概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式大全2

隨機(jī)變量的數(shù)字特征（1）一維隨機(jī)變量的數(shù)離散型連續(xù)型字特征期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P()＝pk，k=1,2,…,n，（要求絕對(duì)收斂）設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，（要求絕對(duì)收斂）函數(shù)的期望方差Y=g(X)Y=g(X)D(X)=E[X-E(X)]2，標(biāo)準(zhǔn)差，矩①對(duì)于正整數(shù)k，稱(chēng)隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即νk=E(Xk)=,k=1,2,….②對(duì)于正整數(shù)k，稱(chēng)隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即①對(duì)于正整數(shù)k，稱(chēng)隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即νk=E(Xk)==，k=1,2,….k=1,2,….②對(duì)于正整數(shù)k，稱(chēng)隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即=k=1,2,….切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，則對(duì)于任意正數(shù)ε，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對(duì)概率的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。（2）期望的性質(zhì)（1）（2）（3）（4）E(C)=CE(CX)=CE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。（3）方差的性質(zhì)（1）（2）（3）D(C)=0；E(C)=CD(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b（4）（5）D(X)=E(X2)-E2(X)D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，無(wú)條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無(wú)條件成立。（4）常見(jiàn)分布的期望和方差期望方差0-1分布p二項(xiàng)分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n02nt分布(n>2)（5）二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望＝函數(shù)的期望方差＝協(xié)方差對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，稱(chēng)它們的二階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為，即與記號(hào)相對(duì)應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，則稱(chēng)為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作（有時(shí)可簡(jiǎn)記為）。||≤1，當(dāng)||=1時(shí)，稱(chēng)X與Y完全相關(guān)：相關(guān)系數(shù)完全相關(guān)而當(dāng)時(shí)，稱(chēng)X與Y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的：①；②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣混合矩對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果有存在，則稱(chēng)之為X與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為；k+l階棣莫弗－拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量為具有參數(shù)n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有（3）二項(xiàng)定理若當(dāng)，則超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。（4）泊松定理若當(dāng)，則其中k=0，1，2，…，n，…。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布（1）數(shù)理統(tǒng)總體計(jì)的基本概念在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對(duì)象的某一個(gè)（或多個(gè)）指標(biāo)的全體稱(chēng)為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。個(gè)體樣本總體中的每一個(gè)單元稱(chēng)為樣品（或個(gè)體）。我們把從總體中抽取的部分樣品稱(chēng)為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱(chēng)為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時(shí)，表示n個(gè)隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，表示n個(gè)具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱(chēng)之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和設(shè)為總體的一個(gè)樣本，稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量（）為樣本函數(shù)，其中為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱(chēng)（）為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量樣本均值及其性質(zhì)樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩，，，,其中，為二階中心矩。（2）正態(tài)總正態(tài)分布體下的四大設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)分布t分布設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中表示自由度為n-1的分布。設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，而為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)F分布其中表示第一自由度為，第二自由度為的F分布。（3）正態(tài)總與獨(dú)立。體下分布的第七章參數(shù)估計(jì)（1）點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)，則其分布函數(shù)可以表成它的k階原點(diǎn)矩中也包含了未知參數(shù)，即。又設(shè)為總體X的n個(gè)樣本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有由上面的m個(gè)方程中，解出的m個(gè)未知參數(shù)即為參數(shù)（）的矩估計(jì)量。若為的矩估計(jì)，為連續(xù)函數(shù)，則為的矩估計(jì)。極大似然估計(jì)當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為，其中為未知參數(shù)。又設(shè)為總體的一個(gè)樣本，稱(chēng)為樣本的似然函數(shù)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)n.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為，則稱(chēng)為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)在處取到最大值，則稱(chēng)分別為的最大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱(chēng)為最大似然估計(jì)量。若為的極大似然估計(jì)，為單調(diào)函數(shù)，則為的極大似然估計(jì)。無(wú)偏性（2）估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)設(shè)為未知參數(shù)的估計(jì)量。若E（）=，則稱(chēng)為的無(wú)偏估計(jì)量。E（）=E（X），E（S2）=D（X）有效性一致性設(shè)和是未知參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。若，則稱(chēng)有效。設(shè)是的一串估計(jì)量，如果對(duì)于任意的正數(shù)，都有則稱(chēng)為的一致估計(jì)量（或相合估計(jì)量）。若為的無(wú)偏估計(jì)，且則為的一致估計(jì)。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計(jì)量。（3）區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間和置信度設(shè)總體X含有一個(gè)待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本出發(fā)，找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量與，使得區(qū)間以的概率包含這個(gè)待估參數(shù)，即那么稱(chēng)區(qū)間為的置信區(qū)間，為該區(qū)間的置信度（或置信水平）。單正態(tài)總體的期望和方差的設(shè)為總體的一個(gè)樣本，在置信度為下，我們來(lái)確定的置信區(qū)區(qū)間估計(jì)間。具體步驟如下：（i）選擇樣本函數(shù)；（ii）由置信度，查表找分位數(shù)；（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間。（i）選擇樣本函數(shù)(ii)查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間（i）選擇樣本函數(shù)(ii)查表找分位數(shù)已知方差，估計(jì)均值未知方差，估計(jì)均值方差的區(qū)間估計(jì)（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間（i）選擇樣本函數(shù)（ii）查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出的置信區(qū)間第八章假設(shè)檢驗(yàn)基本思想假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想是，概率很小的事件在一次試驗(yàn)中可以認(rèn)為基本上是不會(huì)發(fā)生的，即小概率原理。為了檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè)H0是否成立。我們先假定H0是成立的。如果根據(jù)這個(gè)假定導(dǎo)致了一個(gè)不合理的事件發(fā)生，那就表明原來(lái)的假定H0是不正確的，我們拒絕接受H0；如果由此沒(méi)有導(dǎo)出不合理的現(xiàn)象，則不能拒絕接受H0，我們稱(chēng)H0是相容的。與H0相對(duì)的假設(shè)稱(chēng)為備擇假設(shè)，用H1表示。這里所說(shuō)的小概率事件就是事件，其概率就是檢驗(yàn)水平α，通常我們?nèi)ˇ?0.05，有時(shí)也取0.01或0.10?；静襟E假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟如下：(i)提出零假設(shè)H0；(ii)選擇統(tǒng)計(jì)量K；(iii)對(duì)于檢驗(yàn)水平α查表找分位數(shù)λ；(iv)由樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量之值K；將進(jìn)行比較，作出判斷：當(dāng)時(shí)否定H0，否則認(rèn)為H0相容。兩類(lèi)錯(cuò)誤第一類(lèi)錯(cuò)誤當(dāng)H0為真時(shí)，而樣本值卻落入了否定域，按照我們規(guī)定的檢驗(yàn)法則，應(yīng)當(dāng)否定H0。這時(shí)，我們把客觀上H0成立判為H0為不成立（即否定了真實(shí)的假設(shè)），稱(chēng)這種錯(cuò)誤為“以真當(dāng)假”的錯(cuò)誤或第一類(lèi)錯(cuò)誤，記為犯此類(lèi)錯(cuò)誤的概率，即P{否定H0|H0為真}=；此處的α恰好為檢驗(yàn)水平。第二類(lèi)錯(cuò)誤當(dāng)H1為真時(shí)，而樣本值卻落入了相容域，按照我們規(guī)定的檢驗(yàn)法則，應(yīng)當(dāng)接受H0。這時(shí)，我們把客觀上H0。不成立判為H0成立（即接受了不真實(shí)的假設(shè)），稱(chēng)這種錯(cuò)誤為“以假當(dāng)真”的錯(cuò)誤或第二類(lèi)錯(cuò)誤，記為犯此類(lèi)錯(cuò)誤的概率，即P{接受H0|H1為真}=。兩類(lèi)錯(cuò)誤的關(guān)系人們當(dāng)然希望犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率同時(shí)都很小。但是，當(dāng)容量n一定時(shí)，變小，則變大；