剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日§5.1剛體的運(yùn)動(dòng)§5.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律§5.3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

§5.4轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用舉例§5.5定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系§5.6剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律§5.7旋進(jìn)本章目錄2第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日CAB

F由于彈性，力在連續(xù)體內(nèi)傳播需要一定時(shí)間：§5.1剛體的運(yùn)動(dòng)一.剛體（rigidbody）的概念t

t

+t才感受到力固體中彈性波的速度（k—?jiǎng)哦龋┤魐，則k，此時(shí)物體有無限的剛性，它受作用力不會(huì)變形，因而可以瞬時(shí)傳遞力。我們把這種不能變形的物體稱為剛體。3第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日顯然，剛體是個(gè)理想化的模型，而且考慮到剛體的特點(diǎn)，規(guī)律的表示還可較一剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)系，其上各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置保持不變。質(zhì)點(diǎn)系的規(guī)律都可用于剛體，般的質(zhì)點(diǎn)系有所簡(jiǎn)化。通常v固體

103m/s，所以只要我們討論的運(yùn)動(dòng)過程的速度比此慢得多，就可把固體視為剛體。實(shí)際的意義。但是它有4第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日的直線在運(yùn)動(dòng)各個(gè)時(shí)刻的位置都彼此平行。二.剛體的運(yùn)動(dòng)形式1.平動(dòng)（translation）：剛體做平動(dòng)時(shí)，可用質(zhì)心或其上任何一平動(dòng)是剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式之一。

2.轉(zhuǎn)動(dòng)（rotation）：轉(zhuǎn)動(dòng)也是剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式之一，它又可分為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。連接剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來代表整體的運(yùn)動(dòng)。5第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日▲定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：且各圓心都在同一條固定的直線（轉(zhuǎn)軸）上?！c(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：整個(gè)剛體繞過該定點(diǎn)的某一瞬時(shí)軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。

3.平面運(yùn)動(dòng)：剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都平行于某一4.一般運(yùn)動(dòng)：剛體不受任何限制的的任意運(yùn)動(dòng)。它可分解為以下兩種剛體的基本運(yùn)動(dòng)：▲隨基點(diǎn)O（可任選）的平動(dòng)▲繞通過基點(diǎn)O的瞬時(shí)軸的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)中各質(zhì)元均做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中剛體上只有一點(diǎn)固定不動(dòng)，固定平面的運(yùn)動(dòng)。6第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日··OO·OO·轉(zhuǎn)動(dòng)與基點(diǎn)的選取無關(guān)。兩種分解，基點(diǎn)選取不同，例如：平動(dòng)可以不同，動(dòng)力學(xué)中，常選質(zhì)心為基點(diǎn)。三.剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述（運(yùn)動(dòng)學(xué)問題）1.定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)（rotationaboutafixedpoint）（1）角量的描述為反映瞬時(shí)軸的方向及剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢轉(zhuǎn)動(dòng)卻相同，或和轉(zhuǎn)向，引入角速度矢量7第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日與轉(zhuǎn)向成右螺旋關(guān)系。（不一定沿著瞬時(shí)軸）×基點(diǎn)OP瞬時(shí)軸剛體ω的方向沿瞬時(shí)軸，為反映的變化情況，引入角加速度矢量。轉(zhuǎn)向8第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日（2）線量和角量的關(guān)系vωrrP×基點(diǎn)O瞬時(shí)軸剛體旋轉(zhuǎn)加速度向軸加速度

2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（rotationaboutafixedaxis）轉(zhuǎn)軸固定，。和和退化為代數(shù)量9第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日

O剛體vP×rr定軸參考方向θz10第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日§5.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律把剛體看作無限多質(zhì)元構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系。令—轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（對(duì)z軸）（rotationalinertia）vi剛體

O×ω,ri定軸zmiΔriFi11第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日vi剛體

O×ω,αri定軸zFiθimiΔri則即—轉(zhuǎn)動(dòng)定律其中定軸情況下，可不寫下標(biāo)z，記作：與牛頓第二定律相比，有：M

相應(yīng)F，J

相應(yīng)m

，相應(yīng)a

。12第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日§5.3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算dmrm轉(zhuǎn)軸

J由質(zhì)量對(duì)軸的分布決定。演示質(zhì)量分布改變對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響(KL013)一.常用的幾種轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示式

RmO細(xì)圓環(huán)：13第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日RmC均勻圓盤：CAm均勻細(xì)桿：二.計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的幾條規(guī)律1.對(duì)同一軸J具有可疊加性14第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日

2.平行軸定理JCdmJC平行×3.對(duì)薄平板剛體的正交軸定理

ri

mi

Δx

z

yi

y

xiO即（證明見書P260—P262）如圖15第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日[例]求對(duì)薄圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，已知圓盤

yx

z

圓盤

R

C

m

解：思考下圖中的Jz如何求？zlDmCaazm16第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日§5.4轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用舉例定軸

O·Rthmv0=0繩（不可伸長(zhǎng)）已知：R=0.2m，m=1kg，v0=0，h=1.5m，滑動(dòng)，下落時(shí)間t=3s。求：輪對(duì)O軸J=？

解：動(dòng)力學(xué)關(guān)系：對(duì)輪：′T=–TmgmaαRGTN·對(duì)m：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：(3)(4)(1)(2)繩輪間無相對(duì)17第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日(1)~(4)聯(lián)立解得：分析結(jié)果：●量綱對(duì)；●

h、m一定，J↑→t↑，●若J=0，得代入數(shù)據(jù)：正確。合理；此為一種用實(shí)驗(yàn)測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法。18第十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日§5.5定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系一.力矩的功力矩的空間積累效應(yīng)：

力矩的功：dzx·軸rF19第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日二.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理令轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理：（飛輪儲(chǔ)能）20第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日三.剛體的重力勢(shì)能四.應(yīng)用舉例對(duì)于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機(jī)械能×ChChiEp=0miΔ守恒定律仍成立。21第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日[例]已知：如圖示，。θ··ω軸OCABl,ml/4求：桿下擺到角時(shí)，解：（桿+地球）系統(tǒng)，

(1)

(2)(1)、(2)解得：只有重力作功，E守恒。角速度軸對(duì)桿作用力均勻直桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，初始水平靜止。軸光滑，22第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)

(3)

(4)

(5)

(6)BCθO·Al,mθNlNtNmgaCtaCllt·定理求軸力：23第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日由(3)(4)(5)(6)解得：βCθO··ωABl,mNlNtNlt24第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日§5.6剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律討論力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)。質(zhì)點(diǎn)系：對(duì)點(diǎn)：對(duì)軸：剛體：——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理25第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律：對(duì)剛體系，M外z=0

時(shí)，，此時(shí)角動(dòng)量可在系統(tǒng)內(nèi)部各剛體間傳遞，而卻保持剛體系對(duì)轉(zhuǎn)軸的總角動(dòng)量不變。茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅(KL016)陀螺儀（KL029）轉(zhuǎn)臺(tái)車輪(KL017)演示角動(dòng)量守恒：26第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日克服直升飛機(jī)機(jī)身反轉(zhuǎn)的措施：裝置尾漿推動(dòng)大氣產(chǎn)生克服機(jī)身反轉(zhuǎn)的力矩裝置反向轉(zhuǎn)動(dòng)的雙旋翼產(chǎn)生反向角動(dòng)量而相互抵消

TV角動(dòng)量守恒定律(注3)27第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日滑冰運(yùn)動(dòng)員的旋轉(zhuǎn)貓的下落（A）貓的下落（B）28第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日m(黏土塊)

yxhPθOM光滑軸均質(zhì)圓盤（水平）R[例]如圖示，求：碰撞后的瞬刻盤

P轉(zhuǎn)到x軸時(shí)盤解：m下落：(1)mPhv對(duì)（m+盤），碰撞中重力對(duì)O軸力矩可忽略，(2)已知：h，R，M=2m，=60系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：29第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日

(3)對(duì)（m+M+地球）系統(tǒng)，mmg·OMR令P、x重合時(shí)EP=0，則：

(5)由(3)(4)(5)得：由(1)(2)(3)得：

(4)只有重力作功，E守恒。（m+盤）角動(dòng)量30第三十頁，共三十九頁，2022年，8月28日旋進(jìn)：

§5.7旋進(jìn)（進(jìn)動(dòng)，precession）如玩具陀螺的運(yùn)動(dòng)：軸轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象。高速旋轉(zhuǎn)的物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個(gè)31第三十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日

p2

p1·×m2>m1

r2m1

r1

L2

L1

L

Oωz點(diǎn)的不平行于。若質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)軸分布對(duì)稱，下面我們就討論這種質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)軸分布對(duì)稱對(duì)轉(zhuǎn)軸不對(duì)稱，的剛體的旋進(jìn)問題。剛體自轉(zhuǎn)的角動(dòng)量不一定都與自轉(zhuǎn)軸平行。例如，圖示的情形：質(zhì)量則：則對(duì)軸上O32第三十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日×MdL·mgθOω∥L從而產(chǎn)生旋進(jìn)運(yùn)動(dòng)。玩具陀螺的旋進(jìn)：只改變方向而不改變大小，33第三十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日dΩLO旋進(jìn)角速度：演示車輪旋進(jìn)（KL023)TV旋進(jìn)防止炮彈翻轉(zhuǎn)（注2）34第三十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日▲回轉(zhuǎn)效應(yīng)產(chǎn)生附加力矩：

輪船轉(zhuǎn)彎時(shí)，渦輪機(jī)軸承要承受附加力。左轉(zhuǎn)dLMMdt=dL附加力附加力軸承附加力可能造成軸承的損壞，附加力矩也可能造成翻船事故。M左轉(zhuǎn)彎的力矩

三輪車拐彎時(shí)易翻車（內(nèi)側(cè)車輪上翹）。L35第三十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日▲地球轉(zhuǎn)軸的旋進(jìn)，歲差隨著地球自轉(zhuǎn)軸的旋進(jìn)，北天極方向不斷改變。北極星3000年前小熊座現(xiàn)在小熊座12000年后天琴座（織女）T=25800年C1C2F1F2太陽赤道平面黃道平面地球北天極地軸L地球自轉(zhuǎn)角動(dòng)量（F1>F2

）M地球自轉(zhuǎn)軸旋進(jìn)36第三十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日地軸旋進(jìn)旋進(jìn)周期25800年秋分點(diǎn)春分點(diǎn)西分點(diǎn)每年在黃道上西移50.2太陽年（回歸年）：太陽由春分秋分春分恒星年（時(shí)間長(zhǎng)）：地球繞太陽一周的時(shí)間歲差（precession）歲差=恒星年太陽年=20分23秒北半球南半球黃道面赤道面太陽東37第三十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日我國(guó)古代已發(fā)現(xiàn)了歲差：每50年差1度（約72/年）▲前漢（公元前206—23）劉歆發(fā)現(xiàn)歲差。▲晉朝（公元265—316）虞喜最先確定了歲差：將歲差引入歷法：391年有144個(gè)閏月?！鏇_之（公元429—50