線性代數(shù)及其作用-1 -4行列式定義

行列式Determinant故本課件中行列式一般用大寫字母D表示?！靶辛惺健币辉~的英文是determinant，D第四節(jié)行列式內(nèi)容提要 一、二階與三階行列式 二、排列及其逆序數(shù) 三、

n

階行列式的定義 四、

行列式的性質(zhì)和計算 五、

方陣取行列式

行列式的概念.行列式是線性代數(shù)的一種工具！學(xué)習(xí)行列式主要就是要能計算行列式的值.行列式的計算.一、二階與三階行列式我們從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探求其求解公式，并設(shè)法化簡此公式.（一）二元線性方程組與二階行列式二元線性方程組由消元法，得當(dāng)時，該方程組有唯一解求解公式為二元線性方程組

請觀察，此公式有何特點？分母相同，由方程組的四個系數(shù)確定.分子、分母都是四個數(shù)分成兩對相乘再相減而得.其求解公式為二元線性方程組我們引進新的符號來表示“四個數(shù)分成兩對相乘再相減”.記號數(shù)表表達式稱為由該數(shù)表所確定的二階行列式，即其中，稱為元素.i為行標(biāo)，表明元素位于第i行；j為列標(biāo)，表明元素位于第j

列.二階行列式的計算主對角線副對角線即：主對角線上兩元素之積－副對角線上兩元素之積——對角線法則二元線性方程組若令(方程組的系數(shù)行列式)則上述二元線性方程組的解可表示為例1求解二元線性方程組解因為所以（二）三階行列式定義

設(shè)有9個數(shù)排成3行3列的數(shù)表引進記號稱為三階行列式.主對角線副對角線三階行列式的計算——對角線法則注意：對角線法則只適用于二階與三階行列式.實線上的三個元素的乘積冠正號，虛線上的三個元素的乘積冠負號.例2

計算行列式解按對角線法則，有方程左端解由得例3

求解方程練習(xí)：計算行列式

二、全排列及其逆序數(shù)引例用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解123123百位3種放法十位1231個位1232種放法1種放法種放法.共有問題把n個不同的元素排成一列，共有多少種不同的排法？定義把n個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列.n個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn表示.顯然即n個不同的元素一共有n!種不同的排法.所有6種不同的排法中，只有一種排法（123）中的數(shù)字是按從小到大的自然順序排列的，而其他排列中都有大的數(shù)排在小的數(shù)之前.因此大部分的排列都不是“順序”，而是“逆序”.

3個不同的元素一共有3!=6種不同的排法123，132，213，231，312，321對于n個不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序.n個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.定義

當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時，就稱這兩個元素組成一個逆序.例如在排列32514中，32514逆序逆序逆序思考題：還能找到其它逆序嗎？答：2和1，3和1也構(gòu)成逆序.定義排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).排列的逆序數(shù)通常記為.奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列.偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列.思考題：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？答：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列（例如：123）的逆序數(shù)等于零，因而是偶排列.計算排列的逆序數(shù)的方法則此排列的逆序數(shù)為設(shè)是1,2,…,n這n個自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.先看有多少個比大的數(shù)排在前面，記為；再看有多少個比大的數(shù)排在前面，記為;……最后看有多少個比大的數(shù)排在前面，記為;例1：求排列32514的逆序數(shù).解：練習(xí)：求排列453162的逆序數(shù).解：三、N階行列式的定義（一）概念的引入規(guī)律：三階行列式共有6項，即3!項．每一項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積．每一項可以寫成（正負號除外），其中是1、2、3的某個排列.當(dāng)是偶排列時，對應(yīng)的項取正號；當(dāng)是奇排列時，對應(yīng)的項取負號.所以，三階行列式可以寫成

其中表示對1、2、3的所有排列求和.二階行列式有類似規(guī)律.下面將行列式推廣到一般的情形.（二）n階行列式的定義

n

階行列式共有

n!項．每一項都是位于不同行不同列的

n

個元素的乘積．每一項可以寫成（正負號除外），其中是1,2,…,n的某個排列.當(dāng)是偶排列時，對應(yīng)的項取正號；當(dāng)是奇排列時，對應(yīng)的項取負號.簡記作，其中為行列式D的(i,j)元思考題：成立嗎？答：符號可以有兩種理解：若理解成絕對值，則；若理解成一階行列式，則.注意：當(dāng)n=1時，一階行列式|a|=a，注意不要與絕對值的記號相混淆.例如：一階行列式.例：寫出四階行列式中含有因子的項.例：計算行列式解：和解：其中四個結(jié)論：(1)對角行列式(2)(3)上三角形行列式（主對角線下側(cè)元素都為0）(4)下三角形行列式（主對角線上側(cè)元素都為0）思考題：用定義計算行列式解：用樹圖分析-1133123-1-2-2-1故11302300210