線段的垂直平分線 【備課精研 +高效課堂】 八年級數學下冊 （北師大版）

新課標北師大版八年級下冊1.3.1線段的垂直平分線（1）第一章三角形的證明學習目標1.經歷利用邏輯推理驗證線段垂直平分線的性質及判定的過程，使學生理解邏輯證明的重要性。2.利用線段垂直平分線的性質及判定解決實際問題，培養(yǎng)學生解決問題的能力。情境導入（1）線段是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.

線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸.（2）什么叫線段的垂直平分線？情境導入如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應建在什么位置?PNM點P是碼頭的位置探究新知核心知識點一：線段垂直平分線的性質如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點，請你量一量線段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的長，你能發(fā)現什么？請猜想點P1，P2，P3，…到點A與點B的距離之間的數量關系．ABlP1P2P3P1A____P1BP2A____P2BP3A____P3B＝＝＝探究新知猜想：點P1，P2，P3，…到點A與點B的距離分別相等．線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.由此你能得到什么結論？你能驗證這一結論嗎？探究新知已知：如圖，直線MN⊥AB。垂足為C，且AC=BC，P是直線MN上任意一點。求證：PA=PB證明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°，∵AC=BC，PC=PC?！唷鱌CA≌△PCB（SAS）∴PA=PB（全等三角形的對應邊相等）思考：當點P與點C重合時，上面結論成立嗎？如果點P與點C重合，那么結論顯然成立探究新知歸納總結線段垂直平分線的性質定理：PABMCN線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.條件：點在線段的垂直平分線上；結論：這個點到線段兩端點的距離相等．幾何語言：∵MN⊥AB，AC＝BC，點P在MN上，

∴PA＝PB.

作用：可用來證明兩線段相等．解：AB=AC=CE，AB+BD=DE.理由如下：∵AD⊥BC，BD=DC，

∴AB=AC.∵點C在AE的垂直平分線上,

∴AC=CE.∴AB=AC=CE，AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE.探究新知例：如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上,AB，AC，CE的長度有什么關系？AB+BD與DE有什么關系?CBDAE探究新知核心知識點二：線段垂直平分線的判定1.經過線段的中點，并且垂直于這條線段的直線是線段的垂直平分線。2.思考：線段的垂直平分線有哪些判定方法？（定義判定）你能寫出垂直平分線性質定理的逆命題嗎？？性質定理的逆命題？探究新知性質定理（原命題）：如果一個點是線段垂直平分線上的點，那么這個點到這條線段兩個端點的距離相等。逆命題：如果一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上。這個逆命題是真命題嗎？你能證明它嗎？探究新知已知：線段AB和點P，PA=PB，求證：點P在線段AB的垂直平分線上.證明：①若點P在線段AB上，則點P為線段AB中點，結論顯然成立.②若點P不在AB上，取AB中點M，連接PM.∵PA=PB，AM=BM，∴PM⊥AB（等腰三角形三線合一）.綜上所述，原命題成立.探究新知歸納總結到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．線段垂直平分線的判定定理：條件：點到線段兩端點距離相等；結論：點在線段垂直平分線上．幾何語言：∵PA＝PB，

∴點P在線段AB的垂直平分線上．作用：①作線段的垂直平分線的依據；②可用來證線段垂直、相等．探究新知定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.定理：到一條條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.互為逆定理綜上：線段的垂直平分線是到線段兩個端點距離相等的所有點的集合.探究新知例2：已知：如圖△ABC中，AB=AC，O是△ABC內一點，且OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC.證明：∵AB=AC，

∴A在線段BC的垂直平分線（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）.同理，點O在線段BC的垂直平分線.∴直線AO是線段BC的垂直平分線（兩點確定一條直線）.還有其他方法嗎？探究新知例2：已知：如圖△ABC中，AB=AC，O是△ABC內一點，且OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC.證明：延長AO交BC于點D，∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO（SSS）.∴∠BAO=∠CAO，∵AB=AC，∴AO⊥BC．∵OB＝OC，OD＝OD，∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）.∴BD＝CD.∴直線AO垂直平分線段BC.隨堂練習1.如圖，直線PO與AB交于點O，PA＝PB，則下列結論中正確的是(

)A.AO＝BOB.PO⊥ABC.PO是AB的垂直平分線D.P點在AB的垂直平分線上D隨堂練習2.如圖，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分線交AB于點E，垂足為D.若ED＝5，則CE的長為(

)A．7B．8C．10D．12C隨堂練習3.如圖，AB＝AD，則添加一個條件_________，即可得到AC是BD的垂直平分線.CB＝CD隨堂練習4.如圖，CD是AB的垂直平分線，垂足為D.(1)AD＝________，∠ADC＝________°，AC＝________；(2)若AD＝3，AC＝5，則△ABC的周長為________.BD90BC16隨堂練習5.如圖，AB是線段CD的垂直平分線，E，F是AB上的兩點．求證：∠ECF＝∠EDF.證明：∵E，F是線段CD的垂直平分線AB上兩點∴EC＝ED，FC＝FD∴∠ECD＝∠EDC，∠FCD＝∠FDC∴∠ECD＋∠FCD＝∠EDC＋∠FDC，即∠ECF＝∠EDF隨堂練習6.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分線交AB于點E，交BC于點F，連接AF，求∠AFC的度數.解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝(180°－120°)÷2＝30°.∵EF垂直平分AB，∴BF＝AF.∴∠BAF＝∠B＝30°.∵∠AFC為△ABF的外角，∴∠AFC＝∠BAF＋∠B＝30°＋30°＝60°.隨堂練習7.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E.求∠EBC的度數.解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－40°)÷2＝70°.∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.∴∠ABE＝∠A＝40°.∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝70°－40°＝30°.隨堂練習8.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，MN垂直平分AB，交AB于點M，交AC于點N，AN＝8，連接BN.(1)求∠BNC的度數；(2)求BC的長.解：(1)∵MN垂直平分AB，∴AN＝BN.∴∠ABN＝∠A.∵∠A＝15°，∴∠ABN＝15°.∵∠BNC是△ABN的外角，∴∠BNC＝∠ABN＋∠A＝15°＋15°＝30°.隨堂練習8.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，MN垂直平分AB，交AB于點M，交AC于點N，AN＝8，連接BN.(1)求∠BNC的度數；(2)求BC的長.(2)∵MN垂直平分AB，AN＝