2022年高考沖刺數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)）試題（上海卷）

2013年高考數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)）試題(上海卷)本試題共有23道試題，滿分150分，考試時間120分鐘一、填空題（本大題共有14題，滿分56分）直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分。1．計算：【答案】【知識點】數(shù)列的極限【解析】根據(jù)極限運(yùn)算法則，．2．設(shè)，是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則【答案】-2【知識點】復(fù)數(shù)的基本概念【解析】依題意得3．若，則【答案】0【知識點】二階行列式的定義【解析】4．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對應(yīng)邊分別為a、b、c，若，則角C的大小是_______________（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【答案】【知識點】余弦定理【解析】，故．【關(guān)鍵字】：高考真題金考卷新高考5年真題匯編2013年上海卷數(shù)學(xué)試題余弦定理5．設(shè)常數(shù)，若的二項展開式中項的系數(shù)為，則【答案】-2【知識點】二次式系數(shù)的性質(zhì)【解析】，故．6．方程的實數(shù)解為________【答案】【知識點】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用函數(shù)的零點【解析】原方程整理后變?yōu)?．在極坐標(biāo)系中，曲線與的公共點到極點的距離為______【答案】【知識點】點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；兩點間的距離公式【解析】聯(lián)立方程組得，又，故所求為．8．盒子中裝有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九個球，從中任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是___________（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）【答案】【知識點】古曲概型及其概率計算公式【解析】9個數(shù)5個奇數(shù)，4個偶數(shù)，根據(jù)題意所求概率為9．設(shè)AB是橢圓的長軸，點C在上，且，若AB=4，，則的兩個焦點之間的距離為________【答案】【知識點】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡單性質(zhì)【解析】不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，于是可算得，得．10．設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列的公差，隨機(jī)變量等可能地取值，則方差【答案】【知識點】方差與標(biāo)準(zhǔn)差【解析】，11．若，則【答案】【知識點】三角函數(shù)的和差化積公式；兩角和與差的余弦函數(shù)【解析】，，故．12．設(shè)為實常數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若對一切成立，則的取值范圍為________【答案】【知識點】函數(shù)的奇偶性；基本不等式【解析】，故；當(dāng)時，即，又，故．13．在平面上，將兩個半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分．記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為，過作的水平截面，所得截面面積為，試?yán)米鏁溤怼⒁粋€平放的圓柱和一個長方體，得出的體積值為__________【答案】【知識點】推理計算【解析】根據(jù)提示，一個半徑為1，高為的圓柱平放，一個高為2，底面面積的長方體，這兩個幾何體與放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即的體積值為．14．對區(qū)間I上有定義的函數(shù)，記，已知定義域為的函數(shù)有反函數(shù)，且，若方程有解，則【答案】2【知識點】反函數(shù)；函數(shù)的零點【解析】根據(jù)反函數(shù)定義，當(dāng)時，；時，，而的定義域為，故當(dāng)時，的取值應(yīng)在集合，故若，只有．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）每題有且只有一個正確答案，選對得5分，否則一律得零分。15．設(shè)常數(shù)，集合，若，則的取值范圍為（）(A) (B) (C) (D)【答案】B【知識點】并集及其運(yùn)算；一元二次不等式的解法【解析】集合A討論后利用數(shù)軸可知，或，解析選項為B．16．錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（）(A)充分條件(B)必要條件(C)充分必要條件(D)既非充分也非必要條件【答案】B【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【解析】根據(jù)等價命題，便宜沒好貨，等價于，好貨不便宜，故選B．17．在數(shù)列中，，若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素，（）則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個數(shù)為（）(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】A【知識點】數(shù)列的函數(shù)特性【解析】，而，故不同數(shù)值個數(shù)為18個，選A．18．在邊長為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點，其余頂點為終點的向量分別為；以D為起點，其余頂點為終點的向量分別為.若分別為的最小值、最大值，其中,,則滿足（）.(A) (B) (C) (D)【答案】D【知識點】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；進(jìn)行簡單的合情推理【解析】作圖知，只有，其余均有，故選D．三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）解答下列各題必須寫出必要的步驟。19.（本小題滿分12分）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線BC1平行于平面DA1C，并求直線BC1【答案】【知識點】點、線、面間的距離計算；直線與平面平行的判定【解析】因為ABCD-A1B1C1D1為長方體，故，故ABC1D1為平行四邊形，故，顯然B不在平面D1AC上，于是直線BC1平行于平面DA1C； 直線BC1到平面D1AC的距離即為點B到平面D1AC的距離設(shè)為考慮三棱錐ABCD1而中，，故。所以，，即直線BC1到平面D1AC的距離為．20．（本小題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。甲廠以x 千克/小時的速度運(yùn)輸生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時可獲得利潤是元.(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤.【答案】（1）（2）時，元．【知識點】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用【解析】(1)根據(jù)題意，又，可解得(2)設(shè)利潤為元，則故時，元．21．（本小題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。已知函數(shù)，其中常數(shù)；（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）令，將函數(shù)的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖像，區(qū)間（且）滿足：在上至少含有30個零點，在所有滿足上述條件的中，求的最小值．【答案】（1）（2）【知識點】正弦函數(shù)的單調(diào)性；根的存在性及根的個數(shù)判斷；函數(shù)的圖象變換【解析】(1)因為，根據(jù)題意有(2)，或，即的零點相離間隔依次為和，故若在上至少含有30個零點，則的最小值為．22．（本小題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。如圖，已知曲線，曲線，P是平面上一點，若存在過點P的直線與都有公共點，則稱P為“C1—C2型點”．(1)在正確證明的左焦點是“C1—C2型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；(2)設(shè)直線與有公共點，求證，進(jìn)而證明原點不是“C1—C2型點”；(3)求證：圓內(nèi)的點都不是“C1—C2型點”．【答案】見解析【知識點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；點到直線的距離公式；雙曲線的簡單性質(zhì)【解析】（1）C1的左焦點為，過F的直線與C1交于，與C2交于，故C1的左焦點為“C1-C2型點”，且直線可以為；（2）直線與C2有交點，則，若方程組有解，則必須；直線與C2有交點，則，若方程組有解，則必須故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點，即原點不是“C1-C2型點”。（3）顯然過圓內(nèi)一點的直線若與曲線C1有交點，則斜率必存在；根據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點，則直線與圓內(nèi)部有交點，故化簡得，。。。。。。。。。。。。①若直線與曲線C1有交點，則化簡得，。。。。。②由①②得，但此時，因為，即①式不成立；當(dāng)時，①式也不成立綜上，直線若與圓內(nèi)有交點，則不可能同時與曲線C1和C2有交點，即圓內(nèi)的點都不是“C1-C2型點”．23．（本小題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分。給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿足.（1）若，求及；（2）求證：對任意，；（3）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.【答案】見解析【知識點】數(shù)列的函數(shù)特性；等差關(guān)