內蒙古自治區(qū)呼和浩特市東井子中學2022年高三數(shù)學理下學期期末試題含解析

內蒙古自治區(qū)呼和浩特市東井子中學2022年高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量a=（2，1），b=（3，2），若a（a+b），則實數(shù)等于（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：D2.設函數(shù)，若存在為自然對數(shù)的底數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C【知識點】單元綜合B14由f（f（b））=b，可得f（b）=f-1（b），

其中f-1（x）是函數(shù)f（x）的反函數(shù)

因此命題“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，轉化為

“存在b∈[1，e]，使f（b）=f-1（b）”，

即y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f-1（x）的圖象有交點，

且交點的橫坐標b∈[1，e]，

∵y=f（x）的圖象與y=f-1（x）的圖象關于直線y=x對稱，

∴y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f-1（x）的圖象的交點必定在直線y=x上，

由此可得，y=f（x）的圖象與直線y=x有交點，且交點橫坐標b∈[1，e]，

令：lnx+x-a=x，則方程在[1，e]上一定有解∴a=lnx-x，

設g（x）=lnx-x則g′（x）=-=，

當g′（x）=0．解得x=2，

∴函數(shù)g（x）=在[1，2]為增函數(shù)，在[2，e]上為減函數(shù)，

∴g（x）≤g（2）=ln2-1，g（1）=-，g（e）=1-e，

故實數(shù)a的取值范圍是[-，ln2-1]【思路點撥】利用反函數(shù)將問題進行轉化，再將解方程問題轉化為函數(shù)的圖象交點問題．3.函數(shù)的反函數(shù)為

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C略4.在某新型材料的研制中，實驗人員獲得了如下一組實驗數(shù)據(jù)：現(xiàn)準備下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是(

)X1.99345.16.12Y1.54.047.51218.01

A．y=2x﹣1 B．log2x C．y= D．y=（）x參考答案：C考點：歸納推理．專題：函數(shù)的性質及應用；推理和證明．分析：由表中的數(shù)據(jù)分析得：自變量基本上是等速增加，相應的函數(shù)值增加的速度越來越快，結合基本初等函數(shù)的單調性，利用排除法可得出正確的答案．解答： 解：由表格中的數(shù)據(jù)知，y隨x的變化趨勢，可得函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大越來越快，∵A中函數(shù)是線性增加的函數(shù)，B中函數(shù)是比線性增加還緩慢的函數(shù)，D中函數(shù)是減函數(shù)；∴排除A，B、D答案，C中函數(shù)y=比較符合題意，故選：C．點評：本題考查函數(shù)模型的選擇與應用問題，解題的關鍵是掌握各種基本初等函數(shù)，如一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質，是基礎題．5.已知數(shù)列{an}，an≥0，a1＝0，an＋12＋an＋1－1＝an2(n∈N*)．對于任意的正整數(shù)n，不等式t2－an2－3t－3an≤0恒成立，則正數(shù)t的最大值為(

)(A)1(B)2

(C)3

(D)6參考答案：C易證得數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又t2－an2－3t－3an＝(t－an－3)(t＋an)≤0，t＋an>0，∴t≤an＋3恒成立，t≤(an＋3)min＝a1＋3＝3，∴tmax＝3.故選C.6.高為5，底面邊長為4的正三棱柱形容器（下有底）內，可放置最大球的半徑是（）A． B．2 C． D．參考答案：B【考點】棱柱的結構特征．【分析】由題中條件知高為5，底面邊長為4的正三棱柱形容器（下有底）內，可放置最大球的半徑，即為底面正三角形的內切圓的半徑，然后解答即可．【解答】解：由題意知，正三棱柱形容器內有一個球，其最大半徑為rr即為底面正三角形的內切圓半徑，∵底面邊長為4的r=2故選B．【點評】本題考查棱柱的結構特征、球的性質，考查學生空間想象能力，解答的關鍵是構造球的大圓溝通條件之間的聯(lián)系．7.設，定義為的導數(shù)，即，，若的內角滿足，則的值是

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A8.下列函數(shù)是奇函數(shù)的是

A．y=x2

B．y=

C．y=—x

D．y=|x|參考答案：C9.已知不共線向量滿足，且關于的函數(shù)

在實數(shù)集R上是單調遞減函數(shù)，則向量的夾角的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：D10.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到的圖象，則的值為

(A)

(B)

(C)

(D)(7)參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若關于的方程在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解，則的取值范圍為______________.參考答案：

12.不等式：的解是

▲

．參考答案：0<x<113.設p在上隨機地取值，則關于x的方程x2+px+1=0有實數(shù)根的概率為

．參考答案：【考點】幾何概型．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】由題意知方程的判別式大于等于零求出p的范圍，再判斷出所求的事件符合幾何概型，再由幾何概型的概率公式求出所求事件的概率．【解答】解：若方程x2+px+1=0有實根，則△=p2﹣4≥0，解得，p≥2或p≤﹣2；∵記事件A：“P在上隨機地取值，關于x的方程x2+px+1=0有實數(shù)根”，由方程x2+px+1=0有實根符合幾何概型，∴P（A）=．故答案為：．【點評】本題考查了求幾何概型下的隨機事件的概率，即求出所有實驗結果構成區(qū)域的長度和所求事件構成區(qū)域的長度，再求比值．14.函數(shù)的最小值是____________．參考答案：15.設為實數(shù)，且，則

。參考答案：答案：4解析：，而

所以，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4。16.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度數(shù)是

；參考答案：60°解：設AB=1，作A1M⊥BD1，AN⊥BD1，則BN·BD1=AB2，TBN=D1M=NM=．TA1M=AN=．∴AA12=A1M2+MN2+NA2－2A1M·NAcosq，T12=++－2′cosq，Tcosq=．Tq=60°．17.設函數(shù)則滿足的的取值范圍是

．參考答案：(0,+∞)三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.對于數(shù)列{an}，若an+2﹣an=d（d是與n無關的常數(shù)，n∈N*），則稱數(shù)列{an}叫做“弱等差數(shù)列”，已知數(shù)列{an}滿足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b對于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常數(shù)）．（1）求證：數(shù)列{an}是“弱等差數(shù)列”，并求出數(shù)列{an}的通項公式；（2）當t=1，s=3時，若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求出a、b的值，并求出{an}的前n項和Sn；（3）若s＞t，且數(shù)列{an}是單調遞增數(shù)列，求a的取值范圍．參考答案：【考點】數(shù)列的求和．【專題】證明題；新定義；轉化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法．【分析】（1）由已知得an+2=a（n+1）+b﹣an+1=（an+a+b）﹣（an+b）+an=a+an，由此能證明數(shù)列{an}是“弱等差數(shù)列”．由a1=t，a2=s，an+2﹣an=a，得到{an}中奇數(shù)項是以t為首項，以a為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)列是以s為首項，以a為公差的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{an}的通項公式．（2）由遞推公式求出a1=1，a2=3，a3=2a+b﹣3，a4=a+3，由此利用等差數(shù)列性質能求出a=4，b=0，從而得到數(shù)列{an}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，由此能求了Sn．（3）由已知得a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，由經能求出a的取值范圍．【解答】證明：（1）∵數(shù)列{an}滿足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b對于n∈N*恒成立，∴an+1=an+b﹣an，an+2=a（n+1）+b﹣an+1=（an+a+b）﹣（an+b）+an=a+an，∴an+2﹣an=a，∴數(shù)列{an}是“弱等差數(shù)列”．∵a1=t，a2=s，an+2﹣an=a，∴{an}中奇數(shù)項是以t為首項，以a為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)列是以s為首項，以a為公差的等差數(shù)列，∴an=．解：（2）∵當t=1，s=3時，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴a1=1，a2=3，3+a3=2a+b，∴a3=2a+b﹣3，2a+b﹣3+a4=3a+b，∴a4=a+3，∴，解得a=4，b=0，∴數(shù)列{an}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，∴Sn=2n+=n2+n．（3）∵s＞t，且數(shù)列{an}是單調遞增數(shù)列，∴a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，∴a＞s﹣t．∴a的取值范圍是（s﹣t，+∞）．【點評】本題考查“弱等差數(shù)列”的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，綜合性質強，難度大，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質的合理運用．19.已知函數(shù)f（x）=ex[x2﹣（a+2）x+b]，曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為2a2x+y﹣b=0，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）確定a，b的關系式（用a表示b）；（Ⅱ）對于任意負數(shù)a，總存在x＞0，使f（x）＜M成立，求實數(shù)M的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】（Ⅰ）求導數(shù)，利用曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為2a2x+y﹣b=0確定a，b的關系式（用a表示b）；（Ⅱ）對于任意負數(shù)a，總存在x＞0，使f（x）＜M成立，即對于任意負數(shù)a，x＞0，使f（x）min＜M成立，即可求實數(shù)M的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex[x2﹣（a+2）x+b]，∴f′（x）=ex[x2﹣ax+b﹣（a+2）]，∴f′（0）=﹣2a2，∴b=a+2﹣2a2；（Ⅱ）對于任意負數(shù)a，總存在x＞0，使f（x）＜M成立，即對于任意負數(shù)a，x＞0，使f（x）min＜M成立，由（Ⅰ）可知f′（x）=ex（x﹣2a）（x+a），令f′（x）=0，可得x=2a，或x=﹣a．a＜0，0＜x＜﹣a，f′（x）＜0，函數(shù)單調遞減，x＞﹣a，f′（x）＞0，函數(shù)單調遞增，∴x＞0，f（x）min=f（﹣a）=e﹣a（3a+2），令g（a）=e﹣a（3a+2），則g′（a）=e﹣a（1﹣3a）＞0，此時函數(shù)單調遞增，即g（a）＜g（0）=2，∴M≥2．20.(本小題滿分13分)已知函數(shù)

.

（Ⅰ）若函數(shù)在處取得極值，求的值；（Ⅱ）當時，討論函數(shù)的單調性.參考答案：

………1分（Ⅰ）因在處有極值，所以有

即…………3分解得

……5分經檢驗，符合題意所以，當在處有極值時，，.(Ⅱ)因，所以令,得,

………7分①

當時,在,有；在有所以的增區(qū)間為,,減區(qū)間為.

…………10分②

當時,在,有；在有所以得增區(qū)間為,減區(qū)間為,.

…………13分綜上所述,當時,得增區(qū)間為,,減區(qū)間為;

當時,得增區(qū)間為,減區(qū)間為,.

略21.（本小題滿分14分）定義：上為增函數(shù)，則稱為“k次比增函數(shù)”，其中，已知.（I）若是“1次比增函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；（II）當時，求函數(shù)上的最小值；（III）求證：參考答案：22.

已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(xiàn)(x)