自動控制理論-chapt

第五節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系

頻率特性法是通過系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性的頻域性能指標間接地表征系統(tǒng)瞬態(tài)響應的性能。一、開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系二、閉環(huán)頻率特性與時域指標的關系第五章頻率特性法

常將開環(huán)頻率特性分成低、中、高三個頻段。一、開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系L(ω)/dBω-40dB/dec-40dB/dec-20dB/decωcω2ω1低頻段高頻段中頻段0第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系—低頻段的斜率1．低頻段

低頻段開環(huán)增益K

越大，積分環(huán)節(jié)數(shù)越多，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能越好。低頻段反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。G(s)=sνKG(jω)=(jω)νK低頻段由積分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)構成：

ν—低頻段的高度K第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系低頻段的對數(shù)頻率特性為：L(ω)=20lgA(ω)=20lgωvK=20lgK-v·20lgωωL(ω)/dB0KKνK對數(shù)幅頻特性曲線ν=0ν=1ν=2-20ν

對數(shù)幅頻特性曲線的位置越高，開環(huán)增益K越大，斜率越負，積分環(huán)節(jié)數(shù)越多。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能越好。第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系2.中頻段

穿越頻率ωc附近的區(qū)段為中頻段。它反映了系統(tǒng)動態(tài)響應的平穩(wěn)性和快速性。（1）穿越頻率ωc與動態(tài)性能的關系

設系統(tǒng)中頻段斜率為20dB/dec且中頻段比較寬，如圖所示?？山普J為整個曲線是一條斜率為-20dB/dec的直線。第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系中頻段對數(shù)幅頻特性曲線0+20-20dB/decωcωL(ω)/dB-20開環(huán)傳遞函數(shù)：

G(s)≈=SKSωc閉環(huán)傳遞函數(shù)為：==SωcSωc11+S+1ωc1Φ(s)=G(s)1+G(s)相當于一階系統(tǒng)調節(jié)時間：ωcts≈3T=3

在一定條件下，ωc越大，ts就越小，系統(tǒng)響應也越快。此時，穿越頻率ωc

反映了系統(tǒng)響應的快速性。第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系（2）中頻段的斜率與動態(tài)性能的關系

設系統(tǒng)中頻段斜率為-40dB/dec，且中頻段較寬，可近似認為整個曲線是一條斜率為-40dB/dec的直線。0ωL(ω)/dB-40dB/dec+20-20ωc第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系

G(s)≈=S2KS2ωc2開環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：S2ωc2

Φ(s)=G(s)1+G(s)=S2ωc2

1+ωc2S2+ωc2

=系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

中頻段斜率為-40dB/dec，所占頻率區(qū)間不能過寬，否則系統(tǒng)平穩(wěn)性難以滿足要求。通常，取中頻段斜率為-40dB/dec。第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系例最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線如圖,試分析中頻段與系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的關系。L(ω)/dBωω1-20dB/dec0ω2-40dB/decω3ωc-40dB/dec解：(1)曲線如圖G(jω)=K(1+jωω2)jω(1+jωω1)ωω3)(1+j對應的頻率特性:φ(ωc)=-90o-tg-1cωω1cωω3+tg-1cωω2-tg-1設：cωω==33cωω2tg-1cωω2-tg-13=72otg-1cωω3-tg-113=18oω1的變化范圍0～ω2,可求得:γ=72o～54oφ(ωc)=-108o～-126o第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系L(ω)/dBωω1-20dB/dec0ω2-60dB/decω3ωc-20dB/dec(2)曲線如圖-40dB/dec對應的頻率特性:2G(jω)=K(1+jωω2)jω(1+jωω1)ωω2)(1+j2同樣的方法可得:γ=72o～36oφ(ωc)=-108o～-144o第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系(3)曲線如圖L(ω)/dBωω1-20dB/dec0ω2-60dB/decωc-40dB/dec對應的頻率特性:G(jω)=K(1+jωω2)jω(1+jωω1)2同樣的方法可得:γ=18o～-18oφ(ωc)=-162o～-198o3．高頻段

高頻段反映了系統(tǒng)對高頻干擾信號的抑制能力。高頻段的分貝值越低，系統(tǒng)的抗干擾能力越強。高頻段對應系統(tǒng)的小時間常數(shù)，對系統(tǒng)動態(tài)性能影響不大。L(ω)=20lg|G(jω)|<<0|G(jω)|<<1≈|G(jω)||1+G(jω)||G(jω)||Φ(jω)|=一般即第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系4．二階系統(tǒng)開環(huán)頻率特性與動態(tài)性能的關系開環(huán)傳遞函數(shù)：G(s)=ωn2S(S+2ζωn)G(jω)=ωn2jω(jω+2ζωn)A(ω)=ωn2ωω2+(2ζωn)2φ(ω)=-90o-tg-1ω2ζωn第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系時域法中：頻域法中：二階系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線σ%—系統(tǒng)的平穩(wěn)性ts

—系統(tǒng)的快速性

γωcγωc-1800ωωΦ(ω)L(ω)/dB-20dB/dec-40dB/dec-900ξωn2—系統(tǒng)的快速性—系統(tǒng)的平穩(wěn)性第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系（1）相位裕量γ和超調量σ%之間的關系得A(ωc)==1ωn2ωcωc2+(2ζωn)2ωc4+4ζ2ωn2ωc2-ωn4=0ωc=ωn4ζ4+1-2ζ2γ=180o+φ(ωc)=180o-90o-tg-1ωc2ζωn

=tg-14ζ4+1-2ζ22ζωc2ζωn=tg-1

當0<ζ<0.707時，可近似地視為ζ每增加0.1,γ增加10oγ(ωc)=100ζσ%=e1-ζ2-ζπ/100%

相位裕量γ越大，超調量σ%越??；反之亦然。第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系ξσ%γ0.20.40.60.81.002040608010012014001020304050607080ζ與γ、ζ與σ%之間的關系曲線第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系（2）ωc、γ與ts之間的關系根據(jù)：

調節(jié)時間ts與ωc以及γ有關。γ不變時，穿越頻率ωc

越大，調節(jié)時間越短。整理得ts=ζωn3ts·ωc=

4ζ4+1-2ζ2ζ3ts·ωc=tgγ6第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系例采用頻率法分析隨動系統(tǒng)的性能，求出系統(tǒng)的頻域指標ωc、γ和時域指標

σ%、ts。S(0.5S+1)20θr(s)θc(s)–第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系解：（1）隨動系統(tǒng)的結構和參數(shù)如圖可得：對數(shù)頻率特性曲線

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)S(0.5S+1)20G(s)=第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系ωc≈6.3≈10.5ωc220γ=180o+φ(ωc)=180o-90o-tg-10.5×6.3=90o-72.38o=17.62ots=ωctgγ6=3s6.3L(ω)/dBω2-20dB/dec-40dB/decω0204026-900-180Φ(ω)γξ=γ/100=0.176σ%=e1-ζ2-ζπ/100%=57%4-2=6.5ωcωn=ζ2ζ4+1第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系（2）在前向通道中加入比例微分環(huán)節(jié)1)τ=0.01系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)S(0.5S+1)20(0.01S+1)G(s)=S(0.5S+1)20θr(s)θc(s)–τs+1對數(shù)頻率特性曲線可得：ωc≈6.3≈10.5ωc220γ=180o-90o-tg-10.5×6.3+tg-10.01×6.3=90o-72.38o+3.6o=21.22oξ=γ/100=0.214-2=6.59ωcωn=ζ2ζ4+1σ%=51%ts=2.4s

加入比例微分環(huán)節(jié)后,系統(tǒng)的調節(jié)時間有所縮短,超調量減小。穩(wěn)定裕量增加,但穿越頻率變化不大.L(ω)/dBω2-20dB/dec-40dB/decω0204026-900-180Φ(ω)100-20dB/dec6.3γ第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系2)τ=0.2系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)S(0.5S+1)20(0.2S+1)G(s)=對數(shù)頻率特性曲線ωc≈8≈10.5ωc220×0.2ωcγ=180o-90o=90o-75.96o+58o=72o-tg-10.5×8+tg-10.2×8由于ξ＞0.7γ＞70o只能通過閉環(huán)傳遞函數(shù)求性能指標:S2+10S+4040(0.2S+1)φ(s)=ξ=0.79σ%=1.7%ts=ωn1(6.45ξ-1.7)=0.54sL(ω)/dBω2-20dB/dec-40dB/decω0204026-900-180Φ(ω)5-20dB/dec6.3γ系統(tǒng)響應加快,穩(wěn)定裕量增加。二、閉環(huán)頻率特性與時域指標的關系

根據(jù)開環(huán)頻率特性來分析系統(tǒng)的性能是控制系統(tǒng)分析和設計的一種主要方法，它的特點是簡便實用。但在工程實際中，有時也需了解閉環(huán)頻率特性的基本概念和二階系統(tǒng)中閉環(huán)頻域指標與時域指標的關系。第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系

已知G(jω)曲線上的一點，便可求得Φ(jω)曲線上的一點，用這種方法逐點繪制出閉頻率特性曲線。

閉環(huán)頻率特性及頻域指標閉環(huán)傳遞函數(shù)為Φ(s)=G(s)1+G(s)G(jω)1+G(jω)Φ(jω)==M(ω)ejαω閉環(huán)頻率特性：第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系（1）零頻幅值Moω=0的閉環(huán)幅值Mo=1時，輸出與輸入相等，沒有誤差。系統(tǒng)的閉環(huán)頻率指標主要有：Mo=M(ω)=M(0)ωM(ω)MmM00.707M(0)0ωrωb

閉環(huán)幅頻特性曲線（2）諧振峰值MrMγ=MmMo幅頻最大值與零頻幅值之比。諧振峰值反映了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性（3）諧振頻率ωr

閉環(huán)峰值出現(xiàn)時的頻率。在一定的程度上反映了系統(tǒng)的快速性。（4）帶寬頻率ωb

幅頻值降到0.707M0時的頻率。M(ωb)=0.707M0第四節(jié)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系2．二階系統(tǒng)閉環(huán)頻域指標與時域指標的關系二階系統(tǒng)的標準式閉環(huán)頻率特性Φ(jω)=(jω)2+2ζωn(jω)+ωn2ωn2s2+2ζωns+ωn2ωn2Φ(s)=C(s)R(s)==1ωn2ω2ωωn)+j2ζ