橢圓 測試卷-高二上學期數學北師大版（2019）選擇性必修第一冊

2.1橢圓測試卷一、單選題1．設分別是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點，使且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．已知橢圓的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則（）A．2 B．－2 C． D．43．已知橢圓的左?右頂點分別為，點在橢圓上，直線的斜率分別為，則（

）A． B． C． D．4．已知直線經過焦點在坐標軸上的橢圓的兩個頂點，則該橢圓的方程為（

）A． B．C． D．5．若m，，且則“”是“方程表示焦點在y軸上的橢圓”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．若橢圓和橢圓的焦點相同且．給出如下四個結論：①橢圓與橢圓一定沒有公共點；②；③；④其中所有正確結論的序號是（

）A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③④7．在撫順二中運動會開幕式中，某班級的“蝴蝶振翅”節(jié)目獲得一致稱贊，其形狀近似于雙曲線，在“振翅”過程中，雙曲線的漸近線與對稱軸的夾角為某一范圍內變動，，則該雙曲線的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知橢圓）的焦點為，，是橢圓上一點，且，若的內切圓的半徑滿足，則（其中為橢圓的離心率）的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知橢圓的長軸長為10，其焦點到中心的距離為4，則這個橢圓的標準方程可以為（

）A． B． C． D．10．設P是橢圓上的動點，則（

）A．點P到該橢圓的兩個焦點的距離之和為B．點P到該橢圓的兩個焦點的距離之和為C．點P到左焦點距離的最大值為D．點P到左焦點距離的最大值為11．如圖，一縷陽光從圓形的窗孔射入，在水平地面上形成橢圓形光斑（輪廓為橢圓），若光線與水平地面所成的角為，則下列是說法正確的是（

）A．橢圓的離心率B．橢圓的離心率C．橢圓的離心率隨的增大而減小D．橢圓的離心率隨的增大而增大12．橢圓離心率為稱為“黃金橢圓”.如圖，分別為左右頂點，為上下頂點，分別為左右焦點，為橢圓上一點，則滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（

）A．B．C．四邊形的內切圓過焦點D．軸，且三、填空題13．我們通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”.寫出一個焦點在軸上，對稱中心為坐標原點的“黃金橢圓”的標準方程__________.14．橢圓的長軸長為__________．15．已知橢圓的左，右頂點分別為A，B，且橢圓C的離心率為，點P是橢圓C上的一點，且，則__________.16．如圖所示，平面直角坐標系中，四邊形滿足，，，若點，分別為橢圓：（）的上?下頂點，點在橢圓上，點不在橢圓上，則橢圓的焦距為___________.四、解答題17．求以坐標軸為對稱軸，并且經過兩點A（0，2）和B（，）的橢圓的標準方程.18．若直線與橢圓總有公共點，求實數m的取值范圍．19．設橢圓的右頂點為A，上頂點為B．已知橢圓的離心率為，．(1)求橢圓的方程；(2)設直線l：與橢圓交于P，Q兩點，l與直線AB交于點M，且點P，M均在第四象限．若，求k的值．20．已知，分別是橢圓（，）的左右兩個焦點，為橢圓上任意一點，(1)若，的最大值為12，求的值；(2)若，直線與橢圓相交于兩個不同的點，且（為坐標原點），求橢圓的方程.21．已知橢圓經過點和.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點，且坐標原點到直線的距離為，求證：以為直徑的圓經過點.22．設橢圓Γ：的左、右焦點分別為．直線l若與橢圓Γ只有一個公共點P，則稱直線l為橢圓Γ的切線，P為切點．(1)若直線l：y＝x+2與橢圓相切，求橢圓的焦距；(2)求證：橢圓Γ上切點為的切線方程為；(3)記到直線l的距離為，到直線l的距離為，判斷“”是“直線l與橢圓Γ相切”的什么條件？請給出你的結論和理由．參考答案1．A【分析】利用橢圓的定義求出，然后在中利用余弦定理即可求解.【詳解】由橢圓的定義可知：，因為，所以，在中，由余弦定理可得：，化簡整理可得：，所以，故選：.2．C【分析】先將橢圓方程化為標準形式，再根據橢圓的焦點在軸上，且長軸長是短軸長的兩倍求解.【詳解】將橢圓化為標準形式為，因為橢圓的焦點在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，所以，解得，故選：C．3．A【分析】由橢圓方程得到的坐標，再結合斜率公式即可求解【詳解】由題意知．設，則，為橢圓上一點，，即，即．故選：A4．C【分析】求出直線與兩坐標軸的焦點為，.根據，可設橢圓的方程為，求出即可.【詳解】令，可得；令，可得.則由已知可得，橢圓的兩個頂點坐標為，.因為，所以橢圓的焦點在軸上.設橢圓的方程為，則，，所以橢圓的方程為.故選：C.5．B【分析】由可得：，由方程表示焦點在y軸上的橢圓可得：，然后根據充分、必要條件的概念即可判斷.【詳解】由可得：，又因為方程表示焦點在y軸上的橢圓，所以，由不一定能推出，但由一定能推出，所以“”是“方程表示焦點在y軸上的橢圓”的必要不充分條件，故選：.6．B【分析】對①，聯立兩橢圓方程求解即可判斷；對②，由可得，即可變形判斷；對③，，即可變形判斷；對④，由，即可變形判斷.【詳解】對①，聯立兩橢圓方程得，則，由兩橢圓焦點相同得，又，∴，即，∴，方程無實數根，故橢圓與橢圓一定沒有公共點，①對；對②，由①得，則，∴，②錯；對③，由，③對；對④，由③得，則，∴，④對.故選：B7．C【分析】由題可知雙曲線的漸進線方程傾斜角的范圍是，進而得到的范圍，再根據離心率公式和的關系可求得范圍.【詳解】雙曲線的漸近線為，由題可知雙曲線的漸進線方程傾斜角的范圍是，，，即，故選：C8．B【分析】由已知即向量數量積定義可得，應用余弦定理求得，根據等面積法可得，再由正弦定理列方程求離心率，結合目標式、基本不等式求其最小值，注意等號成立條件.【詳解】由題設，故，又，則，由余弦定理知：，所以，而，因為的內切圓的半徑，故，所以，則，由，即，所以，整理得且，所以，，當且僅當時等號成立，所以目標式最小值為.故選：B9．BD【分析】由題意得到，再根據,求出，分焦點在x軸和y軸上寫出標準方程即可【詳解】解：因為橢圓的長軸長為10，其焦點到中心的距離為4，所以，解得，又，所以當橢圓的焦點在x軸上時，橢圓的標準方程為；當橢圓的焦?在y軸上時，橢圓的標準方程為，故選：BD10．AC【分析】利用橢圓的定義可判斷A，B選項，離左焦點距離最遠的點為右頂點，可判斷C,D選項【詳解】由題意得，，由橢圓的定義可知，P到該橢圓的兩個焦點的距離之和為，故A正確，B錯誤；又，所以，即，到左焦點距離的最大值為，故選：AC11．BC【分析】可由題意做出平面圖，利用投影關系，分別對應出橢圓的長軸和短軸，利用橢圓結合夾角即可做出判斷.【詳解】可根據題意做出平面圖，如圖所示，窗孔的圓心為，圓心在水平面的投影即橢圓的中心為，光線與水平面的交點為，光線與水平地面所成的角為，連接，過作的垂線交于交于，由題意可知，窗孔在平面內的投影橢圓，故為橢圓的長軸長，即，為橢圓的短軸長，即，所以，，故，而，故橢圓的離心率，所以選項A錯誤，選項B正確；，，因為在是單調遞減的，所以橢圓的離心率隨的增大而減小，故選項C正確，選項D錯誤.故選：BC12．BC【分析】根據各選項條件列出含有，，的齊次方程，再根據離心率及得到含離心率的方程，解出各選項的離心率即可判斷是否為“黃金橢圓”.【詳解】對于A，根據題意得，，，因為，所以，即，又因為，所以，解得或(舍)，所以選項A不能使橢圓為“黃金橢圓”；對于B，根據題意得，，，因為，所以，即，所以，又因為，所以，解得或(舍)，所以選項B能使橢圓為“黃金橢圓”；對于C，因為四邊形的內切圓過焦點，所以利用對稱的性質可得四邊形的內切圓的圓心為半徑為，記四邊形的面積為，故四邊形可分成四個全等的三角形根據面積相等法可得，因為，所以原式化簡得，又因為，所以，解得或(舍)，又因為，所以，所以選項C能使橢圓為“黃金橢圓”；對于D，軸，且，可得，因為軸，所以，代入中，解得(負值舍去)，所以，根據，得，解得，又因為，，所以，所以選項D不能使橢圓為“黃金橢圓”.故選：BC.13．（答案不唯一）【分析】由題可設，根據離心率結合條件即得.【詳解】由題可設，令，由題可知，所以，，所以“黃金橢圓”的標準方程可為.故答案為：.14．4【分析】根據橢圓方程轉化為標準方程確定，即可得長軸長.【詳解】解：橢圓，化為標準方程為，則，即所以橢圓的長軸長為.故答案為：4.15．##【分析】由已知，根據題意畫出示意圖，分別設出點P、A，B坐標，并表示出直線、直線的斜率，根據已知的離心率得到，再根據，結合已知得到，然后利用正切和差公式可直接求解.【詳解】由已知，橢圓的左，右頂點分別為A，B，如圖所示，橢圓C的離心率為，所以，設點在軸上方，點，，，因為點在橢圓上，所以，所以為直線的傾斜角，為直線的傾斜角，則，，而，所以，所以.故答案為：.16．4【分析】先由，判斷出，，，四點共圓，再由題設求出圓心，表示出圓的方程，將代入橢圓及圓的方程，可求出，即可求得焦距.【詳解】由題意得，，設，.連接，由，，可知，，，在以為直徑的圓上，且，又原點為圓的弦的中點，所以圓心在的垂直平分線上，即在軸上，則，又，所以，因為，所以，所以，當時，則0，若，則四邊形為矩形，則點也在橢圓上，與點不在橢圓上矛盾，所以，所以，故圓的圓心坐標為，所以圓的方程為，將代入可得，又，所以，故橢圓的焦距為.故答案為：4.【點睛】關鍵點點睛：“，，”的化簡?轉化，由此得到，，，在以為直徑的圓上以及該圓的方程.17．.【分析】設橢圓方程，根據點在橢圓上列方程組求出橢圓參數，進而得到橢圓標準方程.【詳解】令橢圓方程為，所以，可得，故橢圓的標準方程為.18．【分析】先根據直線方程可知直線恒過點，要使直線與橢圓恒有公共點，需在橢圓上或橢圓內，注意橢圓的參數范圍，進而求得的范圍．【詳解】解：直線恒過點，由直線與橢圓恒有公共點，所以在橢圓上或橢圓內，∴，∴，又∵橢圓，∴且．∴實數的取值范圍是．19．(1)；(2).【分析】（1）由題意結合幾何關系可求得，.則橢圓的方程為；（2）設點P的坐標為，點M的坐標為，由題意可得.易知直線的方程為，由方程組可得.由方程組可得.結合，可得，解出，或.經檢驗的值為.【詳解】（1）設橢圓的焦距為2c，由已知得，又由，可得．又，所以，，所以，橢圓的方程為．（2）設點P的坐標為，點M的坐標為，由題意，，點的坐標為．因為，所以有，，，所以，即．易知直線的方程為，由方程組消去y，可得．由方程組消去，可得．由，可得，兩邊平方，整理得，解得，或．當時，由可得，，不合題意，舍去；當時，由可得，，.所以，.20．(1)或(2)【分析】(1)由可得橢圓方程為：，結合焦點三角形面積的最大值得出，然后解方程組即可求解；(2)當，聯立方程組，根據得到，結合韋達定理求解即可.【詳解】（1）由，則橢圓方程為：，由的最大值為12，則，即解得或所以或.（2）若，聯立方程組消去得設，，則，解得：或由可知，所以，解得所以橢圓的方程為.21．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據題意可得所以，，解得，進而可得橢圓的方程．（2）聯立直線與橢圓的方程可得關于的一元二次方程，設，，，，由韋達定理得，，由點到直線的距離公式可得原點到直線的距離，解得，計算為0，即可得出結論．【詳解】（1）解：因為橢圓經過點，所以，又因為橢圓經過點，所以，解得，所以橢圓的方程為；（2）證明：設,，,，由，可得，由題意，，即，所以，，因為原點到直線的距離為，所以，即，因為，所以．因此以為直徑的圓過原點．22．(1)；(2)證明見解析；(3)答案見解析.【分析】（1）聯立直線方程與橢圓方程，消元，根據題意可得，求得a2即可得解.（2）分和兩種情況討論，當時，判斷方程組有兩個相同實數解作答.（3）根據（2）分別求出，，計算即可，再分和結合充分條件和必要條件的定義推理作答．【詳解】（1）由消去y并整理得，因為直線l：y＝x+2與橢圓相切，于是得，解得，令橢圓半焦距為c，有，所以橢圓的焦距.（2）當時，，顯然直線與橢圓相切，當時，由消去y并整理得：，又，則，即，因此，即直線l與橢圓Γ只有一個公共點，直線l與橢圓Γ相