20種排列組合常見模型 專題09 間接法模型(解析版)

專題9間接法模型例1．為抗擊新冠病毒，某部門安排甲、乙、丙、丁、戊五名專家到三地指導(dǎo)防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名專家，其中甲、乙兩名專家必須安排在同一地工作，丙、丁兩名專家不能安排在同一地工作，則不同的分配方法總數(shù)為（）A．18 B．24 C．30 D．36【解析】因?yàn)榧?、乙兩名專家必須安排在同一地工作，此時(shí)甲、乙兩名專家看成一個(gè)整體即相當(dāng)于一個(gè)人，所以相當(dāng)于只有四名專家，先計(jì)算四名專家中有兩名在同一地工作的排列數(shù)，即從四個(gè)中選二個(gè)和其余二個(gè)看成三個(gè)元素的全排列共有：C2-A3種；43又因?yàn)楸?、丁兩名專家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁兩名專家在同一地工作的排列?shù)有A3種，3所以不同的分配方法種數(shù)有：C2-A3—A3=36-6=304 3 3故選：C例2．某校從8名教師中選派4名同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1名教師），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，則不同的選派方案有（）A．900種 B．600種 C．300種 D．150種【解析】第一類，甲去，則丙一定去，乙一定不去，再?gòu)氖Ｓ嗟?名教師中選2名，有C2=10（種）不同選法，第二類，甲不去，則丙一定不去，乙可能去也可能不去，從6名教師中選4名，有C4=15（種）不同選法，6所以不同的選派方案共有（10+15）A：=600（種）.故選B.例3．某市政府決定派遣8名干部（5男3女）分成兩個(gè)小組，到該市甲、乙兩個(gè)縣去檢查扶貧工作，若要求每組至少3人，且女干部不能單獨(dú)成組，則不同的派遣方案共有（）種A．240 B．320 C．180 D．120【解析】?jī)山M至少都是3人，則分組中兩組的人數(shù)分別為3、5或4、4，又因?yàn)?名女干部不能單獨(dú)成一組，則不同的派遣方案種數(shù)為C3+才-1A2=180.I8A2 丿22故選：C.例4．某校高一開設(shè)4門選修課，有4名同學(xué)選修，每人只選1門，恰有2門課程沒有同學(xué)選修，則不同的選課方案有（）96種 B.84種 C.78種 D.16種【解析】先確定選的兩門:C2=6，再確定學(xué)生選:42-2=14，所以不同的選課方案有6x14=84,選b.4例5.從5名男生和5名女生中選3人組隊(duì)參加某集體項(xiàng)目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊(duì)方案數(shù)為A.100 B.110 C.120 D.180【解析】試題分析：10人中任選3人的組隊(duì)方案有C3=120,10沒有女生的方案有C3=10,5所以符合要求的組隊(duì)方案數(shù)為110種例6.某教師一天上3個(gè)班級(jí)的課，每班上1節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)，下午4節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課（第5節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位教師一天的課表的所有不同排法有（）A.474種 B.77種 C.462種 D.79種【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于某教師一天上3個(gè)班級(jí)的課，每班一節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)、下午4節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課（第5和第6節(jié)不算連上），所有的上課方法有A3,那么連著上3節(jié)課的9情況有5A3種，則利用間接法可知所求的方法有A3-5A3=474，故答案為A.3 9 3例7.從甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中選派三人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)不同工作，若其中乙和丙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這三項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有（）A.36種 B.12種 C.18種 D.24種【解析】利用分類加法原理，對(duì)所選的3人中分三種情況

乙和丙有2人對(duì)兩個(gè)人進(jìn)行排列’第三項(xiàng)工乍再?gòu)某讼碌?人中選1人即A22C3；乙和丙有1人，則有2種情況，這個(gè)人可以從兩項(xiàng)工作中任取一項(xiàng)有2種情況，則乘下的兩項(xiàng)工作由3個(gè)人乙和丙都沒有’三項(xiàng)工乍就由其他3個(gè)人來(lái)進(jìn)行排列’即A；；.?.N=A2C1+2-2-A2+A3=3623 33故選：A例8．某教育局公開招聘了4名數(shù)學(xué)老師，其中2名是剛畢業(yè)的“新教師”，另2名是有了一段教學(xué)時(shí)間的“老教師”，現(xiàn)隨機(jī)分配到A、B兩個(gè)學(xué)校任教，每個(gè)學(xué)校2名，其中分配給學(xué)校A恰有1名“新教師”和1名“老教師”教師”的概率是（）111A?—B?-c.—432【解析】D．21分配給學(xué)校a兩個(gè)“新教師”與兩個(gè)“老教師”的概率之和為c=3-4故分配給學(xué)校a恰有1名“新教師”和1名“老教師”的概率是1-3二3.故選：D例9．某校教師迎春晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成，為考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下要求，節(jié)目甲不排在第一位和最后一位，節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校迎春晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有（）A．112種 B．120種 C．144種 D．180種【解析】利用間接法求解，先考慮將丙、丁排在一起，將這兩個(gè)節(jié)目進(jìn)行捆綁，形成一個(gè)大元素，共有A2A5=24025種.若甲排在第一位和最后一位，且丙、丁排在一起，將這兩個(gè)節(jié)目進(jìn)行捆綁，形成一個(gè)大元素，此時(shí)，排法種數(shù)為CiA2A4=9622 4綜上所述，符合條件的排法種數(shù)為240-96=144（種）.故選：C.例10．某公園新購(gòu)進(jìn)3盆錦紫蘇、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，現(xiàn)將這6盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊，任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共（）種A．96 B．120 C．48 D．72【解析】使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有A3種，3然后將3盆錦紫蘇放入到4個(gè)位置中有A3種，4根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有A3A3，扣除郁金香在兩邊，34排2盆虞美人、1盆郁金香有2A2種，2再將3盆錦紫蘇放入到3個(gè)位置中有A3，3根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有2A2A3，23所以共有A3A3—2A2A3=120種3 4 2 3故選:B.例11．2019年4月23日中國(guó)人民海軍建軍70周年.為展現(xiàn)人民海軍70年來(lái)的輝煌歷程和取得的巨大成就，我國(guó)在山東青島及附近?？张e行盛大的閱兵儀式.我國(guó)第一艘航空母艦“遼寧艦”作戰(zhàn)群將參加軍演，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅(qū)逐艦和3艘護(hù)衛(wèi)艦分列左右，每側(cè)3艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法種數(shù)為（）A．1296 B．648 C．324 D．72【解析】由題意可得：2艘攻擊型核潛艇一前一后，有A2種方法排列，26艘艦艇的任意排列，有A6種方法排列，66艘艦艇每側(cè)3艘且同側(cè)是同種艦艇，有A3A3X2種方法排列，336艘艦艇每側(cè)3艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，有A6—A3A3x2種方法排列，6 3 3艦艇分配方案的方法種數(shù)有：A2S-A3A3x2）=2x（720-72）=12962 6 3 3故選：A例12．現(xiàn)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”平臺(tái)設(shè)有“閱讀文章”、“視聽學(xué)習(xí)”等多個(gè)欄目在某時(shí)段時(shí)，更新了2篇文章和4個(gè)視頻，一位學(xué)習(xí)者準(zhǔn)備學(xué)習(xí)這2篇文章和其中2個(gè)視頻，則這2篇文章學(xué)習(xí)順序不相鄰的學(xué)法有（）種.A．24 B．36 C．72 D．144【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：，在4個(gè)視頻中任選2個(gè)進(jìn)行學(xué)習(xí)，有C2=6種情況，4，將選出的2個(gè)視頻與2篇文章依次進(jìn)行學(xué)習(xí)，共有A4=24種情況，其中2篇文章學(xué)習(xí)順序相鄰的情況4有A2A3=12種情況，故2篇文章學(xué)習(xí)順序不相鄰的情況有12種，23則這2篇文章學(xué)習(xí)順序不相鄰的學(xué)法有6xl2=72種；故選：C例13．在報(bào)名的3名男教師和6名女教師中，選取5人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為（）A．60 B．75 C．105 D．120【解析】試題分析：由題可從反面處理，即從選法中減去全是女生的選法，則可得有；C5-C5=126一6=120種選法.96例14.某部門在一周的7天內(nèi)給3名實(shí)習(xí)生每人安排1天的工作，若每天最多安排一名實(shí)習(xí)生，且這3名實(shí)習(xí)生不能安排在連續(xù)的3天，則不同的安排方案的種數(shù)為（）.A.30 B.120C.180D.210【解析】由題意，將3名實(shí)習(xí)生隨機(jī)安排在一周的7天內(nèi)，共有A3種安排方案，7將3名實(shí)習(xí)生安排在連續(xù)的3天的安排方案有5A3種，3所以滿足題意的不同安排方案有A3-5A3=180（種）.73故選：C.例15．我省某醫(yī)院呼吸科要從2名男醫(yī)生，3名女醫(yī)生中選派3人支持湖北省參加疫情防控工作，若這3人中至少有1名男醫(yī)生，則選派方案有（.A．60種 B．12種 C．10種 D．9種解析】根據(jù)題意，有2名男醫(yī)生，3名女醫(yī)生，共5名醫(yī)生中選派3人，有C3=10種選法，5其中沒有男醫(yī)生，即全部為女醫(yī)生的選法有C3=1種，3則有10-1=9種不同的選法；故選：D.例16．有13名醫(yī)生，其中女醫(yī)生6人，現(xiàn)從中抽調(diào)5名醫(yī)生組成醫(yī)療小組前往湖北疫區(qū)，若醫(yī)療小組至少有2名男醫(yī)生，同時(shí)至多有3名女醫(yī)生，設(shè)不同的選派方法種數(shù)為N,則下列等式能成為N的算式是（）.A. C5—C1C4； B. C2C3+C3C2 +C4C1 +C5；13 76 76 76 76 7C. C5—C1C4—C5； D. C2C3；13 76 6 711【解析】解：13名醫(yī)生，其中女醫(yī)生6人，男醫(yī)生7人.利用直接法，2男3女：C2C3；3男2女：C3C2；4男1女：CQ；5男:C5，所以N=C2C3+C3C2+C4C+C5；76767677676767利用間接法：13名醫(yī)生，任取5人，減去4、5名女醫(yī)生的情況，即N=C5—C1C4—C5；TOC\o"1-5"\h\z13 7 6 6所以能成為N的算式是BC.故選：BC.例17.在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件不合格品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，貝H ）抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有A】C2種298抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有00+00種298 2 98抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有OC2+C2C1種2 98 2 98抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C3—C3種100 98【解析】由題意知，抽出的三件產(chǎn)品恰好有一件不合格品,則包括一件不合格品和兩件合格品,共有A1C2種結(jié)果，則選項(xiàng)A正確，B不正確；298根據(jù)題意,"至少有1件不合格品"可分為"有1件不合格品"與"有2件不合格品"兩種情況,

"有1件不合格品"的抽取方法有C1C2種，298"有2不合格次品"的抽取方法有C2C1種，298則共有C1C2+C2O種不同的抽取方法，選項(xiàng)C正確；298298"至少有1件不合格品"的對(duì)立事件是"三件都是合格品""三件都是合格品"的抽取方法有C：8種,抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C3-C3，選項(xiàng)D正確；100 98故選：ACD.例18．新型冠狀病毒疫情期間，5位黨員需要被安排到3個(gè)不同的路口執(zhí)勤，每個(gè)路口至少安排一人，其中黨員甲和乙不能被安排到同一個(gè)路口，那么總共有種不同安排方法．（用數(shù)字作答）中黨員甲和乙不能被安排到同一個(gè)路口，那么總共有種不同安排方法．（用數(shù)字作答）解析】先考慮沒有限制條件下的排法種數(shù)，將5人分為三組，三組的人數(shù)分別為3、1、1或2、2、1，此時(shí)，所（有的排法種數(shù)為C（有的排法種數(shù)為C3+-C2C2)-Y_35 A2 ‘2A3二1503其次考慮甲、乙兩人安排在同一路口時(shí)的排法種數(shù)，此時(shí)有（C3+c；）A;=36種排法.綜上所述，共有150-36=114種.故答案為：114.例19．某單位擬安排6位員工在今年6月14號(hào)至16號(hào)（某節(jié)假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位員工中的甲不值16號(hào)，乙不值14號(hào)，則不同的安排方法共有 種.【解析】解：根據(jù)題意，不同的安排方法的數(shù)目為：所有排法減去甲值16號(hào)或乙值14號(hào)的排法數(shù)，再加上甲值16號(hào)且乙值14號(hào)的排法，即c2C2—2XC1C2+C1C1=42,6 4 5 4 4 3故答案為：42．例20．從數(shù)字0，1，2，3，4，5，6中任取3個(gè)，這3個(gè)數(shù)的乘積為偶數(shù)時(shí)的不同取法共有 種（用數(shù)字作答）.【解析】從數(shù)字0,1,2,3,4,5,6中任取3個(gè)，共有C3=35，乘積為奇數(shù)只有1,3,5—種情況7故這3個(gè)數(shù)的乘積為偶數(shù)時(shí)的不同取法共有34種.故答案為：34例21．中國(guó)有十二生肖,又叫十二屬相,是以十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)形象化代表人的出生年份,現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè),三位屬相不同的小朋友依次每人選一個(gè),則三位小朋友都不選和自己屬相相同的吉祥物的選法有 種．【解析】解：三位小朋友選擇的總情況共有A3=12x11x10=1320(種).12三人都選與自己屬相相同的吉祥物，有1種選法；三人中有二人選與自己屬相相同的吉祥物，選法共有9C2=27(種)；3三人中有一人選與自己屬相相同的吉祥物，選法有C3(io+9x9)=273(種)，所以三位小朋友都不選和自己屬相相同的吉祥物的選法有1320-(1+27+273)=1019(種).故答案為：1019例22．從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面,可作 個(gè)不同的平面,從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)點(diǎn)作一