具有高度的對稱性及次序感，因而通常被稱為正多面體.柏拉圖視“四古典元素”中的火元素為正四而體，空氣為正八面體，水為正二十面體，土為正六面體.如圖，在一個棱長為的正八面體（正八面體是每個面都是正三角形的八面體）內(nèi)有一個內(nèi)切圓柱（圓柱的底面與構(gòu)成正八面體的兩個正四棱錐的底面平行），則這個圓柱的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，，然后利用勾股定理得到，在中根據(jù)相似列方程，整理得，然后根據(jù)圓柱的體積公式求體積，最后求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性求最值即可.【詳解】解：如圖，設(shè)正八面體上頂點(diǎn)為A，圓柱上底面圓心為B，正四棱錐底面中心為C,取四棱錐底面邊中點(diǎn)為D，AD交圓柱上底面于E.設(shè)該圓柱的底面半徑為，高，由題可知，，，則．又，∴，，∴圓柱的體積，，可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，．故選:.二、填空題13．若滿足約束條件則的最大值是__________.【答案】2【分析】作出可行域利用幾何意義可得答案.【詳解】作出可行域如圖所示，則由圖可知，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，取最大值，由解得，所以，所以的最大值為.故答案為：2.14．設(shè)點(diǎn)在直線上，與軸相切，且經(jīng)過點(diǎn)，則的半徑為__________.【答案】1或5##5或1【分析】由點(diǎn)在直線上設(shè),圓與軸相切,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合可得出與半徑的關(guān)系,再根據(jù)圓經(jīng)過點(diǎn)也可寫出與半徑的關(guān)系，求解即可.【詳解】由點(diǎn)在直線上，設(shè).又與軸相切，且經(jīng)過點(diǎn)，半徑，且.解得或.則的半徑為1或5.故答案為:1或515．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則__________.【答案】33【分析】根據(jù)與的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)求出數(shù)列的通項(xiàng)，即可得出答案.【詳解】解：，兩式相減，得，，又當(dāng)時，，即，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，即，.故答案為：33.16．已知直線經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，并與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且.若點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則的面積為__________.【答案】【分析】由雙曲線方程求出右焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，并利用韋達(dá)定理和已知條件，求出，根據(jù)三角形面積公式，即可求解.【詳解】解：已知雙曲線，則，所以右焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立化簡，得.，，即，則，即.故答案為：.三、解答題17．國內(nèi)某奶茶店以茶飲和甜品為主打，運(yùn)用復(fù)合創(chuàng)新思維順勢推出最新一代立體復(fù)合型餐飲業(yè)態(tài)，在武漢?重慶?南京都有分布，該公司現(xiàn)對兩款暢銷茶飲進(jìn)行推廣調(diào)查，得到下面的列聯(lián)表；A款B款男性8020女性6040(1)根據(jù)上表，分別估計男、女購買這款茶飲，選購A款的概率；(2)能否有99%的把握認(rèn)為選購哪款茶飲與性別有關(guān)？參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：【答案】(1)男性：；女性：(2)有的把握認(rèn)為選購哪款茶飲與性別有關(guān)【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計算即可；（2）根據(jù)公式求出，再對照臨界值表即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：男性中，購買款茶飲的概率為，女性中，購買款茶飲的概率為；（2）解：由題意，得，，∴有的把握認(rèn)為選購哪款茶飲與性別有關(guān).18．如圖，在長方體中，已知，E為BC中點(diǎn)，連接，F(xiàn)為線段上的一點(diǎn)，且.(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證明，（2）由等體積法結(jié)合棱錐的體積公式求解，【詳解】（1）證明：連接DE.依題意，可知，∴，即，∵平面ABCD，平面ABCD，∴.又，∴平面，平面，平面.∵平面，∴，同理，可知，則，∴，即，∴.∴.∵平面，平面，且，∴平面；（2）由題可知19．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足.(1)證明：；(2)若，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)根據(jù)題干的條件，利用正弦定理和兩角差的正弦公式以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解；(2)結(jié)合（1）的結(jié)論和二倍角的正弦得出，然后利用余弦定理即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得：，所以，可得，又由，可得，由，可得，有，可得或（舍去），可得；?）由，有，可得，有，又由，可得，在中，由余弦定理可得：，也即，解得或（舍去），所以.20．已知函數(shù)．其中．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，如果對任意的，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，然后分，討論求單調(diào)性；（2）先利用的單調(diào)性化簡得，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)其為減函數(shù)求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1），當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；（2）假設(shè)，而，由（1）知，在上單調(diào)遞減，∴，∴化簡為，令，則在上單調(diào)遞減，∴，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．21．已知拋物線，過動點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)，且當(dāng)時，.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：點(diǎn)為定點(diǎn)，并求出其坐標(biāo).【答案】(1)；(2)點(diǎn)為定點(diǎn)，其坐標(biāo)為，證明見解析.【分析】（1）設(shè)過點(diǎn)且與拋物線相切的直線為，聯(lián)立方程結(jié)合根的判別式求得，再結(jié)合當(dāng)時，求出，即可得解；（2）設(shè)，直線的斜率為，直線的斜率為，由（1），利用韋達(dá)定理求出，再分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時求出直線方程，令，即可得證.【詳解】（1）解：設(shè)過點(diǎn)且與拋物線相切的直線為，聯(lián)立，化簡得，則，化簡得，當(dāng)時，，此時軸，，當(dāng)時，則，解得，，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）證明：設(shè)，直線的斜率為，直線的斜率為，由（1）可知，，當(dāng)直線直線的斜率不存在時，，當(dāng)直線直線的斜率存在時，方程為，令，得，整理得，所以點(diǎn)為定點(diǎn)，坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；(2)若直線l與x軸交于點(diǎn)P，與曲線C分別交于A，B兩點(diǎn)，求的值．【答案】(1)直線l：；曲線C：(2)2【分析】（1）由題意，利用和角公式以及極坐標(biāo)恒等式，可得直線方程；利用同角三角函數(shù)平方式，可得答案；（2）由直線方程，求得，并整理直線的參數(shù)方程，代入圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理，可得答案.【詳解】（1）∵，∴，∵，∴直線l的直角坐標(biāo)方程為，∵曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)），消去參數(shù)，得．∴曲線C的普通方程為；（2）