概率論與數理統(tǒng)計公式大全2

隨機變量的數字特征（1）一維隨機變量的數離散型連續(xù)型字特征期望期望就是平均值設X是離散型隨機變量，其分布律為P()＝pk，k=1,2,…,n，（要求絕對收斂）設X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x)，（要求絕對收斂）函數的期望方差Y=g(X)Y=g(X)D(X)=E[X-E(X)]2，標準差，矩①對于正整數k，稱隨機變量X的k次冪的數學期望為X的k階原點矩，記為vk,即νk=E(Xk)=,k=1,2,….②對于正整數k，稱隨機變量X與E（X）差的k次冪的數學期望為X的k階中心矩，記為，即①對于正整數k，稱隨機變量X的k次冪的數學期望為X的k階原點矩，記為vk,即νk=E(Xk)==，k=1,2,….k=1,2,….②對于正整數k，稱隨機變量X與E（X）差的k次冪的數學期望為X的k階中心矩，記為，即=k=1,2,….切比雪夫不等式設隨機變量X具有數學期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，則對于任意正數ε，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率的一種估計，它在理論上有重要意義。（2）期望的性質（1）（2）（3）（4）E(C)=CE(CX)=CE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關。（3）方差的性質（1）（2）（3）D(C)=0；E(C)=CD(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b（4）（5）D(X)=E(X2)-E2(X)D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。（4）常見分布的期望和方差期望方差0-1分布p二項分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數分布正態(tài)分布n02nt分布(n>2)（5）二維隨機變量的數字特征期望＝函數的期望方差＝協(xié)方差對于隨機變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關矩，記為，即與記號相對應，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。對于隨機變量X與Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，則稱為X與Y的相關系數，記作（有時可簡記為）。||≤1，當||=1時，稱X與Y完全相關：相關系數完全相關而當時，稱X與Y不相關。以下五個命題是等價的：①；②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣混合矩對于隨機變量X與Y，如果有存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點矩，記為；k+l階棣莫弗－拉普拉斯定理設隨機變量為具有參數n,p(0<p<1)的二項分布，則對于任意實數x,有（3）二項定理若當，則超幾何分布的極限分布為二項分布。（4）泊松定理若當，則其中k=0，1，2，…，n，…。二項分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布（1）數理統(tǒng)總體計的基本概念在數理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標的全體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個具有分布的隨機變量（或隨機向量）。個體樣本總體中的每一個單元稱為樣品（或個體）。我們把從總體中抽取的部分樣品稱為樣本。樣本中所含的樣品數稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個相互獨立的且與總體有相同分布的隨機變量，這樣的樣本稱為簡單隨機樣本。在泛指任一次抽取的結果時，表示n個隨機變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，表示n個具體的數值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數和設為總體的一個樣本，稱統(tǒng)計量（）為樣本函數，其中為一個連續(xù)函數。如果中不包含任何未知參數，則稱（）為一個統(tǒng)計量。常見統(tǒng)計量樣本均值及其性質樣本方差樣本標準差樣本k階原點矩樣本k階中心矩，，，,其中，為二階中心矩。（2）正態(tài)總正態(tài)分布體下的四大設為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數分布t分布設為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。設為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數其中表示自由度為n-1的分布。設為來自正態(tài)總體的一個樣本，而為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數F分布其中表示第一自由度為，第二自由度為的F分布。（3）正態(tài)總與獨立。體下分布的第七章參數估計（1）點估計矩估計設總體X的分布中包含有未知數，則其分布函數可以表成它的k階原點矩中也包含了未知參數，即。又設為總體X的n個樣本值，其樣本的k階原點矩為這樣，我們按照“當參數等于其估計量時，總體矩等于相應的樣本矩”的原則建立方程，即有由上面的m個方程中，解出的m個未知參數即為參數（）的矩估計量。若為的矩估計，為連續(xù)函數，則為的矩估計。極大似然估計當總體X為連續(xù)型隨機變量時，設其分布密度為，其中為未知參數。又設為總體的一個樣本，稱為樣本的似然函數，簡記為Ln.當總體X為離型隨機變量時，設其分布律為，則稱為樣本的似然函數。若似然函數在處取到最大值，則稱分別為的最大似然估計值，相應的統(tǒng)計量稱為最大似然估計量。若為的極大似然估計，為單調函數，則為的極大似然估計。無偏性（2）估計量的評選標準設為未知參數的估計量。若E（）=，則稱為的無偏估計量。E（）=E（X），E（S2）=D（X）有效性一致性設和是未知參數的兩個無偏估計量。若，則稱有效。設是的一串估計量，如果對于任意的正數，都有則稱為的一致估計量（或相合估計量）。若為的無偏估計，且則為的一致估計。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數都是相應總體的一致估計量。（3）區(qū)間估計置信區(qū)間和置信度設總體X含有一個待估的未知參數。如果我們從樣本出發(fā)，找出兩個統(tǒng)計量與，使得區(qū)間以的概率包含這個待估參數，即那么稱區(qū)間為的置信區(qū)間，為該區(qū)間的置信度（或置信水平）。單正態(tài)總體的期望和方差的設為總體的一個樣本，在置信度為下，我們來確定的置信區(qū)區(qū)間估計間。具體步驟如下：（i）選擇樣本函數；（ii）由置信度，查表找分位數；（iii）導出置信區(qū)間。（i）選擇樣本函數(ii)查表找分位數（iii）導出置信區(qū)間（i）選擇樣本函數(ii)查表找分位數已知方差，估計均值未知方差，估計均值方差的區(qū)間估計（iii）導出置信區(qū)間（i）選擇樣本函數（ii）查表找分位數（iii）導出的置信區(qū)間第八章假設檢驗基本思想假設檢驗的統(tǒng)計思想是，概率很小的事件在一次試驗中可以認為基本上是不會發(fā)生的，即小概率原理。為了檢驗一個假設H0是否成立。我們先假定H0是成立的。如果根據這個假定導致了一個不合理的事件發(fā)生，那就表明原來的假定H0是不正確的，我們拒絕接受H0；如果由此沒有導出不合理的現(xiàn)象，則不能拒絕接受H0，我們稱H0是相容的。與H0相對的假設稱為備擇假設，用H1表示。這里所說的小概率事件就是事件，其概率就是檢驗水平α，通常我們取α=0.05，有時也取0.01或0.10?；静襟E假設檢驗的基本步驟如下：(i)提出零假設H0；(ii)選擇統(tǒng)計量K；(iii)對于檢驗水平α查表找分位數λ；(iv)由樣本值計算統(tǒng)計量之值K；將進行比較，作出判斷：當時否定H0，否則認為H0相容。兩類錯誤第一類錯誤當H0為真時，而樣本值卻落入了否定域，按照我們規(guī)定的檢驗法則，應當否定H0。這時，我們把客觀上H0成立判為H0為不成立（即否定了真實的假設），稱這種錯誤為“以真當假”的錯誤或第一類錯誤，記為犯此類錯誤的概率，即P{否定H0|H0為真}=；此處的α恰好為檢驗水平。第二類錯誤當H1為真時，而樣本值卻落入了相容域，按照我們規(guī)定的檢驗法則，應當接受H0。這時，我們把客觀上H0。不成立判為H0成立（即接受了不真實的假設），稱這種錯誤為“以假當真”的錯誤或第二類錯誤，記為犯此類錯誤的概率，即P{接受H0|H1為真}=。兩類錯誤的關系人們當然希望犯兩類錯誤的概率同時都很小。但是，當容量n一定時，變小，則變大；