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文檔簡介

線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中國人民大學(xué)出版社第三章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié)求導(dǎo)法則第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第四節(jié)隱函數(shù)與參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)第五節(jié)微分第六節(jié)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟上應(yīng)用

一、速度與切線二、導(dǎo)數(shù)的概念三、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)變化率與邊際模型第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念問題導(dǎo)言——微分學(xué)產(chǎn)生的歷史背景

十七世紀人類創(chuàng)建了微積分.微積分的創(chuàng)建是人類精神的最高勝利.它對自然科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠影響.

在此期間,在自然科學(xué)領(lǐng)域發(fā)生了幾件重大事件:

★1608年望遠鏡的發(fā)明,引起了天文學(xué)研究的高潮,推動了光學(xué)研究的發(fā)展.

★1619年開普勒經(jīng)過觀測研究,提出了行星運動三大定律,引起了全世界的關(guān)注.

在此階段,人們提出了一系列與物體運動速度、加速度,曲線的切線相關(guān)聯(lián)的問題.

這些問題將其概括為兩類:

(1)變速直線運動物體的瞬時速度問題.(2)平面曲線的切線問題.★1638年伽利略建立了自由落體定律與動量守恒定律的數(shù)學(xué)表達式,激起人們用數(shù)學(xué)求解問題的熱情.

這兩類問題盡管內(nèi)容和提法不同,但從思想方法上看都有一個共同的特征就是研究變量的變化程度及其相互關(guān)系.研究的代表人物是科學(xué)大師牛頓與萊布尼茨.一、速度與切線

例設(shè)物體作自由落體運動,其運動方程為.其中s表示位移,t表示時間.求時刻的瞬時速度

分析對瞬時速度的理解

速度:用來描述物體運動快慢的物理量稱為速度.這里的速度是與時間間隔相關(guān)聯(lián)的,它是距離與時間之比,它反映的是該段時間間隔內(nèi)的平均速度.即

瞬時速度:物體運動中某一時刻的速度.在此無時間間隔、無法運動、無法體現(xiàn)速度,構(gòu)成矛盾體.為了確定瞬時速度就要給出數(shù)學(xué)上瞬時速度的定義.問題解決的思想方法:欲求瞬時速度平均速度(當很小時)其平均速度為問題的求解過程:當時間很小時,在此越小,

越接近v,當小得不能再小時

當時間在取得增量時,位移有增量數(shù)據(jù)觀察:時隨的變化情況9.319.7519.79519.799519.799951[0.9,1][0.99,1][0.999,1][0.9999,1][0.99999,1]-0.1-0.01-0.001-0.0001-0.0000110.299.8499.80499.800499.800049[1,1.1][1,1.01][1,1.001][1,1.0001][1,1.00001]0.10.010.0010.00010.00001時間區(qū)間時間區(qū)間由極限概念知,瞬時速度為平均速度的極限

設(shè)物體作變速直線運動,其運動方程為s=s(t).其中s表示位移,t表示時間.求時刻的瞬時速度則在t0到這段時間內(nèi)的平均速度為

當時間在取得增量時,則在到的時間段內(nèi),位移有增量1.變速直線運動的瞬時速度當越小時,平均速度將越接近瞬時速度,當無限趨近于零時,平均速度也將無限趨近瞬時速度.為此,瞬時速度為平均速度當時的極限,即

在此,平均速度稱為位移s在t0到時間段內(nèi)的平均變化率,而瞬時速度則稱為位移s在時間t=t0的(瞬時)變化率.變速直線運動的速度概括以勻代變,運用極限實現(xiàn)勻與變的轉(zhuǎn)化.思想方法變速直線運動自由落體運動

瞬時速度

平均速度

方程2.平面曲線的切線斜率

圓的切線:與圓只有一個接觸點的直線稱為圓的切線.

對于一般曲線而言與曲線只有一個接觸點的直線未必為曲線的切線.

萊布尼茨曾把曲線的切線定義為連接曲線上無限接近的兩點的直線.M附近另取C上一點N,作割線MN.

割線的極限位置MT是指:當點N沿曲線C趨于M時,弦長,且夾角∠MCTN切線的定義:設(shè)有平面曲線C及C上一點M,當點N沿曲線C趨于M時,如果割線MN直線MT就稱為曲繞點M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位在點置MT.線C在點M處的切線.平面曲線的切線斜率M

為曲線上一點,N為M附近當時,割線斜率的極限值就是切線的斜率.T

MNx0x0+xyOxLxyy=f(x)割線斜率為設(shè)平面曲線y=f(x),一點,作割線M

N.瞬時速度與曲線的切線斜率對比概括運用極限實現(xiàn)勻與變、直與曲的轉(zhuǎn)化.瞬時速度切線斜率平均變化率與變化率結(jié)構(gòu)特征二、導(dǎo)數(shù)的概念

定義設(shè)y=f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義,屬于該鄰域,記若極限即存在,則稱其極限值為y=f(x)在點x0

處導(dǎo)數(shù),記為或記為即即函數(shù)在x0的導(dǎo)數(shù)值等于其導(dǎo)函數(shù)在x0的函數(shù)值.

定義設(shè)y=f(x)在(a,b)內(nèi)每個點都可導(dǎo),則稱為y=f(x)在(a,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù),簡稱導(dǎo)數(shù).或記為給定點的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間關(guān)系說明:導(dǎo)數(shù)也可表示為y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).若

,則稱

若在點M處函數(shù)可導(dǎo)則其切線方程為導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點M(x0,f(x0))處的切線斜率.T

MNx0x0+xyOxLxyy=f(x)單側(cè)導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)或

定理函數(shù)y=f(x)在x=x0可導(dǎo)的充分必要條件是y=f(x)在x=x0

的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等.

例討論函數(shù)

在x=0處的可導(dǎo)性.解所以y=f(x)在x=0可導(dǎo),且三、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系設(shè)f(x)在x=x0可導(dǎo),即此時即有則由極限定理知所以,若f(x)在x=x0處可導(dǎo),則f(x)在x=x0

處連續(xù).反之,若f(x)在x=x0處連續(xù),則f(x)在x=x0處不一定可導(dǎo).例討論f(x)=|x|在點x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.因此f(x)=|x|在x=0連續(xù).因此f(x)=|x|在點x=0處不可導(dǎo).解所以解因此在點x=0處連續(xù),但因此在點x=0處不可導(dǎo).(極限不存在).綜上所述,若y=f(x)在點x0處可導(dǎo),則y=f(x)在點x0

處連續(xù),反之不然.例討論f(x)=在點x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.連續(xù)關(guān)系概念導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù);連續(xù)未必可導(dǎo)連續(xù)但不可導(dǎo)函數(shù)圖形特征xyoxyoxyo四、函數(shù)變化率與邊際模型

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo),則比值表示區(qū)間長度為的區(qū)間上y對x的平均變化率.而平均變化率的極限稱為函數(shù)y=f(x)在點x處的變化率.它反映函數(shù)y=f(x)在點x處的變化快慢程度.經(jīng)濟學(xué)中的邊際問題

在經(jīng)濟學(xué)中的邊際問題就是變化率模型.設(shè)經(jīng)濟變量是可導(dǎo)的,則稱其變化率為邊際經(jīng)濟變量,亦稱邊際函數(shù).在點處的變化率稱為在點處的邊際函數(shù)值.

設(shè)某產(chǎn)品產(chǎn)量為單位時成本函數(shù)為,收益函數(shù)為,利潤函數(shù)為,則有下述邊際函數(shù).產(chǎn)量增加一個單位時所增加的利潤

邊際利潤銷量增加一個單位時所增加的收益

邊際收益產(chǎn)量增加一個單位時所增加的總成本

邊際成本經(jīng)濟含義邊際函數(shù)邊際成本、邊際收益與邊際利潤函數(shù)五、求導(dǎo)數(shù)舉例

利用定義求函數(shù)導(dǎo)數(shù)步驟:(1)求增量(2)算比值(3)求極限(4)得導(dǎo)數(shù)例

求(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)解(1)求增量(2)算比值(3)求極限所以例

求的導(dǎo)數(shù).解(1)求增量(2)算比值(3)求極限所以例

求的導(dǎo)數(shù).解所以一般地例

求的導(dǎo)數(shù)解(1)求增量(2)算比值(3)求極限所以所以解由導(dǎo)數(shù)概念得例

求的導(dǎo)數(shù)幾個常用的基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)冪函數(shù)常函數(shù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)解因為

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