第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程

會計(jì)學(xué)1第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程３．動(dòng)力學(xué)的形成和發(fā)展與社會進(jìn)步的關(guān)系（1)動(dòng)力學(xué)與鐘表中國古代計(jì)時(shí)方式，主要有三種：銅漏；香篆；圭表。世界上最早的機(jī)械鐘雛形：東漢張衡所造的渾象儀。計(jì)時(shí)方法的關(guān)鍵：標(biāo)準(zhǔn)等時(shí)運(yùn)動(dòng)。

伽利略通過實(shí)驗(yàn)得到了“擺的小擺動(dòng)周期與擺長的平方根成正比”的結(jié)論，從理論上為鐘表的核心裝置——擺奠定了基礎(chǔ)。伽利略對自由落體和擺的研究也標(biāo)志著人類對動(dòng)力學(xué)研究的開始。1657年，惠更斯完成了擺鐘的設(shè)計(jì)。他還發(fā)表了一系列關(guān)于單擺與動(dòng)力學(xué)的重要研究結(jié)果，如向心力和向心加速度的概念。1676年，英國學(xué)者胡克發(fā)表了胡克定律，使人們對彈簧出現(xiàn)了兩項(xiàng)改進(jìn)；彈簧發(fā)條儲能器的改進(jìn)；彈簧擺輪（或游絲）的發(fā)明?；谶@兩項(xiàng)改進(jìn)，便于攜帶的鐘表、懷表、手表開始出現(xiàn)?，F(xiàn)代鐘表由三部分組成：動(dòng)力部分、傳動(dòng)部分和控制部分。更精密的時(shí)標(biāo)：石英晶體振動(dòng)或原子振蕩→→電子表。第1頁/共37頁（2）動(dòng)力學(xué)與現(xiàn)代工業(yè)

機(jī)器和機(jī)械設(shè)計(jì)上的均衡問題、振動(dòng)問題和穩(wěn)定問題，結(jié)構(gòu)物在沖擊和振動(dòng)環(huán)境中的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，交通運(yùn)輸工具的操縱性、穩(wěn)定性和舒適性以及動(dòng)力學(xué)載荷的作用、震動(dòng)等都屬于動(dòng)力學(xué)問題；

高速運(yùn)轉(zhuǎn)機(jī)械的動(dòng)力計(jì)算、高層結(jié)構(gòu)受風(fēng)載及地震的影響，宇宙飛行、火箭的推進(jìn)技術(shù)和運(yùn)行等，更包含著許多動(dòng)力學(xué)問題。第2頁/共37頁４．動(dòng)力學(xué)的力學(xué)模型（1）質(zhì)點(diǎn)：指具有一定質(zhì)量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計(jì)的物體。（2）質(zhì)點(diǎn)系：指由幾個(gè)或無限個(gè)相互有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。包括固體、彈性體和流體。（3）剛體：其中任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的固體。（4）力學(xué)模型簡化的條件

由所研究問題的性質(zhì)所決定，具有相對的概念。第3頁/共37頁第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程第4頁/共37頁本章內(nèi)容及分析思路根據(jù)動(dòng)力學(xué)基本定律質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程求解質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)問題第5頁/共37頁§9-1動(dòng)力學(xué)的基本定律

第一定律(慣性定律):不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。第二定律(力與加速度之間的關(guān)系的定律)

慣性：不受力作用的質(zhì)點(diǎn)(包括受平衡力系作用的質(zhì)點(diǎn))，不是處于靜止?fàn)顟B(tài)，就是保持其原有的速度(包括大小和方向)不變?；颈磉_(dá)式：（9—1）

在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)，上式可寫為（9—2）

式(10—2)是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程，建立了質(zhì)點(diǎn)的加速度、質(zhì)量與作用力之間的定量關(guān)系。第三定律(作用與反作用定律)第6頁/共37頁§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第二定律，有

質(zhì)點(diǎn)受到n個(gè)力作用時(shí)，或（9—3）（9—3）’式（10—3）’是矢量形式的微分方程。

第7頁/共37頁1、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在直角坐標(biāo)軸上的投影設(shè)矢徑在直角坐標(biāo)軸上的投影分別為x，y，z，在軸上的投影分別為，則式在直角坐標(biāo)軸上的投影形式為:

力（9—4）第8頁/共37頁2、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上的投影點(diǎn)的全加速度ɑ式中和為沿軌跡切線和主法線的單位矢量，如圖所示。式(9—3)在自然軸系上的投影式為（9—5）式中和分別是作用于質(zhì)點(diǎn)的各力在切線、為軌跡的曲率半徑。主法線和副法線上的投影，而第9頁/共37頁3、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題1)第一類基本問題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),求作用于質(zhì)點(diǎn)的力.2)第二類基本問題：已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).

作用在質(zhì)點(diǎn)上的力可以是常力或變力，變力可以是時(shí)間、坐標(biāo)、速度的函數(shù)或同時(shí)是上述三種變量的函數(shù)。

求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就是求式（9—4）或（9—5）的解，一次、二次積分。積分常數(shù)由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件決定?？梢?，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不僅決定于作用力，也與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)初始條件有關(guān)。第10頁/共37頁〔補(bǔ)例1〕

電梯如圖所示。已知電梯的加速度ａ＝常數(shù)、方向向上。電梯重量為Ｑ，放在電梯地板上的物質(zhì)重量為Ｐ，求：（1）物體對地板的壓力；（2）電梯吊繩的拉力。

分析：由題意→→動(dòng)力學(xué)問題→→已知運(yùn)動(dòng)求作用力，故屬于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第一類基本問題。解（1）求物體對地板的壓力選取重物為研究對象，進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)分析（如圖b所示）。建立直角坐標(biāo)軸，列運(yùn)動(dòng)微分方程求解式中FN’,為物體對地板的壓力?；虻?1頁/共37頁（２）求吊繩的拉力。式中Ｔ＝Ｑ＋Ｐ，稱為繩索的靜反力?！灿懻摗?/p>

壓力FN,由兩部分組成：物體的重量Ｐ，靜壓力；，附加動(dòng)壓力。超重。當(dāng)ａ=ｇ時(shí)，F(xiàn)N,=0如果加速度方向向下，總壓力為:解得〔討論〕

把繩索動(dòng)反力的值Td和靜反力的值Ｔ的比值稱為動(dòng)荷系數(shù)，用Ｋd表示：取電梯和重物整體為研究對象，受力如圖a所示。選坐標(biāo)軸x，由式（9—4）得投影形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程第12頁/共37頁〔補(bǔ)例2〕如圖所示橋式起重機(jī)上，小車吊著質(zhì)量為ｍ的重物，沿橫向作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為Ｖ。，吊繩長為１。由于突然原因急剎車，重物因慣性繞懸掛點(diǎn)Ｏ向前擺動(dòng)。試求剎車后繩索的最大張力及剎車前后瞬間繩索張力的比。

分析：由題意→→動(dòng)力學(xué)問題→→質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第一類基本問題，先分析重物位于一般位置時(shí)。

解取重物為研究對象，受力如圖所示。取自然軸如圖示，由式（9—5）得重物的運(yùn)動(dòng)微分方程投影式為（1）（2）式中ｖ與φ均為變量。第13頁/共37頁

〔討論〕

起重機(jī)的小車急剎車時(shí)，繩索張力發(fā)生急劇變化。由式（２）得:由式（1）知：

，而ｖ＞０，故重物作減速運(yùn)動(dòng)。因此，在初始位置（剛剎車，φ＝０）時(shí)，重物的速度最大，，此時(shí)，繩索的張力Ｔ’獲得最大值，即

剎車前，重物作勻速直線運(yùn)動(dòng)。由平衡條件知Ｔ’＝Ｔ＝Ｐ。因此剎車前后瞬間動(dòng)荷系數(shù)第14頁/共37頁分析：由題意→→動(dòng)力學(xué)問題→→質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第一類基本問題。運(yùn)動(dòng)方程是,〔補(bǔ)例3〕

質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為,其中求作用在此質(zhì)點(diǎn)上的力。為常量，解：該質(zhì)點(diǎn)的加速度在坐標(biāo)軸上的投影分別為

第15頁/共37頁代入式(9—4)，得作用在此質(zhì)點(diǎn)上的力在軸上的投影為

從運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間，得此質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程合力可以表示為第16頁/共37頁

例9-1曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示.曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng),OA=r,AB=l,當(dāng)比較小時(shí),以O(shè)

為坐標(biāo)原點(diǎn),滑塊B

的運(yùn)動(dòng)方程可近似寫為

如滑塊的質(zhì)量為m,忽略摩擦及連桿AB的質(zhì)量,試求當(dāng),連桿AB所受的力.第17頁/共37頁解:研究滑塊其中已知:則求:第18頁/共37頁有得這屬于動(dòng)力學(xué)第一類問題。當(dāng)?shù)玫?9頁/共37頁

例9-2質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)帶有電荷e,以速度v0進(jìn)入強(qiáng)度按E=Acoskt變化的均勻電場中,初速度方向與電場強(qiáng)度垂直,如圖所示。質(zhì)點(diǎn)在電場中受力

作用。已知常數(shù)A,k,忽略質(zhì)點(diǎn)的重力,試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。第20頁/共37頁分析：1）由題意→→動(dòng)力學(xué)問題→→質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第二類基本問題。2）求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡→→質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程。解:取質(zhì)點(diǎn)為研究對象，受力如圖10-3所示。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在軸和軸上的投影式

(a)按題意以此為下限,式(a)的定積分為(b)第21頁/共37頁得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程軌跡方程(c)[討論]如果，則運(yùn)動(dòng)方程式(c)為，

式不變，這是一個(gè)直線運(yùn)動(dòng)。第22頁/共37頁[補(bǔ)例4]在均勻的靜止液體中，質(zhì)量為

的物體M從液面處無初速下沉，如圖a所示。假設(shè)液體阻力，其中為阻尼系數(shù)。

試分析該物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其特征。分析：由題意→→動(dòng)力學(xué)問題→→質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第二類基本問題。第23頁/共37頁解：將坐標(biāo)系的原點(diǎn)固結(jié)在該點(diǎn)的起始位置上，軸鉛垂向下。該質(zhì)點(diǎn)的受力圖如圖b。

運(yùn)動(dòng)微分方程為或式中.起始條件：時(shí)，

，式(a)的定積分為

解得第24頁/共37頁再分離變量，運(yùn)動(dòng)起始條件為時(shí)，，則有積分得這就是該物體下沉的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

時(shí)，該物體下沉速度將趨近一極限值由式(b)知，當(dāng)時(shí)，稱為物體在液體中自由下沉的極限速度。應(yīng)用：采礦工程中的選礦、農(nóng)業(yè)中的選種。第25頁/共37頁[討論]另選坐標(biāo)系，其原點(diǎn)O在液體底部，軸鉛垂向上。

軸的正向畫出，則該物體的受力圖如圖c所示。設(shè)

仍按為運(yùn)動(dòng)微分方程或運(yùn)動(dòng)起始條件為時(shí)，

。通過兩次分離變量和積分，可得

第26頁/共37頁(說明)在選擇參考系、建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)，宜盡可能將質(zhì)點(diǎn)置于參考坐標(biāo)系的正向位置，使其速度、加速度的分量也沿著坐標(biāo)軸的正向；倘若質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)速度、加速度的分量是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)向，也應(yīng)沿正向來假設(shè)，并畫出其受力圖，建立它的運(yùn)動(dòng)微分方程。3)第一、二類基本問題的綜合問題：有的工程問題既需要求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，又需要求未知的約束力，是第一類基本問題與第二類基本問題綜合在一起的動(dòng)力學(xué)問題，稱為混合問題。第27頁/共37頁

例9-3一圓錐擺,如圖所示。質(zhì)量m=0.1kg的小球系于長l=0.3m的繩上,繩的另一端系在固定點(diǎn)O,并與鉛直線成角。如小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求小球的速度v與繩的張力。第28頁/共37頁繩的張力與拉力F的大小相等。解得其中分析：由題意→→動(dòng)力學(xué)問題→→質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第一、二類基本問題的綜合問題。第29頁/共37頁

例9-4粉碎機(jī)滾筒半徑為Ｒ，繞通過中心的水平軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，筒內(nèi)鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使小球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應(yīng)在時(shí)才掉下來。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n

。第30頁/共37頁解：視鐵球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn).受力如圖b.分析：由題意（滾筒轉(zhuǎn)動(dòng)；求使鐵球在處筒壁的法向約束力＝0的滾筒轉(zhuǎn)速）→→動(dòng)力學(xué)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第一問題→→質(zhì)、二類基本問題的綜合問題。列出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在主法線上的投影式于是解得第31頁/共37頁第32頁/共37頁５）求出末知的力或運(yùn)動(dòng)。對第二類問題要應(yīng)用運(yùn)動(dòng)初始條件確定積分常數(shù)。

〔總結(jié)〕求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題的主要步驟：1）選取某質(zhì)點(diǎn)為研究對象；２）分析作用在質(zhì)點(diǎn)上的力；３）分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。４）選擇恰當(dāng)?shù)耐队拜S，寫出在該軸上的運(yùn)動(dòng)微分方程的投影式；第33頁/共37頁求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題，還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1）物體的受力分析。２）物體的運(yùn)動(dòng)分析。確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是否已知、是直線還是曲線；分析質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)要素是否已知，所用的坐標(biāo)形式。有些情況下雖未直接給出運(yùn)動(dòng)，但經(jīng)過運(yùn)動(dòng)學(xué)的分析可得出結(jié)果也算是已知的第34頁/共37頁建立運(yùn)動(dòng)微分方程a）在什么位置建立點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程，要根據(jù)題意確定。如只需要求某一特殊位置的力或加速度則在特殊位置