初二數(shù)學(xué)因式分解超級經(jīng)典專題講解

/112.3待定系數(shù)法☆☆首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項式因式分解。例如在分解X4-x3-5x2-6x-4時，由分析可知：這個多項式?jīng)]有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式。于是設(shè)X4-x4-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=X4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4.解得a=1，b=1，c=-2，d=-4.如此X4-X3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4).題目1、多項式分解因式后，有一因式是工十％十1,請把多項式分解因式。2、X2+3x+6是多項式X4-6x3+mx2+nx+36的一^因式，試確定m,n的值,并求出它的其它因式。2.4配方法☆☆對于某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬于拆項、補(bǔ)項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原如此下進(jìn)展變形。例如：1、X4+x2y2+y4配方和拆項、添項法有些一樣之處，下面重點看看拆項、添項法2.5拆項、添項法少^問題：因式分解X2+4這種方法指把多項式的某一項拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項〔或幾項〕，使原式適合于提公因式法、運用公式法或分組分解法進(jìn)展分解。要注意，必須在與原多項式相等的原如此下進(jìn)展變形。因式分解是多項式乘法的逆運算．在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或?qū)蓚€僅符號相反的同類項相互抵消為零．在對某些多項式分解因式時，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項．拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進(jìn)展因式分解．現(xiàn)舉一例：例分解因式：X3-9x+8.分析此題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧．解法1將常數(shù)項8拆成-1+9．原式=X3-9xT+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2將一次項-9x拆成-x-8x.原式=X3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3將三次項X3拆成9x3-8x3.原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4添加兩項-X2+X2.原式=X3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．注：由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些項，添什么項并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種．例如：1、因式分解x2+42、把a(bǔ)2-4ab+3b2+2bc-C2因式分解。3、因式分解x4+x2+12.6其他小方法擴(kuò)展〔作為了解學(xué)有余力再看〕應(yīng)用因式定理對于多項式f(x)=0,如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a.例如：f(x)=x2+5x+6,f(-2)=0，如此可確定x+2是X2+5x+6的—因式。(事實上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)．)換元法☆有時在分解因式時，可以選擇多項式中的—樣的局部換成另—個未知數(shù)，然后進(jìn)展因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來，這種方法叫做換元法。題目1、(x4+x2-4)(x4+x2+3)+102、(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)求根法令多項式f(x)=0,求出其根為x1,x2,x3,……xn,如此該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn).圖象法令y二f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖像與X軸的交點x1,x2,x3,xn，如此多項式可因式分解為f(x)二f(x)=k(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn).與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準(zhǔn)確。例如在分解X3+2x2-5x-6時，可以令y=X3+2x2-5x-6.作出其圖像，與x軸交點為-3,-1，2如此X3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).多項式因式分解的一般步驟：如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；如果各項沒有公因式，那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項、補(bǔ)項法來分解；分解因式，必須進(jìn)展到每一個多項式因式都不能再分解為止。也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要適宜。〞(簡稱＜提十公分＞)幾道例題.△ABC的三邊a、b、c有如下關(guān)系式：-C2+a2+2ab-2bc=0，求證:這個三角形是等腰三角形。分析：此題實質(zhì)上是對關(guān)系式的等號左邊的多項式進(jìn)展因式分解。證明：T-C2+a2+2ab-2bc=0，/.(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0./.(a-c)(a+2b+c)=0.Ta、b、c是AABC的三條邊，.".a+2b+c＞0./.a—c=0，即a=c，^ABC為等腰三角形。簡單了解因式分解的應(yīng)用1、應(yīng)用于多項式除法。2、應(yīng)用于高次方程的求根。

3、應(yīng)用于分式的運算。因式分解練習(xí)題(2)m(m-n)2-n(n-m)2(1)(m+n)(p+q(2)m(m-n)2-n(n-m)2(3)x4-y4(5)Xn+1—3Xn+2Xn-1(6)X3-15X2y-16Xy(3)x4-y4(5)Xn+1—3Xn+2Xn-1(6)X3-15X2y-16Xy2(7)-y3-y2--y41(8)8--xs21(9)—x一3x33(10)3(X-y)2-6(X-y)-24(11)1-4b2-4ab-a2(12)(a-4b)(a-b)+ab(13)1-26a2+25a4(14)(x+y)4+(x+y)2-20(15)(3x2+2x-8)2-(x2-2x-8)2(x2-2x)2+2(x2-2x)+1(x+2)(x+3)+x2-4(x2+2x)2-7(x2+2x)-8x2(a—b)+x2(a—b)+16(b—a)(20)(x2+9y2)2—36x2y2(21)(x—1)(x—2y—1)+y2(22)(x2+7x+6)(x2+7x—8)+45(23)(a2+b2—1)2—4a2b2(24)(ab+1)2—a2—b2—2ab25、：|x+y+1|+|xy-3|=0求代數(shù)式xy