典型代數系統(tǒng)

典型代數系統(tǒng)第一頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1半群和群半群和群是兩個較為簡單的代數系統(tǒng)，它們都只有一個二元運算。群是特殊的半群。第二頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1半群和群設<S,*>是一個代數系統(tǒng)，其中的*為二元運算；如果*是可結合的，則稱<S,*>為一個半群。如果半群的二元運算有單位元，則稱此半群為獨異點(或含幺半群)。如果獨異點的每個元素都是可逆的，則稱其為群。S對于運算*是封閉的*是可結合的存在單位元S中每個元素都是可逆的代數系統(tǒng)半群獨異點群第三頁，共五十九頁，2022年，8月28日半群定義7.1

對于代數系統(tǒng)<S,﹡>，如果二元運算“﹡”滿足結合律，則稱它為半群(semigroup)。對于半群<S,﹡>，如果集合S為有限集合，則稱<S,﹡>為有限半群(finitesemigroup)；如果集合S為無限集合，則稱<S,﹡>為無限半群(infinitesemigroup)。代數系統(tǒng)<R,＋>,<Z,×>,<Nk,>,

<Nk,>都是半群；<R,＋>和<Z,×>是無限半群，<Nk,>和<Nk,>都是有限半群。代數系統(tǒng)<R,－>,<R-{0},÷>都不是半群，因為代數運算“－”和“÷”都不滿足結合律。第四頁，共五十九頁，2022年，8月28日半群例7.2

對于集合A={1,2,3,4,5}上的代數運算“#”：x#y=max{x,y}，判斷代數系統(tǒng)<A,#>是否為半群。解：對于x,y,z∈A，有(x#y)#z=(max{x,y})#z=max{max{x,y},z}=max{x,y,z}x#(y#z)=x#(max{y,z})=max{x,max{y,z}}=max{x,y,z}

所以，(x#y)#z=x#(y#z)即代數運算“#”在A上是可結合的。從而，代數系統(tǒng)<A,#>是半群。第五頁，共五十九頁，2022年，8月28日半群例7.3

設<A,﹡>是半群，且對于x,y∈A，如果x≠y，則必有x﹡y≠y﹡x，試證明：①A中每個元素都是等冪元；②對于x,y∈A，都有x﹡y﹡x=x;③對于x,y,z∈A，都有x﹡y﹡z=x﹡z。證明由已知條件“對于x,y∈A，如果x≠y，則必有x﹡y≠y﹡x”得出：對于x,y∈A，如果x﹡y=y﹡x，則必有x=y。①對于a∈A，由代數運算“﹡”滿足結合律，知(a﹡a)﹡a=a﹡

(a﹡a)。從而，a﹡a=a，即A中任意元素都是等冪元。②對于x,y∈A，由代數運算“﹡”滿足結合律以及①，知第六頁，共五十九頁，2022年，8月28日半群

(x﹡y﹡x)﹡x=(x﹡y)﹡(x﹡x)=(x﹡y)﹡x=x﹡y﹡xx﹡(x﹡y﹡x)=(x﹡x)﹡(y﹡x)=x﹡(y﹡x)=x﹡y﹡x從而(x﹡y﹡x)﹡x=x﹡(x﹡y﹡x)因此，根據題設可得x﹡y﹡x=x③對于x,y,z∈A，由代數運算“﹡”滿足結合律以及①、②，知(x﹡y﹡z)﹡(x﹡z)=(x﹡y)﹡(z﹡x﹡z)=(x﹡y)﹡z=x﹡y﹡z(x﹡z)﹡(x﹡y﹡z)=(x﹡z﹡x)﹡(y﹡z)=x﹡(y﹡z)=x﹡y﹡z從而(x﹡y﹡z)﹡(x﹡z)=(x﹡z)﹡(x﹡y﹡z)因此，根據題設可得

(x﹡y﹡z)=(x﹡z)證畢。第七頁，共五十九頁，2022年，8月28日半群的性質性質1

有限半群<S,﹡>中必含有冪等元。證明由<S,﹡>為有限半群，知S為有限集合。不妨設S中有n個元素。在S中任取一個元素a，考察如下n+1個元素：a,a2,a3,…,an,an+1。由代數運算的封閉性知，這些元素都屬于S，但S中僅有n個元素，所以，這些元素中至少有兩個元素相同，不妨設為ai=ai+k（1≤k≤n)。下面分別討論。當k=i時，則有ai=ai+i=ai﹡ai，所以ai是等冪元。當k>i時，則k-i>0，有ai=ai+k=ai﹡ak，ak-i﹡ai=ak-i﹡ai﹡ak

=ak﹡ak，又ak-i﹡ai=ak，所以ak是等冪元。當k<i時，則k-i<0，有ai=ai+k=ai﹡ak，ai﹡ak=ai﹡ak﹡ak

=ai﹡a2k，又ai=ai﹡ak，所以ai=ai﹡a2k，重復此過程可得ai=ai﹡a3k，ai=ai﹡a4k，…，ai=ai﹡apk(p為任意正整數)。取適當的p，使得pk>i，即pk-i>0，從而，apk-i﹡ai=apk-i﹡ai﹡apk

=apk﹡apk，又apk-i﹡ai=apk，所以apk是等冪元。綜上所述，有限半群必有等冪元。第八頁，共五十九頁，2022年，8月28日半群的性質性質2

如果f為半群<S,﹡>到代數系統(tǒng)<T,?>的同態(tài)映射，則<f(S),?>也是半群。證明設f為半群<S,﹡>到代數系統(tǒng)<T,?>的同態(tài)映射，那么，對于x,y,z∈S，有

(x﹡y)﹡z=x﹡(y﹡z)f((x﹡y)﹡z)=f(x﹡(y﹡z))

f((x﹡y)﹡z)=f(x﹡y)?f(z)=(f(x)?f(y))?f(z)

f(x﹡(y﹡z))=f(x)?f(y﹡z)=f(x)?(f(y)?f(z))從而(f(x)?f(y))?f(z)=f(x)?(f(y)?f(z))即f(S)上的代數運算“?”是可結合的，所以，<f(S),?>是半群。第九頁，共五十九頁，2022年，8月28日子半群定義7.2

對于半群<S,﹡>，如果非空集合BS且代數系統(tǒng)<B,﹡>也是半群，則稱代數系統(tǒng)<B,﹡>為半群<S,﹡>的子半群(sub-semigroup)。代數系統(tǒng)<R,＋>是半群，ZR且代數系統(tǒng)<Z,＋>也是半群，所以，<Z,＋>是半群<R,＋>的子半群。例7.4

對于半群<N7,>和N7的子集B={0,1,6}，判斷代數系統(tǒng)<B,>是否為半群<N7,>的子半群。第十頁，共五十九頁，2022年，8月28日子半群定理7.1

對于半群<S,﹡>，如果非空集合BS且運算“﹡”在B上是封閉的，則代數系統(tǒng)<B,﹡>為半群<S,﹡>的子半群。證明設<S,﹡>為半群，BS且運算“﹡”在B上是封閉的，那么，對于x,y,z∈B，必有x﹡y∈B,y﹡z∈B,(x﹡y)﹡z∈B,x﹡(y﹡z)∈B,且x,y,z∈S，因此，(x﹡y)﹡z=x﹡(y﹡z)，即運算“﹡”在B上滿足結合律。所以，代數系統(tǒng)<B,﹡>是半群。從而，代數系統(tǒng)<B,﹡>為半群<S,﹡>的子半群。證畢。

例7.5

對于半群<N8,⊕8>和N8的子集A={0,2,4,6}，判斷代數系統(tǒng)<A,⊕8>是否為半群<N8,⊕8

>的子半群。第十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日獨異點定義7.3對于代數系統(tǒng)<S,﹡>，如果二元運算“﹡”滿足結合律，且S中含有關于運算“﹡”的幺元，則稱<S,﹡>為含幺半群，或獨異點(monoid)。代數系統(tǒng)<R,＋>是半群，且含有幺元0，所以代數系統(tǒng)<R,＋>是獨異點；代數系統(tǒng)<R,×>是半群，且含有幺元1，所以代數系統(tǒng)<R,×>是獨異點。第十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日獨異點例7.7

對于整數集Z，判斷如下哪些運算“﹡”構成的代數系統(tǒng)<Z,﹡>是獨異點。①x﹡y=x·y+1;②x﹡y=y;③x﹡y=(x+1)(y+1)-1;④x﹡y=x+y-2.第十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日獨異點例7.8

如果f為獨異點<S,﹡>到代數系統(tǒng)<T,?>的同態(tài)映射，則<f(S),?>也是獨異點。證明設f為獨異點<S,﹡>到代數系統(tǒng)<T,?>的同態(tài)映射，那么，對于x,y,z∈S，有

(x﹡y)﹡z=x﹡(y﹡z)f((x﹡y)﹡z)=f(x﹡(y﹡z))

f((x﹡y)﹡z)=f(x﹡y)?f(z)=(f(x)?f(y))?f(z)

f(x﹡(y﹡z))=f(x)??f(y﹡z)=f(x)?(f(y))?f(z))從而(f(x)?f(y))?f(z)=f(x)?(f(y))?f(z))即f(S)上的代數運算“?”是可結合的。設e是S上關于運算“﹡”的幺元，那么x﹡e=e﹡x=x，因此，f(x﹡e)=f(e﹡x)=f(x)?f(e)=f(e)?f(x)=f(x)，即f(e)是f(S)上關于運算“?”的幺元。綜上所述，<f(S),?>是獨異點。第十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日子獨異點定義7.4

對于獨異點<S,﹡>和集合BS，如果代數系統(tǒng)<B,﹡>是獨異點，且S上關于運算“﹡”的幺元也是B上關于運算“﹡”幺元，則稱代數系統(tǒng)<B,﹡>為獨異點<S,﹡>的子獨異點(sub-monoid)。代數系統(tǒng)<Z,＋>是獨異點，自然數集N是整數集Z的子集，<N,＋>和<Z,＋>的幺元都為0，所以，代數系統(tǒng)<N,＋>是獨異點<Z,＋>的子獨異點。注意：獨異點與其子獨異點必須有相同的幺元?？赡艽嬖诘那闆r：代數系統(tǒng)<S,﹡>是獨異點，BS且<B,﹡>也是獨異點，但B上關于“﹡”的幺元與S上關于“﹡”的幺元不同，則獨異點<B,﹡>就不是獨異點<S,﹡>的子獨異點。第十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日子獨異點例7.10對于獨異點<N10,>和N10的子集B={0,2,4,6,8}，判斷代數系統(tǒng)<B,>是否為獨異點<N10,>的子獨異點。解：第十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1.2群定義7.5

對于代數系統(tǒng)<G,﹡>，如果運算“﹡”是可結合的，G上存在關于運算“﹡”的幺元，x∈G都有關于運算“﹡”的逆元x-1，則稱<G,﹡>為群(roup)。代數系統(tǒng)<R,＋>是群，因為運算“＋”是可結合的，元素0是關于運算“＋”的幺元，任意實數a關于運算“＋”的逆元為-a；代數系統(tǒng)<Nk,⊕k>是群，因為運算“⊕k”是可結合的，元素0是關于運算“⊕k”的幺元，0關于運算“⊕k”的逆元為0，任一其他元素x關于運算“⊕k”的逆元為k-x；代數系統(tǒng)<R,×>不是群，雖然運算“×”是可結合的，元素1是關于運算“×”的幺元，但是0沒有逆元。第十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1.2群例7.12

判斷下列代數系統(tǒng)是否為群。①<R-{0},×>②<N7-{0},>③<N6-{0},>④<Z,﹡>,x,y∈Z,x﹡y=x+y-2第十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1.2群例7.13

對于代數系統(tǒng)<A,﹡>,其中A={a,b,c,e}，運算“﹡”的運算表如下。證明代數系統(tǒng)<A,﹡>是群。﹡eabceeabcaaecbbbceaccbae運算在A上滿足封閉性運算是可結合的關于運算的幺元為e各元素關于運算的逆元分別為其自身運算滿足交換律該群稱為Klein四元（階）群。第十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1.2群例7.15

設f為群<S,﹡>到代數系統(tǒng)<T,?>的同態(tài)映射，證明<f(S),?>是群。證明設f為群<S,﹡>到代數系統(tǒng)<T,?>的同態(tài)映射，根據同態(tài)的性質知集合S上的運算“﹡”滿足結合律，所以f(S)上的運算“?”滿足結合律。設元素e∈S為S上關于運算“﹡”的幺元，則f(e)為T上關于運算“?”的幺元。設元素x∈S關于“﹡”的逆元為x-1，則元素f(x)∈f(T)關于運算“?”的逆元為f(x-1)。綜上述知，<f(S),?>是群。第二十頁，共五十九頁，2022年，8月28日例子設<G1,*>和<G2,o>都是群；在G1×G2上定義二元運算·如下：

對于任意<a,b>,<c,d>G1×G2， <a,b>·<c,d>=<a*c,bod>。求證：<G1×G2,·>是一個群。證明：封閉性結合律單位元可逆第二十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1.2群定義7.6對于群<G,﹡>，如果G為有限集合，則稱<G,﹡>為有限群(finitegroup)，此時集合G中元素的個數稱為群G的階數(order)，記為|G|；否則，稱G為無限群(infinitegroup)。Klein四元群的階數為4；群<R,＋>是無限群。第二十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1.2群定義7.7

對于群<G,﹡>，如果a∈G，滿足an=e(幺元)的最小正整數n稱為a的階數，簡稱為階(order)，記作|a|=n，并稱a是有限階元素(finiteorderelement)。若不存在這樣的正整數，則稱a是無限階元素(infiniteorderelement)。群<R,＋>中，幺元0的階數為1，其他元素都是無限階元素；群<N4,⊕4>中，幺元0的階數為1，元素1的階數為4，元素2的階數為2，元素3的階數為4。第二十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1.2群例7.16

求群<N6,⊕6>中各元素的階數。0是幺元，階數為11的階數為62的階數為33的階數為24的階數為35的階數為6第二十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質（對于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性質1

幺元是唯一的等冪元。證明：設e,a∈G分別是群<G,﹡>的幺元和等冪元，并設a的逆元為a-1，那么，

a﹡a=aa-1﹡a=ea-1﹡a=a-1﹡(a﹡a)=(a-1﹡a)﹡a=e﹡a=a從而，a=e由幺元的唯一性知，群中有唯一的等冪元，該等冪元就是幺元。注意：在獨異點中，除幺元外還可能有多個等冪元。因此，可以把是否有唯一等冪元作為代數系統(tǒng)是群的必要條件。如果某個代數系統(tǒng)中有兩個以上的等冪元，則此代數系統(tǒng)一定不是群。第二十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質（對于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性質2G中至少有2個元素時，不存在零元。根據逆元的性質“對于集合A上關于運算“﹡”的單位元和零元，如果A中至少有兩個元素，則零元無逆元”，即零元無逆元。但是，群中任意元素均有逆元，所以，不存在零元。如果G={e}呢？則群<G,*>中的幺元與零元都為e。第二十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質（對于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性質3如果a﹡b=b或者b﹡a=b，則a是關于運算“﹡”的幺元。設a﹡b=b，元素b的逆元b-1，那么，b﹡b-1=eb﹡b-1=(a﹡b)﹡b-1=a﹡(b﹡b-1)=a﹡e=a所以，a=e，即幺元為a。同理，設b﹡a=b，元素b的逆元b-1，那么，b-1﹡b=eb-1﹡b=b-1﹡(b﹡a)

=(b-1﹡b)﹡a

=e﹡a=a所以，a=e，即幺元為a。該性質的意義在于：要驗證群中元素a是否是幺元，只需要驗證其中某一個元素，即可確定。而在一般代數系統(tǒng)中，必須對G中所有元素進行驗證。第二十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質（對于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性質4任一元素都是可消去元。設x,y,a∈G，其元素a的逆元為a-1，那么，如果a﹡x=a﹡y，則a-1﹡(a﹡x)=a-1﹡(a﹡y)

a-1﹡(a﹡x)=(a-1﹡a)﹡x=e﹡x=x

a-1﹡(a﹡y)=(a-1﹡a)﹡y=e﹡y=y所以，x=y，即元素a是左可消去的。如果x﹡a=y﹡a，則(x﹡a)﹡a-1=(y﹡a)﹡a-1

(x﹡a)﹡a-1=x﹡(a﹡a-1)=x﹡e=x

(y﹡a)﹡a-1==y﹡(a﹡a-1)=y﹡e=y所以，x=y，即元素a是右可消去的。

綜上述知，元素a是可消去的。注意：半群、獨異點中的元素都不一定滿足消去律。例如，在獨異點<N8,8>中，雖然284=684=0，但26等價于：設<G,*>是一個有限群，則*的運算表中，每一行元素都不相同且每一列的元素也都不同。第二十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質（對于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性質5(a﹡b)-1=b-1﹡a-1，(an)-1=(a-1)n由于

(a﹡b)﹡(b-1﹡a-1)=a﹡(b﹡b-1)﹡a-1=a﹡e﹡a-1=a﹡a-1=e(b-1﹡a-1)﹡(a﹡b)=b-1﹡(a-1﹡a)﹡b=b-1﹡e﹡b=b-1﹡b=e所以，a﹡b的逆元為b-1﹡a-1，即(a﹡b)-1=b-1﹡a-1。用歸納法證明(a-1)n﹡an=e第二十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質（對于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性質6方程a﹡x=b，y﹡a=b都有解且有唯一解。設a﹡x=b，且元素a的逆元為a-1，那么，

a-1﹡(a﹡x)=a-1﹡ba-1﹡(a﹡x)=(a-1﹡a)﹡x=e﹡x=x所以，x=a-1﹡b

設c為a﹡x=b的解，則a﹡c=b，那么，

c=e﹡c=(a-1﹡a)﹡c=a-1﹡(a﹡c)=a-1﹡b=x

即a﹡x=b有唯一解x=a-1﹡b。同理可得，y﹡a=b有唯一解y=b﹡a-1。第三十頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質（對于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性質7|a|=|a-1|設元素a的階為n，由(a-1)n=(an)-1=e-1=e，可知a-1的階存在。設元素a-1的階為t，由于(a-1)n=(an)-1=e-1=e，所以t≤n。又因為，

at=((a-1)t)-1=e-1=e，所以n≤t。因此，n=t。第三十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質（對于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性質8有限群的每個元素都是有限階元素，且其階數不超過群的階數|G|。設群<S,﹡>的階數為|S|=n。在S中任取一個元素a，考察如下n+1個元素

a,a2,a3,…,an,an+1

由運算的封閉性知，這些元素都屬于S，但S中僅有n個元素，所以，這些元素中至少有兩個元素相同，不妨設為

ai=ai+k=ai﹡ak(1≤k≤n)由性質3知，ak為幺元，即e=ak。由元素的階數定義知|a|≤k≤n。由于對于任何元素都存在上述情形，所以，每個元素都是有限階元素，且其階數不超過群的階數|S|=n。第三十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質（對于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性質9對于群G中階數為r的元素a，那么an=e當且僅當r整除n。設元素a的階為r。（充分性）設ar=e，r整除n，那么，n=kran=akr=(ar)k=ek=e

（必要性）設an=e，那么，n=mr+k(n除以r的商為m，余數為k)

因此，0≤k≤r

于是，e=an=amr+k=amr﹡ak=em﹡ak=e﹡ak=ak由r的最小性知k=0，a0=e，即r整除n。第三十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質由半群、獨異點、群的定義可知，獨異點是含有幺元的半群，群是每個元素都有逆元的獨異點?？雌饋?，獨異點比半群多了一個條件“含有幺元”；群比獨異點多了一個條件“每個元素都有逆元”。但在性質方面，半群與獨異點差異甚小，而群與獨異點之間有著較大差異。群是一個具有很多實用性質的代數系統(tǒng)。S對于運算*是封閉的*是可結合的存在幺元S中每個元素都是可逆的代數系統(tǒng)半群獨異點群第三十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日子群定義7.8對于群<G,﹡>，如果H為G的非空子集，且<H,﹡>為群，則<H,﹡>稱為群<G,﹡>的子群(subgroup)，記作H≤G。代數系統(tǒng)<R,＋>和<Z,＋>都是群，Z是R的子集，所以，<Z,＋>是<R,＋>的子群。注意：以幺元作為元素的集合{e}和集合G本身都是G的子集，所以<{e},﹡>和<G,﹡>都是<G,﹡>的子群，并稱這兩個子群為平凡子群，<G,﹡>的其他子群稱為<G,﹡>的非平凡子群。第三十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日子群的性質性質1

對于群<G,﹡>的子群<H,﹡>，群<G,﹡>的幺元是子群<H,﹡>的幺元。設e為群<G,﹡>的幺元，e′為子群<H,﹡>的幺元。那么，對于x∈HG，有

e′﹡x=x﹡e′=xe﹡x=x﹡e=x從而，e′﹡x=e﹡x根據群中任一元素都是可消去元的性質，知e′=e，即子群的幺元為e。第三十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日子群的性質性質2

對于群<G,﹡>，H為G的非空子集，<H,﹡>為<G,﹡>的子群的充分必要條件是：①G的幺元e∈H

；②若a,b∈H，則a﹡b∈H;③若a∈H

，則a-1∈H

。（必要性）根據群的性質和子群的性質1可得。（充分性）由①知，e∈H

為<H,﹡>的幺元；由②知，對于a,b,c∈H，則a﹡b∈H,b﹡c∈H,(a﹡b)﹡c

∈H,a﹡(b﹡c)∈H,由于a,b,c∈G，所以，H上的代數運算“﹡”滿足結合律；由③知，H中任意元素存在逆元，所以<H,﹡>為群，從而，<H,﹡>為<G,﹡>的子群。判定子群的基本方法。*一定可結合，因為<G,*>是群。第三十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日子群的性質性質3

對于群<G,﹡>，H為G的非空子集，<H,﹡>為<G,﹡>的子群的充分必要條件是a,b∈H，則a﹡b-1∈H。（必要性）對于a,b∈H，由于<H,﹡>為<G,﹡>的子群，所以，b-1∈H。從而，a﹡b-1∈H。（充分性）因為H非空，必然存在a∈H，所以a﹡a-1∈H，即e∈H；a∈H，由e,a∈H可得出e﹡a-1∈H，即a-1∈H；a,b∈H，那么b-1∈H，所以a﹡(b-1)-1∈H，即a﹡b∈H。由性質2知，<H,﹡>為<G,﹡>的子群。子群的判斷方法。

第三十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日子群的性質性質4

對于群<G,﹡>，H為G的有限非空子集，且H對運算“﹡”封閉，那么<H,﹡>為<G,﹡>的子群。設H中含有n個元素。在H中任取元素a，考察n+1個元素：a,a2,…,an,an+1。由運算的封閉性知，這些元素都屬于H，但H中僅有n個元素，所以這些元素中至少有兩個元素相同，不妨設為ai=ai+k=ai﹡ak(1≤k≤n)。由群的性質知，ak為G上關于運算是幺元，即e=ak，當然，也是H上關于運算的幺元。如果k=1，即ak=a，則a為幺元，a的逆元為其本身，所以a-1

∈H;如果k>1，即ak=e，則a﹡ak-1=ak-1﹡a=e，a的逆元為ak-1，即a-1=ak-1;綜上所述并由性質2知，<H,﹡>為<G,﹡>的子群。有限子群的判定方法。第三十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日子群的性質性質5

對于群<G,﹡>，a∈G，且|a|=k，令A={a,a2,…,ak}，那么<A,﹡>為<G,﹡>的k階子群。首先證明<A,﹡>為<G,﹡>的子群，為此只需證明運算“﹡”在A上滿足封閉性。對于ai,aj∈A(1≤i≤k,1≤j≤k)，ai﹡aj=ai+j。當i+j≤k時，ai+j∈A;當i+j>k時，ai+j=ai+j-k+k=ai+j-k﹡ak=ai+j-k﹡e=ai+j-k

∈A;因此，運算在A上滿足封閉性。所以，由性質4知<A,﹡>為<G,﹡>的子群。再證明<A,﹡>的階為k，即需證明A中k個元素各不相同。用反證法。設A中有兩個元素相同，不妨設ai=ai+p，即ai=ai﹡ap，并且應有p<k。由群的性質可知ap=e，這和|a|=k矛盾。因此，

<A,﹡>為<G,﹡>的k階子群。

第四十頁，共五十九頁，2022年，8月28日練習找出Klein四元群的所有子群。﹡eabceeabcaaecbbbceaccbae注：由于是有限群，只需要考察封閉性。第四十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1.3特殊群定義7.11

對于群<G,﹡>，如果運算“﹡”滿足交換律，則稱<G,﹡>為交換群(commutativeroup)，或者稱為阿貝爾群(Abelgroup)。加法運算和乘法運算都滿足交換律，因此，群<R,＋>和群<Z,×>都是交換群；模k加法運算也滿足交換律，所以群<Nk,⊕k>也是交換群。第四十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日例子令K4={e,a,b,c}，對二元運算*定義如下：則：

封閉的結合律單位元逆元交換律阿貝爾群Klein四元群4階阿貝爾群第四十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日例子判斷下列代數系統(tǒng)是否為(交換)半群、(交換)獨異點、(交換)群。<Z+,+>交換半群，不是獨異點<N,+>交換獨異點，不是群<Z,+>交換群，阿貝爾群<P(S),>，其中的S是一個非空集合交換獨異點，不是群（幺元：）<P(S),>，其中的S是一個非空集合交換獨異點，不是群（幺元：S）階為1的代數系統(tǒng)<{a},>交換群aaa第四十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日交換群定理7.8

群<G,﹡>為交換群的充分必要條件是：對于x,y∈G，有(x﹡y)﹡(x﹡y)=(x﹡x)﹡(y﹡y)證明（必要性）設<G,﹡>為交換群，那么，x﹡y=y﹡x因此，(x﹡y)﹡(x﹡y)=x﹡(y﹡x)﹡y=x﹡(x﹡y)﹡y=(x﹡x)﹡(y﹡y)（充分性）對于x,y∈G，有(x﹡y)﹡(x﹡y)=(x﹡x)﹡(y﹡y)

因為，(x﹡x)﹡(y﹡y)=x﹡(x﹡y)﹡y

(x﹡y)﹡(x﹡y)=x﹡(y﹡x)﹡y由消去律可得，x﹡y=y﹡x所以，<G,﹡>為交換群。第四十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日循環(huán)群定義7.12

對于群<G,﹡>，如果存在元素a∈G，使得G的任何元素都可表示為a的冪(約定a0=e)，即G={ak|k∈Z}，則稱<G,﹡>為循環(huán)群(cyclicgroup)，記為G=<a>，并稱元素a為該循環(huán)群的生成元(generatingelement)。具有有限個元素的循環(huán)群，稱為有限循環(huán)群(finitecyclicgroup)；具有無限個元素的循環(huán)群，稱為無限循環(huán)群(infinitecyclicgroup)。群<N5,⊕5>是循環(huán)群，元素1是生成元；集合A={2i|i∈Z}，代數系統(tǒng)<A,×>是無限循環(huán)群，生成元是2群<Z,＋>是無限循環(huán)群，生成元為1或-1。第四十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日例子試證明：<N4,⊕4>是循環(huán)群。（N4={0,1,2,3}）證明：已知<N4,⊕4>是群，又11＝1，12＝2，13＝3，14＝0。即：N4中元素均可表示為的1k形式,

因此，<N4,⊕4>是以1為生成元的循環(huán)群。證畢。

第四十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日循環(huán)群定理7.9

設<G,﹡>是n階群，a∈G是G的n階元素，則a是群<G,﹡>的生成元，<G,﹡>是循環(huán)群，且G={a0,a,a2,…,an-1}={a,a2,a3,…,an}。證明考察元素a,a2,a3,…,an。由于a∈G是n階元素，所以，這n個元素各不相同，否則，若有ai=ai+k=ai﹡ak(k<n)，由群的性質知ak為幺元，即e=ak，這和a是n階元素矛盾。因此，a,a2,a3,…,an各不相同。進而，G中n個元素可分別用a,a2,a3,…,an中之一表示。故a是<G,﹡>的生成元，<G,﹡>是循環(huán)群，且G={a0,a,a2,…,an-1}={a,a2,a3,…,an}（約定a0=e）。證畢。第四十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日循環(huán)群定理7.11

設f為循環(huán)群<S,﹡>到代數系統(tǒng)<T,?>的同態(tài)映射，則<f(S),?>是循環(huán)群。證明由群的性質，知<f(S),?>是群。下證明<f(S),?>中含有生成元。設a為<S,﹡>的生成元，那么，對于x∈S，都有x=ak。對于y∈f(S)有，x∈S，使得f(x)=y，從而有f(ak)=y即f(a﹡a﹡a﹡…﹡a)=yf(a)?f(a)?f(a)?…?f(a)=(f(a))k=y由此可知，f(a)是<f(S),?>的生成元，<f(S),?>是循環(huán)群。證畢。第四十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日循環(huán)群的性質性質1

循環(huán)群是交換群。證明設<G,﹡>是循環(huán)群，a是生成元，對于G中任意元素x和y，能表示成x=ai，y=aj，由此可知，

x﹡y=ai﹡aj=ai+j=aj﹡ai=y﹡x

所以<G,﹡>是交換群。第五十頁，共五十九頁，2022年，8月28日循環(huán)群的性質性質2

對于生成元為a的n階循環(huán)群，則有|a|=n，且n階循環(huán)群G={a0,a,a2,…,an-1}同構于<Nn,⊕n>。證明用反證法。設生成元a的階數為k，且k≠n。由群的性質知，元素的階數不會超過群的階數，即k<n。由于ak=e，所以，ak+1=ak﹡a=e﹡a=a，ak+2=ak﹡a2=e﹡a2=a2，…，由此可知a的冪僅能表示G中的k個元素，而不能表示G中的所有元素。這和a是G的生成元矛盾。對于G={a0,a,a2,…,an-1}和Nn，建立一一映射：f(ai)=i(i=0,1,…,n-1)。由于f(ai﹡aj)=f(ai+j),如果i+j≥n,則f(ai+j)=f(ai+j-n+n)=f(ai+j-n﹡an)=f(ai+j-n﹡e)=f(ai+j-n)=i+j-n;如果i+j<n，則f(ai+j)=i+j。又由于f(ai)⊕nf(aj)=i⊕nj，如果i+j≥n,則f(ai)⊕nf(aj)=i⊕nj=i+j-n；如果i+j<n，則f(ai)⊕nf(aj)=i⊕nj=i+j。所以f(ai﹡aj)=

f(ai)⊕nf(aj)。從而，f為<G,﹡>到<Nn,⊕n>的同構映射，即n階循環(huán)群同構于<Nn,⊕n>。第五十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日循環(huán)群的性質性質3

生成元為a的無限循環(huán)群，有兩個生成元a和a-1，且G={a0,a±1,a±2,…,a±n,…}并同構于<Z,＋>。令A={a0,a±1,a±2,…,a±n,…}。由于a∈G，則a-1∈G，ak∈G且(ak)-1=(a-1)k=a-k∈G,所以，AG；對于x∈G，必有x=ak∈A,所以，GA。綜上述知，G=A。再證明G只有兩個生成元a和a-1。設G=<b>，由a∈G知，s∈Z，使得a=bs。又由b∈G知，t∈Z，使得b=at。所以，a=bs=(at)s=ats=ats-1﹡a。由群的性質得，ats-1=e。由于<G,﹡> 是無限循環(huán)群，所以，ts-1=0，從而，s=t=1或s=t=-1。因此，b=a或者b=-a。對于G和Z建立一一映射：f(ai)=i(i∈Z)。由f(ai﹡aj)=f(ai+j)=i+j，所以，f(ai﹡aj)=f(ai)+f(aj)。從而，f為<G,﹡>到<Z,+>的同構映射，即無限循環(huán)群同構于<Z,+>。第五十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日循環(huán)群的性質性質4循環(huán)群的子群都是循環(huán)群。設<G,﹡>為以a為生成元的循環(huán)群，<H,﹡>為其子群。當然，H中元素均可表示為ak的形式。如果H={e}，顯然H=<e>，H是循環(huán)群。如果H≠{e}，那么ak∈H(k≠0)。由于H是子群，必有(ak)-1=(a-1)k=a-k∈H。不失一般性，可設k為正整數，并且它是H中元素的最小正整數指數。下證H是由ak生成的循環(huán)群。對于am∈H,令m=pk+q，其中p為k除m的商，q為余數，0≤q<k。于是am=apk+q=apk﹡aq,aq=a-pk﹡am。由于apk=(ak)p,a-pk=(a-k)p且apk

∈H,a-pk∈H,am∈H,故aq∈H。又k為H中元素的最小正整數指數，結合0≤q<k知，只有aq=e，即q=0,從而am=apk=(ak)p。綜上述知，<H,﹡>是循環(huán)群。第五十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日循環(huán)群的性質性質5對于生成元為a的n階循環(huán)群，能整除n的正整數k，那么該循環(huán)群有k階循環(huán)子群，且僅有一個k階循環(huán)子群。設<G,﹡>為以a為生成元的n階循環(huán)群，G={a,a2,a3,…,an}。因為k能整除n，所以令n=pk，構造H={ap,a2p,a3p