工程塑性理論主應(yīng)力法

8.4主應(yīng)力法

主應(yīng)力法作為求塑性加工問(wèn)題近似解的一種方法，在工程上得到了廣泛的應(yīng)用。該方法是以均勻變形假設(shè)為前提，將偏微分應(yīng)力平衡方程簡(jiǎn)化為常微分應(yīng)力平衡方程，將米塞斯屈服準(zhǔn)則的二次方程簡(jiǎn)化為線性方程，最后歸結(jié)為求解一階常微分應(yīng)力平衡方程問(wèn)題，從而獲得工程上所需要的解。主應(yīng)力法的數(shù)學(xué)運(yùn)算是比較簡(jiǎn)單的，由此可以確定材料特性、變形體幾何尺寸、摩擦系數(shù)等工藝參數(shù)對(duì)變形力、變形功的影響；可確定可能的最大變形量、最小可軋厚度、鐓粗或軋制時(shí)的中性面位置等。但是，由于上述基本假設(shè)的限制，采用主應(yīng)力法無(wú)法分析變形體內(nèi)的應(yīng)力分布。

主應(yīng)力法又稱切塊法、初等解析法、力平衡法等。

8.4.1主應(yīng)力法的基本原理

（1）將問(wèn)題簡(jiǎn)化成平面問(wèn)題或軸對(duì)稱問(wèn)題，假設(shè)變形是均勻的。在平面應(yīng)變條件下，變形前的平截面在變形后仍為平截面，且與原截面平行；在軸對(duì)稱變形條件下，變形前的圓柱面在變形后仍為圓柱面，且與原圓柱面同軸。對(duì)于形狀復(fù)雜的變形體，可以根據(jù)變形體流動(dòng)規(guī)律，將其劃分成若干部分，對(duì)每一部分分別按平面問(wèn)題或軸對(duì)稱問(wèn)題進(jìn)行處理，最后“拼合”在一起，即可得到整個(gè)問(wèn)題的解。（2）根據(jù)變形體的塑性流動(dòng)規(guī)律切取單元體，單元體包含接觸表面在內(nèi)，因此，通常所切取的單元體高度等于變形區(qū)的高度，將剖切面上的正應(yīng)力假設(shè)為均勻分布的主應(yīng)力，因此，正應(yīng)力的分布只隨單一坐標(biāo)變化，由此將偏微分應(yīng)力平衡方程簡(jiǎn)化為常微分應(yīng)力平衡方程。（3）在應(yīng)用米塞斯屈服準(zhǔn)則時(shí)，忽略切應(yīng)力和摩擦切應(yīng)力的影響，將米塞斯屈服準(zhǔn)則二次方程簡(jiǎn)化為線性方程。即在主應(yīng)力法中所采用的屈服準(zhǔn)則為:

◆對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，習(xí)慣用剪切屈服強(qiáng)度k表示，即對(duì)于軸對(duì)稱問(wèn)題，習(xí)慣用屈服應(yīng)力σs表示，即（4）接觸表面上的摩擦切應(yīng)力分布采用簡(jiǎn)單的模型，例如庫(kù)侖摩擦模型和常摩擦力模型式等。

8.4.2長(zhǎng)矩形板鐓粗問(wèn)題p假設(shè)矩形板長(zhǎng)度l遠(yuǎn)大于高度h和寬度b，則可近似地認(rèn)為矩形板沿長(zhǎng)度方向的變形為零，由此可將長(zhǎng)矩形板鐓粗視為平面應(yīng)變問(wèn)題。pl（1）切切取單元元體（2）列列出單元元體的靜靜力平衡衡方程沿沿x方方向列出出單元體體的靜力力平衡方方程，即即（3）代代入摩擦擦條件假假設(shè)接接觸表面面上的摩摩擦切應(yīng)應(yīng)力服從從庫(kù)侖摩摩擦定律律，即（4）引引用屈服服準(zhǔn)則工工程上上習(xí)慣將將工具作作用在變變形體上上的單位位壓力p取為正值值。沿y方向列列平衡方方程：pldx+σyldx=0p=-σσy根據(jù)應(yīng)力力應(yīng)變順順序?qū)?yīng)應(yīng)規(guī)律εεx>εy，所以，，σx>σy，因此，，屈服準(zhǔn)準(zhǔn)則式變變?yōu)槿缦孪滦问?，，即將上式微微分，可可得dσx=-dp，（5）積積分并并確定積積分常數(shù)數(shù)根據(jù)據(jù)應(yīng)應(yīng)力力邊邊界界條條件件定定積積分分常常數(shù)數(shù)。。當(dāng)當(dāng)x=b/2時(shí)，，σσx=0，，由由屈屈服服準(zhǔn)準(zhǔn)則則式式可可知知：：（6））求求變變形形力力P變變形形力力可可由由下下式式求求出出，，即即（7））求求平平均均壓壓力力（8））變變形形功功W設(shè)矩矩形形板板變變形形前前的的高高度度為為h0、變變形形后后的的高高度度為為h1，在在變變形形的的某某一一瞬瞬時(shí)時(shí)，，矩矩形形板板高高度度為為h，在在變變形形力力P作用用下下，，高高度度發(fā)發(fā)生生變變化化dh，則則變變形形功功為為根據(jù)據(jù)體體積積不不變變條條件件，，可可得得b=V/lh，可可得得長(zhǎng)長(zhǎng)矩矩形形板板鐓鐓粗粗問(wèn)問(wèn)題題p假設(shè)設(shè)矩矩形形板板長(zhǎng)長(zhǎng)度度l遠(yuǎn)大大于于高高度度h和寬寬度度b，，則則可可近近似似地地認(rèn)認(rèn)為為矩矩形形板板沿沿長(zhǎng)長(zhǎng)度度方方向向的的變變形形為為零零，，由由此此可可將將長(zhǎng)長(zhǎng)矩矩形形板板鐓鐓粗粗視視為為平平面面應(yīng)應(yīng)變變問(wèn)問(wèn)題題。。pl（1））切切取取單單元元體體（2））列列出出單單元元體體的的靜靜力力平平衡衡方方程程沿沿x方方向向列列出出單單元元體體的的靜靜力力平平衡衡方方程程，，即即（3））代代入入摩摩擦擦條條件件假假設(shè)設(shè)接接觸觸表表面面上上的的摩摩擦擦切切應(yīng)應(yīng)力力服服從從庫(kù)庫(kù)侖侖摩摩擦擦定定律律，，即即（4））引引用用屈屈服服準(zhǔn)準(zhǔn)則則工工程程上上習(xí)習(xí)慣慣將將工工具具作作用用在在變變形形體體上上的的單單位位壓壓力力p取為為正正值值。。沿沿y方方向向列列平平衡衡方方程程：：pldx+σσyldx=0p=-σσy根據(jù)據(jù)應(yīng)應(yīng)力力應(yīng)應(yīng)變變順順序序?qū)?duì)應(yīng)應(yīng)規(guī)規(guī)律律εεx>εεy，所所以以，，σσx>σσy，因因此此，，屈屈服服準(zhǔn)準(zhǔn)則則式式變變?yōu)闉槿缛缦孪滦涡问绞剑?，即即將上上式式微微分分，，可可得得dσσx=-dp，（5））積積分分并并確確定定積積分分常常數(shù)數(shù)根據(jù)據(jù)應(yīng)應(yīng)力力邊邊界界條條件件定定積積分分常常數(shù)數(shù)。。當(dāng)當(dāng)x=b/2時(shí)，σx=0，由屈服服準(zhǔn)則式可知知：（6）求變形力力P

變形力力可由下式求求出，即（7）求平均均壓力長(zhǎng)長(zhǎng)矩形板鐓鐓粗問(wèn)題pq假設(shè)矩形板長(zhǎng)長(zhǎng)度l遠(yuǎn)大于高度h和寬度b，則則可近似地認(rèn)認(rèn)為矩形板沿沿長(zhǎng)度方向的的變形為零，，由此可將長(zhǎng)長(zhǎng)矩形板鐓粗粗視為平面應(yīng)應(yīng)變問(wèn)題。pl（1）切取單單元體（2）列出單單元體的靜力力平衡方程沿沿x方向列列出單元體的的靜力平衡方方程，即（3）代入摩摩擦條件假假設(shè)接觸表面面上的摩擦切切應(yīng)力服從庫(kù)庫(kù)侖摩擦定律律，即（4）引用屈屈服準(zhǔn)則工工程上習(xí)慣將將工具作用在在變形體上的的單位壓力p取為正值。沿沿y方向列平平衡方程：pldx+σσyldx=0p=-σσy根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變變順序?qū)?yīng)規(guī)規(guī)律εx>εy，所以，σx>σy，因此，屈服服準(zhǔn)則式變?yōu)闉槿缦滦问?，，即將上式微分，，可得dσx=-dp，（5）積分分并確定積分分常數(shù)根據(jù)應(yīng)力邊界界條件定積分分常數(shù)。當(dāng)x=b/2時(shí)，σx=-q，由屈服準(zhǔn)則則式可知：長(zhǎng)長(zhǎng)矩形板鐓鐓粗問(wèn)題pq圓圓柱體鐓粗粗問(wèn)題在均勻變形假假設(shè)條件下，，圓柱體在壓壓縮過(guò)程中，，不會(huì)出現(xiàn)鼓鼓形，因此，，圓柱體鐓粗粗屬于軸對(duì)稱稱問(wèn)題，宜采采用圓柱坐標(biāo)標(biāo)（r,θ,z）。設(shè)h為圓柱體的高高度R為半徑

σr為徑向正應(yīng)力力

σθ為子午面上的的正應(yīng)力ττf為接觸表面上上的摩擦切應(yīng)應(yīng)力。沿徑向列出單單元體的靜力力平衡方程，，即rdr假設(shè)接觸表面面上的摩擦切切應(yīng)力服從庫(kù)庫(kù)侖摩擦定律律，即根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變變順序?qū)?yīng)規(guī)規(guī)律εr>εz，所以，σr>σz，因此，屈服服準(zhǔn)則式變?yōu)闉槿缦滦问?，，即沿y方向列平平衡方程：p2πrdr+σz2πrdr=0p=-σz應(yīng)力邊界條件件為，當(dāng)r=R時(shí)，σr=0，

由屈屈服準(zhǔn)則式可可知:變形力為:平均壓力為:拉拉拔

8.4.4.1平面應(yīng)變拉拉拔（1）拉拔應(yīng)應(yīng)力沿坐標(biāo)方向列列出單元體的的靜力平衡方方程，即假設(shè)接觸表面面上的摩擦切切應(yīng)力服從庫(kù)庫(kù)侖摩擦定律律，即由圖中幾何關(guān)關(guān)系可得為了確定pn與σx之間的關(guān)系，，首先需要找找pn與σh之間的關(guān)系，，為此沿h坐標(biāo)軸方向列列出靜力平衡衡方程，即對(duì)于大多數(shù)拉拉拔過(guò)程，模模具的半錐角角α是比較小小的，并且潤(rùn)潤(rùn)滑條件也較較好，因此，，摩擦系數(shù)μμ很小，上式式中的μtanα遠(yuǎn)小于于1，可略去去。則有根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變變順序?qū)?yīng)規(guī)規(guī)律可知，εx>εh，則σx>σh，可得應(yīng)力邊界條件件為：當(dāng)h=h0時(shí)，σx=σx0，代入上式，，可得積分常常數(shù)，即模具上的壓力力分布，即當(dāng)h=h1時(shí)，σx=σx1，σx1稱為拉拔應(yīng)力力，即拉拔時(shí)的變形形量通常用面面縮率r來(lái)表表示，在平面面應(yīng)變條件下下，面縮率r可用下式來(lái)來(lái)表示，即（2）拉拔時(shí)時(shí)一道次的最最大面縮率拉拔應(yīng)力隨道道次面縮率的的增加而增大大，當(dāng)拉拔應(yīng)應(yīng)力達(dá)到拉拔拔模出口端外外部產(chǎn)品的屈屈服應(yīng)力，也也就是材料的的瞬時(shí)屈服應(yīng)應(yīng)力時(shí)，拉拔拔產(chǎn)品將產(chǎn)生生塑性變形，，其應(yīng)力和應(yīng)應(yīng)變狀態(tài)與單單向拉伸實(shí)驗(yàn)驗(yàn)完全相同，，此時(shí)拉拔過(guò)過(guò)程無(wú)法穩(wěn)定定進(jìn)行。因此此，拉拔時(shí)一一道次最大面面縮率的計(jì)算算依據(jù)是拉拔拔應(yīng)力等于拉拉拔模出口端端外部材料的的瞬時(shí)屈服應(yīng)應(yīng)力。在無(wú)摩擦條件件下，最大面面縮率為在無(wú)摩擦條件件下，當(dāng)后張張力σx0=0時(shí)，，最最大大面面縮縮率率rmax為軸軸對(duì)對(duì)稱稱拉拉拔拔（1））拉拉拔拔應(yīng)應(yīng)力力沿沿z坐坐標(biāo)標(biāo)方方向向列列出出單單元元體體的的靜靜力力平平衡衡方方程程，，即即由圖圖中中的的幾幾何何關(guān)關(guān)系系可可得得沿r坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸方方向向列列出出靜靜力力平平衡衡方方程程，，即即同平平面面應(yīng)應(yīng)變變拉拉拔拔的的情情況況一一樣樣，，對(duì)對(duì)于于大大多多數(shù)數(shù)拉拉拔拔過(guò)過(guò)程程，，模模具具的的半半錐錐角角是是比比較較小小的的，，并并且且潤(rùn)潤(rùn)滑滑條條件件也也較較好好，，因因此此，，摩摩擦擦系系數(shù)數(shù)μμ很很小小，，上上式式中中的的μμtanαα遠(yuǎn)遠(yuǎn)小小于于1，，可可略略去去，，則則有有與圓圓柱柱體體鐓鐓粗粗問(wèn)問(wèn)題題相相同同，，對(duì)對(duì)于于實(shí)實(shí)心心材材軸軸對(duì)對(duì)稱稱拉拉拔拔問(wèn)問(wèn)題題：：根據(jù)據(jù)應(yīng)應(yīng)力力應(yīng)應(yīng)變變順順序序?qū)?duì)應(yīng)應(yīng)規(guī)規(guī)律律可可知知，，εz>εr，則則σz>σr，可可得得應(yīng)力力邊邊界界條條件件為為：：當(dāng)當(dāng)D=D0時(shí)，，σz=σσz0，代代入入上上式式，，可可得得積積分分常常數(shù)數(shù)，，即即當(dāng)D=D1時(shí)，，σz=σσz1，σz1稱為為拉拉拔拔應(yīng)應(yīng)力力，，即即模具具上上的的壓壓力力分分布布：：拉拔拔時(shí)時(shí)的的變變形形量量通通常常用用面面縮縮率率r表表示示，，在在軸軸對(duì)對(duì)稱稱條條件件下下，，面面縮縮率率r用用下下式式來(lái)來(lái)表表示示，，即即（2））拉拉拔拔時(shí)時(shí)一一道道次次的的最最大大面面縮縮率率軋軋制制軋制制是是金金屬屬塑塑性性加加工工領(lǐng)領(lǐng)域域中中應(yīng)應(yīng)用用最最廣廣泛泛、、最最重重要要的的加加工工方方式式，，軋軋制制壓壓力力是是軋軋鋼鋼工工藝藝和和設(shè)設(shè)備備設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)的的基基本本參參數(shù)數(shù)之之一一。。目目前前對(duì)對(duì)于于板板帶帶軋軋制制時(shí)時(shí)的的軋軋制制壓壓力力計(jì)計(jì)算算大大多多是是在在平平面面應(yīng)應(yīng)變變條條件件下下進(jìn)進(jìn)行行的的。。事事實(shí)實(shí)上上，，對(duì)對(duì)于于板板帶帶軋軋制制，，由由于于板板材材寬寬而而薄薄，，忽忽略略寬寬展展，，將將軋軋制制過(guò)過(guò)程程假假設(shè)設(shè)為為平平面面應(yīng)應(yīng)變變問(wèn)問(wèn)題題是是比比較較準(zhǔn)準(zhǔn)確確的的。。以以平平板板間間均均勻勻鐓鐓粗粗代代替替軋軋制制過(guò)過(guò)程程將板板帶帶軋軋制制過(guò)過(guò)程程視視為為軋軋件件在在具具有有良良好好潤(rùn)潤(rùn)滑滑的的兩兩平平行行平平板板間間的的均均勻勻鐓鐓粗粗，，可可以以得得到到求求解解軋軋制制力力的的最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單公公式式。。忽忽略略寬寬展展，，將將軋軋制制過(guò)過(guò)程程視視為為平平面面應(yīng)應(yīng)變變問(wèn)問(wèn)題題，，在在寬寬度度方方向向上上取取一一個(gè)個(gè)單單位位，，設(shè)設(shè)接接觸觸弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的水水平平投投影影為為l，軋件的平均均屈服應(yīng)力為為2k，則單位寬度度上的軋制力力為式中：R—軋輥半徑；；Δh=h0-h—軋件的壓下下量。在板帶軋制時(shí)時(shí)，壓下量Δh遠(yuǎn)小于軋輥半半徑R，因此此，可以忽略略Δh的平方項(xiàng)，即即式中沒(méi)有考慮慮摩擦的影響響，由此式可可給出軋制力力的下限。根根據(jù)一些典型型軋制過(guò)程的的研究結(jié)果，，奧洛萬(wàn)認(rèn)為為，摩擦對(duì)軋軋制力的影響響大約為20%，因此，，可將修正為為顯然上式并不不是計(jì)算軋制制力的嚴(yán)密公公式，但是，，該式簡(jiǎn)單，，便于記憶，，當(dāng)需要快速速確定一個(gè)近近似的軋制力力時(shí)，采用上上式是非常方方便的。8.4.5.2卡爾曼方方程卡爾曼方程是是求解軋制壓壓力的基本微微分方程式。。假設(shè)

（a）軋件的寬寬度方向尺寸寸遠(yuǎn)大于厚度度及變形區(qū)長(zhǎng)長(zhǎng)度，因此，，寬展可忽略略不計(jì)，將軋軋制過(guò)程視為為為平面應(yīng)變變問(wèn)題。（b）軋件的的變形是均勻勻的，變形前前的垂直橫斷斷面，在變形形后仍保持為為平面。（（c）在垂直直橫斷面上沒(méi)沒(méi)有切應(yīng)力作作用，水平正正應(yīng)力沿軋件件高度方向均均勻分布。采用主應(yīng)力法法求解板帶軋軋制壓力時(shí)，，所切取單元元體的受力情情況與平面應(yīng)應(yīng)變拉拔時(shí)基基本相同，但但是，軋制時(shí)時(shí)的材料流動(dòng)動(dòng)規(guī)律與平面面應(yīng)變拉拔的的情況不同。。在軋制過(guò)程中中，靠近變形形區(qū)的出口端端，軋件的流流動(dòng)速度大于于軋輥的線速速度，而在靠靠近變形區(qū)的的入口端，軋軋件的流動(dòng)速速度小于軋輥輥的線速度，，在均勻變形形假設(shè)條件下下，變形區(qū)內(nèi)內(nèi)一定存在著著軋件的流動(dòng)動(dòng)速度等于軋軋輥線速度的的平面，稱為為中性面。由由中性面至出出口端，稱為為前滑區(qū)，中中性面至入口口端，稱為后后滑區(qū)。中性面與接觸觸弧的交點(diǎn)，，稱為中性點(diǎn)點(diǎn)。中性點(diǎn)兩兩側(cè)的摩擦力力方向是相反反的，并且均均指向中性點(diǎn)點(diǎn)。中性點(diǎn)所所對(duì)應(yīng)的圓周周角γ，稱為為中性角。整整個(gè)接觸弧所所對(duì)應(yīng)的圓周周角α，稱為為咬入角。由于軋制時(shí)金金屬流動(dòng)規(guī)律律的特殊性，，建立軋制過(guò)過(guò)程平衡方程程，需要在中中性面兩側(cè)的的前滑區(qū)和后后滑區(qū)分別切切取單元體。。在直角坐標(biāo)標(biāo)系下，橫坐坐標(biāo)用x表示，縱坐標(biāo)標(biāo)用h表示。。設(shè)軋件變形形前的高度為為h0、變形后的高高度為h1，pn為軋輥?zhàn)饔迷谠趩卧w上的的徑向應(yīng)力，，取單位寬度度的單元體，，可以得到如如下平衡方程程，即式中K通常取取入口端與出出口端軋件屈屈服應(yīng)力的平平均值，并設(shè)設(shè)其為常數(shù)，，即由于K為常數(shù)數(shù)，因此，式式(8-51)變?yōu)槿缦孪滦问剑磸氖?8-52)中可以以看出，為了了求解卡爾曼曼方程，還需需給定摩擦條條件τf及θ角，τf、θ不同，所得到到的結(jié)果也不不同。在軋制制過(guò)程中，軋軋輥通常是要要產(chǎn)生彈性變變形的，軋輥輥與軋件的接接觸弧并非總總是呈圓弧形形，因此，在在軋制理論中中，為了簡(jiǎn)化化計(jì)算，常常常采用直線或或某些特殊的的曲線來(lái)代替替實(shí)際的接觸觸弧曲線。常常用的接觸弧弧曲線方程入入表8-1所所示。9、靜夜四無(wú)鄰鄰，荒居舊業(yè)業(yè)貧。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中黃黃葉樹，，燈下白白頭人。。。14:38:4214:38:4214:381/6/20232:38:42PM11、以我獨(dú)沈沈久，愧君君相見頻。。。1月-2314:38:4214:38Jan-2306-Jan-2312、故故人人江江海海別別，，幾幾度度隔隔山山川川。。。。14:38:4214:38:4214:38Friday,January6,202313、乍乍見見翻翻疑疑夢(mèng)夢(mèng)，，相相悲悲各各問(wèn)問(wèn)年年。。。。1月月-231月月-2314:38:4214:38:42January6,202314、他他鄉(xiāng)鄉(xiāng)生生白白發(fā)發(fā)，，舊舊國(guó)國(guó)見見青青山山。。。。06一一月月20232:38:43下下午午14:38:431月月-2315、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。一月232:38下下午1月-2314:38January6,202316、行行動(dòng)動(dòng)出出成成果果，，工工作作出出財(cái)財(cái)富富。。。。2023/1/614:38:4314:38:4306January202317、做前，，能夠環(huán)環(huán)視四周周；做時(shí)時(shí)，你只只能或者者最好沿沿著以腳腳為起點(diǎn)點(diǎn)的射線線向前。。。2:38:43下午午2:38下午午14:38:431月-239、沒(méi)有失敗敗，只有暫暫時(shí)停止成成功！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事情情努力了未未必有結(jié)果果，但是不不努力卻什什么改變也也沒(méi)有。。。14:38:4314:38:4314:381/6/20232:38:43PM11、成功就是日日復(fù)一日那一一點(diǎn)點(diǎn)小小努努力的積累。。。1月月-2314:38:4314:38Jan-2306-Jan-2312、世間成事，，不求其絕對(duì)對(duì)圓滿，留一一份不足，可可得無(wú)限完美美。。14:38:4314:38:4314:38Friday,January6,202313、不知香香積寺，，數(shù)里入入云峰。。。1月-231月-2314:38:4314:38:43January6,202314、意志堅(jiān)強(qiáng)強(qiáng)的人能把把世界放在在手中像泥泥塊一樣任任意揉捏。。06一月月20232:38:43下下午14:38:431月-2315、楚塞三湘接接，荊門九派派通。。。一月232:38下下午1月-2314:38January6,202