2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（藝考）第06講 事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式 高頻考點(diǎn)（解析版）

文檔來源網(wǎng)絡(luò)僅供參考侵權(quán)刪除第06講事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式(精講）目錄第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析題型一：相互獨(dú)立事件的概率題型二：條件概率題型三：全概率公式的應(yīng)用第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識點(diǎn)一：相互獨(dú)立事件對任意兩個事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨(dú)立(mutuallyindependent)，簡稱為獨(dú)立．性質(zhì)1：必然事件、不可能事件與任意事件相互獨(dú)立性質(zhì)2：如果事件與相互獨(dú)立，則與，與，與也相互獨(dú)立則：，，知識點(diǎn)二：條件概率1、定義：一般地，設(shè)，為兩個隨機(jī)事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．2、乘法公式：由條件概率的定義，對任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．3、條件概率的性質(zhì)條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì)．設(shè)，則①；②如果和是兩個互斥事件，則；③設(shè)和互為對立事件，則．④任何事件的條件概率都在0和1之間，即：.知識點(diǎn)三：全概率公式1、定義：一般地,設(shè),,是一組兩兩互斥的事件,,且，,則對任意的事件,有,我們稱此公式為全概率公式.2、全概率公式的理解全概率公式的直觀意義：某事件的發(fā)生有各種可能的原因（）,并且這些原因兩兩互斥不能同時發(fā)生，如果事件是由原因所引起的，且事件發(fā)生時，必同時發(fā)生，則與有關(guān)，且等于其總和.“全概率”的“全”就是總和的含義，若要求這個總和，需已知概率,或已知各原因發(fā)生的概率及在發(fā)生的條件下發(fā)生的概率.通俗地說，事件發(fā)生的可能性，就是其原因發(fā)生的可能性與已知在發(fā)生的條件下事件發(fā)生的可能性的乘積之和.第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：相互獨(dú)立事件的概率典型例題例題1．（2022·北京豐臺·高二期中）如圖，一個質(zhì)地均勻的正八面體的八個面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，設(shè)該數(shù)字為.若設(shè)事件“為奇數(shù)”，事件“為偶數(shù)”，事件“為3的倍數(shù)”，事件“”，其中是相互獨(dú)立事件的是（

）A．事件與事件 B．事件與事件C．事件與事件 D．事件與事件【答案】B【詳解】由題意可得，3，5，，，4，6，，,，,,由古典概型概率公式可得：,所以，，,，故ACD錯誤，B正確．故選：B例題2．（2022·湖北·應(yīng)城市第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）袋子里裝有大小質(zhì)地都相同的個白球，個黑球，從中不放回地摸球兩次，用表示事件“第次摸得白球”，表示事件“第次摸得白球”，則與是（

）A．互斥事件 B．相互獨(dú)立事件 C．對立事件 D．不相互獨(dú)立事件【答案】D【詳解】由題意可知,而表示“第一次摸白球，第二次摸白球”，故,故與不相互獨(dú)立，同時與可以同時發(fā)生，也不對立，故選：D例題3．（2022·上海楊浦·高三期中）已知、是獨(dú)立事件，，則_________．【答案】##0.15【詳解】由于A、B是獨(dú)立事件,所以,故答案為:0.15例題4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）擲一枚骰子一次，判斷“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”是不是相互獨(dú)立事件．【答案】事件A與B相互獨(dú)立．【詳解】解：記A：出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，B：出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)，則，，，則，，，所以，所以事件A與B相互獨(dú)立．同類題型歸類練1．（2022·河南·鄭州十九中高二開學(xué)考試）擲一枚骰子，記事件A表示事件“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B表示事件“出現(xiàn)4點(diǎn)或5點(diǎn)”，事件C表示事件“點(diǎn)數(shù)不超過3”，事件D表示事件“點(diǎn)數(shù)大于4”，有下列四個結(jié)論：①事件A與B是獨(dú)立事件；②事件B與C是互斥事件；③事件C與D是對立事件；④.其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】A【詳解】擲一枚骰子，記事件表示事件“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件表示事件“出現(xiàn)4點(diǎn)或5點(diǎn)”，事件表示事件“點(diǎn)數(shù)不超過3”，事件表示事件“點(diǎn)數(shù)大于4”，對于①，，，，，事件與是獨(dú)立事件，故①正確；對于②，事件與事件不能同時發(fā)生，事件與事件是互斥事件，故②正確；對于③，事件與事件不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，是互斥但不對立事件，故③錯誤；對于④，，故④錯誤．故選：A.2．（2022·廣東江門·高一期末）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面向上”，事件“第二枚硬幣反面向上”，下列結(jié)論中正確的是（

）A．A與B為相互獨(dú)立事件 B．A與B互為對立事件C．A與B為互斥事件 D．【答案】A【詳解】由相互獨(dú)立事件的定義知，A與B為相互獨(dú)立事件，A正確；事件可以同時發(fā)生，則A與B不是互斥事件，也不是對立事件，B錯誤；C錯誤；，D錯誤.故選：A.3．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期中（理））下列各對事件中，不互為相互獨(dú)立事件的是（

）A．?dāng)S一枚骰子一次，事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”；事件“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”B．袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”C．一個家庭中有兩個小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件M={一個家庭中既有男孩又有女孩}，事件N={一個家庭中最多有一個女孩}D．一個家庭中有三個小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件M={一個家庭中既有男孩又有女孩}，事件N={一個家庭中最多有一個女孩}【答案】C【詳解】對于A：∵，，，∴，∴事件M與事件N是相互獨(dú)立事件，對于B，由于抽取方法是“有放回”，所以是相互獨(dú)立事件.對于C，，，，所以不是相互獨(dú)立事件.對于D，，，，∴，∴事件M與事件N是相互獨(dú)立事件，故選：C.4．（多選）（2022·全國·高二單元測試）擲一枚骰子，記事件A表示事件“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B表示事件“出現(xiàn)4點(diǎn)或5點(diǎn)”，事件C表示事件“點(diǎn)數(shù)不超過3”，事件D表示事件“點(diǎn)數(shù)大于4”，則（

）A．事件A與B是獨(dú)立事件 B．事件B與C是互斥事件C．事件C與D是對立事件 D．【答案】AB【詳解】由題意知：，，，∴事件與是獨(dú)立事件，A正確；∵事件與不能同時發(fā)生，∴與是互斥事件，B正確；點(diǎn)數(shù)為4時，既不屬于事件，也不屬于事件，∴事件與不是對立事件，C錯誤；∵事件是“點(diǎn)數(shù)為5點(diǎn)”，∴，D錯誤.故選：AB.題型二：條件概率典型例題例題1．（2022·吉林·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二階段練習(xí)）從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取兩個數(shù)，事件“有一個數(shù)是奇數(shù)”，“另一個數(shù)也是奇數(shù)”，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】任取兩個數(shù)，則一奇一偶共有種取法，兩個都是奇數(shù)共有，所以事件包含所取兩個數(shù)要么為一奇一偶，要么為兩個奇數(shù)，故,則事件為所取兩個數(shù)均為奇數(shù)，故,故,故選：A例題2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由乘法公式，得.故選：C．例題3．（2022·北京豐臺·高二期末）同時拋擲一枚紅骰子和一枚藍(lán)骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，記“紅骰子向上的點(diǎn)數(shù)為1”為事件，“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于6”為事件，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】事件包含6種基本事件，事件包含1個基本事件，所以.故選：B例題4．（2022·河南濮陽·高三階段練習(xí)（理））袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的3個小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字4，5，6.每次從袋中隨機(jī)摸出1個球，記下它的號碼，放回袋中，這樣連續(xù)摸三次.設(shè)事件為“三次記下的號碼之和是15”，事件為“三次記下的號碼不全相等”，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：事件所包含的基本事件有，，，，，，共7個，事件所包含的基本事件有，，，，，共6個，所以．故選：A．例題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲罐中有3個紅球、2個黑球，乙罐中有2個紅球、2個黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)榧坠拗杏?個紅球、2個黑球，所以，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)椋?，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，故選項(xiàng)C錯誤；因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：C.同類題型歸類練1．（2022·吉林油田第十一中學(xué)高二期末）某射擊隊(duì)員練習(xí)打靶，已知他連續(xù)兩次射中靶心的概率是0.4，單獨(dú)一次射中靶心的概率是0.8.在某場比賽中，該隊(duì)員第一次已經(jīng)中靶，則第二次也中靶的概率是（

）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】B【詳解】記該隊(duì)員第二次射中靶心為事件，第一次射中靶心為事件，題目所求為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率，即.故選：B．2．（2022·陜西·綏德中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：依題意；故選：B3．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）某科技公司聯(lián)歡會進(jìn)行抽獎活動，袋中裝有標(biāo)號為1，2，3的大小、質(zhì)地完全相同的3個小球，每次從袋中隨機(jī)摸出1個球，記下它的號碼，放回袋中，這樣連續(xù)摸三次.規(guī)定“三次記下的號碼都是2”為一等獎.已知小張摸球“三次記下的號碼之和是6”，此時小張能得一等獎的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)樗谢臼录膫€數(shù)為，三次抽到的號碼之和為6，包括3次號碼都不一樣，分別是1，2，3，基本事件的個數(shù)為；號碼都一樣全是2，基本事件的個數(shù)為1，故事件包含的基本事件的個數(shù)為，事件包含的基本事件的個數(shù)為1，事件包含的基本事件個數(shù)為1，所以，，由條件概率公式可得，故選：C．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲?乙兩人到一商店購買飲料，他們準(zhǔn)備分別從加多寶?農(nóng)夫山泉?雪碧這3種飲品中隨機(jī)選擇一種，且兩人的選擇結(jié)果互不影響.記事件“甲選擇農(nóng)夫山泉”，事件“甲和乙選擇的飲品不同”，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：事件“甲選擇農(nóng)夫山泉”，則事件“甲和乙選擇的飲品不同”，則事件=“甲選擇農(nóng)夫山泉，乙選擇的是加多寶或者雪碧”所以所以，故選：D5．（2022·江西·蘆溪中學(xué)高二開學(xué)考試）有10件產(chǎn)品，其中4件是正品，其余都是次品，現(xiàn)不放回的從中依次抽2件，則在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：設(shè)第一次抽到次品為事件A，第二次抽到次品為事件B，則，，在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率．故選：C題型三：全概率公式的應(yīng)用典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知某地市場上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是90%，則從該地市場上買到一個合格產(chǎn)品的概率是（

）A．0.92 B．0.93 C．0.94 D．0.95【答案】B【詳解】由甲乙兩廠所占比例及對應(yīng)的合格率可得，故選：B例題2．（2022·江蘇南京·高二階段練習(xí)）學(xué)校食堂分設(shè)有一?二餐廳，學(xué)生小吳第一天隨機(jī)選擇了某餐廳就餐，根據(jù)統(tǒng)計(jì)：第一天選擇一餐廳就餐第二天還選擇一餐廳就餐的概率為0.6，第一天選擇二餐廳就餐第二天選擇一餐廳就餐的概率為0.7，那么學(xué)生小吳第二天選擇一餐廳就餐的概率為（

）A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.65【答案】D【詳解】設(shè)為“第一天去一餐廳用餐”，為“第一天去二餐廳用餐”，為“第二天去一餐廳就餐”；則,,,由全概率公式可知,故選：D.例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)某芯片制造廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線均生產(chǎn)規(guī)格的芯片，現(xiàn)有20塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙生產(chǎn)的芯片分別為12塊，8塊，且乙生產(chǎn)該芯片的次品率為，現(xiàn)從這20塊芯片中任取一塊芯片，若取得芯片的次品率為，則甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)分別表示取得的這塊芯片是由甲廠、乙廠生產(chǎn)的，B表示取得的芯片為次品，甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為，則，，，，則由全概率公式得：，解得，故選：B．例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為0.5，知道正確答案時，答對的概率為100％，而不知道正確答案時猜對的概率為0.25，那么他答對題目的概率為______．【答案】0.625##【詳解】解：設(shè)“考生答對題目”為事件A，“考生知道正確答案”為事件B，則，，，．故答案為：0.625．例題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占30%，次品率為5%；第二批占70%，次品率為4%，將兩批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取1件.則取到這件產(chǎn)品是合格品的概率為___________.【答案】0.957##95.7%【詳解】設(shè)=“取到合格品”，=“取到的產(chǎn)品來自第i批”（i=1，2），則，，由全概率公式得：.故答案為：0.957同類題型歸類練1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）有朋自遠(yuǎn)方來，乘火車、船、汽車、飛機(jī)來的概率分別為0.3，0.2，0.1，0.4，遲到的概率分別為0.25，0.3，0.1，0．則他遲到的概率為（

）A．0.65 B．0.075C．0.145 D．0【答案】C【詳解】設(shè)A1＝他乘火車來，A2＝他乘船來，A3＝他乘汽車來，A4＝他乘飛機(jī)來，B＝他遲到．易見：A1，A2，A3，A4構(gòu)成一個完備事件組，由全概率公式得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145．故選：C2．（2022·福建·廈門海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知P(B|A)=，P(A)=，則P(AB)等于（

）