南京市高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(解析版)(理科)

高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分）.1．拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．2．命題：“?x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．3．雙曲線﹣=1的漸近線方程是．4．“x＞1”是“x2＞1”的條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）5．過(guò)點(diǎn)（1，1）且與直線2x﹣y+1=0平行的直線方程為．6．函數(shù)f（x）=xex的最小值是．7．兩直線l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0，若l1⊥l2，則a=．8．過(guò)點(diǎn)（2，1）且與點(diǎn)（1，3）距離最大的直線方程是．9．已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為2的半圓，則這個(gè)圓錐的高是．10．過(guò)點(diǎn)A（0，2）且與圓（x+3）2+（y+3）2=18切于原點(diǎn)的圓的方程是．11．底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的體積為．12．已知函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，對(duì)任意x∈R，f′（x）＞1，則f（x）＞x的解集是．13．如圖，過(guò)橢圓+=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)A作直線交y軸于點(diǎn)P，交橢圓于點(diǎn)Q，若△AOP是等腰三角形，且=2，則橢圓的離心率是．14．已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)y=f（f（x）﹣2a）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．二、解答題：本大題共6小題，共90分．解答寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算過(guò)程．15．（14分）命題p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，命題q：方程+=1表示雙曲線．（1）當(dāng)a=1時(shí)，判斷命題p的真假，并說(shuō)明理由；（2）若命題“p且q“為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．16．（14分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn)．求證：（1）B1C∥平面FAC1；（2）平面FAC1⊥平面ABB1A1．17．（14分）如圖，在半徑為30cm的半圓形鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD（點(diǎn)A，B在直徑上，點(diǎn)C，D在半圓周上），并將其卷成一個(gè)以AD為母線的圓柱體罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗）．（1）設(shè)BC為xcm，AB為ycm，請(qǐng)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出x的取值范圍；（2）若要求圓柱體罐子的體積最大，應(yīng)如何截??？18．（16分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A（﹣1，2），B（1，4），C（3，2）．（1）求△ABC外接圓E的方程；（2）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，4），且與圓E相交所得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程；（3）在圓E上是否存在點(diǎn)P，滿足PB2﹣2PA2=12，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓+=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)（1，），橢圓上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作圓（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的兩條切線分別與橢圓E相交于點(diǎn)B，C（不同于點(diǎn)A），設(shè)直線AB，AC的斜率分別為kAB，KAC．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求kAB?kAC的值；（3）試問(wèn)直線BC是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（16分）已知函數(shù)f（x）=lnx+ax，g（x）=ax2+2x，其中a為實(shí)數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)y=f（x）的極大值為﹣2，求實(shí)數(shù)a的值；（3）若a＜0，且對(duì)任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分）.1．拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先確定焦點(diǎn)位置，即在x軸正半軸，再求出P的值，可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵拋物線y2=4x是焦點(diǎn)在x軸正半軸的標(biāo)準(zhǔn)方程，p=2∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，0）故答案為：（1，0）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．屬基礎(chǔ)題．2．命題：“?x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是?x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫(xiě)出結(jié)果即可．【解答】解：因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以，命題：“?x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是?x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案為：?x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的否定，全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題．3．雙曲線﹣=1的漸近線方程是y=±x．【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】把曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a和b的值，再根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上，求出漸近線方程．【解答】解：雙曲線，∴a=2，b=3，焦點(diǎn)在x軸上，故漸近線方程為y=±x=±x，故答案為y=±．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是求出a、b的值，要注意雙曲線在x軸還是y軸上，是基礎(chǔ)題．4．“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：由x2＞1得x＞1或x＜﹣1．∴“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要條件．故答案為：充分不必要．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用向量相等的定義是解決本題的關(guān)鍵．5．過(guò)點(diǎn)（1，1）且與直線2x﹣y+1=0平行的直線方程為2x﹣y﹣1=0．【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【分析】由直線的平行關(guān)系可設(shè)要求直線方程為2x﹣y+c=0，代點(diǎn)求c值可得．【解答】解：由直線的平行關(guān)系可設(shè)要求直線方程為2x﹣y+c=0，由直線過(guò)點(diǎn)（1，1）可得2×1﹣1+c=0，解得c=﹣1，∴所求直線方程為2x﹣y﹣1=0，故答案為：2x﹣y﹣1=0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的一般式方程和平行關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．6．函數(shù)f（x）=xex的最小值是﹣．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值．【解答】解：求導(dǎo)函數(shù)，可得y′=ex+xex，令y′=0可得x=﹣1令y′＞0，可得x＞﹣1，令y′＜0，可得x＜﹣1∴函數(shù)在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)減，在（﹣1，+∞）上單調(diào)增∴x=﹣1時(shí)，函數(shù)y=xex取得最小值，最小值是﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于基礎(chǔ)題．7．兩直線l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0，若l1⊥l2，則a=．【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【分析】利用直線相互垂直與斜率的關(guān)系即可得出．【解答】解：當(dāng)a=0或a=1時(shí)，不滿足條件，舍去．兩條直線的斜率分別為：，．∴l(xiāng)1⊥l2，∴k1k2==﹣1，解得a=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線相互垂直的充要條件，屬于基礎(chǔ)題．8．過(guò)點(diǎn)（2，1）且與點(diǎn)（1，3）距離最大的直線方程是x﹣2y=0．【考點(diǎn)】確定直線位置的幾何要素．【分析】過(guò)點(diǎn)A（2，1）且與點(diǎn)B（1，3）距離最大的直線l滿足：l⊥AB．則kl?kAB=﹣1，即可得出．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A（2，1）且與點(diǎn)B（1，3）距離最大的直線l滿足：l⊥AB．∴kl?kAB=﹣1，∴kl=．∴直線l的方程為：y﹣1=（x﹣2），化為x﹣2y=0．故答案為：x﹣2y=0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)斜式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9．已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為2的半圓，則這個(gè)圓錐的高是．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）．【分析】由圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為2的半圓知，圓錐的軸截面為邊長(zhǎng)為2的正三角形．【解答】解：∵圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為2的半圓，∴圓錐的軸截面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則圓錐的高h(yuǎn)=2×sin60°=．【點(diǎn)評(píng)】考查了學(xué)生的空間想象力．10．過(guò)點(diǎn)A（0，2）且與圓（x+3）2+（y+3）2=18切于原點(diǎn)的圓的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】設(shè)所求的圓的圓心為M，可得M、O、C共線，故圓心M在直線y=x上，設(shè)所求的圓的圓心為M（a，a），又所求的圓過(guò)點(diǎn)A（0，2），可得圓心M還在直線y=1上，故M（1，1），求得半徑AM的值，可得要求的圓的方程．【解答】解：圓C：（x+3）2+（y+3）2=18的圓心C（﹣3，﹣3）．根據(jù)兩圓相切于原點(diǎn)，設(shè)所求的圓的圓心為M，可得M、O、C共線，故圓心M在直線y=x上，設(shè)所求的圓的圓心為M（a，a），又所求的圓過(guò)點(diǎn)A（0，2），故圓心M還在直線y=1上，故M（1，1），半徑為AM=，故要求的圓的方程為：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故答案為：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，垂徑定理，勾股定理，兩圓相切的性質(zhì)，屬于中檔題．11．底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的體積為．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】作出棱錐的高，則頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心，利用正方形的性質(zhì)可求出底面中心到底面頂點(diǎn)的距離，借助勾股定理求出棱錐的高，代入體積公式計(jì)算．【解答】解：取底面中心O，過(guò)O作OE⊥AB，垂足為E，連接SO，AO，∵四棱錐S﹣ABCD為正四棱錐，∴SO⊥平面ABCD，∵AO?平面ABCD，∴SO⊥AO．∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，∴AE=AB=1，∠OAE=∠BAD=45°，∴OE=AE=1，∵OE2+AE2=AO2，∴AO=，∵SA=，∴SO==1．V=?SABCD?SO=?22?1=．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．12．已知函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，對(duì)任意x∈R，f′（x）＞1，則f（x）＞x的解集是（1，+∞）．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】題目給出的函數(shù)f（x）為抽象函數(shù)，沒(méi)法代式求解不等式f（x）＞x，結(jié)合題目給出了對(duì)任意x∈R，f′（x）＞1這一條件，想到借助于輔助函數(shù)解決，令令g（x）=f（x）﹣x，然后分析g（x）在實(shí)數(shù)集上的單調(diào)性，又f（1）=1，可求出g（1）=0，最后用g（x）與0的關(guān)系求解不等式f（x）＞x的解集．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x，則，g′（x）=f′（x）﹣1，∵f′（x）＞1，∴g′（x）＞0，所以函數(shù)g（x）在（﹣∞，+∞）上為增函數(shù)，又g（1）=f（1）﹣1=0，則由g（x）＞0，得g（x）＞g（1），即x＞1，∴f（x）﹣x＞0的解集為（1，+∞），也就是f（x）＞x的解集為（1，+∞）故答案為：（1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，解答此題的關(guān)鍵是引入輔助函數(shù)g（x）．13．如圖，過(guò)橢圓+=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)A作直線交y軸于點(diǎn)P，交橢圓于點(diǎn)Q，若△AOP是等腰三角形，且=2，則橢圓的離心率是．【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)和向量相等運(yùn)算即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再代入橢圓方程即可．【解答】解：∵△AOP是等腰三角形，A（﹣a，0）∴P（0，a）．設(shè)Q（x0，y0），∵=2，∴（x0，y0﹣a）=2（﹣a﹣x0，﹣y0）．∴，解得．代入橢圓方程得+=1，化為=．∴e===．故答案：【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和向量相等運(yùn)算、“代點(diǎn)法”等是解題的關(guān)鍵．14．已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)y=f（f（x）﹣2a）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是?．【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】畫(huà)出函數(shù)圖象，令f（f（x）﹣2a）=0?f（x）﹣2a=﹣2或f（x）﹣2a=1，?f（x）=2a﹣2或f（x）=2a+1，由函數(shù)函數(shù)f（x）=的值域?yàn)镽，可得f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1都至少有一個(gè)零點(diǎn)，要使函數(shù)y=f（f（x）﹣2a）有兩個(gè)零點(diǎn)，必滿足f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1各有一個(gè)零點(diǎn)．【解答】解：函數(shù)y=的定義域是（0，+∞），令y′＞0，解得：0＜x＜e，令y′＜0，解得：x＞e，故函數(shù)y=在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，故x=e時(shí)，函數(shù)y=取得最大值，最大值是，函數(shù)y=x2﹣4（x≤0）是拋物線的一部分．∴函數(shù)f（x）=的圖象如下：令y=f（f（x）﹣2a）=0?f（x）﹣2a=﹣2或f（x）﹣2a=1，?f（x）=2a﹣2或f（x）=2a+1，∵函數(shù)函數(shù)f（x）=的值域?yàn)镽，∴f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1都至少有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)y=f（f（x）﹣2a）有兩個(gè)零點(diǎn)，則必滿足f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1各有一個(gè)零點(diǎn)．∵2a+1＞2a﹣3，∴2a﹣2＜﹣4且2a+1＞?a∈?，故答案為?【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合的思想求解函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)也考查了函數(shù)的單調(diào)性及分類討論思想，屬于難題．二、解答題：本大題共6小題，共90分．解答寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算過(guò)程．15．（14分）（2016秋?淮安期末）命題p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，命題q：方程+=1表示雙曲線．（1）當(dāng)a=1時(shí)，判斷命題p的真假，并說(shuō)明理由；（2）若命題“p且q“為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】（1）若命題p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的單調(diào)遞增函數(shù)為真命題，則f′（x）=3x2+2ax+a≥0恒成立，解出a的范圍，可判斷命題p的真假；（2）若命題“p且q“為真命題，則命題p，命題q均為真命題，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）若命題p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的單調(diào)遞增函數(shù)為真命題，則f′（x）=3x2+2ax+a≥0恒成立，故△=4a2﹣12a≤0，解得：a∈[0，3]，故當(dāng)a=1時(shí)，命題p為真命題；（2）若命題q：方程+=1表示雙曲線為真命題，則（a+2）（a﹣2）＜0．解得：a∈（﹣2，2），若命題“p且q“為真命題，則命題p，命題q均為真命題，故a∈[0，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．16．（14分）（2016秋?淮安期末）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn)．求證：（1）B1C∥平面FAC1；（2）平面FAC1⊥平面ABB1A1．【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）如圖所示取AB的中點(diǎn)E，連接CE，EB1，可得面B1CE∥平面FAC1，即B1C∥平面FAC1（2）只需證明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．【解答】解：（1）證明：如圖所示取AB的中點(diǎn)E，連接CE，EB1，∵F為A1B1的中點(diǎn)，∴C1F∥CE，AF∥B1E，且C1F∩AF=F，CE∩B1E=E，∴面B1CE∥平面FAC1，∵B1C?B1CE，∴B1C∥平面FAC1（2）證明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥面A1C1B1，∵C1F?面A1C1B1，∴A1A⊥C1F，∵AC=BC，F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn)，∴A1B1⊥C1F，且AA1∩A1B1，∴C1F⊥面AA1C1B1B，C1F?面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行、面面垂直的判定，關(guān)鍵是空間位置關(guān)系的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．17．（14分）（2016秋?淮安期末）如圖，在半徑為30cm的半圓形鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD（點(diǎn)A，B在直徑上，點(diǎn)C，D在半圓周上），并將其卷成一個(gè)以AD為母線的圓柱體罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗）．（1）設(shè)BC為xcm，AB為ycm，請(qǐng)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出x的取值范圍；（2）若要求圓柱體罐子的體積最大，應(yīng)如何截??？【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）．【分析】（1）設(shè)BC=x，求出AB，寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出x的取值范圍；（2）用x表示出圓柱的底面半徑，得出體積V（x）關(guān)于x的函數(shù)，判斷V（x）的單調(diào)性，得出V（x）的最大值．【解答】解：（1）連接OC，設(shè)BC=x，則y=2，（其中0＜x＜30），（2）設(shè)圓柱底面半徑為r，高為x，則AB=2=2πr，解得r=，∴V=πr2h=（900x﹣x3），（其中0＜x＜30）；∴V′=（900﹣3x2），令V′（x）=0，得x=10；因此V（x）=（900x﹣x3）在（0，10）上是增函數(shù)，在（10，30）上是減函數(shù)；∴當(dāng)x=10時(shí)，V（x）取得最大值V（10）=，∴取BC=10cm時(shí)，做出的圓柱形罐子體積最大，最大值為cm3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓柱的結(jié)構(gòu)特征，圓柱與體積計(jì)算，用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值，屬于中檔題．18．（16分）（2016秋?淮安期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A（﹣1，2），B（1，4），C（3，2）．（1）求△ABC外接圓E的方程；（2）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，4），且與圓E相交所得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程；（3）在圓E上是否存在點(diǎn)P，滿足PB2﹣2PA2=12，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求△ABC外接圓E的方程；（2）分類討論，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，求直線l的方程；（3）求出P的軌跡方程，與圓E聯(lián)立，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，則，解得D=﹣2，E=﹣4，F(xiàn)=1，∴△ABC外接圓E的方程為x2+y2﹣2x﹣4y+1=0．（2）當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，直線l的方程為x=0，聯(lián)立，得或，弦長(zhǎng)為2，滿足題意．當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y﹣4=kx，即t=kx+4，聯(lián)立，得（1+k2）x﹣（2k﹣2）x﹣2=0，△=[﹣（2k﹣2）]2+8（1+k2）=12k2+8k+12＞0，設(shè)直線l與圓交于E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），則，，∵弦長(zhǎng)為2，∴=2，解得k=1，∴直線l的方程為x﹣y+4=0．∴直線l的方程為x=0，或x﹣y+4=0．（3）設(shè)P（x，y），∵PB2﹣2PA2=12，A（﹣1，2），B（1，4），∴（x﹣1）2+（y﹣4）2﹣2（x+1）2﹣2（y﹣2）2=12，即x2+y2+6x+16y+5=0．與x2+y2﹣2x﹣4y+1=0相減可得2x+5y+1=0，與x2+y2﹣2x﹣4y+1=0聯(lián)立可得29y2+14y+9=0，方程無(wú)解，∴圓E上不存在點(diǎn)P，滿足PB2﹣2PA2=12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程，考查軌跡方程，考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．19．（16分）（2016秋?淮安期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓+=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)（1，），橢圓上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作圓（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的兩條切線分別與橢圓E相交于點(diǎn)B，C（不同于點(diǎn)A），設(shè)直線AB，AC的斜率分別為kAB，KAC．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求kAB?kAC的值；（3）試問(wèn)直線BC是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）由題意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得求出橢圓的方程．（2）設(shè)切線方程為y=kx+1，則（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0，設(shè)兩切線AB，AD的斜率為k1，k2（k1≠k2），k1?k2=1，由切線方程與橢圓方程聯(lián)立得：（1+4k2）x2+8kx=0，由此能求出直線BD方程，進(jìn)而得到直線．（3）設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），kAB=k1，kAC=k2．設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A所作的圓的切線方程為：y=kx+1．與橢圓方程聯(lián)立可得：（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0，x=，可得：xB，xC．yB，yC，kBC=．可得直線BC的方程，即可得出．【解答】解：（1）由題意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得c=，a=2，b=1．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1．（2）A（0，1），設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的圓（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切線方程為：y=kx+1．則=r，化為：（r2﹣1）k2+2k+r2﹣1=0，則kAB?kAC==1．（3）設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），kAB=k1，kAC=k2．設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的圓（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切線方程為：y=kx+1．聯(lián)立，化為：（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0，x=，∴xB=，xC==．yB=，yC=．∴kBC==．∴直線BC的方程為：y﹣=，令x=0，可得：y=．∴直線B