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會計(jì)學(xué)1第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程3.動(dòng)力學(xué)的形成和發(fā)展與社會進(jìn)步的關(guān)系(1)動(dòng)力學(xué)與鐘表中國古代計(jì)時(shí)方式,主要有三種:銅漏;香篆;圭表。世界上最早的機(jī)械鐘雛形:東漢張衡所造的渾象儀。計(jì)時(shí)方法的關(guān)鍵:標(biāo)準(zhǔn)等時(shí)運(yùn)動(dòng)。
伽利略通過實(shí)驗(yàn)得到了“擺的小擺動(dòng)周期與擺長的平方根成正比”的結(jié)論,從理論上為鐘表的核心裝置——擺奠定了基礎(chǔ)。伽利略對自由落體和擺的研究也標(biāo)志著人類對動(dòng)力學(xué)研究的開始。1657年,惠更斯完成了擺鐘的設(shè)計(jì)。他還發(fā)表了一系列關(guān)于單擺與動(dòng)力學(xué)的重要研究結(jié)果,如向心力和向心加速度的概念。1676年,英國學(xué)者胡克發(fā)表了胡克定律,使人們對彈簧出現(xiàn)了兩項(xiàng)改進(jìn);彈簧發(fā)條儲能器的改進(jìn);彈簧擺輪(或游絲)的發(fā)明?;谶@兩項(xiàng)改進(jìn),便于攜帶的鐘表、懷表、手表開始出現(xiàn)?,F(xiàn)代鐘表由三部分組成:動(dòng)力部分、傳動(dòng)部分和控制部分。更精密的時(shí)標(biāo):石英晶體振動(dòng)或原子振蕩→→電子表。第1頁/共37頁(2)動(dòng)力學(xué)與現(xiàn)代工業(yè)
機(jī)器和機(jī)械設(shè)計(jì)上的均衡問題、振動(dòng)問題和穩(wěn)定問題,結(jié)構(gòu)物在沖擊和振動(dòng)環(huán)境中的動(dòng)態(tài)響應(yīng),交通運(yùn)輸工具的操縱性、穩(wěn)定性和舒適性以及動(dòng)力學(xué)載荷的作用、震動(dòng)等都屬于動(dòng)力學(xué)問題;
高速運(yùn)轉(zhuǎn)機(jī)械的動(dòng)力計(jì)算、高層結(jié)構(gòu)受風(fēng)載及地震的影響,宇宙飛行、火箭的推進(jìn)技術(shù)和運(yùn)行等,更包含著許多動(dòng)力學(xué)問題。第2頁/共37頁4.動(dòng)力學(xué)的力學(xué)模型(1)質(zhì)點(diǎn):指具有一定質(zhì)量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計(jì)的物體。(2)質(zhì)點(diǎn)系:指由幾個(gè)或無限個(gè)相互有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。包括固體、彈性體和流體。(3)剛體:其中任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的固體。(4)力學(xué)模型簡化的條件
由所研究問題的性質(zhì)所決定,具有相對的概念。第3頁/共37頁第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程第4頁/共37頁本章內(nèi)容及分析思路根據(jù)動(dòng)力學(xué)基本定律質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程求解質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)問題第5頁/共37頁§9-1動(dòng)力學(xué)的基本定律
第一定律(慣性定律):不受力作用的質(zhì)點(diǎn),將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。第二定律(力與加速度之間的關(guān)系的定律)
慣性:不受力作用的質(zhì)點(diǎn)(包括受平衡力系作用的質(zhì)點(diǎn)),不是處于靜止?fàn)顟B(tài),就是保持其原有的速度(包括大小和方向)不變?;颈磉_(dá)式:(9—1)
在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi),上式可寫為(9—2)
式(10—2)是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程,建立了質(zhì)點(diǎn)的加速度、質(zhì)量與作用力之間的定量關(guān)系。第三定律(作用與反作用定律)第6頁/共37頁§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第二定律,有
質(zhì)點(diǎn)受到n個(gè)力作用時(shí),或(9—3)(9—3)’式(10—3)’是矢量形式的微分方程。
第7頁/共37頁1、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在直角坐標(biāo)軸上的投影設(shè)矢徑在直角坐標(biāo)軸上的投影分別為x,y,z,在軸上的投影分別為,則式在直角坐標(biāo)軸上的投影形式為:
力(9—4)第8頁/共37頁2、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上的投影點(diǎn)的全加速度ɑ式中和為沿軌跡切線和主法線的單位矢量,如圖所示。式(9—3)在自然軸系上的投影式為(9—5)式中和分別是作用于質(zhì)點(diǎn)的各力在切線、為軌跡的曲率半徑。主法線和副法線上的投影,而第9頁/共37頁3、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題1)第一類基本問題:已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),求作用于質(zhì)點(diǎn)的力.2)第二類基本問題:已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).
作用在質(zhì)點(diǎn)上的力可以是常力或變力,變力可以是時(shí)間、坐標(biāo)、速度的函數(shù)或同時(shí)是上述三種變量的函數(shù)。
求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就是求式(9—4)或(9—5)的解,一次、二次積分。積分常數(shù)由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件決定??梢?,質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不僅決定于作用力,也與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)初始條件有關(guān)。第10頁/共37頁〔補(bǔ)例1〕
電梯如圖所示。已知電梯的加速度a=常數(shù)、方向向上。電梯重量為Q,放在電梯地板上的物質(zhì)重量為P,求:(1)物體對地板的壓力;(2)電梯吊繩的拉力。
分析:由題意→→動(dòng)力學(xué)問題→→已知運(yùn)動(dòng)求作用力,故屬于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第一類基本問題。解(1)求物體對地板的壓力選取重物為研究對象,進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)分析(如圖b所示)。建立直角坐標(biāo)軸,列運(yùn)動(dòng)微分方程求解式中FN’,為物體對地板的壓力?;虻?1頁/共37頁(2)求吊繩的拉力。式中T=Q+P,稱為繩索的靜反力?!灿懻摗?/p>
壓力FN,由兩部分組成:物體的重量P,靜壓力;,附加動(dòng)壓力。超重。當(dāng)a=g時(shí),F(xiàn)N,=0如果加速度方向向下,總壓力為:解得〔討論〕
把繩索動(dòng)反力的值Td和靜反力的值T的比值稱為動(dòng)荷系數(shù),用Kd表示:取電梯和重物整體為研究對象,受力如圖a所示。選坐標(biāo)軸x,由式(9—4)得投影形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程第12頁/共37頁〔補(bǔ)例2〕如圖所示橋式起重機(jī)上,小車吊著質(zhì)量為m的重物,沿橫向作勻速運(yùn)動(dòng),速度為V。,吊繩長為1。由于突然原因急剎車,重物因慣性繞懸掛點(diǎn)O向前擺動(dòng)。試求剎車后繩索的最大張力及剎車前后瞬間繩索張力的比。
分析:由題意→→動(dòng)力學(xué)問題→→質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第一類基本問題,先分析重物位于一般位置時(shí)。
解取重物為研究對象,受力如圖所示。取自然軸如圖示,由式(9—5)得重物的運(yùn)動(dòng)微分方程投影式為(1)(2)式中v與φ均為變量。第13頁/共37頁
〔討論〕
起重機(jī)的小車急剎車時(shí),繩索張力發(fā)生急劇變化。由式(2)得:由式(1)知:
,而v>0,故重物作減速運(yùn)動(dòng)。因此,在初始位置(剛剎車,φ=0)時(shí),重物的速度最大,,此時(shí),繩索的張力T’獲得最大值,即
剎車前,重物作勻速直線運(yùn)動(dòng)。由平衡條件知T’=T=P。因此剎車前后瞬間動(dòng)荷系數(shù)第14頁/共37頁分析:由題意→→動(dòng)力學(xué)問題→→質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第一類基本問題。運(yùn)動(dòng)方程是,〔補(bǔ)例3〕
質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為,其中求作用在此質(zhì)點(diǎn)上的力。為常量,解:該質(zhì)點(diǎn)的加速度在坐標(biāo)軸上的投影分別為
第15頁/共37頁代入式(9—4),得作用在此質(zhì)點(diǎn)上的力在軸上的投影為
從運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間,得此質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程合力可以表示為第16頁/共37頁
例9-1曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示.曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng),OA=r,AB=l,當(dāng)比較小時(shí),以O(shè)
為坐標(biāo)原點(diǎn),滑塊B
的運(yùn)動(dòng)方程可近似寫為
如滑塊的質(zhì)量為m,忽略摩擦及連桿AB的質(zhì)量,試求當(dāng),連桿AB所受的力.第17頁/共37頁解:研究滑塊其中已知:則求:第18頁/共37頁有得這屬于動(dòng)力學(xué)第一類問題。當(dāng)?shù)玫?9頁/共37頁
例9-2質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)帶有電荷e,以速度v0進(jìn)入強(qiáng)度按E=Acoskt變化的均勻電場中,初速度方向與電場強(qiáng)度垂直,如圖所示。質(zhì)點(diǎn)在電場中受力
作用。已知常數(shù)A,k,忽略質(zhì)點(diǎn)的重力,試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。第20頁/共37頁分析:1)由題意→→動(dòng)力學(xué)問題→→質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第二類基本問題。2)求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡→→質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程。解:取質(zhì)點(diǎn)為研究對象,受力如圖10-3所示。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在軸和軸上的投影式
(a)按題意以此為下限,式(a)的定積分為(b)第21頁/共37頁得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程軌跡方程(c)[討論]如果,則運(yùn)動(dòng)方程式(c)為,
式不變,這是一個(gè)直線運(yùn)動(dòng)。第22頁/共37頁[補(bǔ)例4]在均勻的靜止液體中,質(zhì)量為
的物體M從液面處無初速下沉,如圖a所示。假設(shè)液體阻力,其中為阻尼系數(shù)。
試分析該物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其特征。分析:由題意→→動(dòng)力學(xué)問題→→質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第二類基本問題。第23頁/共37頁解:將坐標(biāo)系的原點(diǎn)固結(jié)在該點(diǎn)的起始位置上,軸鉛垂向下。該質(zhì)點(diǎn)的受力圖如圖b。
運(yùn)動(dòng)微分方程為或式中.起始條件:時(shí),
,式(a)的定積分為
解得第24頁/共37頁再分離變量,運(yùn)動(dòng)起始條件為時(shí),,則有積分得這就是該物體下沉的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。
時(shí),該物體下沉速度將趨近一極限值由式(b)知,當(dāng)時(shí),稱為物體在液體中自由下沉的極限速度。應(yīng)用:采礦工程中的選礦、農(nóng)業(yè)中的選種。第25頁/共37頁[討論]另選坐標(biāo)系,其原點(diǎn)O在液體底部,軸鉛垂向上。
軸的正向畫出,則該物體的受力圖如圖c所示。設(shè)
仍按為運(yùn)動(dòng)微分方程或運(yùn)動(dòng)起始條件為時(shí),
。通過兩次分離變量和積分,可得
第26頁/共37頁(說明)在選擇參考系、建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí),宜盡可能將質(zhì)點(diǎn)置于參考坐標(biāo)系的正向位置,使其速度、加速度的分量也沿著坐標(biāo)軸的正向;倘若質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)速度、加速度的分量是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)向,也應(yīng)沿正向來假設(shè),并畫出其受力圖,建立它的運(yùn)動(dòng)微分方程。3)第一、二類基本問題的綜合問題:有的工程問題既需要求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,又需要求未知的約束力,是第一類基本問題與第二類基本問題綜合在一起的動(dòng)力學(xué)問題,稱為混合問題。第27頁/共37頁
例9-3一圓錐擺,如圖所示。質(zhì)量m=0.1kg的小球系于長l=0.3m的繩上,繩的另一端系在固定點(diǎn)O,并與鉛直線成角。如小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng),求小球的速度v與繩的張力。第28頁/共37頁繩的張力與拉力F的大小相等。解得其中分析:由題意→→動(dòng)力學(xué)問題→→質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第一、二類基本問題的綜合問題。第29頁/共37頁
例9-4粉碎機(jī)滾筒半徑為R,繞通過中心的水平軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng),筒內(nèi)鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使小球獲得粉碎礦石的能量,鐵球應(yīng)在時(shí)才掉下來。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n
。第30頁/共37頁解:視鐵球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn).受力如圖b.分析:由題意(滾筒轉(zhuǎn)動(dòng);求使鐵球在處筒壁的法向約束力=0的滾筒轉(zhuǎn)速)→→動(dòng)力學(xué)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第一問題→→質(zhì)、二類基本問題的綜合問題。列出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在主法線上的投影式于是解得第31頁/共37頁第32頁/共37頁5)求出末知的力或運(yùn)動(dòng)。對第二類問題要應(yīng)用運(yùn)動(dòng)初始條件確定積分常數(shù)。
〔總結(jié)〕求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題的主要步驟:1)選取某質(zhì)點(diǎn)為研究對象;2)分析作用在質(zhì)點(diǎn)上的力;3)分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。4)選擇恰當(dāng)?shù)耐队拜S,寫出在該軸上的運(yùn)動(dòng)微分方程的投影式;第33頁/共37頁求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題,還應(yīng)注意以下幾點(diǎn):1)物體的受力分析。2)物體的運(yùn)動(dòng)分析。確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是否已知、是直線還是曲線;分析質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)要素是否已知,所用的坐標(biāo)形式。有些情況下雖未直接給出運(yùn)動(dòng),但經(jīng)過運(yùn)動(dòng)學(xué)的分析可得出結(jié)果也算是已知的第34頁/共37頁建立運(yùn)動(dòng)微分方程a)在什么位置建立點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程,要根據(jù)題意確定。如只需要求某一特殊位置的力或加速度則在特殊位置
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