時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗二

第九章時間序列計量經(jīng)濟學(xué)模型1主要內(nèi)容確定性時間序列模型隨機時間序列概述時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗隨機時間序列分析模型協(xié)整分析和誤差修正模型2時間序列和時間序列模型時間序列：各種社會、經(jīng)濟、自然現(xiàn)象的數(shù)量指標按照時間次序排列起來的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。一個時間序列數(shù)據(jù)可以視為它所對應(yīng)的隨機變量或隨機過程（stochasticprocess）的一個實現(xiàn)（realization）時間序列分析模型：解釋時間序列自身的變化規(guī)律和相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)表達式確定性的時間序列模型隨機時間序列模型3第一節(jié)、確定性時間序列模型事物變化的過程有一類是確定型過程，可以用關(guān)于時間t的函數(shù)描述的過程。例如，真空中的自由落體運動過程，電容器通過電阻的放電過程，行星的運動過程等?；瑒樱ㄒ苿樱┢骄Ｐ图訖?quán)滑動平均模型二次滑動平均模型指數(shù)平滑模型4(1)滑動平均模型5(2)加權(quán)滑動平均模型作用：消除干擾，顯示序列的趨勢性變化；并通過加權(quán)因子的選取，增加新數(shù)據(jù)的權(quán)重，使趨勢預(yù)測更準確6(3)二次滑動平均模型對經(jīng)過一次滑動平均產(chǎn)生的序列再進行滑動平均7(4)指數(shù)平滑模型8（5）二次指數(shù)平滑模型在一次指數(shù)平滑模型的基礎(chǔ)上再進行指數(shù)平滑計算，即構(gòu)成二次指數(shù)平滑模型。同樣可以構(gòu)成三次指數(shù)平滑模型。9第二節(jié)、隨機時間序列概述10經(jīng)濟量預(yù)測的的方法一、根據(jù)一定定的經(jīng)濟理論論，建立各種種相互影響的的經(jīng)濟變量之之間的關(guān)系模模型，根據(jù)觀觀測到的經(jīng)濟濟數(shù)據(jù)估計出出模型參數(shù)，，利用模型來來預(yù)測有關(guān)變變量的未來值值。這種方法的優(yōu)優(yōu)點在于精確確地考慮到了了各經(jīng)濟變量量之間的相互互影響，有理理論依據(jù)，但但是由于抽樣樣信息不完備備，經(jīng)濟模型型和經(jīng)濟計量量模型不可能能真正準確地地反映了經(jīng)濟濟現(xiàn)實，因而而得到的結(jié)果果不可能是相相當(dāng)準確。二、利用要預(yù)預(yù)測的經(jīng)濟變變量的過去值值來預(yù)測其未未來值，而不不考慮變量值值產(chǎn)生的經(jīng)濟濟背景。這種方法假定定數(shù)據(jù)是由隨隨機過程產(chǎn)生生的，根據(jù)單單一變量的觀觀測值建立時時間序列模型型進行預(yù)測。。這種方法在在短期預(yù)測方方面是很成功功的。11隨機過程與隨隨機序列12隨機過程離散型連續(xù)型平穩(wěn)的非平穩(wěn)的寬平穩(wěn)過程嚴（強）平穩(wěn)過程13時間序列分類類隨機過程的一一次實現(xiàn)稱為為時間序列，，也用{xt}或xt表示。與隨機過程相相對應(yīng)，時間間序列分類如如下：14從相同的時間間間隔點上取取自連續(xù)變化化的序列（人人口序列）時間序列離散型連續(xù)型（心電圖，水位紀錄儀，溫度紀錄儀）

一定時間間隔內(nèi)的累集值（年糧食產(chǎn)量，進出口額序列）

15隨機過程與時時間序列的關(guān)關(guān)系隨機過程:{x1,x2,…,xT-1,xT,}第1次觀測：：{x11,x21,…,xT-11,xT1}第2次觀測：：{x12,x22,…,xT-12,xT2}第n次觀測：{x1n,x2n,…,xT-1n,xTn}16例1某河流一年的的水位值，{x1,x2,…,xT-1,xT,}，可以看作一一個隨機過程程。每一年的的水位紀錄則則是一個時間間序列，{x11,x21,…,xT-11,xT1}。而在每年中中同一時刻（（如t=2時）的水位紀紀錄是不相同同的。{x21,x22,…,x2n,}構(gòu)成了x2取值的樣本空空間。17例2要記錄某市日日電力消耗量量，則每日的的電力消耗量量就是一個隨隨機變量，于于是得到一個個日電力消耗耗量關(guān)于天數(shù)數(shù)t的函數(shù)。而這這些以年為單單位的函數(shù)族族構(gòu)成了一個個隨機過程{xt},t=1,2,…365。因為時間以以天為單位，，是離散的，，所以這個隨隨機過程是離離散型隨機過過程。而一年年的日電力消消耗量的實際際觀測值序列列就是一個時時間序列。18說明自然科學(xué)領(lǐng)域域中的許多時時間序列常常常是平穩(wěn)的。如工業(yè)生產(chǎn)中中對液面、壓壓力、溫度的的控制過程，，某地的氣溫溫變化過程，，某地100年的水文資料料，單位時間間內(nèi)路口通過過的車輛數(shù)過過程等。但經(jīng)濟領(lǐng)域中中多數(shù)宏觀經(jīng)經(jīng)濟時間序列列卻都是非平平穩(wěn)的。如一一個國家的年年GDP序列，年投資資序列，年進進出口序列等等。19隨機時間序列列模型自回歸模型（（AR）移動平均模型型（MA）自回歸—移動動平均模型（（ARMA））20時間序列模型型的例子21時間序列模型型的例子22時間序列模型型的例子23第三節(jié)、時間間序列的平穩(wěn)穩(wěn)性及其檢驗驗一、基本概念念24回憶：經(jīng)典回回歸模型的假假定25經(jīng)典線性正態(tài)態(tài)假定：進一一步的說明如果滿足假定定1-3，回回歸系數(shù)的OLS估計量量是無偏的如果滿足假定定1-5，回回歸系數(shù)OLS估計量的的方差估計是是無偏的，而而且OLS估估計量是最優(yōu)優(yōu)線性無偏估估計量如果滿足假定定1-6，模模型的t檢驗驗和F檢驗是是有效的26經(jīng)典線性正態(tài)態(tài)假定：進一一步的說明在大多數(shù)情況況下，時間序序列很難滿足足經(jīng)典線性正正態(tài)模型假定定，特別是誤誤差項條件均均值為0、無無序列相關(guān)以以及正態(tài)性的的假定。因此此，就需要用用大樣本來做做漸進處理。。27大樣本條件下下的普通最小小二乘估計假定這些假定比有有限樣本下的的假定弱得多多28大樣本條件下下的普通最小小二乘估計如果滿足假定定1-3，回回歸系數(shù)的OLS估計量量是一致的如果滿足假定定1-5，回回歸系數(shù)OLS估計量是是漸近正態(tài)分分布的，模型型的t檢驗和和F檢驗是漸漸近有效的29經(jīng)典回歸模型型與數(shù)據(jù)的平平穩(wěn)性經(jīng)典回歸分析析暗含著一個個重要假設(shè)：：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的的。數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，，大樣本下的的統(tǒng)計推斷基基礎(chǔ)——“一一致性”要求求——被破壞壞。如果X是非平平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如如表現(xiàn)出向上上的趨勢），，則一致性條條件不成立，，回歸估計量量不滿足“一一致性”，基基于大樣本的的統(tǒng)計推斷也也就遇到麻煩煩。30有趨勢的時間間序列線性趨勢指數(shù)趨勢tt31偽回歸（spuriousregression）如果時間序列列是有趨勢的的，那么一定定是非平穩(wěn)的的，從而采用用OLS估計計的t檢驗和和F檢驗就是是無效的。兩個具有相同同趨勢的時間間序列即便毫毫無關(guān)系，在在回歸時也可可能得到很高高的顯著性和和復(fù)判定系數(shù)數(shù)出現(xiàn)偽回歸時時，一種處理理辦法是加入入趨勢變量，，另一種辦法法是把非平穩(wěn)穩(wěn)的序列平穩(wěn)穩(wěn)化32數(shù)據(jù)非平穩(wěn)的的問題在現(xiàn)實經(jīng)濟生生活中，實際際的時間序列列數(shù)據(jù)往往是是非平穩(wěn)的，，而且主要的的經(jīng)濟變量如如消費、收入入、價格往往往表現(xiàn)為一致致的上升或下下降。這樣，，仍然通過經(jīng)經(jīng)典的因果關(guān)關(guān)系模型進行行分析，一般般不會得到有有意義的結(jié)果果。33時間序列分析析模型方法時間序列分析析方法由Box-Jenkins(1976)年提出出，以通過揭揭示時間序列列自身的變化化規(guī)律為主線線而發(fā)展起來來的全新的計計量經(jīng)濟學(xué)方方法論。它適用于各種種領(lǐng)域的時間間序列分析。。時間序列分析析已組成現(xiàn)代代計量經(jīng)濟學(xué)學(xué)的重要內(nèi)容容，并廣泛應(yīng)應(yīng)用于經(jīng)濟分分析與預(yù)測當(dāng)當(dāng)中。34時間序列模型型不同于經(jīng)典典計量模型的的兩個特點⑴這種建模模方法不以經(jīng)濟理論論為依據(jù)，而是依據(jù)變變量自身的變變化規(guī)律，利利用外推機制制描述時間序序列的變化。。⑵明確考慮時間序列列的非平穩(wěn)性性。如果時間序序列非平穩(wěn)，，建立模型之之前應(yīng)先通過過差分把它變變換成平穩(wěn)的的時間序列，，再考慮建模模問題。35假定某個時間間序列是由某某一隨機過程生成的，即假假定時間序列列{Xt}（t=1,2,…）的每一個數(shù)數(shù)值都是從一一個概率分布布中隨機得到到，如果滿足足下列條件：：1）均值E(Xt)=是與時間t無關(guān)的常數(shù)；；2）方差Var(Xt)=2是與時間t無關(guān)的常數(shù)；；3）協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=k是只與時期間隔隔k有關(guān)，與時間間t無關(guān)的常數(shù)；；則稱該隨機機時間序列是是平穩(wěn)的（stationary)，而該隨機過過程是一平穩(wěn)隨機過程程（stationarystochasticprocess）。平穩(wěn)的概念36兩種基本的隨隨機過程白噪聲（whitenoise））過程隨機游走（randomwalk）過程37白噪聲聲一個具有均值值為零和相同同有限方差的的獨立隨機變變量序列et稱為白噪聲(whitenoise)。如果et服從正態(tài)分布布，則稱為高高斯白噪聲。。由于Xt具有有相同的均值值與方差，且且協(xié)方差為零零,由定義,一個白噪聲聲序列是平穩(wěn)穩(wěn)的。注：白噪聲源源于物理學(xué)與與電學(xué)，原指指音頻和電信信號在一定頻頻帶中的一種種強度不變的的干擾聲。38由白噪聲過程程產(chǎn)生的時間間序列39日元對美元匯匯率的收益率率序列40隨機游走（randomwalk）“隨機游走””一詞首次出出現(xiàn)于1905年自然（Nature）雜志第72卷PearsonK.和RayleighL.的一篇通信中中。該信件的的題目是“隨隨機游走問題題”。文中討討論尋找一個個被放在野地地中央的醉漢漢的最佳策略略是從投放點點開始搜索。。41隨機游走（randomwalk）隨機時間序列列由如下隨機機過程生成：：Xt=Xt-1+tt是一個白噪聲聲。該序列有相同同的均值E(Xt)=E(Xt-1)，但方差與時間間有關(guān)而非常常數(shù)，是一非非平穩(wěn)序列。。42證明假設(shè)Xt的初初值為X0，，則易知:X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2……Xt=X0+1+2+…+t由于X0為常數(shù)，t是一個白噪聲聲，因此:Var(Xt)=t2Xt的方差與時間間t有關(guān)而非常數(shù)數(shù)，它是一非非平穩(wěn)序列。。43隨機游走對X取一階差分（firstdifference）:Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一個白噪聲聲，則序列{Xt}是平穩(wěn)的。如果一個時間間序列是非平平穩(wěn)的，它常常?？赏ㄟ^取取差分的方法法而形成平穩(wěn)穩(wěn)序列。44由隨機游走過過程產(chǎn)生時間間序列45日元對美元匯匯率（300天，1995年）46時間序列模型型的主要分類類自回歸過程移動平均過程程47自回歸過程如果一個線性性過程可表達達為xt=1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+ut,其中i,i=1,……p是自回歸參數(shù)，ut是白噪聲過程程，則稱xt為p階自回歸過程程，用AR(p)表示。xt是由它的p個滯后變量的的加權(quán)和以及及ut相加而成。與自回歸模型型常聯(lián)系在一一起的是平穩(wěn)性問題。48移動平均過程程如果一個個線性隨隨機過程程可用下下式表達達xt=ut+1ut–1+2ut-2+…+qut–q=(1+1L+2L2+…+qLq)ut=L)ut其中1,2,…,q是回歸參參數(shù)，ut為白噪聲聲過程，，則上式式稱為q階移動平平均過程程，記為為MA(q)。之之所以稱稱“移動動平均””，是因因為xt是由q+1個ut和ut滯后項的的加權(quán)和和構(gòu)造而而成?！啊耙苿印薄敝竧的變化，，“平均均”指加加權(quán)和。。49隨機游走走隨機游走走過程是是1階自自回歸AR(1)過程程的特例例:Xt=Xt-1+t||>1時，該隨隨機過程程生成的的時間序序列是發(fā)發(fā)散的，，表現(xiàn)為為持續(xù)上上升(>1)或或持續(xù)下下降(<-1)，因此此是非平平穩(wěn)的；；=1時，，是一個個隨機游游走過程程，也是是非平穩(wěn)穩(wěn)的。只有當(dāng)-1<<1時，，該隨機機過程才才是平穩(wěn)穩(wěn)的。50時間序列列的平穩(wěn)穩(wěn)性檢驗驗1、博克克斯-皮皮爾斯（（Box-Pierce)Q統(tǒng)計量量平穩(wěn)過程程的一個個顯著特特征是自自相關(guān)函函數(shù)隨時時間間隔隔k的增增大而衰衰減，因因此，對對時間序序列的樣樣本自相相關(guān)函數(shù)數(shù)是否顯顯著地不不為零，，來檢驗驗序列的的平穩(wěn)性性。51檢驗樣本本自相關(guān)關(guān)函數(shù)及及其圖形形隨機時間間序列的的自相關(guān)關(guān)函數(shù)（（autocorrelationfunction,ACF））：k=k/0k是時間序序列滯后后k期的的協(xié)方差差，0是方差實際上，，對一個個隨機過過程只有有一個實實現(xiàn)（樣樣本），，因此，，只能計計算樣本本自相關(guān)關(guān)函數(shù)（（系數(shù)））（Sampleautocorrelationfunction））。52樣本自相相關(guān)函數(shù)數(shù)隨著k的的增加，，樣本自自相關(guān)函函數(shù)下降降且趨于于零。但但從下降降速度來來看，平平穩(wěn)序列列要比非非平穩(wěn)序序列快得得多。53平穩(wěn)序列列的判斷斷krkkr

k0011平穩(wěn)序列列的自相相關(guān)函數(shù)數(shù)非平穩(wěn)序序列的自自相關(guān)函函數(shù)迅速下降降到零緩慢下降降54相關(guān)圖和和Q-統(tǒng)計量量Bartlett曾證證明:如果時時間序列列由白噪噪聲過程程生成，，則對所所有的k>0，，樣本自自相關(guān)系系數(shù)近似似地服從從以0為為均值，，1/n為方方差的正正態(tài)分布布，其中中n為樣樣本數(shù)。。55Q-統(tǒng)統(tǒng)計量確定樣本本自相關(guān)關(guān)函數(shù)rk某一一數(shù)值是是否足夠夠接近于于0是非非常有用用的，因因為它可可檢驗對對應(yīng)的自自相關(guān)函函數(shù)k的真值是是否為0的假設(shè)設(shè)。可檢檢驗對所所有k>0，自自相關(guān)系系數(shù)都為為0的聯(lián)聯(lián)合假設(shè)設(shè)（H：1=2=…=k），這可可通過如如下QLB統(tǒng)計量進進行：其中：rk是殘差序序列的k階自相相關(guān)系數(shù)數(shù)，n是觀測值值的個數(shù)數(shù)，p是設(shè)定的的滯后階階數(shù)。。近似~2（p）56Q-統(tǒng)統(tǒng)計量H0：序列不不存在p階自相關(guān)關(guān)；H1：序列存存在p階自相關(guān)關(guān)。如果各階階Q-統(tǒng)統(tǒng)計量都都沒有超超過由設(shè)設(shè)定的顯顯著性水水平?jīng)Q定定的臨界界值，則則接受原原假設(shè)，，即不存存在序列列相關(guān)，，并且此此時，各各階的自自相關(guān)和和偏自相相關(guān)系數(shù)數(shù)都接近近于0。。反之如果果在某一一滯后階階數(shù)p，，Q-統(tǒng)計計量超過過設(shè)定的的顯著性性水平的的臨界值值，則拒拒絕原假假設(shè)，說說明殘差差序列存存在p階階自相關(guān)關(guān)。57Q-統(tǒng)統(tǒng)計量由于Q-統(tǒng)計量量的P值要根據(jù)據(jù)自由度度p來估算，，因此，，一個較較大的樣樣本容量量是保證證Q-統(tǒng)統(tǒng)計量量有效的的重要因因素。58EViews軟軟件中的的操作方方法在方程工工具欄選選擇View/ResidualTests/correlogram-Q-statistics。。EViews將顯示示殘差的的自相關(guān)關(guān)和偏自自相關(guān)函函數(shù)以及及對應(yīng)于于高階序序列相關(guān)關(guān)的Ljung-BoxQ統(tǒng)計量量。如果果殘差不不存在序序列相關(guān)關(guān)，在各各階滯后后的自相相關(guān)和偏偏自相關(guān)關(guān)值都接接近于零零。所有有的Q-統(tǒng)計量量不顯著著，并且且有大的的P值。。5960虛線之間間的區(qū)域域是自相相關(guān)中正正負兩倍倍于估計計標準差差所夾成成的。如如果自相相關(guān)值在在這個區(qū)區(qū)域內(nèi)，，則在顯顯著水平平為5%的情形形下與零零沒有顯顯著區(qū)別別。本例1～～3階的的自相關(guān)關(guān)系數(shù)都都超出了了虛線，，說明存存在3階階序列相相關(guān)。各各階滯后后的Q-統(tǒng)計量量的P值都小于于5%，，說明在在5%的的顯著性性水平下下，拒絕絕原假設(shè)設(shè)，殘差差序列存存在序列列相關(guān)。。61時間序列列的平穩(wěn)穩(wěn)性檢驗驗2、根據(jù)據(jù)序列的的時間路路徑圖和和樣本相相關(guān)圖判判斷3、單位位根檢驗驗62二、平穩(wěn)穩(wěn)性檢驗驗的圖示示判斷63平穩(wěn)性的的簡單圖圖示判斷斷給出一一個隨隨機時時間序序列，，首先先可通通過該該序列列的時時間路路徑圖圖來粗粗略地地判斷斷它是是否是是平穩(wěn)穩(wěn)的。。一個平平穩(wěn)的的時間間序列列在圖圖形上上往往往表現(xiàn)現(xiàn)出一一種圍圍繞其其均值值不斷斷波動動的過過程。。而非平平穩(wěn)序序列則則往往往表現(xiàn)現(xiàn)出在在不同同的時時間段段具有有不同同的均均值（（如持持續(xù)上上升或或持續(xù)續(xù)下降降）。。6465txttxt66序序列Random1是通通過一一隨機機過程程（隨隨機函函數(shù)））生成成的有有19個樣樣本的的隨機機時間間序列列。676869序列1容易驗驗證：：該樣樣本序序列的的均值值為0，方方差為為0.0789。從圖形形看：：它在在其樣樣本均均值0附近近上下下波動動，且且樣本本自相相關(guān)系系數(shù)迅迅速下下降到到0，，隨后后在0附近近波動動且逐逐漸收收斂于于0。。由于該該序列列由一一隨機機過程程生成成，可可以認認為不不存在在序列列相關(guān)關(guān)性，，因此此該序序列為為一白白噪聲聲。70序列1根據(jù)Bartlett的的理論論：k～N(0,1/19)，因因此任任一rk(k>0)的95%的置置信區(qū)區(qū)間都都將是是:可以看看出:k>0時時，rk的值確確實落落在了了該區(qū)區(qū)間內(nèi)內(nèi)，因因此可可以接接受k(k>0)為為0的的假設(shè)設(shè)。71序列1從QLB統(tǒng)計量量的計計算值值看，，滯后后17期的的計算算值為為26.38，，未超超過5%顯顯著性性水平平的臨臨界值值27.58，，因此此,可可以接接受所所有的的自相相關(guān)系系數(shù)k(k>0)都都為0的假假設(shè)。。因此，該隨機機過程程是一一個平平穩(wěn)過過程。。72序列2由一隨隨機游游走過過程Xt=Xt-1+t生成的的一隨隨機游游走時時間序序列樣樣本。。其中中，第第0項項取值值為0，t是由Random1表示示的白白噪聲聲。7374序列2圖形表表示出出：該該序列列具有有相同同的均均值，，但從從樣本本自相相關(guān)圖圖看，，雖然然自相相關(guān)系系數(shù)迅迅速下下降到到0，，但隨隨著時時間的的推移移，則則在0附近近波動動且呈呈發(fā)散散趨勢勢。樣本自自相關(guān)關(guān)系數(shù)數(shù)顯示示：r1=0.48，落落在了了區(qū)間間[-0.4497,0.4497]之之外，，因此此在5%的的顯著著性水水平上上拒絕絕1的真值值為0的假假設(shè)。。該隨機機游走走序列列是非非平穩(wěn)穩(wěn)的。。75例9.1.4檢驗中中國支支出法法GDP時時間序序列的的平穩(wěn)穩(wěn)性。表9.1.21978~2000年中中國支支出法法GDP（（單位位：億億元））7677判斷圖形：：表現(xiàn)現(xiàn)出了了一個個持續(xù)續(xù)上升升的過過程，可初初步判判斷是非平平穩(wěn)的。樣本自自相關(guān)關(guān)系數(shù)數(shù)：緩緩慢下下降，再次次表明明它的的非平穩(wěn)穩(wěn)性。從滯后后21期的的QLB統(tǒng)計量量看：QLB(21)=146.23>32.67=20.05（21）拒絕：該時間序序列的自相相關(guān)系數(shù)在在滯后1期期之后的值值全部為0的假設(shè)。。結(jié)論:1978～2000年年間中國GDP時間間序列是非非平穩(wěn)序列列。78例9.1.5檢驗§2.5中關(guān)關(guān)于人均居居民消費與與人均國內(nèi)內(nèi)生產(chǎn)總值值這兩時間間序列的平平穩(wěn)性。原圖樣樣本自相相關(guān)圖79判斷從圖形上看看：人均居民消消費（CPC）與人人均國內(nèi)生生產(chǎn)總值（（GDPPC）是非平穩(wěn)的的。從滯后14期的QLB統(tǒng)計量量看：CPC與GDPPC序列的統(tǒng)統(tǒng)計量計算算值均為57.18，超過了了顯著性水水平為5%時的臨界界值23.68。再再次表明它們的的非平穩(wěn)性性。就此來說，，運用傳統(tǒng)統(tǒng)的回歸方方法建立它它們的回歸歸方程是無無實際意義義的。不過，第三三節(jié)中將看看到，如果果兩個非平平穩(wěn)時間序序列是協(xié)整的，則傳統(tǒng)統(tǒng)的回歸結(jié)結(jié)果卻是有有意義的，，而這兩時時間序列恰恰是協(xié)整的。80三、平穩(wěn)性性的單位根根檢驗（unitroottest）811、DF檢檢驗考慮一階自自回歸模型型：821、DF檢檢驗831、DF檢檢驗根據(jù)值值的的不同，可可以分三種種情況考慮慮：（1）若＜＜1，則當(dāng)T→∞時，→→0，即對序列列的沖擊將將隨著時間間的推移其其影響逐漸漸減弱，此此時序列是是穩(wěn)定的。。841、DF檢檢驗（2）若＞＞1，則當(dāng)T→∞時，→→∞∞，即對序序列的沖擊擊隨著時間間的推移其其影響反而而是逐漸增增大的，很很顯然，此此時序列是是不穩(wěn)定的的。（3）若=1，則當(dāng)T→∞時，=1，即對序列列的沖擊隨隨著時間的的推移其影影響是不變變的，很顯顯然，序列列也是不穩(wěn)穩(wěn)定的。851、DF檢檢驗86DF檢驗所以式中的的參數(shù)>1或=1時，時間序序列是非平平穩(wěn)的;相相對應(yīng)的是是>0或=0。針對Xt=+Xt-1+t零假設(shè)H0：=0備備擇擇假設(shè)H1：<0可通過OLS法下的的t檢驗完完成，但在在零假設(shè)（（序列非平平穩(wěn)）下，，即使在大大樣本下t統(tǒng)計量也也是有偏誤誤的（向下下偏倚），，呈現(xiàn)圍繞繞小于零值值的偏態(tài)分分布，t檢檢驗無法使使用。87DF檢驗88因此，可通通過OLS法估計：：Xt=+Xt-1+t并計算t統(tǒng)統(tǒng)計量的值值，與DF分布表中中給定顯著著性水平下下的臨界值值比較。89問題的提出出：在利用Xt=+Xt-1+t對時間序列列進行平穩(wěn)穩(wěn)性檢驗中中，實際上假定了時間間序列是由由具有白噪噪聲隨機誤誤差項的一一階自回歸歸過程AR(1)生生成的。前面所描述述的單位根根檢驗只有有當(dāng)序列為為AR(1)時才才有效。如如果序列存存在高階滯滯后相關(guān)，，這就違背背了擾動項項是獨立同同分布的假假設(shè)。在實實際檢驗中中，時間序序列可能由由更高階的的自回歸過過程生成的的，或者隨隨機誤差項項并非是白白噪聲，或者時間序序列包含有有明顯的隨隨時間變化化的某種趨趨勢（如上上升或下降降），這樣樣用OLS法進進行估計均均會表現(xiàn)出出隨機誤差差項出現(xiàn)自自相關(guān)（autocorrelation）），導(dǎo)致DF檢檢驗無效。。在這種情情況下，可可以使用增增廣的DF檢驗方法法（augmentedDickey-Fullertest），，即ADF檢驗來檢檢驗含有高高階序列相相關(guān)的序列列的單位根根。2、ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗90ADF檢驗驗是通過下下面三個模模型完成的的：即通過在模模型中增加加的滯后項項△Xt，以消除殘殘差的序列列相關(guān)性。。在檢驗回回歸中包括括常數(shù)，常常數(shù)和線性性趨勢，或或二者都不不包含。91H0：=0，即存存在一單位位根H1:<0實際檢驗時時從模型3開始，然然后模型2、模型1。何時檢驗拒拒絕零假設(shè)設(shè)，即原序序列不存在在單位根，，為平穩(wěn)序序列，何時時檢驗停止止。否則，，就要繼續(xù)續(xù)檢驗，直直到檢驗完完模型1為為止。檢驗原理與DF檢驗驗相同，只只是對模型型1、2、、3進行檢檢驗時，有有各自相應(yīng)應(yīng)的臨界值值。ADF檢驗驗92不同模型使使用的ADF分布臨臨界值表2.202.182.172.162.162.162.612.562.542.532.522.522.972.892.862.842.832.833.413.283.223.193.183.182550100250500〉500-2.62-2.60-2.58-2.57-2.57-2.57-3.00-2.93-2.89-2.88-2.87-2.86-3.33-3.22-3.17-3.14-3.13-3.12-3.75-3.58-3.51-3.46-3.44-3.432550100250500〉5002-1.60-1.61-1.61-1.61-1.61-1.61-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-2.26-2.25-2.24-2.23-2.23-2.23-2.66-2.62-2.60-2.58-2.58-2.582550100250500〉50010.100.050.0250.01樣本容量統(tǒng)計量模型ststat93續(xù)表：不同同模型使用用的ADF分布臨界界值表2.392.382.382.382.382.382.852.812.792.792.782.783.253.183.143.123.113.113.743.603.533.493.483.462550100250500〉5002.772.752.732.732.722.723.203.143.113.093.083.083.593.423.423.393.383.384.053.873.783.743.723.712550100250500〉500-3.24-3.18-3.15-3.13-3.13-3.12-3.603.50-3.45-3.43-3.42-3.41-3.95-3.80-3.73-3.69-3.68-3.66-4.38-4.15-4.04-3.99-3.98-3.962550100250500〉50030.100.050.0250.01樣本容量統(tǒng)計量模型statbt94ADF檢驗驗標準1）只要其其中有一個個模型的檢檢驗結(jié)果拒拒絕了零假假設(shè)，就可可以認為時時間序列是是平穩(wěn)的；；2）當(dāng)三個個模型的檢檢驗結(jié)果都都不能拒絕絕零假設(shè)時時，則認為為時間序列列是非平穩(wěn)穩(wěn)的。模型適當(dāng)?shù)牡男问骄褪鞘窃诿總€模模型中選取取適當(dāng)?shù)臏蟛罘猪楉?，以使模模型的殘差差項是一個個白噪聲（（主要保證證不存在自自相關(guān)）。。95ADF檢驗驗注意的問問題（1）必須須為回歸定定義合理的的滯后階數(shù)數(shù)。①漸進t檢驗。該種種方法是首首先選擇一一個較大的的m值，然后用用t檢驗確定系系數(shù)是否顯顯著，如果果是顯著的的，則選擇擇滯后項數(shù)數(shù)為m;如果不顯著著，則減少少m直到對應(yīng)的的系數(shù)值是是顯著的。。②信息準則則。常用的的信息準則則有AIC信息準則、、SC信息準則，，通常采用用AIC準準則來確定定給定時間間序列模型型的滯后階階數(shù)。在實實際應(yīng)用中中，還需要要兼顧其他他的因素，，如系統(tǒng)的的穩(wěn)定性、、模型的擬擬合優(yōu)度等等。96ADF檢驗驗注意的問問題（2）可以以選擇常數(shù)數(shù)和線性時時間趨勢，，選擇哪種種形式很重重要，因為為檢驗顯著著性水平的的t統(tǒng)計量量在原假設(shè)設(shè)下的漸進進分布依賴賴于關(guān)于這這些項的定定義。①如果在在檢驗回歸歸中含有常常數(shù)，意味味著所檢驗驗的序列的的均值不為為0，一個個簡單易行行的辦法是是畫出檢驗驗序列的曲曲線圖，通通過圖形觀觀察原序列列是否在一一個偏離0的位位置隨機變變動，進而而決定是否否在檢驗時時添加常數(shù)數(shù)項；97ADF檢驗驗注意的問問題②如果在在檢驗回歸歸中含線性性趨勢項，，意味著原原序列具有有時間趨勢勢。同樣，，決定是否否在檢驗中中添加時間間趨勢項，，也可以通通過畫出原原序列的曲曲線圖來觀觀察。如果果圖形中大大致顯示了了被檢驗序序列的波動動趨勢隨時時間變化而而變化，那那么便可以以添加時間間趨勢項。。98例9.1.6檢驗1978~2000年間間中國支出出法GDP序列的平平穩(wěn)性。1）經(jīng)過嘗試，，模型3取取了2階滯滯后：通過拉格朗朗日乘數(shù)檢檢驗對隨機機誤差項的的自相關(guān)性性進行檢驗驗：LM（（1）=0.92，，LM（2）=4.16，小于5%顯顯著性水平平下自由度度分別為1與2的2分布的臨界界值，可見見不存在自自相關(guān)性，，因此該模模型的設(shè)定定是正確的的。99ADF檢驗驗從的系數(shù)看，，t>臨界界值，接受受存在單位位根的零假假設(shè)。時間T的t統(tǒng)計量小小于ADF分布表中中的臨界值值，因此接受不存在在趨勢項的的假設(shè)。需進一步檢檢驗?zāi)Ｐ?。1002）經(jīng)試驗驗，模型2中滯后項項取2階：：LM檢驗表表明模型殘殘差不存在在自相關(guān)性性，因此該該模型設(shè)定定是正確的的。從GDPt-1的參參數(shù)數(shù)值值看看，，其其t統(tǒng)統(tǒng)計計量量為為正正值值，，大大于于臨臨界界值值，，不不能能拒拒絕絕存存在在單單位位根根的的零零假假設(shè)設(shè)。。常數(shù)數(shù)項項的的t統(tǒng)統(tǒng)計計量量小小于于AFD分分布布表表中中的的臨臨界界值值，，不不能能拒拒絕絕不不存存常常數(shù)數(shù)項項的的零零假假設(shè)設(shè)。。需需進進一一步步檢檢驗驗?zāi)ＤＰ托?。。1013)經(jīng)經(jīng)試試驗驗，，模模型型1中滯滯后后項項取取2階：LM檢檢驗驗表表明明模模型型殘殘差差項項不不存存在在自自相相關(guān)關(guān)性性，，因因此此模模型型的的設(shè)設(shè)定定是是正正確確的的。。從GDPt-1的參參數(shù)數(shù)值值看看，，其其t統(tǒng)統(tǒng)計計量量為為正正值值，，大大于于臨臨界界值值，，不不能能拒拒絕絕存存在在單單位位根根的的零零假假設(shè)設(shè)。。可斷斷定定中中國國支支出出法法GDP時時間間序序列列是是非非平平穩(wěn)穩(wěn)的的。。102例檢驗驗§2.5中中關(guān)關(guān)于于人人均均居居民民消消費費與與人人均均國國內(nèi)內(nèi)生生產(chǎn)產(chǎn)總總值值這這兩兩時時間間序序列列的的平平穩(wěn)穩(wěn)性性。。1)對對中國國人人均均國國內(nèi)內(nèi)生生產(chǎn)產(chǎn)總總值值GDPPC來說說，，經(jīng)經(jīng)過過嘗嘗試試，，三三個個模模型型的的適適當(dāng)當(dāng)形形式式分分別別為為：：103104三個個模模型型中中參參數(shù)數(shù)的的估估計計值值的的t統(tǒng)統(tǒng)計計量量均均大大于于各各自自的的臨臨界界值值，，因因此此不能能拒拒絕絕存存在在單單位位根根的的零零假假設(shè)設(shè)。結(jié)論論：：人均均國國內(nèi)內(nèi)生生產(chǎn)產(chǎn)總總值值（（GDPPC））是是非非平平穩(wěn)穩(wěn)的的。。1052））對對于于人均均居居民民消消費費CPC時間序列來說說，三個模型型的適當(dāng)形式式為：106107三個模型中參參數(shù)CPCt-1的t統(tǒng)計量的的值均比ADF臨界值表表中各自的臨臨界值大，不能拒絕該時時間序列存在在單位根的假假設(shè)，因此,可判斷人均居居民消費序列列CPC是非非平穩(wěn)的。108四、單整、趨趨勢平穩(wěn)與差差分平穩(wěn)隨機機過程1091、單整d階單整（（integratedofd）序列：一個時間序列列經(jīng)過d次差差分后變成平平穩(wěn)序列，記記為I(d)。一階單整（integratedof1））序列：一個時間序列列經(jīng)過一次差差分變成平穩(wěn)穩(wěn)的，記為I(1)。I(0)代表表一平穩(wěn)時間間序列。I(d)在金融、經(jīng)濟濟時間序列數(shù)數(shù)據(jù)中是最普普遍的，而I(0)則表示平穩(wěn)時時間序列。1101、單整非單整（non-integrated）：無無論經(jīng)過多少少次差分，都都不能變?yōu)槠狡椒€(wěn)的時間序序列?，F(xiàn)實經(jīng)濟生活活中，只有少少數(shù)經(jīng)濟指標標的時間序列列表現(xiàn)為平穩(wěn)穩(wěn)的，如利率率等;大多數(shù)數(shù)指標的時間間序列是非平平穩(wěn)的，可通通過一次或多多次差分的形形式變?yōu)槠椒€(wěn)穩(wěn)的。如一些些價格指數(shù)常常常是2階單單整的，以不不變價格表示示的消費額、、收入等常表表現(xiàn)為1階單單整。111例9.1.8中國支出法GDP的單整整性。經(jīng)過試算，發(fā)發(fā)現(xiàn)中國支出法GDP是1階階單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗?zāi)ＤＰ蜑椋?12例9.1.9中國人均居民民消費與人均均國內(nèi)生產(chǎn)總總值的單整性性。經(jīng)過試算，發(fā)發(fā)現(xiàn)中國人均國內(nèi)內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC是是2階單整的的，適當(dāng)?shù)臋z驗?zāi)ＤＰ蜑椋?13同樣地，CPC也是2階單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗?zāi)ＤＰ蜑椋?14⒉趨勢平穩(wěn)與差差分平穩(wěn)隨機機過程虛假回歸或偽回歸（spuriousregression）：如：用中國的的勞動力時間間序列數(shù)據(jù)與與美國GDP時間序列作作回歸，會得得到較高的R2，但不不能認為兩者者有直接的關(guān)關(guān)聯(lián)關(guān)系，而而只不過它們們有共同的趨趨勢罷了，這這種回歸結(jié)果果我們認為是是虛假的。為了避免這種種虛假回歸的的產(chǎn)生，通常常的做法是引引入作為趨勢勢變量的時間間，這樣包含含有時間趨勢勢變量的回歸歸，可以消除除這種趨勢性性的影響。115引入作為趨勢勢變量時間的的做法，只有當(dāng)當(dāng)趨勢性變量量是確定性的（deterministic）而非隨機性的（stochastic）），才會是有效的的。如果一個包含含有某種確定定性趨勢的非非平穩(wěn)時間序序列，可以通通過引入表示示這一確定性性趨勢的趨勢勢變量，而將將確定性趨勢勢分離出來。。⒉趨勢平穩(wěn)穩(wěn)與差分平穩(wěn)穩(wěn)隨機過程1161)如果=1，=0，則（*）式成成為一帶位移的隨隨機游走過程程：Xt=+Xt-1+t（**）根據(jù)的正負，Xt表現(xiàn)出明顯的的上升或下降降趨勢。這種種趨勢稱為隨機性趨勢（（stochastictrend）?？紤]如下的含含有一階自回回歸的隨機過過程：Xt=+t+Xt-1+t（*）其中:t是一白噪聲，，t為一時間間趨勢。1172)如果=0，0，則（*）式成為一帶時時間趨勢的隨隨機變化過程程：Xt=+t+t（***）根據(jù)的正負，Xt表現(xiàn)出明顯的的上升或下降降趨勢。這種種趨勢稱為確定性趨勢（（deterministictrend））。Xt=+t+Xt-1+t3)如果=1，0，則Xt包含含有確定性與隨機機性兩種趨勢勢。118判斷一個非平平穩(wěn)的時間序序列，它的趨趨勢是隨機性性的還是確定定性的，可通通過ADF檢檢驗中所用的的第3個模型型進行。該該模型中已引引入了表示確確定性趨勢的的時間變量t，即分離出出了確定性趨趨勢的影響。。(1)如果檢檢驗結(jié)果表明明所給時間序序列有單位根根，且時間變變量前的參數(shù)數(shù)顯著為零，，則該序列顯顯示出隨機性性趨勢;(2)如果沒沒有單位根，，且時間變量量前的參數(shù)顯顯著地異于零零，則該序列列顯示出確定定性趨勢。119隨機性趨勢可可通過差分的的方法消除例如：對式：：Xt=+Xt-1+t可通過差分變變換為：Xt=+t該時間序列稱稱為差分平穩(wěn)過程程（differencestationaryprocess）；120確定性趨勢無無法通過差分分的方法消除除，而只能通通過除去趨勢勢項消除例如：對式：：Xt=+t+t可通過除去t變換為：Xt-t=+t該時間序列是是平穩(wěn)的，因因此稱為趨勢平穩(wěn)過程程（trendstationaryprocess）。121最后需要說明明的是，趨勢平穩(wěn)過程程代表了一個個時間序列長長期穩(wěn)定的變變化過程，因因而用于進行行長期預(yù)測則則是更為可靠靠的。122單位根檢驗案案例分析案例1中中國進口口額序列（1950-2006）的的單位根檢驗驗定義對數(shù)的年年進口變量Lnimt如下：Lnimt=log(imt)Lnimt序列（1950-2006）Lnimt序列（1951-2006）123案例1中中國進口口額序列（1950-2006）的的單位根檢驗驗124案例1中中國進口口額序列（1950-2006）的的單位根檢驗驗125案例2深深證成指序列列的單位根檢檢驗深證成指序列列（421天天）從走勢看看決不會是隨隨機趨勢非平平穩(wěn)序列（含含有時間趨勢勢的2次項）），也不會是是隨機趨勢序序列（含有時時間趨勢的1次項）。不不妨先按隨機機趨勢序列設(shè)設(shè)定檢驗式。。帶有常數(shù)項項的DF檢驗式的估計計結(jié)果如下，，126案例2深深證成指序列列的單位根檢檢驗1279、靜夜四無無鄰，荒居居舊業(yè)貧。。。1月-231月-23Sunday,January1,202310、雨中黃黃葉樹，，燈下白白頭人。。。21:11:1921:11:1921:111/1/20239:11:19PM11、以以我我獨獨沈沈久久，，愧愧君君相相見見頻頻。。。。1月月-2321:11:1921:11Jan-2301-Jan-2312、故人江江海別，，幾度隔隔山川。。。21:11:1921:11