第二章測量誤差分析

會計學1第二章測量誤差分析解決的問題認識測量誤差存在的規(guī)律性；找出消除或減小誤差對測量結果影響的方法；獲得正確合理的測量結果。第1頁/共40頁2.1隨機誤差的分布規(guī)律第2頁/共40頁一、隨機誤差的正態(tài)分布性質有界性：在一定的相當窄的范圍內變動；單峰性：絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率大，絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率小。對稱性：大小相等、符號相反的隨機誤差出現(xiàn)的概率相同。抵償性：在等精度測量條件下，測量次數(shù)趨于無窮時，全部隨機誤差的算術平均值趨于零。第3頁/共40頁隨機誤差服從正態(tài)分布規(guī)律，分布密度函數(shù)：第4頁/共40頁隨機誤差服從正態(tài)分布規(guī)律。均方根誤差：σ第5頁/共40頁二、正態(tài)分布密度函數(shù)與概率積分正態(tài)分布密度函數(shù)是一個曲線族。σ的大小表征測定值在真值周圍的彌散程度。σ值愈小，表明測量的精密度愈高。第6頁/共40頁在一定條件下進行等精度測量時，任何單次測定值的誤差δi可能都不等于σ，一系列測定值卻有同樣的均方根誤差σ。隨機誤差的性質決定了不可能獲得單個測定值的真誤差δi的數(shù)值。第7頁/共40頁只能是在一定的概率意義之下估計測量隨機誤差數(shù)值的范圍，或者求得誤差出現(xiàn)于某個區(qū)間的概率。這里需要用到概率積分。第8頁/共40頁第9頁/共40頁2.2直接測量誤差分析與處理第10頁/共40頁解決的問題：如何根據(jù)有限次的直接測量估計被測量真值？如何衡量這種估計的精密度？第11頁/共40頁兩個概念子樣平均值：代表由n個元素x1，x2，…，xn組成的子樣的散布中心，表示為：子樣方差：描述子樣在其平均值附近散步程度，表示為：第12頁/共40頁一、算術平均值原理、真值的估計最大似然估計值根據(jù)最大似然原理，使測定值x1，x2，…，xn同時出現(xiàn)的概率P達到最大的參數(shù)值，就是未知參數(shù)的最大似然估計值。第13頁/共40頁一、算術平均值原理、真值的估計測定值子樣平均值是被測量真值的最大似然估計值。用測定值子樣平均值估計被測量的真值應該具有協(xié)調性和有效性，由于測定值子樣平均值的數(shù)學期望恰好就是被測量真值：第14頁/共40頁算術平均值原理：測定值子樣的算術平均值是被測量真值的最佳估計值。均方根誤差：說明：用測定值子樣平均值估計被測量真值比用單次測量測定值估計具有更高的精密度。第15頁/共40頁二、均方根誤差的估計與貝塞爾公式第16頁/共40頁三、測量結果的置信度

在實際測量過程中，我們真正關心的是被測量真值μ。確切地說，關心的是真值μ處于區(qū)間內的概率。表示在寬度一定（2λ），中心值（為）作隨機變動的隨機區(qū)間

內包含被測量真值，這一事件的概率。

第17頁/共40頁如果線段與真值相交，表明區(qū)間內包含有被測量真值；不相交，表明在相應的區(qū)間內不包含真值。第18頁/共40頁定義區(qū)間為測量結果置信區(qū)間，也稱置信限；λ為置信區(qū)間半長，也稱誤差限。置信概率為。置信區(qū)間與置信概率共同表明測量結果的置信度，即測量結果的可信程度。測量結果完整表達式：測量結果＝子樣平均值±置信區(qū)間半長

（置信概率P＝？）第19頁/共40頁例題2-1

在等精度測量條件下對某透平機械的轉速進行了20次測量，獲得如下的一列測定值(單位：r／min)

4753.14757.54752.74752.84752.14751.04753.94751.24750.34753.34752.34748.44752.54754.74750.0試求該透平機轉速(設測量結果的置信概率＝95％)。第20頁/共40頁計算測定值子樣平均值；第21頁/共40頁由貝塞爾公式計算均方根誤差σ；第22頁/共40頁對于給定的置信概率P，求置信區(qū)間半長λ。設，且記第23頁/共40頁查表2-1，得z=1.96，故測量結果表達為：轉速＝4752.0±0.9（r/min）(P=95%)第24頁/共40頁四、測量結果的誤差評價置信區(qū)間半長，是測量的誤差限，即測量誤差。它不是個別測定值與真值之間的真誤差，而是指真誤差在一定概率之下可能出現(xiàn)的一個范圍界限。實際測量中用測量誤差對測量結果進行誤差評價。第25頁/共40頁1.標準誤差均方根誤差定義為測量列的標準誤差。若測量結果用單次測定值表示：測量結果＝單次測定值x±標準誤差σP＝(68.3％）若測量結果用測定值子樣平均值表示：測量結果＝子樣平均值±標準誤差（P＝68.3％）第26頁/共40頁2.極限誤差測量列標準誤差的三倍，定義為極限誤差Δ。

Δ＝3σ被測量真值落在x±3σ范圍之內的概率接近100%3.平均誤差4.或然誤差第27頁/共40頁五、小子樣誤差分析，t分布及其應用當測量次數(shù)較少時（n<10次），則應按t分布計算誤差限。自由度t分布與母體均方根誤差無關，只與子樣容量n有關。第28頁/共40頁測量結果表示為：測量結果＝第29頁/共40頁當測量次數(shù)較少時（n<10次），則應按t分布計算誤差限。若仍用正態(tài)分布對小子樣進行誤差估計，往往會得到“太好”的結果。第30頁/共40頁2.5粗大誤差第31頁/共40頁產(chǎn)生原因測量者的主觀原因測量時操作不當，或粗心、疏失而造成讀數(shù)、記錄的錯誤；客觀外界條件的原因測量條件以外改變引起儀表示值的改變。第32頁/共40頁一、拉伊特準則如果測量列中某一測定殘差的絕對值大于該測量列標準偏差的3倍，認為該測量列有粗大偏差存在。它是一種最簡單的方法，但是當測量次數(shù)n≤10時，即使測量列中有粗大誤差，此準則也判定不出來。第33頁/共40頁二、格拉布斯準則當測量次數(shù)較少時，用以t分布為基礎的格拉布斯準則判定粗大誤差的存在比較合理。第34頁/共40頁2.7誤差的綜合第35頁/共40頁一、隨機誤差的綜合若測量結果中含有k項彼此獨立的隨機誤差，各單項測量的標準誤差分別為σ1，σ2，…,σk,隨機誤差的綜合效應是平方和之均方根，即綜合的標準誤差。第36頁/共40頁第37頁/共4