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實變函數(shù)期末考試卷A附件一東南大學考試卷（A卷）課程名稱實變函數(shù)數(shù)學系考試學期考試形式11-12-2得分考試時間長適用專業(yè)閉卷度120分鐘（開卷、半開卷請在此寫明考試可帶哪些資料）題目得分一二三四五六七八總分批閱人自覺遵守考場紀律如考試作弊此答卷無效一.(10分)試敘述可數(shù)集的定義，并分別給出一個可數(shù)集合和一個不可數(shù)集的例子。二.(10分)敘述勒貝格外測度的定義，并證明可數(shù)集的外測度為零.三.(10分)設是可測集，證明存在的一列單調增加的閉子集列使得.四.(10分)(1)試給出有界閉區(qū)間上有界函數(shù)Riemann可積的充分必要條件。(2)給出一個Lebesgue可積但Riemann不可積的例子。五.(10分)(1)敘述依測度收斂的定義。(2)若在上，上幾乎處處相等。,,證明和在六.(10分)敘述有界變差函數(shù)和絕對連續(xù)函數(shù)的定義，并分別給出一個例子。七.(10分)設在上Lebesgue可積。如果,證明存在子列在上幾乎處處收斂于零。八.(10分)(1)試敘述Fatou引理;(2)求下列極限：九．設在是上Lebesgue可積。(1)若上的有界可測函數(shù)，證明在上是Lebesgue可積的。成立.證明(2)如果對上的任意有界可測函數(shù)，總有在上幾乎處處為零。(3)如果對任意連續(xù)函數(shù)總有成立，證明上述(2)中結論仍然成立。十.(10分）設(1)證明:在上Lebesgue可積。令。是有界連續(xù)

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