第二節(jié)換元積分法

會(huì)計(jì)學(xué)1第二節(jié)換元積分法定理1設(shè)u=φ(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo),g(u)在[α.β]上有原函數(shù)G(u),則不定積分存在,且證明:用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，驗(yàn)證第1頁/共39頁

第一換元積分法(湊元法)的關(guān)鍵是把f(x)dx湊成g(φ(x))φ’(x)dx如何湊?這是一個(gè)技巧性很強(qiáng)的工作，要求我們熟練掌握基本積分公式。在解題前需要一些三角函數(shù)的恒等變換,分子分母的有理化,分子加減某項(xiàng)等方法.但不同的方法得到積分的結(jié)果往往不相同,我們可通過求導(dǎo)可知道它們是否同一被積函數(shù).

“湊”的方法：通常把較復(fù)雜的函數(shù)看成g(φ(x))第2頁/共39頁例1例2的積分，對于形如當(dāng)m,n中有一個(gè)為奇數(shù)時(shí)，總可以用這個(gè)方法處理.第3頁/共39頁例3例4例5第4頁/共39頁(1)關(guān)于自變量是線性形式,例如(2)被積函數(shù)可寫成常見的湊元法有以下幾種情況:的形式，例如第5頁/共39頁(3)被積函數(shù)可寫成f(xn)xn-1

的形式,例如(4)被積函數(shù)可寫成g(xn)x2n-1

的形式,例如(5)被積函數(shù)可寫成f(sinx)cosx或f(cosx)sinx的形式,例如第6頁/共39頁(6)被積函數(shù)可寫成(7)利用三角函數(shù)公式,常用的三角形式:①倍角公式②積化和差公式的形式,例如第7頁/共39頁此外，常用的三角公式還有sec2x=1+tg2

x等例如第8頁/共39頁第9頁/共39頁例6第10頁/共39頁例7例8第11頁/共39頁例9例10第12頁/共39頁例11例12例13第13頁/共39頁例14例15第14頁/共39頁例16第15頁/共39頁二、第二換元法

定理設(shè)x=ψ(t)是單調(diào),可導(dǎo)的函數(shù),并且ψ’(t)≠0,又設(shè)f(ψ(t))ψ’(t)具有原函數(shù)φ(t),則有換元公式成立，其中是x=ψ(t)的反函數(shù).第16頁/共39頁證明:第17頁/共39頁公式成立是有條件的.1)等號右邊的不定積分或原函數(shù)要存在,且容易積分.2)求出后要用反函數(shù)代回原變量.單調(diào)性是保證反函數(shù)的存在.常用的變量代換有下列四種類型：第18頁/共39頁

利用三角函數(shù)進(jìn)行代換,可以使被積函數(shù)簡單

當(dāng)被積函數(shù)含有平方和或平方差的二次根式時(shí),根據(jù)恰當(dāng)?shù)娜呛愕仁阶魅谴鷵Q.例如對1、三角代換第19頁/共39頁例1求解:第20頁/共39頁例2求解:第21頁/共39頁第22頁/共39頁例3求第23頁/共39頁把x>a及x<-a的結(jié)合起來,我們得到第24頁/共39頁從上面的例子可看出:可作代換x=asint化去根式;，如果被積函數(shù)含有，可作代換x=atant化去根式;如果被積函數(shù)含有如果被積函數(shù)含有，可作代換x=±asect化去根式;但具體解題時(shí)要分析被積函數(shù)的具體情況,選取盡可能簡捷的代換.例如第25頁/共39頁

當(dāng)被積函數(shù)是三角有理式時(shí),作“萬能”代換,將被積函數(shù)有理化.第26頁/共39頁例4求第27頁/共39頁還有一部分采用反三角函數(shù)代換，例如tx1第28頁/共39頁例5求2、根式代換目的是將無理數(shù)變成有理數(shù),便于積分第29頁/共39頁例6求3、倒數(shù)代換第30頁/共39頁第31頁/共39頁，應(yīng)用雙曲代換例7求4、雙曲代換當(dāng)被積函數(shù)含有根號第32頁/共39頁時(shí)有類似的結(jié)果,綜合得到第33頁/共39頁

下面的積分在今后的計(jì)算中常會(huì)遇到,我們可把它們作為積分公式處理.第34頁/共39頁例8求解: