第9章差錯(cuò)控制編碼

會(huì)計(jì)學(xué)1第9章差錯(cuò)控制編碼常用的差錯(cuò)控制方法有以下幾種：檢錯(cuò)重發(fā)法——接收端在收到的信碼中檢測(cè)出(發(fā)現(xiàn))錯(cuò)碼時(shí)，即設(shè)法通知發(fā)送端重發(fā)，直到正確收到為止。前向糾錯(cuò)法——接收端不僅能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)碼，還能夠確定錯(cuò)碼的位置，能夠糾正它。反饋校驗(yàn)法——接收端將收到的信碼原封不動(dòng)地轉(zhuǎn)發(fā)回發(fā)送端與原信碼比較。若發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤則發(fā)端重發(fā)。三種差錯(cuò)控制方法可以結(jié)合使用。第1頁(yè)/共118頁(yè)接收端根據(jù)什么來(lái)識(shí)別有無(wú)錯(cuò)碼——由發(fā)送端的信道編碼器在信息碼元序列中增加一些監(jiān)督碼元。這些監(jiān)督碼和信碼之間有確定的關(guān)系，使接收端可以利用這種關(guān)系由信道譯碼器來(lái)發(fā)現(xiàn)或糾正可能存在的錯(cuò)碼。在信息碼元序列中加入監(jiān)督碼元就稱為差錯(cuò)控制編碼，有時(shí)也稱為糾錯(cuò)編碼。差錯(cuò)控制編碼原則上是以降低信息傳輸速率為代價(jià)來(lái)?yè)Q取傳輸可靠性的提高。第2頁(yè)/共118頁(yè)ARQ系統(tǒng)組成信源編碼器和緩沖存儲(chǔ)重發(fā)控制雙向信道譯碼器指令產(chǎn)生緩沖存儲(chǔ)收信者ARQ優(yōu)點(diǎn)：冗余碼元少、對(duì)信道有自適應(yīng)能力、成本和復(fù)雜性低；ARQ缺點(diǎn)：需要反向信道、重發(fā)控制較復(fù)雜、干擾大通信效率低、實(shí)時(shí)性差。第3頁(yè)/共118頁(yè)例：3位二進(jìn)制數(shù)字構(gòu)成的碼組，共有8種不同的組合。若將其全部利用來(lái)表示天氣，則可以表示8種不同的天氣。000(晴)，001(多云)，010(陰)，011(雨)，100(雪)，101(霜)，110(霧)，111(雹)。任一碼組在傳輸中若發(fā)生一個(gè)或多個(gè)措碼．則將變成另一信息碼組。這時(shí)接收端將無(wú)法發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤?！?.2糾錯(cuò)編碼的基本原理第4頁(yè)/共118頁(yè)若：000=晴001=不可用010=不可用011=云100=不可用101=陰110=雨111=不可用則：雖然只能傳送4種不同的天氣．但是接收消卻有可能發(fā)現(xiàn)碼組中的一個(gè)錯(cuò)碼。例如，若000(晴)中錯(cuò)了一位，則接收碼組將變成100或010或001，這三種碼組都是不準(zhǔn)許使用的，稱為禁用碼組，故接收端在收到禁用碼組時(shí)，就認(rèn)為發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)碼。第5頁(yè)/共118頁(yè)但是這種碼不能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)措碼，因?yàn)榘l(fā)生兩個(gè)錯(cuò)碼后產(chǎn)生的是許用碼組。上述碼只能檢測(cè)錯(cuò)誤，不能糾正錯(cuò)誤。例如，當(dāng)收到的碼組為禁用碼組100時(shí)，無(wú)法判斷是哪一位碼發(fā)生了錯(cuò)誤．因?yàn)榍?、陰、雨三者錯(cuò)了一位都可以變成100。要想能糾正錯(cuò)誤，還要增加多余度。例如，苦規(guī)定許用碼組只有兩個(gè)：000(晴)、111(雨)、其余都是禁用碼組。這時(shí)，接收?qǐng)瞿軝z測(cè)兩個(gè)以下錯(cuò)碼，或能糾正一個(gè)錯(cuò)碼。第6頁(yè)/共118頁(yè)分組碼的一般概念。為了傳輸4種不同的信息，用兩位二進(jìn)制碼組就夠了，它們是：00、01、10、11。代表所傳信息的這些兩位碼，稱為信息位。前面使用3位碼，多出的一位稱為監(jiān)督位。信息碼分組，每組信碼附加若干監(jiān)督碼的編碼集合，稱為分組碼。例如第7頁(yè)/共118頁(yè)第8頁(yè)/共118頁(yè)分組碼的結(jié)構(gòu)符號(hào)(n，k)表示分組碼k——信息碼元數(shù)n——碼組長(zhǎng)度(碼長(zhǎng))n-k——監(jiān)督碼元數(shù)an-1an-2ar…………ar-1a0k位信息位r位監(jiān)督位n=k+r時(shí)間第9頁(yè)/共118頁(yè)碼重、碼距與碼的糾檢錯(cuò)能力碼重——“1”的數(shù)量稱為碼組的重量碼距——兩個(gè)碼組對(duì)應(yīng)位上數(shù)字不同的位數(shù)稱為碼組的距離，簡(jiǎn)稱碼距。又稱漢明(Hamming)距離。最小碼距——某種編碼中各個(gè)碼組間距離的最小值稱為最小碼距(d0)。若記：d0——最小碼距；

e——檢錯(cuò)位數(shù)；

t——糾錯(cuò)位數(shù)；則有：第10頁(yè)/共118頁(yè)（1）e

+1≤d0，即碼的檢錯(cuò)能力e比最小碼距d0小1位；（2）2t+1≤d0，即碼的糾錯(cuò)能力t的2倍比最小碼距d0小1位；（3）e

+t+1≤d0，即若碼同時(shí)糾t個(gè)錯(cuò)并檢出e個(gè)錯(cuò)誤，則e

+t比最小碼距d0小1位。以下說(shuō)明：第11頁(yè)/共118頁(yè)（1）e

+1≤d0第12頁(yè)/共118頁(yè)（2）2t

+1≤d0第13頁(yè)/共118頁(yè)（3）t

+e+1≤d0第14頁(yè)/共118頁(yè)差錯(cuò)控制編碼的效用

假設(shè):發(fā)送“0”的錯(cuò)誤概率和發(fā)送“1”的錯(cuò)誤概率相等，都等于P，且P<<1，則在碼長(zhǎng)為n的碼組中恰好發(fā)生r個(gè)錯(cuò)碼的概率為例如，當(dāng)碼長(zhǎng)n＝7時(shí)，p=10-3則有P7(1)≈7p=7×10-3

；P7(2)≈21p2=2.1×10-5

；第15頁(yè)/共118頁(yè)P(yáng)7(3)≈35p3=3.5×10-8?？梢?jiàn)，采用差錯(cuò)控制編碼，即使僅能糾正(或檢測(cè))這種碼組中1—2個(gè)錯(cuò)誤，也可以使誤碼率下降幾個(gè)數(shù)量級(jí)。這就表明，即使是較簡(jiǎn)單的差錯(cuò)控制編碼也具有較大實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。第16頁(yè)/共118頁(yè)§9.3常用的簡(jiǎn)單編碼1．奇偶監(jiān)督碼——奇偶監(jiān)督碼包括奇數(shù)監(jiān)督碼和偶數(shù)監(jiān)督碼。只有一位監(jiān)督位。在偶監(jiān)督碼中，監(jiān)督位使碼組中“l(fā)”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，即滿足下式條件在奇監(jiān)督碼中，監(jiān)督位使碼組中“l(fā)”的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，即滿足下式條件第17頁(yè)/共118頁(yè)2．二維奇偶監(jiān)督碼——又稱方陣碼。每一行是奇偶監(jiān)督碼的一個(gè)碼組，若干碼組再按列排列成矩陣，每列增加一位監(jiān)督位。第18頁(yè)/共118頁(yè)二維奇偶監(jiān)督碼特點(diǎn)：可檢測(cè)偶數(shù)個(gè)錯(cuò)誤適于檢測(cè)突發(fā)錯(cuò)碼。不僅可檢錯(cuò)，還可糾一些錯(cuò)。檢錯(cuò)能力強(qiáng)。第19頁(yè)/共118頁(yè)3．恒比碼——每個(gè)碼組均含有相同數(shù)目的“1”(和“0”)。應(yīng)用：電傳機(jī)傳輸漢字，每個(gè)漢字用4位阿拉伯?dāng)?shù)字表示。每個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字又用5位二進(jìn)制符號(hào)構(gòu)成的碼組表示。每個(gè)碼組的長(zhǎng)度為5位，其中恒有3個(gè)1，稱為5中取3恒比碼。可能編成的不同碼組數(shù)等于從5中取3組合數(shù)＝30。30種許用碼組恰好可用來(lái)表示10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字。第20頁(yè)/共118頁(yè)4．正反碼——一種簡(jiǎn)單的能夠糾正錯(cuò)碼的編碼。其中的監(jiān)督位數(shù)與信息位數(shù)相同，監(jiān)督碼元與信息碼元相同(是信息碼的重復(fù))或者相反(是信息碼的反碼)。由信息碼中“1”的個(gè)數(shù)而定。解碼方法：先將接收碼組中信息位和監(jiān)督值按位模2相加，產(chǎn)生校驗(yàn)碼組。最后，觀察校驗(yàn)碼組中“1”的個(gè)數(shù)，按表9—3進(jìn)行判決及糾正可能發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)碼。第21頁(yè)/共118頁(yè)§9.4線性分組碼

從上節(jié)介紹的一些簡(jiǎn)單編碼可以看出，每種編碼所依據(jù)的原理各不相同，而且是大不相同，其中奇偶監(jiān)督碼的編碼原理利用了代數(shù)關(guān)系式。我們把這類建立在代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的編碼稱為代數(shù)碼。在代數(shù)碼中，常見(jiàn)的是線性碼。線性碼中信息位和監(jiān)督位是由一些線性代數(shù)方程聯(lián)系著的，或者說(shuō)，線性碼是按一組線性方程構(gòu)成的。本節(jié)將以漢明(Hamming)碼為例引入線性分組碼的一般原理。第22頁(yè)/共118頁(yè)回顧奇偶監(jiān)督碼在接收端解碼時(shí)，實(shí)際上就是在計(jì)算若S＝0，認(rèn)為無(wú)錯(cuò)；若S＝1，認(rèn)為有錯(cuò)。上式稱為監(jiān)督關(guān)系式，S稱為校正子。S只有兩種取值，只能代表有、無(wú)錯(cuò)兩種信息，不能指出錯(cuò)碼位置。如果監(jiān)督位增加一位，則增加一個(gè)監(jiān)督關(guān)系式。由于兩個(gè)校正子的可能值有4種組合：00，01，10，11，故能表示4種不同狀態(tài)。第23頁(yè)/共118頁(yè)若用其一種表示無(wú)錯(cuò)，則其余3種就可能用來(lái)指示一位錯(cuò)碼的3種不同位置。同理r個(gè)監(jiān)督關(guān)系式能指示一位錯(cuò)碼的(2r-1)個(gè)可能位置。一般地，若碼長(zhǎng)為n，信息位數(shù)為k，則監(jiān)督位數(shù)r=n-k。如果希望用r個(gè)監(jiān)督位構(gòu)造出r個(gè)監(jiān)督關(guān)系式來(lái)指示一位錯(cuò)碼的n種可能位置，則要求

2r-1≥n，或者2r≥r+k+1第24頁(yè)/共118頁(yè)舉例說(shuō)明如何構(gòu)造監(jiān)督關(guān)系式：設(shè)(n，k)分組碼中r=4。為了糾正一位錯(cuò)碼，要求監(jiān)督拉數(shù)r≥3。若取r=3，則n=k+r=7。校正子與錯(cuò)碼位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表9—4規(guī)定(也可以另外規(guī)定)。S1S2S3錯(cuò)碼位置S1S2S3錯(cuò)碼位置001A0101A4010A1110A5100A2111A6011A3000無(wú)錯(cuò)第25頁(yè)/共118頁(yè)由表可見(jiàn)，當(dāng)一錯(cuò)碼在a2,a4，a5或a6時(shí)校正子S為1；否則S為0即構(gòu)成如下關(guān)系同理在發(fā)送端編碼時(shí)，信息位a6a5a4a3的值決定于穩(wěn)入信號(hào)，因此它們是隨機(jī)的。監(jiān)督值a2a1ao應(yīng)根據(jù)信息位的取值按監(jiān)督關(guān)系來(lái)確定．即監(jiān)督位應(yīng)使上三式中的值為零(表示編成的碼組中應(yīng)無(wú)錯(cuò)碼)，由此得到方程組第26頁(yè)/共118頁(yè)由此解出給定信息位后，可直接按上式算出監(jiān)督位，其結(jié)果如表9—5所列。第27頁(yè)/共118頁(yè)信息位監(jiān)督位信息位監(jiān)督位a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2a1a00000000100011100010111001100001010110100100011110101100101001101100001010110111010100110011111010001110001111111第28頁(yè)/共118頁(yè)

接收端收到每個(gè)碼組后，先按監(jiān)督方程計(jì)算出S1、S2、S3，再按表9—4判斷錯(cuò)碼情況。例，接收0000011，可得：S1S2S3=011。由表9—4可知在a3位有錯(cuò)碼。

(7，4)漢明碼：最小碼距d0=3糾一個(gè)錯(cuò)碼或檢測(cè)兩個(gè)錯(cuò)碼。編碼效率k/n=(2r-1-r)／(2r-1)=I-r／n。當(dāng)n很大時(shí)，則編碼效率接近1。第29頁(yè)/共118頁(yè)線性分組碼的—般原理。線性分組碼是指信息位和監(jiān)督位滿足一組線性方程的編碼。改寫(xiě)為第30頁(yè)/共118頁(yè)(模2)簡(jiǎn)記為或第31頁(yè)/共118頁(yè)稱為監(jiān)督矩陣H矩陣的各個(gè)行是線性無(wú)關(guān)的行數(shù)=監(jiān)督位數(shù)，列數(shù)=碼字長(zhǎng)度典型陣第32頁(yè)/共118頁(yè)第33頁(yè)/共118頁(yè)轉(zhuǎn)置得第34頁(yè)/共118頁(yè)稱為生成矩陣第35頁(yè)/共118頁(yè)生成矩陣G的每一行都是一個(gè)碼組。例如，（參照前頁(yè)矩陣G）。利用生成矩陣，碼字再由得，第36頁(yè)/共118頁(yè)譯碼,若發(fā)送碼組為接收碼組為二者之差為其中E稱為錯(cuò)誤圖樣。表示該位接收碼元無(wú)錯(cuò)；表示該位接收碼元有錯(cuò)。第37頁(yè)/共118頁(yè)

接收端譯碼時(shí)計(jì)算當(dāng)接收碼組無(wú)錯(cuò)時(shí)．S等于零有錯(cuò)但不超過(guò)檢錯(cuò)能力時(shí)，S不等于零。在錯(cuò)碼超過(guò)檢錯(cuò)能力時(shí)，B變?yōu)榱硪辉S用碼組，仍能成立S等于零。這樣的錯(cuò)碼是不可檢測(cè)的。S稱為校正子(伴隨式)。S只與E有關(guān)，而與A無(wú)關(guān)，意味著S與E有的線性變換關(guān)系，能與E一一對(duì)應(yīng)，可指示錯(cuò)碼位置。第38頁(yè)/共118頁(yè)

線性碼重要性質(zhì)之一，是它具有封閉性。若：A1和A2是線性碼中的兩個(gè)許用碼組，則：(A1+A2)仍為其中的一個(gè)碼組。由封閉性，兩個(gè)碼組之間的距離必是另一碼組的重量。故碼的最小距離即是碼的最小重量(除全“0”碼組外)。線性碼又稱群碼，這是由于線性碼的各許用碼組構(gòu)成代數(shù)學(xué)中的群。第39頁(yè)/共118頁(yè)§9.5

循環(huán)碼9.5.1循環(huán)碼原理：在線性分組碼中，有一種重要的碼稱為循環(huán)碼。循環(huán)碼除了具有線性碼的一般性質(zhì)外．還具有循環(huán)性，即任一碼組循環(huán)一位(將最右端的碼元移至左端，或反之)以后，仍為該碼中的一個(gè)碼組。即若是許用碼組，則也是許用碼組。第40頁(yè)/共118頁(yè)循環(huán)碼舉例——(7,3)循環(huán)碼碼組信息位監(jiān)督位碼組信息位監(jiān)督位編號(hào)a6a5a4a3a2a1a0編號(hào)a6a5a4a3a2a1a00000000041001011100101115101110020101000611001013011100171110010第41頁(yè)/共118頁(yè)碼組的多項(xiàng)式表示——碼多項(xiàng)式。例如A=1100101A(x)=1x6+1x5+0x4+0x3+1x2+0x1+1x0=x6+x5+x2+1碼多項(xiàng)式表示具有線性的性質(zhì)第42頁(yè)/共118頁(yè)碼多項(xiàng)式的按模運(yùn)算循環(huán)移位對(duì)應(yīng)的碼多項(xiàng)式如果規(guī)定xn=x0，即規(guī)定xn+1=0，則有第43頁(yè)/共118頁(yè)這種xn+1=0的規(guī)定，實(shí)質(zhì)上是一xn+1為模的運(yùn)算。對(duì)于整數(shù)m,若可以表示為則稱m=p(模n)，或稱m與p是同余的。碼多項(xiàng)式也有類似的運(yùn)算。多項(xiàng)式F(x)被n次多項(xiàng)式N(x)除，得到商式q(x)和一個(gè)次數(shù)小于n的余式R(x)，即

F(x)＝q(x)N(x)+R(x)則寫(xiě)為F(x)＝R(x)(模N(x))第44頁(yè)/共118頁(yè)碼多項(xiàng)式系數(shù)仍按模2運(yùn)算，即只取值0和1。例如于是，可以有由此可見(jiàn)為了使xn=1，只需做模xn+1的運(yùn)算即可。例如：x4+x2+1=x2+x+1模x3+1第45頁(yè)/共118頁(yè)由前面的分析可知，若T(x)是碼多項(xiàng)式，則在模xn+1的運(yùn)算條件下，xiT(x)仍然是碼多項(xiàng)式。

第46頁(yè)/共118頁(yè)2．循環(huán)碼的生成矩陣G

若能找到k個(gè)線性無(wú)關(guān)的碼組,就能構(gòu)成矩陣G。在循環(huán)碼中，一個(gè)(n，k)碼有2k個(gè)不同碼組，若用g(x)表示其中前(k-1)位皆為0的碼組，即

g(x)=0…1x…xk位n-k位則g(x)、xg(x)，x2g(x)，…，xk-1g(x)都是碼組，而且這k個(gè)碼組是線性無(wú)關(guān)的。因此可以用來(lái)構(gòu)成循環(huán)碼的生成矩陣G。

第47頁(yè)/共118頁(yè)第48頁(yè)/共118頁(yè)例表9—6的循環(huán)碼,唯一的一個(gè)(n-k)次碼多項(xiàng)式代表的碼組是0010111，相對(duì)應(yīng)的碼多項(xiàng)式為一旦確定了g(x)，則整個(gè)(n．k)循環(huán)碼就被確定了。因此,循環(huán)碼的生成矩陣G可以寫(xiě)成第49頁(yè)/共118頁(yè)這個(gè)生成矩陣不是系統(tǒng)碼的生成矩陣，可以通過(guò)行變換，變換成系統(tǒng)碼的生成矩陣。g(x)＝x4+x2+x+1將此g(x)代入上式，得到第50頁(yè)/共118頁(yè)g(x)的性質(zhì)：g(x)必須是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)a0=1；次數(shù)為(n-k)次；唯一的(n-k)次多項(xiàng)式；我們稱這唯一的g(x)為碼的生成多項(xiàng)式。g(x)是xn+1的因式（見(jiàn)后面分析）。第51頁(yè)/共118頁(yè)說(shuō)明g(x)是xn+1的因式。因?yàn)槿未a多項(xiàng)式T(x)都是g(x)的倍式，所以有

T(x)=h(x)g(x)g(x)本身也是一個(gè)碼組，其次數(shù)為n-k次。把它循環(huán)移位k次仍為一個(gè)碼組。所以xkg(x)是n次多項(xiàng)式，在模xn+1運(yùn)算下，所以即第52頁(yè)/共118頁(yè)因?yàn)閤kg(x)是n次的，所以Q(x)=1。所以所以即g(x)是xn+1的因式。這樣就可以通過(guò)對(duì)xn+1的因式分解得到g(x).第53頁(yè)/共118頁(yè)因?yàn)樗写a多項(xiàng)式T(x)都可被g(x)整除。所以非系統(tǒng)碼編碼：T(x)=m(x)g(x)系統(tǒng)碼編碼：用xn-k乘m(x)，即把m(x)左移n-k位；用xn-k除以g(x)，得余式r(x)；T(x)=xn-km(x)+r(x)9.5.2

循環(huán)碼的編、解碼方法第54頁(yè)/共118頁(yè)例：信息碼110，信息碼多項(xiàng)式m(x)=x2+x生成多項(xiàng)式g(x)=x4+x2+x+1即于是，編出碼字1100000+101=1100101第55頁(yè)/共118頁(yè)硬件實(shí)現(xiàn)——固定除式的多項(xiàng)式除法abcd○○○信息碼元輸入移存器反饋輸出mabcddf0000001111011110011101010100010100000101100001000000011校驗(yàn)碼元第56頁(yè)/共118頁(yè)2．循環(huán)碼的解碼方法——檢錯(cuò)解碼的要求有兩個(gè)：檢錯(cuò)和糾錯(cuò)?！a多項(xiàng)式T(x)應(yīng)能被生成多項(xiàng)式g(x)整除。若接收碼組與發(fā)送碼組相同，即R(x)=T(x)，則接收碼組R(x)必定能被g(x)整除；若碼組在傳輸中發(fā)生錯(cuò)誤，則R(x)除以g(x)時(shí)可能有余項(xiàng)，即有

R(x)/g(x)=Q(x)+r(x)/g(x)第57頁(yè)/共118頁(yè)檢錯(cuò)電路見(jiàn)圖9-7(a)接收碼組緩沖移位寄存器除法電路反相與門重發(fā)指令輸出信息碼余式等于1時(shí)輸出1余式等于0時(shí)輸出0第58頁(yè)/共118頁(yè)2．循環(huán)碼的解碼方法——糾錯(cuò)前提：每個(gè)可糾正的錯(cuò)誤圖樣必須與伴隨式一一對(duì)應(yīng)。步驟：由接收多項(xiàng)式除以生成多項(xiàng)式得到余式r(x)；通過(guò)余式r(x)與錯(cuò)誤圖樣的關(guān)系得到錯(cuò)誤圖樣e(x)；從接收多項(xiàng)式中減去錯(cuò)誤圖樣村e(cuò)(x)。電路如下：第59頁(yè)/共118頁(yè)圖9-7(b)第60頁(yè)/共118頁(yè)假定接收碼組為10*O0101，其中右上角打*號(hào)者為錯(cuò)碼。此碼組進(jìn)入除法電路后，移位寄存器各級(jí)的狀態(tài)變化過(guò)程列于表9—7(b)。(見(jiàn)演示)輸入移存器輸出fabcde0000001111000*01110011010010000110100001010100100000011000000第61頁(yè)/共118頁(yè)9.5.3縮短循環(huán)碼通過(guò)縮短循環(huán)碼，可以滿足系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，碼長(zhǎng)、信息位和糾錯(cuò)能力的不同要求。對(duì)于(n,k)循環(huán)碼，使前i(0<i<k)個(gè)信息位為零可得到有2k-i個(gè)碼組的集合，然后從這些碼組中刪去這i個(gè)零信息位，得到一種新的(r-i，k-i)的線性碼，稱為縮短循環(huán)碼?？s短循環(huán)碼與產(chǎn)生該碼的原循環(huán)碼至少具有相同的糾錯(cuò)能力?？s短循環(huán)碼的編碼和譯碼可用原循環(huán)碼使用的電路完成。第62頁(yè)/共118頁(yè)例：若要求構(gòu)造一個(gè)能夠糾正一位錯(cuò)誤的(13，9)碼，則可以由(15，11)漢明碼選出前面兩個(gè)信息位均為零的碼組。然后在發(fā)送時(shí)，這兩個(gè)零信息不發(fā)送，即發(fā)送的是(13，9)縮短循環(huán)碼。因校驗(yàn)位數(shù)相同，(13，9)碼與(15，11)循環(huán)碼具有相同的糾錯(cuò)能力。第63頁(yè)/共118頁(yè)9.5.4BCH碼BCH碼是一類糾正多個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤的特殊的循環(huán)碼。特點(diǎn)是可以根據(jù)給定的糾錯(cuò)能力，找出生成多項(xiàng)式。BCH碼分兩類：本原BCH碼和非本原BCH碼。本原BCH碼的碼長(zhǎng)為n=2m-1(M≥3)，生成多項(xiàng)式g(x)中含有最高次數(shù)為m次的本原多項(xiàng)式；非本原BCH碼的碼長(zhǎng)n是2m-1的一個(gè)因子，它的生成多項(xiàng)式中不含有最高次數(shù)為m的本原多項(xiàng)式。第64頁(yè)/共118頁(yè)對(duì)于正整數(shù)m(M≥3)和t(t≥2)必存在有下列參數(shù)的二進(jìn)制BCH碼：碼長(zhǎng)n=2m-1，監(jiān)督位數(shù)r≤mt，能糾正所有的小于或等于t個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤的BCH碼。BCH碼生成多項(xiàng)式

g(x)=LCM[m1(x)，m2(x)，…，m2t-1(x)]式中t——可糾正的錯(cuò)誤個(gè)數(shù)；mi(x)——最小多項(xiàng)式;LCM()——指取括號(hào)內(nèi)所有多項(xiàng)式的最小公倍式.第65頁(yè)/共118頁(yè)查表法得到生成多項(xiàng)式，用八進(jìn)制數(shù)表示。例如當(dāng)n=7,k=4,t=1g=(13)8意指

g=(001011)2g(x)=x3+x+1n=3ktg(x)117n=7ktg(x)41131377表9—8（部分）第66頁(yè)/共118頁(yè)R-S碼是一類具有很強(qiáng)糾措能力的多進(jìn)制BCH碼。伽羅華域(即有限域)：對(duì)于有限個(gè)符號(hào)，若符號(hào)的數(shù)目是一素?cái)?shù)的冪，可以定義有加法和乘法，則構(gòu)成符號(hào)域?yàn)橛邢抻颍蝗羲?m個(gè)符號(hào)的域．則稱之為伽羅華域GF(2m).例如，兩個(gè)符號(hào)0、1，定義有模2加法和模2乘法，即0+0=0，0+1=1，1+1=0；0·0=0，0·1=1，1·1＝1，則稱之為二元域，也是伽羅華域。9.5.5里德-索羅門碼（R-S碼）第67頁(yè)/共118頁(yè)從兩個(gè)符號(hào)0和1及一個(gè)m次多項(xiàng)式p(x)開(kāi)始，并引入一個(gè)新符號(hào)α

，設(shè)p(α)=0。若適當(dāng)?shù)剡x擇p(x)．就可得到α的各次冪，一直到2m-2次冪，都不相同，并且αm-1=1。這樣一來(lái)，構(gòu)成GF(2m)的所有元素。域中每個(gè)非零元素還可以用上面元素的和來(lái)表示。例如，m=4和p(x)=x4+x+1，則第68頁(yè)/共118頁(yè)得到GF(24)的所有元素，詳見(jiàn)表9--10。01αα2

α3

α4=α+1

α5=α(α+1)=α2+α

α6=α(α2+α)=α3+α2第69頁(yè)/共118頁(yè)α7=α(α3+α2)=α3+α2=α3+α+1α8=α(α3+α+1)=α4+α2+1=α2+1α9=α(α2+1)=α3+αα10=α(α3+α)=α2+α+1

α11=α(α2+α+1)=α3+α2+α

α12=α(α3+α2+α)=α3+α2+α+1

α13=α(α3+α2+α+1)=α3+α2+1

α14=α(α3+α2+1)=α3+1第70頁(yè)/共118頁(yè)R-S碼是q進(jìn)制BCH碼的子類。具有如下的參數(shù)：碼長(zhǎng)：n=q-1符號(hào)監(jiān)督位數(shù)：r=2t符號(hào)糾錯(cuò)位數(shù)：t符號(hào)生成多項(xiàng)式：每個(gè)碼元都是q進(jìn)制的，通常令q=2m，則每個(gè)q進(jìn)制碼元都可以表示為m位二進(jìn)制碼元，于是碼長(zhǎng)mn位，監(jiān)督位數(shù)mr位，信息位數(shù)：mn-mr位。第71頁(yè)/共118頁(yè)R-S碼應(yīng)用：由于采用多進(jìn)制，所以對(duì)于多進(jìn)制調(diào)制是自然和方便的編碼手段;因?yàn)镽S碼能夠糾正t個(gè)q位二進(jìn)制碼，即對(duì)以糾t個(gè)連續(xù)的突發(fā)性二進(jìn)制錯(cuò)誤,所以適合衰落信道應(yīng)用;RS碼可應(yīng)用在計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)系統(tǒng)中．以克服系統(tǒng)的差錯(cuò)。第72頁(yè)/共118頁(yè)卷積編碼則把k比特信息段編成n比特的碼組，但所編的n長(zhǎng)碼組不僅同當(dāng)前的k比特信息段有關(guān)聯(lián)，而且還同前面的(N-1)個(gè)信息段有關(guān)聯(lián)，人們常稱這N為該卷積碼的約束長(zhǎng)度。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于卷積碼，k和n是較小的整數(shù),常把卷積碼記作(n,k,N)卷積碼，它的編碼效率為R=k/n。

§9.6卷積碼第73頁(yè)/共118頁(yè)9．6．1卷積碼的圖形描述(3,1,3)卷積碼編碼器第74頁(yè)/共118頁(yè)編碼器的輸入和輸出第75頁(yè)/共118頁(yè)樹(shù)狀圖第76頁(yè)/共118頁(yè)狀態(tài)圖第77頁(yè)/共118頁(yè)狀態(tài)圖第78頁(yè)/共118頁(yè)網(wǎng)格圖第79頁(yè)/共118頁(yè)網(wǎng)格圖特點(diǎn)：有2N-1種狀態(tài)；對(duì)于k個(gè)輸入信息比特，相應(yīng)出現(xiàn)有2k條支路；碼樹(shù)中的上支路用實(shí)線表示，下支路用虛線表示：支路上標(biāo)注的碼元為輸出比特；從第N個(gè)節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，圖形開(kāi)始重復(fù)，且完全相同。第80頁(yè)/共118頁(yè)

例9--1(3,1,3)編碼器，起始狀態(tài)為a，輸入序列為1101011，求輸出序列和相應(yīng)狀態(tài)變化路徑。解：由卷積碼的網(wǎng)格圖，可找出編碼時(shí)網(wǎng)格圖中的編碼路徑如圖9—13所示，由此即可得到輸出序列。為第81頁(yè)/共118頁(yè)第82頁(yè)/共118頁(yè)9.6.2卷積碼的解析描述1．生成矩陣卷積碼是一種線性碼。一個(gè)線性碼完全由一個(gè)監(jiān)督矩陣H或生成矩陣G所確定。生成矩陣G

輸入第一個(gè)信息比特m1時(shí)，y1,1=m1；y21=m1；y31=m1。輸入第二個(gè)信息比特m2時(shí)，y1,2=m2；y22=m2；y32=m1+m2。第83頁(yè)/共118頁(yè)輸入第j個(gè)信息比特mj時(shí)，

y1j=mj；

y2j=mj+mj-2；

y3j=mj+mj-1+mj-2上式可寫(xiě)成矩陣形式

[mj+mj-1+mj-2]A=[y1jy2jy3j]第84頁(yè)/共118頁(yè)其中生成矩陣為在過(guò)渡時(shí)刻

[m100]T1=[y11y21y31][m1m20]T2=[y12y22y32]其中第85頁(yè)/共118頁(yè)輸出矩陣與輸入矩陣的關(guān)系有

Y=MG第86頁(yè)/共118頁(yè)111001011111001011111001011111001011111001011111001

上面矩陣空白處均為0元素。該生成矩陣是半無(wú)限矩陣。第87頁(yè)/共118頁(yè)2.多項(xiàng)式描述例如：輸入序列1101110…可表示為

m(x)=1+x+x3+x4+x5+…連接關(guān)系表示為

g1(x)=1g2(x)=1+x2g3(x)=1+x+x2編碼輸出為

y1(x)=m(x)g1(x)=1+x+x3+x4+x5+…y2(x)=m(x)g2(x)=(1+x+x3+x4+x5+…)(1+x2)第88頁(yè)/共118頁(yè)=1+x+x3+x4+x5+…+x2+x3+x5+x7+…=1+x+x2+x4+x7…y3(x)=(1+x+x3+x4+x5+…)(1+x+x2)=1+x+x3+x4+x5+…x+x2+x4+x5+x6+…x2+x3+x5+x6+x7+…=1+x5+x7+…對(duì)應(yīng)的序列為第89頁(yè)/共118頁(yè)y1=11011100…；

y2=11101001…

y3=10000101…

總的輸出序列為

Y=[y11,y21,y31,y12,y22,y32,…

=111,110,010,100,110,101,000,011,…結(jié)果與網(wǎng)格圖是一樣的。第90頁(yè)/共118頁(yè)卷積碼編碼器的一般結(jié)構(gòu)第91頁(yè)/共118頁(yè)9.6.3卷積碼譯碼卷積碼的譯碼方法有兩類：一類是大數(shù)邏輯譯碼，又稱門限譯碼：另一類是概率譯碼。概率譯碼又分為維特比譯碼和序列譯碼兩種。門限譯碼方法是以分組碼理論為基礎(chǔ)的其譯碼設(shè)備簡(jiǎn)單，速度快，但其誤碼性能要比概率譯碼法差。下面只介紹維特比譯碼。第92頁(yè)/共118頁(yè)9.6.3維特比譯碼維特比譯碼算法，簡(jiǎn)稱VB算法。維特比(viterbi)譯碼和序列譯碼都屬于概率譯碼。當(dāng)卷積碼的約束長(zhǎng)度不太大時(shí)，與序列譯碼相比，維持比譯碼器比較簡(jiǎn)單，計(jì)算速度更快。VB算法在前向糾錯(cuò)系統(tǒng)中用得較多，在衛(wèi)星通信中已被采用作為標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)。第93頁(yè)/共118頁(yè)概率譯碼的基本想法是：把已接收序列與所有可能的發(fā)送序列做比較，選擇其中碼距最小的一個(gè)序列作為發(fā)送序列。如果發(fā)送L組信息比特，對(duì)于(n,k)卷積碼來(lái)說(shuō)，可能發(fā)送的序列有2kL個(gè)，計(jì)算機(jī)或譯碼器需存儲(chǔ)這些序列并進(jìn)行比較，以找到碼距最小的那個(gè)序列。當(dāng)傳信率和信息組數(shù)人較大時(shí)，使得澤碼器難以實(shí)現(xiàn)。第94頁(yè)/共118頁(yè)VB算法則對(duì)上述概率譯碼(又稱最大似然譯碼)做了簡(jiǎn)化，使其成為一種實(shí)用的譯碼算法。它并不是在網(wǎng)格圖上一次比較所有可能的2kL條路徑(序列)，而是接收一段，計(jì)算和比較一段，選擇一段有最大似然可能的碼段。從而達(dá)到整個(gè)碼序列是一個(gè)有最大似然值的序列。以下以（2,1,3)卷積碼為例說(shuō)明：第95頁(yè)/共118頁(yè)第96頁(yè)/共118頁(yè)第97頁(yè)/共118頁(yè)設(shè)輸入信息數(shù)目L=5，所以畫(huà)有L+N=8個(gè)時(shí)間單位。編碼器從a狀態(tài)開(kāi)始工作。該網(wǎng)格圖的每一條路徑都對(duì)應(yīng)著不同的輸入信息序列。由于所有的可能輸入信息序列共有2kL=32個(gè).第98頁(yè)/共118頁(yè)設(shè)輸入編碼器的信息序列為(11011000)，則由編碼器輸出的序列

y＝(1101000010,11100)，編碼器的狀態(tài)轉(zhuǎn)移路線為abdcbdca。若收到的序列為R=0101011001011100，對(duì)照網(wǎng)格圖來(lái)說(shuō)明維特比譯碼的方法。前3步輸入R=010101；根據(jù)不同輸入信息，編碼器的輸出序列以及它們與接收序列的距離見(jiàn)下表第99頁(yè)/共118頁(yè)R=010101信息編碼路徑距離000000000aaaa3001000011aaab3010001110aabc4011001101aabd2100111011abca4101111000abcb4110110101abdc1111110110abdd3前3步對(duì)應(yīng)網(wǎng)格圖幸存路徑，如下頁(yè)第100頁(yè)/共118頁(yè)對(duì)應(yīng)4條幸存路徑的序列分別為：

a-a-a-a——000000a-a-a-b——000011a-b-d-c——110101a-a-b-d——001101.第101頁(yè)/共118頁(yè)到第5步的幸存路徑和對(duì)應(yīng)的序列分別為：

a-a-b-d-d-c——0011011001.a-b-d-c-a-a——1101011100a-b-d-c-a-b——1101011111a-b-d-c-b-d——1101011101第102頁(yè)/共118頁(yè)到第8步的幸存路徑和對(duì)應(yīng)的序列分別為：

a-----b-----d-----c-----b-----d-----c-----a----a110101,0001011100對(duì)應(yīng)信息11011000與發(fā)送信息相同。對(duì)比接收0*101011*001011100糾正了兩個(gè)錯(cuò)誤。第103頁(yè)/共118頁(yè)總結(jié)與復(fù)習(xí)第一章緒論通信系統(tǒng)的基本組成模型；模擬與數(shù)字通信系統(tǒng)組成；通信系統(tǒng)分類；數(shù)字通信系統(tǒng)優(yōu)點(diǎn)；模擬與數(shù)字通信系統(tǒng)的性能指標(biāo)；離散消息的信息量和平均信息量；例題：例1.4.1，習(xí)題2、4、6、7第104頁(yè)/共118頁(yè)第二章隨機(jī)信號(hào)分析平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義、性質(zhì)；什么是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程？平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度如何定義，有何性質(zhì)？平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)后，均值、自相關(guān)與方差、功率譜密度有何關(guān)系？第105頁(yè)/共118頁(yè)什么是高斯噪聲？什么是高斯白噪聲？什么是窄帶高斯噪聲？窄帶高斯噪聲的幅度和相位服從什么分布？窄帶高斯噪聲的同相分量和正交分量服從什么分布？習(xí)題