青島版八年級數(shù)學下冊第7章實數(shù)

7.1算術平方根第7章實數(shù)往事知多少?你還知道11—19的平方分別等于多少嗎？像正數(shù)32=9,把正數(shù)3叫做9的算術平方根.像正數(shù)22=4,把正數(shù)2叫做4的算術平方根.像正數(shù)42=16,把正數(shù)4叫做16的算術平方根.

像正數(shù)x2=a,把正數(shù)x叫做a的算術平方根.定義：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a（x2=a），那么這個正數(shù)x就叫做a的算術平方根.a的算術平方根記作讀作“根號a”根號被開方數(shù)規(guī)定：0的算術平方根等于0例1、

求下列各數(shù)的算術平方根：

(1)100（2）（3）169

練1、

求下列各數(shù)的算術平方根：

(1)36(2)0（3）1

(4)

試一試

1、a可以取任何數(shù)嗎？2、a是什么數(shù)？（1）被開方數(shù)a是非負數(shù)，即（2）a是非負數(shù)，即

在中算術平方根具有雙重非負性算術平方根的性質1、算術平方根具有雙重非負性2、一個非負數(shù)的算術平方根的平方等于它本身：本節(jié)課你有什么收獲?1、了解了算術平方根的概念2、能利用正方形的面積與邊長的關系求正數(shù)的算術方根并會用符號表示;注意：1、根號a（a≥0）表示數(shù)a的算術平方根2、根號a有意義的條件是a≥0，無意義的條件是a＜03、0的是算術平方根0，負數(shù)沒有算術平方根

7.2勾股定理國際數(shù)學家大會是最高水平的全球性數(shù)學科學學術會議．2002年在北京召開了第24屆國際數(shù)學家大會．如圖就是大會的會徽的圖案．你見過這個圖案嗎？它由哪些基本圖形組成？畢達哥拉斯(公元前572----前492年),古希臘著名的哲學家、數(shù)學家、天文學家。相傳有一次他在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了A、B、C三者面積之間的數(shù)量關系，進而發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊的某種數(shù)量關系．ABC每塊磚都是等腰直角三角形哦追問由這三個正方形A，B，C的邊長構成的等腰直角三角形三條邊長度之間有怎樣的特殊關系？問題1、三個正方形A，B，C

的面積有什么關系？A

B

C

SA+SB=SC追問正方形A、B、C

所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關系？問題2在網格中的一般的直角三角形，以它的三邊為邊長的三個正方形A、B、C

是否也有類似的面積關系？A

B

C

猜想：

如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．問題3通過前面的探究活動，猜一猜，直角三角形三邊之間應該有什么關系？感受數(shù)學文化這個圖案是公元3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．趙爽根據(jù)此圖指出：四個全等的直角三角形（紅色）可以如圖圍成一個大正方形，中間的部分是一個小正方形（黃色）．勾股定理在數(shù)學發(fā)展中起到了重大的作用，其證明方法據(jù)說有400多種，有興趣的同學可以繼續(xù)研究，或到網上查閱勾股定理的相關資料．cba（b-a）2

黃實朱實命題1：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b,斜邊長為c，那么a2+b2=c2.

以直角三角形的兩條直角邊a、b為邊作兩個正方形，把兩個正方形如圖（左）連在一起，通過剪、拼把它拼成如圖（右）的樣子。你能做到嗎？試試看。cbaba練習1求圖中字母所代表的正方形的面積．A

A

A

Ｂ2251448024178練習2求下列直角三角形中未知邊的長度．ABC46x

CBA510x

通過這種方法，可以把一個正方形的面積分成若干個小正方形的面積的和，不斷地分下去，就可以得到一棵美麗的勾股樹．1、如圖，所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的邊長分別是12，16，9，12．求最大的正方形E的面積．ABCDEFGKH解：如圖，正方形A，B，C，D的邊長分別是12，16，9，12.設直角三角形H的斜邊長為c.由勾股定理知，122+162=c2.解得c=20，即正方形F的邊長為20.同理可得，正方形G的邊長為15.故直角三角形K的兩直角邊長分別為20，15.設它的斜邊長為c'.由勾股定理知，202+152=(c')2.解得c'=25.所以正方形E的邊長為25，S正方形E=25×25=625.2如圖，郵票圖案的三個正方形小方格中間是一個直角三角形，如果1個小方格為1個單位面積，那么直角三角形的兩直角邊長分別是____和____，斜邊長是____；三個正方形的面積分別是_____、_____和____.43516925（1）勾股定理的內容是什么？它有什么作用？（2）在探究勾股定理的過程中，我們經歷了怎樣的探究過程？7.3是有理數(shù)嗎？

整數(shù)正整數(shù)：如：1，2，3，…零：0負整數(shù)：如-1，-2，-3，…分數(shù)正分數(shù)：如,,5.2,…負分數(shù)如，，-3.5,…有理數(shù)什么叫有理數(shù)？3.除了有理數(shù)外還有沒有其他的數(shù)呢？任何一個有理數(shù)都能用分數(shù)表示.有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)都可化為分數(shù)，都是有理數(shù)。它是有理數(shù)嗎？

越來越大，所以不可能是整數(shù)

顯然不是整數(shù)，那它可能是分數(shù)嗎?既不是整數(shù)，也不是分數(shù)，所以它不是有理數(shù)。議一議探究有多大呢？…………它的小數(shù)位數(shù)是無限的，而且是不循環(huán)的，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。=1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212644121497099935831413222665927505592755799950501152782060571470109559971605970274534596862014728517418640889198609552329230484308714321450839762603......你還能再舉出幾個這樣的數(shù)嗎？任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù).像0.585885888588885…，1.41421356…，2.2360679…0.101001000100001…等這些數(shù)的小數(shù)位數(shù)都是無限的,而且是不循環(huán)的,是無限不循環(huán)小數(shù).（圓周率π=3.14159265…也是一個無限不循環(huán)小數(shù),故π是無理數(shù)，像上面提到的等都是無理數(shù))無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。例：判斷下列數(shù)哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？

有理數(shù)是：無理數(shù)是：,,

,,總結常見無理數(shù)的三種表示形式：①開方開不盡的數(shù)，如：……②與圓周率有關的數(shù)，如：-π，π/2,-

π/3

③特殊形式的，有一定的規(guī)律，但不循環(huán)的無限小數(shù)，如：2.1010010001……，-0.2343343334……幾個常用的近似值：小結：談談你這節(jié)課的收獲7.4勾股定理的逆定理勾股定理如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．題設（條件）：直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c．結論：a2+b2=c2．問題回憶勾股定理的內容．形數(shù)學習目標：

1．理解勾股定理的逆定理，經歷“觀察－測量－猜想－論證”的定理探究的過程，體會用“構造法”證明數(shù)學命題的基本思想；

2．了解逆命題的概念，知道原命題為真命題，它的逆命題不一定為真命題．學習重點：探索并證明勾股定理的逆定理.逆向思考提出問題

思考如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是否是直角三角形？

據(jù)說，古埃及人曾用下面的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13

個結，然后以3

個結間距、4

個結間距、5

個結間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角．你認為結論正確嗎？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）如果三角形的三邊長分別為3，4，5，這些數(shù)滿足關系：32+42=52，那么圍成的三角形是直角三角形．

實驗操作：

（1）畫一畫：下列各組數(shù)中的兩個數(shù)的平方和等于第三數(shù)的平方，分別以這些數(shù)為邊長畫出三角形（單位：cm），它們是直角三角形嗎？①2.5，6，6.5；②6，8，10．（2）量一量：用量角器分別測量上述各三角形的最大角的度數(shù)．（3）想一想：請判斷這些三角形的形狀，并提出猜想．A1

B1

C1

已知：如圖，△ABC的三邊長a，b，c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．？三角形全等∠C是直角△ABC是直角三角形A

B

C

abca作用：判斷當一個三角形的三邊長滿足什么條件時，該三角形為直角三角形．

定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．例1、判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=17，c=8；（2）a=13，b=15，c=14；（3）a=

，b=4，c=5．分析：根據(jù)勾股定理及其逆定理判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方．

解：（1）∵152+82=225+64=289，

172=289，∴152+82=172.∴以15，8，17為邊長的三角形是直角三角形．像15，17，8這樣，能構成一個直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．

兩個命題的題設與結論正好相反，像這樣的兩個命題叫做互逆命題．如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題．

勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．說出下列命題的逆命題．這些命題的逆命題是真命題嗎？（1）兩條直線平行，內錯角相等；逆命題：內錯角相等，兩直線平行．真命題．（2）對頂角相等；逆命題：相等的角是對頂角．假命題．（3）線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．

逆命題：到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上．真命題．任何一個命題都有逆命題；原命題是真命題，其逆命題不一定是真命題．（1）勾股定理的逆定理的內容是什么？它有什么作用？（2）本節(jié)課我們學習了原命題，逆命題等知識，你能說出它們之間的關系嗎？（3）在探究勾股定理的逆定理的過程中，我們經歷了哪些過程？7.5平方根1、什么叫算術平方根？

課前回顧：?1.了解平方根和開平方的定義、會用符號表示數(shù)的平方根

。2.會求一個數(shù)的平方根.3.經歷從平方運算到求平方根的演變過程，體會兩者的互逆關系，發(fā)展思維能力。學習目標

說出下列各數(shù)的平方根:9

(2)0.25

(3)

0探究活動一1、說出平方根的定義，并舉例說明。如果一個數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么x叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.的平方根為±3的平方根為±0.5的平方根為02、平方根的符號語言a的平方根記作：讀做“正、負根號a”3、平方根與算術平方根區(qū)別與聯(lián)系定義個數(shù)符號開平方運算與平方運算的關系平方與開平方互逆運算.開平方的定義:求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方.

觀察前面（2），你有什么發(fā)現(xiàn)？

歸納平方根的性質：探究活動二探究活動三一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個平方根，是它本身；負數(shù)沒有平方根。①平方根、開平方的的定義及平方根的表示方法；②平方根的性質：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，0的平方根是0，負數(shù)沒有平方根；③求一個數(shù)的平方根，開平方和平方互為逆運算。課堂小結通過本節(jié)課的學習,你有哪些收獲？還有哪些困惑？請談談你的感受7.6立方根【學習目標】1．了解立方根的概念，能夠用根號表示一個數(shù)的立方根；2．能用類比平方根的方法學習立方根及開立方運算，并區(qū)分立方根與平方根的不同．【重點】立方根的概念和求法?！倦y點】

立方根與平方根的區(qū)別1.什么叫做a的立方根？用式子如何描述a的立方根？

如果一個數(shù)的立方等于a，這個數(shù)就叫做a的

立方根

.（或

三次方根）.換句話說,如果一個數(shù)x的立方根等于a，那么x叫做a的立方根或三次方根.

記作：

.讀作“

三次根號a

”，其中a是被開方數(shù)，3是

根指數(shù)

，且根指數(shù)3

不能

省略（填能或不能），否則與平方根混淆.2.什么叫開立方？它與立方有何關系？

①立方根的概念、性質.方法歸納根據(jù)乘方與開方的互逆關系求一個數(shù)的立方根。

②立方根與平方根有什么異同？（從定義，根的個數(shù)，表示方法及被開方數(shù)的取值范圍方面來考慮。）7.7用計算器求平方根和立方根議一議利用平方與開平方、立方與開立方互逆運算關系，求一個數(shù)的平方根和立方根。算術平方根立方根用計算器求算術平方根和立方根.1、用計算器求下列各數(shù)的算術平方根。探索新知

用計算器進行運算時，按鍵順序可能有所不同，使用計算器前應先認真閱讀說明書。（1）121；

（2）529；

（3）26解答：

(1)依次按鍵、、、、，顯示11，所以。(2)依次按鍵、、、、，顯示23，所以。

(3)依次按鍵、、，顯示5.099019514，所以。（1）1331；（2）－343；（3）9.2632、用計算器求下列各數(shù)的立方根。

（1）依次鍵入、、、、、，顯示為11，所以。

（2）依次鍵入

、

、、

、、，顯示為－7，所以。（3）依次鍵入

、

、、、、、，顯示為2.100151161，所以

。解答：嘗試反饋，熟練新知1、利用計算器求下列各式的值。（1）；（2）

（1）依次按鍵、、、、，顯示結果為17，即=17。

（2）依次按鍵

、、、、、，顯示結果為0.648074069，即=0.648074069。解答解答

（2）依次鍵入、、、、、、

，顯示0.843432665，即

。2、利用計算器求下列各式的值。（1）（2）3－47.2求的值，輸入時，不要漏按括號。點撥

（1）依次鍵入