2023屆山西省部分學(xué)校高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)2023屆山西省部分學(xué)校高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．15 C．32 D．31【答案】B【分析】先求出不等式的解集確定集合中元素，然后求出真子集的個(gè)數(shù)即可.【詳解】不等式可化為，解得：，所以集合則其真子集的個(gè)數(shù)為.故選：B.2．已知向量，滿足，，且，則向量，夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由平面向量模的坐標(biāo)表示求得，再利用平面向量數(shù)量積與模求得向量，夾角的余弦值.【詳解】依題意，設(shè)與夾角為，因?yàn)?，，，所?故選：C.3．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A．12 B．13 C．15 D．18【答案】B【分析】展開式中有項(xiàng)，項(xiàng)，項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng).展開式中有項(xiàng)，項(xiàng)，項(xiàng)，項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng).則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為中項(xiàng)系數(shù)與展開式中項(xiàng)系數(shù)乘積與兩式中常數(shù)項(xiàng)乘積之和.【詳解】，，故常數(shù)項(xiàng)為.故選：B.4．“m=0是“直線與直線之間的距離為2”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)平行線間的距離公式可得或，進(jìn)而根據(jù)充分與不必要條件的定義判斷即可.【詳解】?jī)蓷l平行線間的距離，即，解得或，即“”是“兩直線間距離為2”的充分不必要條件.故選：A.5．已知雙曲線C1：與雙曲線C2：的離心率分別為e1，e2，則e1e2的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線方程，把離心率表示出來(lái)，再利用基本不等式求最小.，【詳解】易知，，則，由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：D.6．已知函數(shù)（其中）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減得到的范圍可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，解得，綜上所述，.故選：C.7．在正三棱錐P－ABC中，O為△ABC的中心，已知AB=6，∠APB=2∠PAO，則該正三棱錐的外接球的表面積為（

）A．49π B．36π C．32π D．28π【答案】A【分析】設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為x，由求得和的余弦值，利用二倍角公式可求得，從而求得棱錐的高，設(shè)球心為M，球半徑為，表示出，然后由勾股定理可求得，得球表面積．【詳解】設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為x，且易知?jiǎng)t，因?yàn)椋瑒t,所以，解得，所以，設(shè)球心為M，則MP=MA=R，，因?yàn)?，所，解得，所以表面積，故選：A.8．已知函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若直線與曲線相切于不同的兩點(diǎn)A，B，且A，B的橫坐標(biāo)分別為，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義與切點(diǎn)的性質(zhì)得到同時(shí)滿足方程和方程，從而推得方程與，兩式相加即可求得，由此得解.【詳解】由題意可知，同時(shí)滿足方程和方程，因?yàn)?，則，所以，因?yàn)?，所以滿足方，又滿足方程，所以，則，又由得，則，即，上述兩式相加得，整理得，所以實(shí)數(shù)a的值為.故選：D.二、多選題9．已知復(fù)數(shù)z滿足，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．復(fù)數(shù)z的模為 B．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限C．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為 D．【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和幾何意義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，有，故A正確；復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故B錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，故D正確，故選:AD.10．已知滿足，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)平方關(guān)系求出，再根據(jù)兩角和的正弦公式即可判斷A；根據(jù)兩角差的余弦公式即可判斷B；根據(jù)結(jié)合兩角差的正弦公式即可判斷C；根據(jù)二倍角的正切公式即可判斷D.【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，，則，所以，故A錯(cuò)誤；由，得，，所以，則，故B正確；由，，得，，，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，故，故D正確.故選：BCD.11．已知事件相互獨(dú)立，則（

）A．事件與事件不相互獨(dú)立 B．C．事件與事件互斥 D．在事件發(fā)生的條件下，事件與事件互為對(duì)立事件【答案】BCD【分析】根據(jù)獨(dú)立性和互斥性的概念以及條件概率的公式逐項(xiàng)分析即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋虼耸录c事件相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋蔅正確；因?yàn)槭录嗷オ?dú)立，由A選項(xiàng)證得的結(jié)論知事件與事件相互獨(dú)立，因此與不可能同時(shí)發(fā)生，所以與互斥，故C正確；，，又因?yàn)?，所以在事件發(fā)生的條件下，事件與事件互為對(duì)立事件，故D正確，故選：BCD.12．已知拋物線）與拋物線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，若點(diǎn)P在圓C：上，則（

）A．的取值范圍為B．當(dāng)直線OP與圓C相切時(shí)，的值為C．的最大值為D．的最小值為【答案】AC【分析】由題意結(jié)合基本不等建立的不等式，解不等式可判斷A；由直線與圓相切可得，進(jìn)而可得的值，從而判斷B；利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷CD【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，解得，即A正確；因?yàn)?，所以，?dāng)OP與圓相切時(shí)，，所以，所以，所以，即B錯(cuò)誤；因?yàn)?，令，，則，，得，所以，即C正確，D錯(cuò)誤，故選：AC.三、填空題13．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，.將該菱形繞AB旋轉(zhuǎn)一周，所形成幾何體的體積為______.【答案】【分析】將該菱形繞AB旋轉(zhuǎn)一周，所形成幾何體的等同于底面半徑為，高為2的圓柱體的體積，由圓柱的體積公式求解即可【詳解】過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為2，，所以，且與全等，將該菱形繞AB旋轉(zhuǎn)一周，所形成幾何體的等同于底面半徑為，高為2的圓柱體的體積，所以.故答案為：14．已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則函數(shù)的解析式可以為=______.（寫出一個(gè)符合題意的函數(shù)即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的周期和單調(diào)性的性質(zhì)，直接寫出符合題意的解析式即可.【詳解】因?yàn)?，所以奇函?shù)的周期為4，所以可得，時(shí)，，可知此時(shí)在上單調(diào)遞減.故答案為：15．若函數(shù)（其中）存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.【答案】【分析】求導(dǎo)后因式分解，并分類討論極值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系可以進(jìn)一步求解.【詳解】，①若，根，單調(diào)遞減，無(wú)最小值，不符合題意；②若，令，解得在上遞減，上遞增，，所以符合題意；③若，則，單調(diào)遞增，無(wú)最小值，不符合題意；綜上所述：.故答案為：.四、雙空題16．已知數(shù)列，若一個(gè)新數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則稱該數(shù)列為數(shù)列的“一階衍生數(shù)列”，記作數(shù)列；同樣的，若再有一個(gè)新數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則稱該數(shù)列為數(shù)列的“二階衍生數(shù)列”，記作數(shù)列；以此類推…….記為數(shù)列的“k階衍生數(shù)列”中的第m項(xiàng)，已知，則______；設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則=______.【答案】

17

【分析】①根據(jù)新定義求即可；②根據(jù)新定義得到，再結(jié)合得到，然后再利用新定義得到，結(jié)合，得到，最后分組求和即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，所以；由題意可知，，且，所以，所以，又，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，即，所?故答案為：①17；②.五、解答題17．從①；②；③三個(gè)選項(xiàng)中，任選一個(gè)填入下列空白處，并求解.已知數(shù)列，滿足，且，，______，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】選①，選②，選③【分析】先根據(jù)遞推公式可得，進(jìn)而得到.選①：化簡(jiǎn)可得，直接可得；選②：化簡(jiǎn)可得，再代入裂項(xiàng)求和即可；選③：，錯(cuò)位相減求和即可.【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以?選①：，所以，選②：，所以，選③：，所以，，兩式相減，可得18．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，.(1)若，求的值；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角即可；（2）利用余弦定理結(jié)合已知得，利用二次函數(shù)求得最小值．【詳解】（1）解：，且，，，由正弦定理可知，，，即，，整理得，；（2）解：，由余弦定理可知，，且，，當(dāng)時(shí)，的最小值為．19．“國(guó)際茶日”是中國(guó)首次成功推動(dòng)設(shè)立的農(nóng)業(yè)領(lǐng)城國(guó)際性節(jié)日，它的設(shè)立彰顯了世界各國(guó)對(duì)中國(guó)茶文化的認(rèn)可，肯定了茶葉的經(jīng)濟(jì)、社會(huì)和文化價(jià)值以及在促進(jìn)全球農(nóng)業(yè)可持續(xù)發(fā)展中的貢獻(xiàn).今年，農(nóng)業(yè)農(nóng)村部將繼續(xù)組織開展慶祝“國(guó)際茶日”有關(guān)活動(dòng)，并同意于5月21日在廣東省潮州市舉辦，組委會(huì)為大會(huì)招募志愿者，準(zhǔn)備了3道測(cè)試題，答對(duì)兩道就可以被錄用，甲、乙兩人報(bào)名參加測(cè)試，他們通過(guò)每道試題的概率均為，且相互獨(dú)立，若甲選擇了全部3道試題，乙隨機(jī)選擇了其中2道試題，試回答下列問(wèn)題.（所選的題全部答完后再判斷是否被錄用）(1)求甲和乙各自被錄用的概率；(2)設(shè)甲和乙中被錄用的人數(shù)為，請(qǐng)判斷是否存在唯一的p的值，使得？并說(shuō)明理由.【答案】(1)甲被錄用的概率為，乙被錄用的概率為；(2)存在，理由見解析.【分析】（1）設(shè)用答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為X，由題意X～B（3，p）求解；（2）易知的可能取值為0，1，2，分別求得其相應(yīng)概率，求期望即可.【詳解】（1）解：設(shè)用答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為X，由題意，得X～B（3，p）則甲被錄用的概率為，乙被錄用的概率為；（2）的可能取值為0，1，2，則，；，∴，，設(shè)，則.∴當(dāng)時(shí)，f（p）為增函數(shù).又，，所以存在唯一的p的值p0，使得，即.20．如圖，在等腰直角三角形中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且.將沿著折起，形成四棱錐，其中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.(1)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，指出的值，并證明；若不存在，說(shuō)明理由；(2)設(shè)平面與平面的交線為，若二面角的大小為，求四棱錐的體積.【答案】(1)存在，，證明見解析(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，在上取一點(diǎn)，使得，連接，可得四邊形CFMH是平行四邊形，即CFHM，從而可證明；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，作的中點(diǎn)，連接，求出四棱錐的高，再用體積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，平面，證明如下：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，在上取一點(diǎn)，使得，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且，所以所以，所以四邊形CFMH是平行四邊形，即CFHM，又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，作的中點(diǎn)，連接，易知平面與平面的交線即為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以即為二面角的平面角，因?yàn)椋移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋乙字?，所以，所以，則，所以，所以四棱錐的高，又四邊形的面積，所以四棱錐的體積.21．已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，動(dòng)直線l：與橢圓C相切，且當(dāng)時(shí)，.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)作F1P⊥l，F(xiàn)2Q⊥l，垂足分別為P，Q，求四邊形F1F2QP的面積的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)梯形的面積公式，結(jié)合對(duì)鉤函數(shù)的單調(diào)性、點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）聯(lián)立得∴，且∴把代人，得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）可知F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0），∴|，由（1）知，由，可知n+m和n-m同號(hào)，可知設(shè)直線l的傾斜角為，則，∴由（1）可知，代人得令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)，時(shí)，取最大值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用對(duì)鉤函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.22．已知函數(shù).(1)求函數(shù)f（x）的極值；(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)極大值為，極小值為0；(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究其極值；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，研究的最小值，分類討論與是否成立，即可得結(jié)果.【詳解】（1）∵∴，解得或，，解得，故函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為（－1，0），∴函數(shù)的極大值為，極小值為.（2）不等式，可化為，，可化為，可化為，可化為，令，，有，，解得，，解得，可得函數(shù)的減區(qū)間為（0，1），增區(qū)間為（1，+∞），∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），可得不等式，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）故有，（當(dāng)目?jī)H當(dāng)時(shí)取等號(hào)）①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，，可知不等?/p>