2023年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編(150套)專題四十六-綜合型問(wèn)題

一、選擇題1．〔2023江蘇蘇州〕如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，0)、(0，2)，⊙C的圓心坐標(biāo)為(－1，0)，半徑為1．假設(shè)D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，那么△ABE面積的最小值是A．2B．1C．D．【答案】C2．〔2023湖北十堰〕如圖，點(diǎn)C、D是以線段AB為公共弦的兩條圓弧的中點(diǎn)，AB=4，點(diǎn)E、F分別是線段CD，AB上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AF=x，AE2－FE2=y，那么能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是〔〕〔第10題分析圖〕CDEF〔第10題分析圖〕CDEFABP〔第10題〕CDEFABOxy44A．Oxy44B．Oxy44C．Oxy44D．【答案】C3．〔2023重慶江津〕如圖，等腰Rt△ABC〔∠ACB＝90o〕的直角邊與正方形DEFG的邊長(zhǎng)均為2，且AC與DE在同一直線上，開(kāi)始時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，讓△ABC沿這條直線向右平移，直到點(diǎn)A與點(diǎn)E重合為止．設(shè)CD的長(zhǎng)為，△ABC與正方形DEFG重合局部〔圖中陰影局部〕的面積為，那么與之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是〔〕【答案】A二、填空題1．〔2023浙江寧波〕如圖，⊙P的半徑為2，圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙P與軸相切時(shí)，圓心P的坐標(biāo)為▲.【答案】或(對(duì)一個(gè)得2分)三、解答題1．〔2023安徽蕪湖〕〔本小題總分值14分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一矩形ABCO，其頂點(diǎn)為A〔0，1〕、B〔－3eq\r(3)，1〕、C〔－3eq\r(3)，0〕、O〔0，0〕．將此矩形沿著過(guò)E〔－eq\r(3)，1〕、F〔－eq\F(4\r(3),3)，0〕的直線EF向右下方翻折，B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、C′．〔1〕求折痕所在直線EF的解析式；〔2〕一拋物線經(jīng)過(guò)B、E、B′三點(diǎn)，求此二次函數(shù)解析式；〔3〕能否在直線EF上求一點(diǎn)P，使得△PBC周長(zhǎng)最??？如能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不能，說(shuō)明理由．【答案】2．〔2023廣東廣州，24，14分〕如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，弦AB垂直平分線段OP，點(diǎn)D是上任一點(diǎn)〔與端點(diǎn)A、B不重合〕，DE⊥AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)D為圓心、DE長(zhǎng)為半徑作⊙D，分別過(guò)點(diǎn)A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點(diǎn)C．〔1〕求弦AB的長(zhǎng)；〔2〕判斷∠ACB是否為定值，假設(shè)是，求出∠ACB的大小；否那么，請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3〕記△ABC的面積為S，假設(shè)＝4，求△ABC的周長(zhǎng).CPCPDOBAE【答案】解：〔1〕連接OA，取OP與AB的交點(diǎn)為F，那么有OA＝1．FCFCPDOBAEHG∵弦AB垂直平分線段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．〔2〕∠ACB是定值.理由：由〔1〕易知，∠AOB＝120°，因?yàn)辄c(diǎn)D為△ABC的內(nèi)心，所以，連結(jié)AD、BD，那么∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，因?yàn)椤螪AE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；〔3〕記△ABC的周長(zhǎng)為l，取AC，BC與⊙D的切點(diǎn)分別為G，H，連接DG，DC，DH，那么有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.∴＝AB?DE＋BC?DH＋AC?DG＝(AB＋BC＋AC)?DE＝l?DE．∵＝4，∴＝4，∴l(xiāng)＝8DE.∵CG，CH是⊙D的切線，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．又由切線長(zhǎng)定理可知AG＝AE，BH＝BE，∴l(xiāng)＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，∴△ABC的周長(zhǎng)為．3．〔2023江蘇南京〕〔8分〕如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，連接EM并延長(zhǎng)交射線CD于點(diǎn)F，過(guò)M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG?！?〕設(shè)AE=時(shí)，△EGF的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；〔2〕P是MG的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)?！敬鸢浮?．〔2023江蘇南通〕〔本小題總分值12分〕如圖，在矩形ABCD中，AB=m〔m是大于0的常數(shù)〕，BC=8，E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)〔不與B、C重合〕．連結(jié)DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點(diǎn)F，設(shè)CE=x，BF=y．〔1〕求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕假設(shè)m=8，求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？〔3〕假設(shè)，要使△DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？ABABCDEF〔第27題〕【答案】⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=Rt∠，∴在Rt△BFE中，∠1+∠BFE=90°，又∵EF⊥DE∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽R(shí)t△CED∴即∴⑵當(dāng)=8時(shí)，，化成頂點(diǎn)式:，∴當(dāng)=4時(shí)，的值最大，最大值是2.⑶由，及得的方程:，得，，∵△DEF中∠FED是直角，∴要使△DEF是等腰三角形，那么只能是EF=ED，此時(shí)，Rt△BFE≌Rt△CED，∴當(dāng)EC=2時(shí)，=CD=BE=6;當(dāng)EC=6時(shí)，=CD=BE=2.即的值應(yīng)為6或2時(shí)，△DEF是等腰三角形.5．〔2023江蘇南通〕〔本小題總分值14分〕拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A〔－4，3〕、B〔2，0〕兩點(diǎn)，當(dāng)x=3和x=－3時(shí)，這條拋物線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．經(jīng)過(guò)點(diǎn)C〔0，－2〕的直線l與x軸平行，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．〔1〕求直線AB和這條拋物線的解析式；〔2〕以A為圓心，AO為半徑的圓記為⊙A，判斷直線l與⊙A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；〔3〕設(shè)直線AB上的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為－1，P〔m，n〕是拋物線y＝ax2＋bx＋c上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PDO的周長(zhǎng)最小時(shí)，求四邊形CODP的面積．－1－1yxO〔第28題〕1234－2－4－33－1－2－3－4412【答案】〔1〕因?yàn)楫?dāng)x=3和x=－3時(shí)，這條拋物線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，故b=0.設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A〔－4，3〕、B〔2，0〕代入到y(tǒng)＝ax2＋bx＋c，得解得∴這條拋物線的解析式為y＝x2-1.設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A〔－4，3〕、B〔2，0〕代入到y(tǒng)=kx+b，得解得∴這條直線的解析式為y＝-x+1.〔2〕依題意，OA=即⊙A的半徑為5.而圓心到直線l的距離為3+2=5.即圓心到直線l的距離=⊙A的半徑，∴直線l與⊙A相切.〔3〕由題意，把x=-1代入y=-x+1，得y=，即D〔-1，〕.由〔2〕中點(diǎn)A到原點(diǎn)距離跟到直線y=-2的距離相等，且當(dāng)點(diǎn)A成為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，仍然具有這樣的性質(zhì)，于是過(guò)點(diǎn)D作DH⊥直線l于H，交拋物線于點(diǎn)P，此時(shí)易得DH是D點(diǎn)到l最短距離，點(diǎn)P坐標(biāo)〔-1，-〕此時(shí)四邊形PDOC為梯形，面積為.6．〔2023江蘇鹽城〕〔此題總分值12分〕如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75o，以CD為一邊的等邊△DCE的另一頂點(diǎn)E在腰AB上．〔1〕求∠AED的度數(shù)；〔2〕求證：AB=BC；〔3〕如圖2所示，假設(shè)F為線段CD上一點(diǎn)，∠FBC=30o．求eq\f(DF,FC)的值．【答案】7．〔2023山東煙臺(tái)〕〔此題總分值14分〕如圖，拋物線y=x2+bx-3a過(guò)點(diǎn)A〔1,0〕，B(0,-3),與x軸交于另一點(diǎn)C?！?〕求拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)在第三象限的拋物線上存在點(diǎn)P，使△PBC為以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3〕在〔2〕的條件下，在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使以P,Q,B,C為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！敬鸢浮?．〔2023四川涼山〕：拋物線，頂點(diǎn)，與軸交于A、B兩點(diǎn)，。求這條拋物線的解析式；如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點(diǎn)D，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)F，依次連接A、D、B、E，點(diǎn)Q為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔Q與A、B兩點(diǎn)不重合〕，過(guò)點(diǎn)Q作于，于，請(qǐng)判斷是否為定值；假設(shè)是，請(qǐng)求出此定值，假設(shè)不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；在〔2〕的條件下，假設(shè)點(diǎn)H是線段EQ上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H作，分別與邊、相交于、，〔與、不重合，與、不重合〕，請(qǐng)判斷是否成立；假設(shè)成立，請(qǐng)給出證明，假設(shè)不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。第26題圖第26題圖ABxGFMHENQODCy【答案】9．〔2023四川眉山〕如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔，0〕、〔0，4〕，拋物線經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線上．〔1〕求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕假設(shè)△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由；〔3〕假設(shè)M點(diǎn)是CD所在直線下方該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN平行于y軸交CD于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，MN的長(zhǎng)度為l．求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求l取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】解：〔1〕由題意，可設(shè)所求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為…〔1分〕∴∴……………〔3分〕∴所求函數(shù)關(guān)系式為：…………〔4分〕〔2〕在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴∵四邊形ABCD是菱形∴BC=CD=DA=AB=5……〔5分〕∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是〔5，4〕、〔2，0〕．…………〔6分〕當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在所求拋物線上．…………〔7分〕〔3〕設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，那么解得：．∴………〔9分〕∵M(jìn)N∥y軸，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，∴N點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為t．那么，，……〔10分〕∴∵，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔，〕．………………〔12分〕10．〔2023浙江杭州〕(本小題總分值12分)〔第24題〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的解析式是y=+1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(–4，0)，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A，B在拋物線上，AB與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)Q(x，y)在拋物線上，點(diǎn)P(t，0)在x軸上.(1)寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)當(dāng)四邊形CMQP是以MQ，PC為腰的梯形時(shí).①求t關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍；②當(dāng)梯形CMQP的兩底的長(zhǎng)度之比為1：2時(shí)，求t的值.【答案】(本小題總分值12分)〔第24題〕(1)∵OABC是平行四邊形，∴AB∥OC，且AB=OC=4，∵A，B在拋物線上，y軸是拋物線的對(duì)稱軸，∴A，B的橫坐標(biāo)分別是2和–2，代入y=+1得，A(2,2)，B(–2，2)，∴M(0，2)，---2分(2)①過(guò)點(diǎn)Q作QHx軸，設(shè)垂足為H，那么HQ=y，HP=x–t，由△HQP∽△OMC，得：,即：t=x–2y,∵Q(x,y)在y=+1上，∴t=–+x–2.---2分當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，梯形不存在，此時(shí)，t=–4，解得x=1,當(dāng)Q與B或A重合時(shí)，四邊形為平行四邊形，此時(shí)，x=2∴x的取值范圍是x1,且x2的所有實(shí)數(shù).---2分②分兩種情況討論：1〕當(dāng)CM>PQ時(shí)，那么點(diǎn)P在線段OC上，∵CM∥PQ，CM=2PQ，∴點(diǎn)M縱坐標(biāo)為點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的2倍，即2=2(+1)，解得x=0，∴t=–+0–2=–2.---2分2〕當(dāng)CM<PQ時(shí)，那么點(diǎn)P在OC的延長(zhǎng)線上，∵CM∥PQ，CM=PQ，∴點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為點(diǎn)M縱坐標(biāo)的2倍，即+1=22，解得：x=.---2分當(dāng)x=–時(shí)，得t=–––2=–8–,當(dāng)x=時(shí)，得t=–8.---2分 11．〔2023浙江寧波〕如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，□ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，)，點(diǎn)B在軸的正半軸上，點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線與軸交于點(diǎn)F，與射線DC交于點(diǎn)G.(1)求∠DCB的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-4，0)時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3)連結(jié)OE，以O(shè)E所在直線為對(duì)稱軸，△OEF經(jīng)軸對(duì)稱變換后得到△OEF’，記直線EF’與射線DC的交點(diǎn)為H.①如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，求證：△DEG∽△DHE；②假設(shè)△EHG的面積為，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo).〔圖2〕〔圖1〕〔圖2〕〔圖1〕【答案】解：(1)在Rt△AOD中，∵tan∠DAO=，∴∠DAB=60°.2分∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠DCB=∠DAB=60°3分(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形∴CD∥AB∴∠DGE=∠AFE又∵∠DEG=∠AEF，DE=AE∴△DEG≌△AEF4分∴DG=AF∵AF=OF-OA=4-2=2∴DG=2∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2，)6分(3)①∵CD∥AB∴∠DGE=∠OFE∵△OEF經(jīng)軸對(duì)稱變換后得到△OEF’∴∠OFE=∠OF’E7分∴∠DGE=∠OF’E在Rt△AOD中，∵E是AD的中點(diǎn)∴OE=AD=AE又∵∠EAO=60°∴∠EOA=60°，∠AEO=60°又∵∠EOF’=∠EOA=60°∴∠EOF’=∠OEA∴AD∥OF’8分∴∠OF′E=∠DEH∴∠DEH=∠DGE又∵∠HDE=∠EDG∴△DHE∽△DEG9分②點(diǎn)F的坐標(biāo)是F1(，0)，F(xiàn)2(，0).12分(給出一個(gè)得2分)對(duì)于此小題，我們提供如下詳細(xì)解答，對(duì)學(xué)生無(wú)此要求.過(guò)點(diǎn)E作EM⊥直線CD于點(diǎn)M，M∵CD∥ABM∴∠EDM=∠DAB=60°∴∵∴∵△DHE∽△DEG∴即當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，設(shè)，∴解得：〔舍〕∵△DEG≌△AEF∴AF=DG=∵OF=AO+AF=∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，0)當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，設(shè)，∴解得：〔舍〕∵△DEG≌△AEF∴AF=DG=∵OF=AO+AF=∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，0)綜上可知，點(diǎn)F的坐標(biāo)有兩個(gè)，分別是F1(，0)，F(xiàn)2(，0).12．〔2023浙江紹興〕如圖,設(shè)拋物線C1:,C2:,C1與C2的交點(diǎn)為A,B,點(diǎn)A的坐標(biāo)是,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是－2.第24題圖〔1〕求的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；第24題圖〔2〕點(diǎn)D在線段AB上,過(guò)D作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)H,在DH的右側(cè)作正三角形DHG.記過(guò)C2頂點(diǎn)Ｍ的直線為,且與x軸交于點(diǎn)N.①假設(shè)過(guò)△DHG的頂點(diǎn)G,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,2)，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；②假設(shè)與△DHG的邊DG相交,求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】解：〔1〕∵點(diǎn)A在拋物線C1上，∴把點(diǎn)A坐標(biāo)代入得=1.∴拋物線C1的解析式為,設(shè)B(－2,b)，∴b＝－4,∴B(－2,－4).〔2〕①如圖1，∵M(jìn)(1,5)，D(1,2),且DH⊥x軸，∴點(diǎn)M在DH上，MH=5.過(guò)點(diǎn)G作GE⊥DH,垂足為E,第24題圖1由△DHG是正三角形,可得EG=,EH=1，第24題圖1∴ME＝4.設(shè)N(x,0),那么NH＝x－1,由△MEG∽△MHN,得,∴,∴,∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為．第24題圖2②當(dāng)點(diǎn)Ｄ移到與點(diǎn)A重合時(shí),如圖2，第24題圖2直線與DG交于點(diǎn)G,此時(shí)點(diǎn)Ｎ的橫坐標(biāo)最大．過(guò)點(diǎn)Ｇ,Ｍ作x軸的垂線,垂足分別為點(diǎn)Ｑ,F,設(shè)Ｎ〔x，0〕，∵A(2,4),∴G(,2),∴NQ=，ＮF=,GQ=2,MF=5.∵△NGQ∽△NMF，∴,第24題圖3圖4∴,第24題圖3圖4∴.當(dāng)點(diǎn)D移到與點(diǎn)B重合時(shí),如圖3，直線與DG交于點(diǎn)D,即點(diǎn)B,此時(shí)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)最小.∵B(－2,－4),∴H(－2,0),D(－2,－4),設(shè)N〔x，0〕，∵△BHN∽△MFN，∴，∴,∴.∴點(diǎn)N橫坐標(biāo)的范圍為≤x≤.13．〔2023山東聊城〕如圖，拋物線y＝ax2+bx+c〔a≠0〕的對(duì)稱軸為x＝1，且拋物線經(jīng)過(guò)A〔－1，0〕、C〔0，－3〕兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．〔1〕求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕在拋物線的對(duì)稱軸x＝1上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；〔3〕設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=1上的一動(dòng)點(diǎn)，求使∠PCB＝90o的點(diǎn)P的坐標(biāo)．EE【答案】解：〔1〕∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C〔0，－3〕∴C＝－3，∴y＝ax2+bx-3，又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔－1，0〕，對(duì)稱軸為x=1，所以∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝x2－2x-3〔2〕∵點(diǎn)A〔－1,0〕，對(duì)稱軸為x=1，∴點(diǎn)B〔2，0〕．設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，根據(jù)題意得∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=－3x－3，當(dāng)x=1時(shí)，y＝－6，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔1，－6〕．〔3〕如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OC，設(shè)P〔1，y〕，那么PE＝|y|，DC＝｜－3－y｜，在Rt△PEB中，PB2＝22+|y|2＝4+y2，在Rt△PCD中PC2＝12+|－3－y|2＝10+6y+y2,在Rt△OBC中，BC2＝32+32＝18，∵∠PCD＝90o，∴PB2+PC2＝BC2，∴4+y2+10+6y+y2＝18，整理得y2+3y-2＝0解得y1＝，y2＝．14．〔2023福建晉江〕〔13分〕：如圖，把矩形放置于直角坐標(biāo)系中，，，取的中點(diǎn)，連結(jié)，把沿軸的負(fù)方向平移的長(zhǎng)度后得到.(1)試直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)與點(diǎn)在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線上，點(diǎn)在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié).①假設(shè)以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②試問(wèn)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得的值最大.AOAOxBCMy【答案】AOxDBCAOxDBCMyEPTQ(2)①∵，，∴.∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的解析式為又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)∴解得：∴拋物線的解析式為.…〔5分〕∵點(diǎn)在拋物線上，∴設(shè)點(diǎn).1)假設(shè)∽，那么，，解得：(舍去)或，∴點(diǎn).………………〔7分〕2)假設(shè)∽，那么，，解得：(舍去)或，∴點(diǎn).……………………〔9分〕②存在點(diǎn)，使得的值最大.拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，那么點(diǎn).………………………〔10分〕∵點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴……………………〔11分〕要使得的值最大，即是使得的值最大，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知，當(dāng)、、三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的值最大.……………〔12分〕設(shè)過(guò)、兩點(diǎn)的直線解析式為，∴解得：∴直線的解析式為.當(dāng)時(shí)，.∴存在一點(diǎn)使得最大.………〔13分〕15．〔2023四川南充〕拋物線上有不同的兩點(diǎn)E和F．〔1〕求拋物線的解析式．〔2〕如圖，拋物線與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和B，M為AB的中點(diǎn)，∠PMQ在AB的同側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn)，且∠PMQ＝45°，MP交y軸于點(diǎn)C，MQ交x軸于點(diǎn)D．設(shè)AD的長(zhǎng)為m〔m＞0〕，BC的長(zhǎng)為n，求n和m之間的函數(shù)關(guān)系式．〔3〕當(dāng)m，n為何值時(shí)，∠PMQ的邊過(guò)點(diǎn)F．BABAMCDOPQxy【答案】解：〔1〕拋物線的對(duì)稱軸為．……..〔1分〕∵拋物線上不同兩個(gè)點(diǎn)E和F的縱坐標(biāo)相同，∴點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，那么，且k≠－2．∴拋物線的解析式為．……..〔2分〕

〔2〕拋物線與x軸的交點(diǎn)為A〔4，0〕，與y軸的交點(diǎn)為B〔0，4〕，∴AB＝，AM＝BM＝．……..〔3分〕在∠PMQ繞點(diǎn)M在AB同側(cè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°，在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°，

在直線AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°．∴∠BCM＝∠AMD．故△BCM∽△AMD．……..〔4分〕

∴，即，．故n和m之間的函數(shù)關(guān)系式為〔m＞0〕．……..〔5分〕

〔3〕∵F在上，∴，化簡(jiǎn)得，，∴k1＝1，k2＝3．即F1〔－2，0〕或F2〔－4，－8〕．……..〔6分〕①M(fèi)F過(guò)M〔2，2〕和F1〔－2，0〕，設(shè)MF為，那么解得，∴直線MF的解析式為．直線MF與x軸交點(diǎn)為〔－2，0〕，與y軸交點(diǎn)為〔0，1〕．假設(shè)MP過(guò)點(diǎn)F〔－2，0〕，那么n＝4－1＝3，m＝；假設(shè)MQ過(guò)點(diǎn)F〔－2，0〕，那么m＝4－〔－2〕＝6，n＝．……..〔7分〕

②MF過(guò)M〔2，2〕和F1〔－4，－8〕，設(shè)MF為，那么解得，∴直線MF的解析式為．直線MF與x軸交點(diǎn)為〔，0〕，與y軸交點(diǎn)為〔0，〕．假設(shè)MP過(guò)點(diǎn)F〔－4，－8〕，那么n＝4－〔〕＝，m＝；假設(shè)MQ過(guò)點(diǎn)F〔－4，－8〕，那么m＝4－＝，n＝．……..〔8分〕

故當(dāng)或時(shí)，∠PMQ的邊過(guò)點(diǎn)F．16．〔2023四川南充〕如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE＝BC．

〔1〕求∠BAC的度數(shù)．

〔2〕將△ACD沿AC折疊為△ACF，將△ABD沿AB折疊為△ABG，延長(zhǎng)FC和GB相交于點(diǎn)H．求證：四邊形AFHG是正方形．〔3〕假設(shè)BD＝6，CD＝4，求AD的長(zhǎng)．AFCDAFCDEGHBOAFCDEGHBO【答案】〔1〕解：連結(jié)OB和OC．

AFAFCDEGHBO∵OE⊥BC，∴BE＝CE．

∵OE＝BC，∴∠BOC＝90°，∴∠BAC＝45°．〔2〕證明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．由折疊可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，∴∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．

∴∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．∴四邊形AFHG是正方形．

〔3〕解：由〔2〕得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．設(shè)AD的長(zhǎng)為x，那么BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴〔x－6〕2＋〔x－4〕2＝102．解得，x1=12，x2＝－2〔不合題意，舍去〕．∴AD＝12．17．〔2023山東濟(jì)南〕如圖,直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4.〔1〕求k的值；〔2〕假設(shè)雙曲線上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積；〔3〕過(guò)原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)〔P點(diǎn)在第一象限〕，假設(shè)由點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1〕∵點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4，∴當(dāng)x=4時(shí)，y=2∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔4，2〕…………2’∵點(diǎn)A是直線與雙曲線〔k>0〕的交點(diǎn)，∴k=4×2=8………….3’(2)解法一：∵點(diǎn)C在雙曲線上，當(dāng)y=8時(shí)，x=1∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔1，8〕………..4’過(guò)點(diǎn)A、C分別做x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，得矩形DMONS矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4S△AOC=S矩形ONDM－S△ONC－S△CDA－S△OAM=32－4－9－4=15………..6’解法二：過(guò)點(diǎn)C、A分別做軸的垂線，垂足為E、F，∵點(diǎn)C在雙曲線上，當(dāng)y=8時(shí)，x=1?！帱c(diǎn)C的坐標(biāo)為〔1，8〕∵點(diǎn)C、A都在雙曲線上，∴S△COE=S△AOF=4∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF.∴S△COA=S梯形CEFA∵S梯形CEFA=×〔2+8〕×3=15，∴S△COA=15〔3〕∵反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形，∴OP=OQ，OA=OB∴四邊形APBQ是平行四邊形∴S△POA=S平行四邊形APBQ=×24=6設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m〔m>0且〕，得P〔m，〕…………..7’過(guò)點(diǎn)P、A分別做軸的垂線，垂足為E、F，∵點(diǎn)P、A在雙曲線上，∴S△POE=S△AOF=4假設(shè)0＜m＜4，∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，∴S梯形PEFA=S△POA=6∴解得m=2，m=－8〔舍去〕∴P〔2，4〕……………8’假設(shè)m＞4，∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，∴S梯形PEFA=S△POA=6∴，解得m=8，m=－2〔舍去〕∴P〔8，1〕∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是P〔2，4〕或P〔8，1〕………….9’18．〔2023江蘇泰州〕在平面直角坐標(biāo)系中，直線〔k為常數(shù)且k≠0〕分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，⊙O半徑為個(gè)單位長(zhǎng)度．⑴如圖甲，假設(shè)點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，且OA=OB．①求k的值；②假設(shè)b=4，點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PC、PD，切點(diǎn)分別為C、D，當(dāng)PC⊥PD時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．⑵假設(shè)，直線將圓周分成兩段弧長(zhǎng)之比為1∶2，求b的值．〔圖乙供選用〕【答案】⑴①根據(jù)題意得：B的坐標(biāo)為〔0，b〕，∴OA=OB=b，∴A的坐標(biāo)為〔b，0〕，代入y＝kx＋b得k＝－1.②過(guò)P作x軸的垂線，垂足為F，連結(jié)OD.∵PC、PD是⊙O的兩條切線，∠CPD=90°，∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，∴OD＝PD＝，OP=.∵P在直線y＝－x＋4上，設(shè)P〔m，－m＋4〕，那么OF=m，PF=－m＋4，∵∠PFO=90°，OF2＋PF2＝PO2，∴m2＋(－m＋4)2＝〔〕2，全品中考網(wǎng)解得m=1或3，∴P的坐標(biāo)為〔1，3〕或〔3，1〕⑵分兩種情形，y＝－x＋，或y＝－x－。直線將圓周分成兩段弧長(zhǎng)之比為1∶2，可知其所對(duì)圓心角為120°，如圖，畫(huà)出弦心距OC，可得弦心距OC=，又∵直線中∴直線與x軸交角的正切值為，即，∴AC=，進(jìn)而可得AO=，即直線與與x軸交于點(diǎn)〔，0〕．所以直線與y軸交于點(diǎn)〔，0〕，所以b的值為．當(dāng)直線與x軸、y軸的負(fù)半軸相交，同理可求得b的值為．綜合以上得：b的值為或．19．〔2023湖南邵陽(yáng)〕如圖〔十四〕，拋物線y＝與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，對(duì)稱軸l與直線BC相交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F?！?〕求直線BC的解析式；〔2〕設(shè)點(diǎn)P為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，r為半徑作⊙P。①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，假設(shè)⊙P與直線BC相交，求r的取值范圍；②假設(shè)r=，是否存在點(diǎn)P使⊙P與直線BC相切，假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．提示：拋物線y＝的頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸x＝.圖〔十四〕【答案】解〔1〕令y=0，求得A點(diǎn)坐標(biāo)為〔－2，0〕，B點(diǎn)坐標(biāo)為〔6，0〕；令x＝0，求得C點(diǎn)的坐標(biāo)為〔0，3〕設(shè)BC直線為y＝kx＋b，把B、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：解得k＝，b=3故BC的解析式為：y=x＋3〔2〕①過(guò)點(diǎn)D〔2，4〕作DG⊥BC于點(diǎn)G，因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是直線x=2，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為〔2，2〕，所以有EF＝2，F(xiàn)B＝4，EB＝2，DE＝2，從圖中可知，，所以有：解得DG＝故當(dāng)r＞，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，⊙P與直線BC相交②由①知，直線BC上方的點(diǎn)D符合要求。設(shè)過(guò)點(diǎn)D并與直線BC平行的直線為y＝x＋n，把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入，求得n＝5，所以聯(lián)立：解得兩點(diǎn)〔2，4〕為D點(diǎn)，〔4，3〕也符合條件。設(shè)在直線BC下方到直線BC的距離為的直線m與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，所以MN=，又tan∠NBM＝所以NB=，BM＝4，所以點(diǎn)M與點(diǎn)F重合。設(shè)直線m為y=x＋b把點(diǎn)F的坐標(biāo)，代入得：0＝×2＋b得b=1，所以直線m的解析式為：y＝ｘ+１聯(lián)立方程組：解得：ｘ＝所以適合要求的點(diǎn)還有兩點(diǎn)即〔3－，〕與〔3＋，〕故當(dāng)r=，存在點(diǎn)P使⊙P與直線BC相切，符合條件的點(diǎn)P有四個(gè)，即是D〔2，4〕，〔4，3〕和〔3－，〕，〔3＋，〕的坐標(biāo)．20．〔2023年上?！橙鐖D8，平面直角坐標(biāo)系xOy，拋物線y＝－x2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)A(4,0)、B(1,3).〔1〕求該拋物線的表達(dá)式，并寫(xiě)出該拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；〔2〕記該拋物線的對(duì)稱軸為直線l，設(shè)拋物線上的點(diǎn)P(m,n)在第四象限，點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為F，假設(shè)四邊形OAPF的面積為20，求m、n的值.圖8圖8【答案】解：(1)拋物線y＝－x2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)A(4,0)B(1,3).∴∴，，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔2〕∵直線EP∥OA,E與P兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴OE=AP,∴梯形OEPA為等腰梯形，∴∠OEP=∠APE,∵OE=OF,∴∠OEP=∠AFE,∴∠OFP=∠APE,∴OF∥AP,∴四邊形OAPF為平行四邊形，∵四邊形OAPF的面積為20，∴，∴，∴.21．〔2023年上海〕如圖9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半徑為1的圓A與邊AB相交于點(diǎn)D，與邊AC相交于點(diǎn)E，連結(jié)DE并延長(zhǎng)，與線段BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P.〔1〕當(dāng)∠B＝30°時(shí)，連結(jié)AP，假設(shè)△AEP與△BDP相似，求CE的長(zhǎng)；〔2〕假設(shè)CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；〔3〕假設(shè)，設(shè)CE=x，△ABC的周長(zhǎng)為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.圖9圖10(備用)圖11(備用)【答案】解：〔1〕如圖1，∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°,∵AD=AE=1∴ΔADE為等邊三角形，∴∠ADE=∠AED=60°,∴∠BDE=∠AEP=120°,∠CEP=60°,∴∠EPC=30°=∠B,∴ΔBDP為等腰三角形，∵ΔAPE與ΔBPD相似，∴ΔAPE為等腰三角形，AE=EP=1,∴CE=EP=．〔2〕設(shè)BC=BD=，∠ACB=90°,∴，∴=4，BC=BD=4，過(guò)D作DH⊥BC交BC于H,如圖2，∴DH∥AC,∴,∴,∴,同理可得,∵DH∥AC,∴,,∴CP=4,∵∠ECP=90°,∴=．〔3〕如圖3，當(dāng)時(shí)，設(shè)CE=，∴CP=3,由〔2〕，∴設(shè)BD=，∴，，，，∴，∴，∴=m＋1＋x＋1＋3m－3x=3x＋3．22．〔2023江蘇連云港〕〔此題總分值14分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙C的圓心坐標(biāo)為〔－2，－2〕，半徑為eq\r(2)．函數(shù)y＝－x＋2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)〔1〕連接CO，求證：CO⊥AB；〔2〕假設(shè)△POA是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3〕當(dāng)直線PO與⊙C相切時(shí)，求∠POA的度數(shù)；當(dāng)直線PO與⊙C相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為E、F，點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)，令PO＝t，MO＝s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出t的取值范圍．ADADBADxPO··CFEBADy【答案】23．〔2023山東萊蕪〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).〔1〕求此拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)此拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)D，作⊙D與x軸相切，⊙D交軸于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，求劣弧EF的長(zhǎng)；〔3〕P為此拋物線在第二象限圖像上的一點(diǎn)，PG垂直于軸，垂足為點(diǎn)G，試確定P點(diǎn)的位置，使得△PGA的面積被直線AC分為1︰2兩局部.〔第24題圖〕x〔第24題圖〕xyOACBDEF【答案】解：〔1〕∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，．∴，解得.∴拋物線的解析式為：.〔2〕易知拋物線的對(duì)稱軸是.把x=4代入y=2x得y=8，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔4,8〕．∵⊙D與x軸相切，∴⊙D的半徑為8．連結(jié)DE、DF，作DM⊥y軸，垂足為點(diǎn)M．在Rt△MFD中，F(xiàn)D=8，MD=4．∴cos∠MDF=．∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°．∴劣弧EF的長(zhǎng)為：．xyxyOACBDEFPGNM〔3〕設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b.∵直線AC經(jīng)過(guò)點(diǎn).∴，解得.∴直線AC的解析式為：.設(shè)點(diǎn)，PG交直線AC于N，那么點(diǎn)N坐標(biāo)為.∵.∴①假設(shè)PN︰GN=1︰2，那么PG︰GN=3︰2，PG=GN.即=.解得：m1=－3，m2=2〔舍去〕.當(dāng)m=－3時(shí)，=.∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.……………10分②假設(shè)PN︰GN=2︰1，那么PG︰GN=3︰1，PG=3GN.即=.解得：，〔舍去〕.當(dāng)時(shí)，=.∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為或時(shí)，△PGA的面積被直線AC分成1︰2兩局部．24．〔2023廣東珠?！橙鐖D，平面直角坐標(biāo)系中有一矩形ABCD〔O為原點(diǎn)〕，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，且C點(diǎn)坐標(biāo)為〔0,6〕；將BCD沿BD折疊〔D點(diǎn)在OC邊上〕，使C點(diǎn)落在OA邊的E點(diǎn)上，并將BAE沿BE折疊，恰好使點(diǎn)A落在BD的點(diǎn)F上.(1)直接寫(xiě)出∠ABE、∠CBD的度數(shù)，并求折痕BD所在直線的函數(shù)解析式；(2)過(guò)F點(diǎn)作FG⊥x軸，垂足為G，F(xiàn)G的中點(diǎn)為H，假設(shè)拋物線經(jīng)過(guò)B、H、D三點(diǎn)，求拋物線的函數(shù)解析式；(3)假設(shè)點(diǎn)P是矩形內(nèi)部的點(diǎn)，且點(diǎn)P在〔2〕中的拋物線上運(yùn)動(dòng)〔不含B、D點(diǎn)〕，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC分別交BC和BD于點(diǎn)N、M，設(shè)h=PM-MN，試求出h與P點(diǎn)橫坐標(biāo)x的函數(shù)解析式，并畫(huà)出該函數(shù)的簡(jiǎn)圖，分別寫(xiě)出使PM<NM、PM=MN、PM>MN成立的x的取值范圍?！敬鸢浮拷猓骸?〕∠ABE＝∠CBD=30°在△ABE中，AB＝6BC=BE=CD=BCtan30°=4∴OD=OC-CD=2∴B(，6)D(0,2)設(shè)BD所在直線的函數(shù)解析式是y=kx+b∴所以BD所在直線的函數(shù)解析式是(2)∵EF=EA=ABtan30°=∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°又∵FG⊥OA∴FG＝EFsin60°=3GE=EFcos60°=OG=OA-AE-GE=又H為FG中點(diǎn)∴H〔，〕…………4分∵B(，6)、D(0,2)、H〔，〕在拋物線圖象上∴∴拋物線的解析式是(2)∵M(jìn)P=MN=6-H=MP-MN=由得該函數(shù)簡(jiǎn)圖如下圖：當(dāng)0<x<時(shí),h<0，即HP<MN當(dāng)x=時(shí)，h=0，即HP=MN當(dāng)<x<時(shí)，h>0，即HP>MN25．〔2023浙江湖州〕如圖，在直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA＝AB＝2，OC＝3，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥BC，交OA于點(diǎn)D，將∠DBC繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸于E和F．〔1〕求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；〔2〕當(dāng)BE經(jīng)過(guò)〔1〕中拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求CF的長(zhǎng)；〔3〕連接EF，設(shè)△BEF與△BFC的面積之差為S，問(wèn)：當(dāng)CF為何值時(shí)S最小，并求出這個(gè)最小值.．【答案】由題意得：A〔0，2〕、B〔2，2〕、C〔3，0〕，設(shè)經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為，那么，解得：，所以．〔2〕由＝，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為G〔1，〕，過(guò)G作GH⊥AB，垂足為H，那么AH＝BH＝1，GH＝－2＝，∵EA⊥AB，GH⊥AB，∴EA∥GH，∴GH是△BEA的中位線，∴EA＝3GH＝，過(guò)B作BM⊥OC，垂足為M，那么MB＝OA＝AB，∵∠EBF＝∠ABM＝90°，∴∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF，∴Rt△EBA≌Rt△FBM，∴FM＝EA＝，∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，∴CF＝FM＋CM＝．〔3〕設(shè)CF＝a，那么FM＝a－1或1－a，∴BF2＝FM2＋BM2＝(a－1)2＋22＝a2－2a＋5，又∵△EBA≌△FBM，∴BM＝BF，那么，又，∴S＝，即S＝，∴當(dāng)a＝2〔在2＜a＜3〕時(shí)，．26．〔2023湖南株洲〕〔此題總分值10分〕在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)原點(diǎn)O，且與軸交于另一點(diǎn)，其頂點(diǎn)為．孔明同學(xué)用一把寬為帶刻度的矩形直尺對(duì)拋物線進(jìn)行如下測(cè)量：①量得；②把直尺的左邊與拋物線的對(duì)稱軸重合，使得直尺左下端點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)重合〔如圖1〕，測(cè)得拋物線與直尺右邊的交點(diǎn)的刻度讀數(shù)為．請(qǐng)完成以下問(wèn)題：〔1〕寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸；〔2〕求拋物線的解析式；〔3〕將圖中的直尺〔足夠長(zhǎng)〕沿水平方向向右平移到點(diǎn)的右邊〔如圖2〕，直尺的兩邊交軸于點(diǎn)、，交拋物線于點(diǎn)、．求證：．圖1圖2圖1圖2·B【答案】〔1〕〔2〕設(shè)拋物線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，依題意得：，解得：．∴拋物線的解析式為：．〔3〕方法一：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，設(shè)，，得：①②又，得，分別代入①、②得：，∴得：又∴方法二：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，設(shè)，那么，得：∵∴27．〔2023四川成都〕：如圖，內(nèi)接于⊙O，為直徑，弦于，是AD的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)，分別交、于點(diǎn)、．〔1〕求證：是的外心；〔2〕假設(shè),求的長(zhǎng)；〔3〕求證：．【答案】〔1〕證明：∵C是AD的中點(diǎn)，∴AC=CD，∴∠CAD=∠ABC⌒⌒∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°?！唷螩AD+∠AQC=90°又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°∴∠AQC=∠PCQ⌒⌒∴在△PCQ中，PC=PQ，⌒⌒⌒⌒∵CE⊥直徑AB，∴AC=AE⌒⌒∴AE=CD∴∠CAD=∠ACE?！嘣凇鰽PC中，有PA=PC，∴PA=PC=PQ∴P是△ACQ的外心。〔2〕解：∵CE⊥直徑AB于F，∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=，CF=8，得?！嘤晒垂啥ɡ恚谩逜B是⊙O的直徑，∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=， 得。易知Rt△ACB∽R(shí)t△QCA，∴∴?！?〕證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°∴∠DAB+∠ABD=90°又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°∴∠DAB=∠G；∴Rt△AFP∽R(shí)t△GFB，∴，即易知Rt△ACF∽R(shí)t△CBF，∴∴由〔1〕，知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC∴。28．〔2023山東濰坊〕如下圖，拋物線與x軸交于A〔－1，0〕、B〔3，0〕兩點(diǎn)，與y軸交于C〔0，－3〕．以AB為直徑做⊙M，過(guò)拋物線上的一點(diǎn)P作⊙M的切線PD，切點(diǎn)為D，并與⊙M的切線AE相交于點(diǎn)E．連接DM并延長(zhǎng)交⊙M于點(diǎn)N，連接AN．〔1〕求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；〔2〕假設(shè)四邊形EAMD的面積為4，求直線PD的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形EAMD的面積等于△DAN的面積？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．【答案】解：〔1〕因?yàn)閽佄锞€與x軸交于點(diǎn)A〔－1，0〕、B〔3，0〕兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝a〔x＋1〕〔x－3〕，∵拋物線與y軸交于C〔0，－3〕，∴－3＝a〔0＋1〕〔0－3〕，解得a＝1，所以拋物線的解析式為y＝x2－2x－3＝〔x－1〕2－4，因此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔1，－4〕；〔2〕連接EM，∵EA、ED是⊙M的切線，∴EA＝ED，EA⊥AM，ED⊥MD，∴△EAM≌△EDM，又四邊形EAMD的面積為4，∴S△EAM＝2，∴AM·AE＝2，又AM＝2，∴AE＝2，因此E1〔－1，2〕或者E2〔－1，－2〕，當(dāng)點(diǎn)E在第二象限時(shí)，切點(diǎn)D在第一象限，在Rt△EAM中，tan∠EMA＝，故∠EMA＝60°，∴∠DMB＝60°，過(guò)切點(diǎn)D作DF⊥AB于F點(diǎn)，∴MF＝1，DF＝，那么直線PD過(guò)E〔－1，2〕、D〔2，〕的坐標(biāo)代入，那么函數(shù)PD的解析式為y＝－．當(dāng)點(diǎn)E在第三象限時(shí)，切點(diǎn)D在第四象限，同理可求直線PD的解析式為y＝，因此直線PD的函數(shù)關(guān)系式為y＝－或y＝；〔3〕假設(shè)四邊形EAMD的面積等于△DAN的面積，又S四邊形EAMD＝2S△EAM，S△DAN＝2S△AMD，那么S△EAM＝S△AMD，∴E、D兩點(diǎn)到x軸的距離相等，∵PD與⊙M相切，∴點(diǎn)D與點(diǎn)E在x軸同側(cè)，∴切線PD與x軸平行，此時(shí)切線PD的函數(shù)關(guān)系式為y＝2或y＝－2，當(dāng)y＝2時(shí)，由y＝x2－2x－3得，x＝1±，當(dāng)y＝－2時(shí)，由y＝x2－2x－3得，x＝1±，故滿足條件點(diǎn)P的位置有4個(gè)，分別是P1〔1＋，2〕、P2〔1－，2〕、P3〔1＋，－2〕、P4〔1－，－2〕．29．〔2023湖南懷化〕圖9是二次函數(shù)的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,-4).〔1〕求出圖象與軸的交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；〔2〕在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使,假設(shè)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3〕將二次函數(shù)的圖象在軸下方的局部沿軸翻折，圖象的其余局部保持不變，得到一個(gè)新的圖象，請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象答復(fù)：當(dāng)直線與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍.圖9圖9【答案】解;(1)因?yàn)镸(1,-4)是二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以令解之得.∴A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A〔-1，0〕，B〔3,0〕(2)在二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，使設(shè)那么，又,∴∵二次函數(shù)的最小值為-4，∴.當(dāng)時(shí)，.故P點(diǎn)坐標(biāo)為〔-2，5〕或〔4，5〕圖1圖1〔3〕如圖1，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，可得當(dāng)直線經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，可得由圖可知符合題意的的取值范圍為30．〔2023河南〕在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)假設(shè)點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；(3)假設(shè)點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=－x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P、Q、B、0為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).【答案】〔1〕設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0)，那么有解得∴拋物線的解析式y(tǒng)=x2+x﹣4〔2〕過(guò)點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D.設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為〔m，n〕.那么AD=m+4，MD=﹣n，n=m2＋m－4.∴S=S△AMD+S梯形DMBO－S△ABO=(m+4)(﹣n)＋(﹣n＋4)(﹣m)－×4×4=﹣2n-2m-8=﹣2(m2＋m－4)-2m-8=﹣m2-4m(－4<m<0)∴S最大值=4〔3〕滿足題意的Q點(diǎn)的坐標(biāo)有四個(gè)，分別是：〔-4，4〕，〔4，-4〕，〔-2+，2－〕，〔-2－，2＋〕31．〔2023黑龍江哈爾濱〕：在△ABC中AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E在線段DF的延長(zhǎng)線上，∠BAE＝∠BDF，點(diǎn)M在線段DF上，∠ABE＝∠DBM．〔1〕如圖1，當(dāng)∠ABC＝45°時(shí)，求證：AE＝MD；〔2〕如圖2，當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，那么線段AE、MD之間的數(shù)量關(guān)系為：?！?〕在〔2〕的條件下延長(zhǎng)BM到P，使MP＝BM，連接CP，假設(shè)AB＝7，AE＝，求tan∠ACP的值．【答案】〔1〕證明：如圖1連接AD∵AB=ACBD=CD∴AD⊥BC又∵∠ABC=45°∠ABE=∠DBM∴△ABE∽△DBM〔2〕AE=2MD〔3〕解：如圖2連接AD、EP∵AB=AC∠ABC=60°D∴△ABC為等邊三角形又∵D為BC中點(diǎn)∴AD⊥BC∠DAC=30BD=DC=AB∵∠BAE=∠BDM∠ABE=∠DBM∴△ABE∽△DBM∠AEB=∠DMB∴EB=EBM又∵BM=MP∴EB=BP又∵∠EBM=∠ABC=60°∴△BEP為等邊三角形∴EM⊥BP∴∠BMD=90°∴∠AEB=90°∵D為BC中點(diǎn)M為PB中點(diǎn)∴DM//PC∴∠MDB=∠PCB∴∠EAB=∠PCB過(guò)N作NH⊥AC，垂足為H在32．〔2023江蘇徐州〕如圖①，將邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，連接EP．(1)如圖②，假設(shè)M為AD邊的中點(diǎn)，①,△AEM的周長(zhǎng)=_____cm；②求證：EP=AE+DP；(2)隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置(點(diǎn)M不與A、D重合)，△PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】33．〔2023四川綿陽(yáng)〕如圖，拋物線y=ax2+bx+4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A〔－4，0〕、B〔2，0〕，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．E〔1，2〕為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G．〔1〕求拋物線的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔2〕在直線EF上求一點(diǎn)H，使△CDH的周長(zhǎng)最小，并求出最小周長(zhǎng)；〔3〕假設(shè)點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△EFK的面積最大？并求出最大面積．CECEDGAxyOBF【答案】〔1〕由題意，得解得，b=－1．所以拋物線的解析式為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔－1，〕．〔2〕設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M．因?yàn)镋F垂直平分BC，即C關(guān)于直線EG的對(duì)稱點(diǎn)為B，連結(jié)BD交于EF于一點(diǎn)，那么這一點(diǎn)為所求點(diǎn)H，使DH+CH最小，即最小為DH+CH=DH+HB=BD=．而．∴△CDH的周長(zhǎng)最小值為CD+DR+CH=．設(shè)直線BD的解析式為y=k1x+b，那么解得，b1=3．所以直線BD的解析式為y=x+3．由于BC=2，CE=BC∕2=，Rt△CEG∽△COB，得CE:CO=CG:CB，所以CG=2.5，GO=1.5．G〔0，1.5〕．同理可求得直線EF的解析式為y=x+．聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使△CDH的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)H〔，〕．〔3〕設(shè)K〔t，〕，xF＜t＜xE．過(guò)K作x軸的垂線交EF于N．那么KN=yK－yN=－〔t+〕=．所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=KN〔t+3〕+KN〔1－t〕=2KN=－t2－3t+5=－〔t+〕2+．即當(dāng)t=－時(shí)，△EFK的面積最大，最大面積為，此時(shí)K〔－，〕．51．〔2023江蘇鎮(zhèn)江〕探索發(fā)現(xiàn)〔本小題總分值9分〕如圖，在直角坐標(biāo)系的直角頂點(diǎn)A，C始終在x軸的正半軸上，B，D在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B在直線OD上方，OC=CD，OD=2，M為OD的中點(diǎn)，AB與OD相交于E，當(dāng)點(diǎn)B位置變化時(shí)，試解決以下問(wèn)題：〔1〕填空：點(diǎn)D坐標(biāo)為；〔2〕設(shè)點(diǎn)B橫坐標(biāo)為t，請(qǐng)把BD長(zhǎng)表示成關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并化簡(jiǎn)；〔3〕等式BO=BD能否成立？為什么？〔4〕設(shè)CM與AB相交于F，當(dāng)△BDE為直角三角形時(shí)，判斷四邊形BDCF的形狀，并證明你的結(jié)論.【答案】〔1〕；〔1分〕〔2〕①〔2分〕〔3分〕②〔4分〕〔注：不去絕對(duì)值符號(hào)不扣分〕〔3〕[法一]假設(shè)OB=BD，那么由①得〔5分〕[法二]假設(shè)OB=BD，那么B點(diǎn)在OD的中垂線CM上.∴直線CM的函數(shù)關(guān)系式為，③〔5分〕④聯(lián)立③，④得：，[法三]假設(shè)OB=BD，那么B點(diǎn)在OD的中垂線CM上，如圖27–1過(guò)點(diǎn)B作〔4〕如果，①當(dāng)，如圖27–2∴此時(shí)四邊形BDCF為直角梯形.〔7分〕②當(dāng)如圖27–3∴此時(shí)四邊形BDCF為平行四邊形.〔8分〕下證平行四邊形BDCF為菱形：[法一]在，[方法①]上方〔舍去〕.得[方法②]由②得：此時(shí)∴此時(shí)四邊形BDCF為菱形〔9分〕[法二]在等腰中52．〔2023四川瀘州〕二次函數(shù)及一次函數(shù).求該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及它與軸的交點(diǎn)坐標(biāo);將該二次函數(shù)圖象在軸下方的局部沿軸翻折到軸上方,圖象的其余局部不變,得到一個(gè)新圖象.請(qǐng)你在圖10中畫(huà)出這個(gè)新圖象,并求出新圖象與直線有三個(gè)不同公共點(diǎn)時(shí)的值;當(dāng)0≤≤2時(shí),函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同公共點(diǎn),求的取值范圍.【答案】解:(1),那么拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,)∵的圖象與軸相交,∴,∴,∴,或,∴拋物線與軸相交于A(,0)、B〔3,0〕.〔2〕翻折后所得新圖象如下圖，平移直線知：直線位于和時(shí)，它與新圖象有三個(gè)不同公共點(diǎn)，如下圖，.①當(dāng)直線位于時(shí)，此時(shí)過(guò)點(diǎn)A〔,0〕，∴，即，②當(dāng)直線位于時(shí)，此時(shí)與函數(shù)〔≤≤3〕的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，∴方程，即有一個(gè)根，故△＝＝0,即，當(dāng)時(shí)，滿足≤≤3,由①②知，，或〔3〕∵，∵當(dāng)0≤≤2時(shí)，函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)， ∴應(yīng)同時(shí)滿足以下三個(gè)方面的條件：方程的判別式△＞0，拋物線的對(duì)稱軸滿足＜＜2，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值≥0，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值≥0，即＞00＜＜2≥0≥0解得≤＜1，∴當(dāng)≤＜1時(shí)，函數(shù)圖象〔0≤≤2〕與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn).53．〔2023山東淄博〕直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)A〔—4，3〕，點(diǎn)B在x軸上，△AOB是等腰三角形．〔1〕求滿足條件的所有點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕求過(guò)O，A，B三點(diǎn)且開(kāi)口向下的拋物線的函數(shù)表達(dá)式〔只需求出滿足條件的一條即可〕；〔3〕在〔2〕中求出的拋物線上存在點(diǎn)P，使得以O(shè)，A，B，P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，求滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)梯形的面積．【答案】解：作AC⊥x軸，由得OC＝4，AC＝3，OA＝＝5．〔1〕當(dāng)OA＝OB＝5時(shí)，如果點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，如圖〔1〕，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔－5，0〕．如果點(diǎn)B在x軸的正半軸上，如圖〔2〕，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔5，0〕．xyxyBCAOxyBCAO(第24題)(2)(1)當(dāng)OA＝AB時(shí)，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，如圖〔3〕，BC＝OC，那么OB＝8，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔－8，0〕．當(dāng)AB＝OB時(shí)，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，如圖〔4〕，在x軸上取點(diǎn)D，使AD＝OA，可知OD＝8．由∠AOB＝∠OAB＝∠ODA，可知△AOB∽△ODA，那么，解得OB＝，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔－，0〕．yBCAxyBCAxO(3)(4)(第24題)yABDxO〔2〕當(dāng)AB＝OA時(shí)，拋物線過(guò)O〔0，0〕，A〔－4，3〕，B〔－8，0〕三點(diǎn)，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，可得方程組，解得a＝，，．〔當(dāng)OA＝OB時(shí)，同理得．〔3〕當(dāng)OA＝AB時(shí)，假設(shè)BP∥OA，如圖〔5〕，作PE⊥x軸，那么∠AOC＝∠PBE，∠ACO＝∠PEB＝90°，△AOC∽△PBE，．設(shè)BE＝4m，PE＝3m，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔4m－8，－3m〕，代入，解得m＝3．那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔4，－9〕，S梯形ABPO＝S△ABO＋S△BPO＝48．假設(shè)OP∥AB〔圖略〕，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔－12，－9〕，S梯形AOPB＝S△ABO＋S△BPO＝48．(第24題)(5)(第24題)(5)OyBCAxPE(6)x(6)xyBAOCP(第24題)F〔當(dāng)OA＝OB時(shí)，假設(shè)BP∥OA，如圖〔6〕，作PF⊥x軸，那么∠AOC＝∠PBF，∠ACO＝∠PFB＝90°，△AOC∽△PBF，．設(shè)BF＝4m，PF＝3m，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔4m－5，－3m〕，代入，解得m＝．那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔1，－〕，S梯形ABPO＝S△ABO＋S△BPO＝．假設(shè)OP∥AB〔圖略〕，作PF⊥x軸，那么∠ABC＝∠POF，∠ACB＝∠PFO＝90°，△ABC∽△POF，．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔－n，－3n〕，代入，解得n＝9．那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔－9，－27〕，S梯形AOPB＝S△ABO＋S△BPO＝75．54．〔2023天津〕在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)、〔點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)〕，與軸的正半軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為.〔Ⅰ〕假設(shè)，，求此時(shí)拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；〔Ⅱ〕將〔Ⅰ〕中的拋物線向下平移，假設(shè)平移后，在四邊形ABEC中滿足S△BCE=S△ABC，求此時(shí)直線的解析式；〔Ⅲ〕將〔Ⅰ〕中的拋物線作適當(dāng)?shù)钠揭?，假設(shè)平移后，在四邊形ABEC中滿足S△BCE=2S△AOC，且頂點(diǎn)恰好落在直線上，求此時(shí)拋物線的解析式.【答案】解：〔Ⅰ〕當(dāng)，時(shí)，拋物線的解析式為，即.∴拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為〔1，4〕．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分〔Ⅱ〕將〔Ⅰ〕中的拋物線向下平移，那么頂點(diǎn)在對(duì)稱軸上，有，∴拋物線的解析式為〔〕．∴此時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為．∵方程的兩個(gè)根為，，∴此時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為，．EyxFBDAOC如圖，過(guò)點(diǎn)作EF∥CB與軸交于點(diǎn)，連接，那么S△BCE=SEyxFBDAOC∵S△BCE=S△ABC，∴S△BCF=S△ABC．∴．設(shè)對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，那么．由EF∥CB，得．∴Rt△EDF∽R(shí)t△COB．有．∴．結(jié)合題意，解得．∴點(diǎn)，．設(shè)直線的解析式為，那么解得∴直線的解析式為.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分〔Ⅲ〕根據(jù)題意，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，〔，〕那么拋物線的解析式為，此時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，.〔〕過(guò)點(diǎn)作EF∥CB與軸交于點(diǎn)，連接，那么S△BCE=S△BCF.由S△BCE=2S△AOC，∴S△BCF=2S△AOC.得.設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn).那么.于是，由Rt△EDF∽R(shí)t△COB，有．∴，即．結(jié)合題意，解得．①∵點(diǎn)在直線上，有．②∴由①②，結(jié)合題意，解得．有，．∴拋物線的解析式為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分55．〔2023廣西桂林〕如圖，⊙O是△ABC的外接圓，F(xiàn)H是⊙O的切線，切點(diǎn)為F，F(xiàn)H∥BC，連結(jié)AF交BC于E，∠ABC的平分線BD交AF于D，連結(jié)BF．H〔1〕證明：AF平分∠BAC；H〔2〕證明：BF＝FD；〔3〕假設(shè)EF＝4，DE＝3，求AD的長(zhǎng)．【答案】證明〔1〕連結(jié)OFHH∵FH是⊙O的切線∴OF⊥FH……………1分∵FH∥BC，∴OF垂直平分BC………2分∴∴AF平分∠BAC…………3分〔2〕證明：由〔1〕及題設(shè)條件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2……………4分H∴∠1+∠4=∠2+∠3H∴∠1+∠4=∠5+∠3……………5分∠FDB=∠FBD∴BF=FD………………6分〔3〕解：在△BFE和△AFB中∵∠5=∠2=∠1，∠F=∠F∴△BFE∽△AFB………………7分∴，……………8分∴∴……9分∴∴AD==…10分56．〔2023湖北十堰〕〔本小題總分值10分〕關(guān)于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0〔1〕求證：無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程恒有實(shí)數(shù)根.〔2〕假設(shè)關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx2-(3m－1)x+2m－2的圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為2時(shí)，求拋物線的解析式.〔3〕在直角坐標(biāo)系xoy中，畫(huà)出〔2〕中的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象答復(fù)以下問(wèn)題：當(dāng)直線y=x+b與〔2〕中的函數(shù)圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求b的取值范圍.【答案】解：〔1〕分兩種情況討論：①當(dāng)m=0時(shí)，方程為x－2=0，∴x=2方程有實(shí)數(shù)根②當(dāng)m≠0時(shí)，那么一元二次方程的根的判別式△=[－〔3m－1〕]2－4m〔2m－2〕=m2+2m+1=〔m+1〕2≥0不管m為何實(shí)數(shù)，△≥0成立，∴方程恒有實(shí)數(shù)根綜合①②，可知m取任何實(shí)數(shù)，方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0恒有實(shí)數(shù)根.〔2〕設(shè)x1，x2為拋物線y=mx2-(3m－1)x+2m－2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).那么有x1+x2=，x1·x2=由|x1－x2|====，由|x1－x2|=2得=2，∴或∴m=1或m=∴所求拋物線的解析式為：y1=x2－2x或y2=x2+2x－EQ\F(8,3)即y1=x〔x－2〕或y2=〔x－2〕〔x－4〕其圖象如右圖所示.〔3〕在〔2〕的條件下，直線y=x+b與拋物線y1，y2組成的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象，求b的取值范圍.，當(dāng)y1=y時(shí)，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－EQ\F(9,4)；同理，可得△=9－4〔8+3b〕=0，得b=－EQ\F(23,12).觀察函數(shù)圖象可知當(dāng)b<－EQ\F(9,4)或b>－EQ\F(23,12)時(shí)，直線y=x+b與〔2〕中的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn).由當(dāng)y1=y2時(shí)，有x=2或x=1當(dāng)x=1時(shí)，y=－1所以過(guò)兩拋物線交點(diǎn)〔1，－1〕，〔2，0〕的直線y=x－2，綜上所述可知：當(dāng)b<－EQ\F(9,4)或b>－EQ\F(23,12)或b=－2時(shí)，直線y=x+b與〔2〕中的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn).57．〔2023四川自貢〕如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為〔1，0〕，B點(diǎn)在x軸上且在點(diǎn)A的右側(cè)，AB＝OA，過(guò)點(diǎn)A和B作x軸的垂線分別交二次函數(shù)y＝x2的圖象于點(diǎn)C和D，直線OC交BD于M，直線CD交y軸于點(diǎn)H。記C、D的橫坐標(biāo)分別為xC，xD，點(diǎn)H的縱坐標(biāo)yH?！?〕證明：①S△CMD∶S梯形ABMC＝2∶3②xC·xD＝－yH〔2〕假設(shè)將上述A點(diǎn)坐標(biāo)〔1，0〕改為A點(diǎn)坐標(biāo)〔t，0〕，t＞0，其他條件不變，結(jié)論S△CMD：S梯形ABMC＝2∶3是否仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由。〔3〕假設(shè)A的坐標(biāo)〔t，0〕〔t＞0〕，又將條件y＝x2改為y＝ax2〔a＞0〕，其他條件不變，那么XC、XD和yH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出關(guān)系式，并證明?！敬鸢浮咳分锌季W(wǎng)58．〔2023寧夏回族自治區(qū)〕在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，將△ABD沿AB所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)E處；將△ACD沿AC所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，分別延長(zhǎng)EB、FC使其交于點(diǎn)M．(1)判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明．(2)假設(shè)BD=1，CD=2，試求四邊形AEMF的面積．【答案】解：〔1〕∵ADBC△AEB是由△ADB折疊所得∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=，BE=BD,AE=AD又∵△AFC是由△ADC折疊所得∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=，F(xiàn)C=CD，AF=AD∴AE=AF---------------------------------------------2分又∵∠1+∠2=，∴∠3+∠4=∴∠EAF=--------------------------------------3分∴四邊形AEMF是正方形。---------------------5分〔2〕方法一：設(shè)正方形AEMF的邊長(zhǎng)為x根據(jù)題意知：BE=BD,CF=CD∴BM=x－1;CM=x－2-------------------------------------------------------------------7分在Rt△BMC中,由勾股定理得：∴解之得：(舍去)∴------------------------------------------10分方法二：設(shè)：AD=x∴=∴-----------------------------------------------------------7分∵且∴即解之得：(舍去)∴---------------------------------------------10分59．〔2023吉林長(zhǎng)春〕如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角△A0B的斜邊OB在x軸上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔3,3〕，AD為斜邊上的高．拋物線與直線交于點(diǎn)O、C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為6。點(diǎn)P在x軸的正半軸上，過(guò)點(diǎn)P作PE//y軸，交射線OA于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，以A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S．(1)求OA所在直線的解析式．(1分)(2)求a的值．(2分)(3)當(dāng)m≠3時(shí)．求S與m的函數(shù)關(guān)系式．(4分)(4)如圖②．設(shè)直線PE交射線0C于點(diǎn)R，交拋物線于點(diǎn)Q．以RQ為一邊，在RQ的右側(cè)作矩形RQMN，其中RN．直接寫(xiě)出矩形RQMN與△AOB重疊局部為軸對(duì)稱圖形時(shí)m的取值范圍．(3分)【答案】60．〔2023廣東茂名〕⊙O1的半徑為R，周長(zhǎng)為C．〔1〕在⊙O1內(nèi)任意作三條弦，其長(zhǎng)分別是、、．求證：++<C；〔3分〕(第25題〔1〕圖)(第25題〔1〕圖)〔第25題備用圖〕〔第25題備用圖〕〔2〕如圖，在直角坐標(biāo)系O中，設(shè)⊙O1的圓心為O1．①當(dāng)直線：與⊙O1相切時(shí)，求的值；〔2分〕②當(dāng)反比例函數(shù)的圖象與⊙O1有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．〔3分〕〔第25題備用圖〕：〔第25題備用圖〕【答案】〔1〕證明：，，．++，因此，++<C．〔2〕解：①如圖，根據(jù)題意可知⊙O1與軸、軸分別相切，設(shè)直線與⊙O1相切于點(diǎn)M，那么O1M⊥l，過(guò)點(diǎn)O1作直線NH⊥軸，與交于點(diǎn)N，與軸交于點(diǎn)H，又∵直線與軸、軸分別交于點(diǎn)E〔，0〕、F〔0，〕，∴OE＝OF＝，∴∠NEO＝45o，∴∠ENO1＝45o，在Rt△O1MN中，O1N＝O1Msin45o＝，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為N〔R，〕，把點(diǎn)N坐標(biāo)代入得：，解得：，②如圖，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、O1的直線交⊙O1于點(diǎn)A、D，那么由，直線OO1：是圓與反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，當(dāng)反比例函數(shù)的圖象與⊙O1直徑AD相交時(shí)〔點(diǎn)A、D除外〕，那么反比例函數(shù)的圖象與⊙O1有兩個(gè)交點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)A作AB⊥軸交軸于點(diǎn)B，過(guò)O1作O1C⊥軸于點(diǎn)C，OO1＝O1Csin45o＝，OA＝，所以O(shè)B＝AB＝sin45o＝，因此點(diǎn)A的坐標(biāo)是A，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，解得：．同理可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為D，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入，解得：所以當(dāng)反比例函數(shù)的圖象與⊙O1有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是：61．〔2023遼寧大連〕如圖17，拋物線F：與軸相交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且平行于軸，將向上平移t個(gè)單位得到直線，設(shè)與拋物線F的交點(diǎn)為C、D，與拋物線F的交點(diǎn)為A、B，連接AC、BC〔1〕當(dāng)，，，時(shí)，探究△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；〔2〕假設(shè)△ABC為直角三角形，求t的值〔用含a的式子表示〕；〔3〕在〔2〕的條件下，假設(shè)點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)A’恰好在拋物線F的對(duì)稱軸上，連接A’C，BD，求四邊形A’CDB的面積〔用含a的式子表示〕OCOCABDx圖17【答案】62．〔2023貴州遵義〕如圖，在⊿ABC，∠C=90°，AC+BC=8，點(diǎn)O是斜邊AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的⊙O分別與AC、BC相切于點(diǎn)D、E.(1)當(dāng)AC=2時(shí)，求⊙O的半徑；(2)設(shè)AC=χ，⊙O的半徑為y,求y與χ的函數(shù)關(guān)系式?！敬鸢浮俊敬鸢浮拷夥ㄒ唬哼B接OD、OE、OC……1分∵D、E為切點(diǎn)，∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE…………………2分∵S△ABC=S△AOC+S△BOC∴AC×BC=AC×OD+BC×OE……3分∵AC+BC=8,AC=2,∴BC=6∴×2×6=×2×OD+×2×OE……4分而OD=OE，∴OD=，即⊙O的半徑為………………5分解法二：連接OD、OE………1分∵D、