《巧求二次函數(shù)的表達式》教學設計-中考數(shù)學一輪復習（浙教版）

《巧求二次函數(shù)的表達式》教案一、學習目標1.掌握二次函數(shù)的三種表達式.2.理解二次函數(shù)不同表達式之間的區(qū)別和聯(lián)系.3.會根據(jù)不同的條件，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式.二、學習重難點重點：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式.難點：根據(jù)不同的條件，靈活選取不同的形式，巧求二次函數(shù)的表達式.三、學習過程（一）問題背景如圖1，二次函數(shù)的圖象經過點A（1，0）和B（0，-4）.你能得到與a，b，c有關的哪些結論？你能求出該拋物線的解析式嗎？【設計意圖】以開放的形式拋出問題，喚醒學生的舊知，針對第1個問題，絕大部分學生都能回答針對第2個問題，學生會從“數(shù)”和“形”兩個方面表達自己的觀點，此時教師引導學生思考“為什么無法求”，激發(fā)了學生的求知欲，從而引到“問題探究”環(huán)節(jié).（二）問題探究1.回顧二次函數(shù)的概念，理解“為什么無法求”.我們把形如（a，b，c是常數(shù)，）的函數(shù)叫作二次函數(shù).把（）稱為二次函數(shù)表達式的一般形式.把坐標（1，0）和（0，-4）代入，得總結1：在字母參數(shù)都未知的情況下，一般需要三對變量值或圖象上三個點坐標，才能求出二次函數(shù)的表達式（最值或頂點除外）.2.嘗試添加一個條件，繼續(xù)求函數(shù)表達式.如圖1，二次函數(shù)的圖象經過點A（1，0）和B（0，-4）.若圖象還經過點（-2，0），求該二次函數(shù)的表達式.（選一般式）追問：還能用其它的辦法求該二次函數(shù)的表達式嗎？3.回顧二次函數(shù)表達式的常用形式，尋求更優(yōu)方法.一般式：頂點式：交點式：一般式：a決定了函數(shù)圖象的開口和大小，（0，c）是函數(shù)圖象與y軸的交點坐標，直線是函數(shù)圖象的對稱軸，（，）是函數(shù)圖象的頂點坐標，即當時，函數(shù)有最值.頂點式：a決定了函數(shù)圖象的開口和大小，直線是函數(shù)圖象的對稱軸，（，）是函數(shù)圖象的頂點坐標，即當時，函數(shù)有最值k.交點式：a決定了函數(shù)圖象的開口和大小，（，0）和（，0）是函數(shù)圖象與x軸的兩個交點坐標，直線是函數(shù)圖象的對稱軸.總結2：如何選擇合適的形式.巧求二次函數(shù)的表達式？一般式：已知當自變量為0時函數(shù)的值，或圖象與y軸的交點坐標.頂點式：已知函數(shù)的最值信息，或圖象的頂點坐標、對稱軸.交點式：已知當函數(shù)值為0時自變量的值，或圖象與x軸的交點坐標.4.分析找到合適的形式，巧求二次函數(shù)表達式.如圖1，二次函數(shù)的圖象經過點A（1，0）和B（0，-4）.若圖象還經過點（-2，0），求該二次函數(shù)的表達式.（選交點式）【設計意圖】當學生明確缺少條件時，添加一個條件進行嘗試，一方面鞏固待定系數(shù)法的常規(guī)操作，另一方面也為“巧求”進行了鋪墊.在梳理建構二次函數(shù)表達式的相關知識后，學生再一次求，既達到了復習的目的，又感受了選擇不同形式的意義.（三）拓展生長例題：請寫出下列二次函數(shù)的表達式.1.已知二次函數(shù)的圖象經過（-1，-5），（0，-4）和（1，1）.則這個二次函數(shù)的表達式是.解析：因為圖象經過（0，-4），所以設函數(shù)表達式為，代入（-1，-5）和（1，1），解得，，所以表達式為.2.已知二次函數(shù)，當時，，且當時，取到最大值-1.則這個二次函數(shù)的表達式是.解析：因為當時，取到最大值-1，所以設函數(shù)表達式為，又因為當時，，代入后解得，所以表達式為.變式：已知四個點A（1，0），B（0，-4），C（-3，8），D（2，8），試問是否存在一個二次函數(shù)，使它的圖象同時經過這四個點？若存在，請求出這個二次函數(shù)的表達式；若不存在，請說明理由.分析：如何判斷四個點是否同時在一個二次函數(shù)的圖象上，一般思路是先根據(jù)三個點求出函數(shù)表達式，再判斷第四個點是否在該函數(shù)圖象上.選擇哪三個點來求一個二次函數(shù)表達式，是本題“巧求”的關鍵.思路1：關注B（0，-4），可以設經過點B的二次函數(shù)表達式為，再代入A（1，0）和D（2，8），可以求出經過B，A，D三點的拋物線解析式，再代入C（-3，8）進行判斷.思路2：關注C（-3，8）和D（2，8），得經過這兩點的二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，所以設經過A，C，D三點的拋物線解析式為，再代入C（-3，8）、B（0，-4）或D（2，8）、B（0，-4）可以求出這個函數(shù)表達式，再代入A（1，0）進行判斷.思路3：關注A（1，0），根據(jù)C（-3，8）和D（2，8）可得過C，D兩點的二次函數(shù)圖象對稱軸為直線，那么經過A，C，D三點的二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點坐標為（-2，0），所以設該函數(shù)表達式為，再代入C（-3，8）或D（2，8）即可求出函數(shù)表達式，再代入B（0，-4）進行判斷.思路4：關注C（-3，8）和D（2，8），結合“思路3”，可設經過C，D兩點的拋物線解析式為，代入B（0，-4）即可求得經過C，D，B三點的拋物線解析式，最后代入A（1，0）進行判斷.拓展結論：若一個二次函數(shù)圖象經過（，）和（，），其中為確定的常數(shù)，那么可以設這個二次函數(shù)的表達式為，這樣的表達式是根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得出的，是交點式的一般化，可稱為“對稱式”.【設計意圖】例題是三種常見形式的直接應用，目的在于鞏固.而變式具有一定的開放性，學生可以選擇不同的三個點來確定函數(shù)表達式，在這個過程中，學生進一步掌握了二次函數(shù)表達式三種不同形式的特點和作用，在求解時充分感受到