九年級中考數(shù)學(xué)第三輪沖刺：二次函數(shù)綜合 壓軸題專題復(fù)習(xí)

2021年中考數(shù)學(xué)第三輪沖刺：二次函數(shù)綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)1、如圖，開口向下的拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)．（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）設(shè)四邊形的面積為，求的最大值．2、如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線經(jīng)過點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸l與直線相交于點(diǎn)P，連接，判定的形狀，并說明理由；（3）在直線上是否存在點(diǎn)M，使與直線的夾角等于的2倍？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的拋物線與x軸的正半軸相交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）若P為線段AB上一點(diǎn)，，求AP的長；（3）在（2）的條件下，設(shè)M是y軸上一點(diǎn)，試問：拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得以A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4、已知點(diǎn)是拋物線，，為常數(shù)，，與軸的一個交點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)，時，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）若拋物線與軸的另一個交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線1平行于軸，是直線1上的動點(diǎn)，是軸上的動點(diǎn)，．①當(dāng)點(diǎn)落在拋物線上（不與點(diǎn)重合），且時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②取的中點(diǎn)，當(dāng)為何值時，的最小值是？5、如圖所示，二次函數(shù)的圖像（記為拋物線）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別記為，，且．（1）若，，且過點(diǎn)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若關(guān)于x的一元二次方程的判別式．求證：當(dāng)時，二次函數(shù)的圖像與x軸沒有交點(diǎn)．（3）若，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作直線l垂直于y軸，且拋物線的頂點(diǎn)在直線l上，連接OP、AP、BP，PA的延長線與拋物線交于點(diǎn)D，若，求的最小值．6、如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，其對稱軸與線段交于點(diǎn)，垂直于軸的動直線分別交拋物線和線段于點(diǎn)和點(diǎn)，動直線在拋物線的對稱軸的右側(cè)（不含對稱軸）沿軸正方向移動到點(diǎn)．（1）求出二次函數(shù)和所在直線的表達(dá)式；（2）在動直線移動的過程中，試求使四邊形為平行四邊形的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接，，在動直線移動的過程中，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．7、如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，．為線段上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，請用含的代數(shù)式表示線段的長，并求出當(dāng)為何值時有最大值，最大值是多少？（3）試探究點(diǎn)在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．8、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對稱軸為直線，其圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）直接寫出拋物線的解析式和的度數(shù)；（2）動點(diǎn)，同時從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以每秒3個單位的速度在線段上運(yùn)動，點(diǎn)以每秒個單位的速度在線段上運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為秒，連接，再將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，若點(diǎn)恰好落在拋物線上，求的值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，設(shè)為拋物線上一動點(diǎn)，為軸上一動點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時，請直接寫出點(diǎn)及其對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．9、如圖所示，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對稱軸為直線.點(diǎn)是拋物線上一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接，，，．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)?shù)拿娣e等于的面積的時，求的值；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)是軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．10、如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)與軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得是等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）以為圓心，為半徑作，當(dāng)與坐標(biāo)軸相切時，求出的半徑．11、如圖，已知拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，若．①求直線的解析式；②已知點(diǎn)在該拋物線的對稱軸上，且縱坐標(biāo)為1，點(diǎn)是該拋物線上位于第一象限的動點(diǎn)，且在右側(cè)，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，若是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．12、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為，拋物線過B，C兩點(diǎn)，動點(diǎn)M從點(diǎn)D開始以每秒5個單位長度的速度沿的方向運(yùn)動到達(dá)C點(diǎn)后停止運(yùn)動．動點(diǎn)N從點(diǎn)O以每秒4個單位長度的速度沿方向運(yùn)動，到達(dá)C點(diǎn)后，立即返回，向方向運(yùn)動，到達(dá)O點(diǎn)后，又立即返回，依此在線段上反復(fù)運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M停止運(yùn)動時，點(diǎn)N也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為．（1）求拋物線的解析式；（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)M，N同時開始運(yùn)動時，若以點(diǎn)M，D，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)B，O，N為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；（4）過點(diǎn)D與x軸平行的直線，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)Q，將線段沿過點(diǎn)B的直線翻折，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為，求的最小值．13、綜合與探究在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上，且OA＝OB，直線AB與拋物線在第一象限交于點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）直線AB的函數(shù)解析式為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，cos∠ABO＝；連接OC，若過點(diǎn)O的直線交線段AC于點(diǎn)P，將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）在y軸上找一點(diǎn)Q，使得△AMQ的周長最?。唧w作法如圖②，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A'，連接MA'交y軸于點(diǎn)Q，連接AM、AQ，此時△AMQ的周長最?。埱蟪鳇c(diǎn)Q的坐標(biāo)；（4）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、O、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．參考答案2021年中考數(shù)學(xué)第三輪沖刺：二次函數(shù)綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)1、如圖，開口向下的拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)．（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）設(shè)四邊形的面積為，求的最大值．【解答】解：（1），，，設(shè)拋物線表達(dá)式為：，將代入得：，解得：，該拋物線的解析式為：；（2）連接，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，可得：，，，，當(dāng)時，最大，最大值為8．2、如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線經(jīng)過點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸l與直線相交于點(diǎn)P，連接，判定的形狀，并說明理由；（3）在直線上是否存在點(diǎn)M，使與直線的夾角等于的2倍？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【詳解】解：（1）∵直線經(jīng)過點(diǎn)∴當(dāng)x=0時，可得y=5，即C的坐標(biāo)為（0,5）當(dāng)y=0時，可得x=5，即B的坐標(biāo)為（5,0）∴解得∴該拋物線的解析式為（2）的為直角三角形，理由如下：∵解方程=0，則x1=1，x2=5∴A（1,0），B（5,0）∵拋物線的對稱軸l為x=3∴△APB為等腰三角形∵C的坐標(biāo)為（5,0）,B的坐標(biāo)為（5,0）∴OB=CO=5,即∠ABP=45°∴∠ABP=45°，∴∠APB=180°-45°-45°=90°∴∠APC=180°-90°=90°∴的為直角三角形；（3）如圖：作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，AC于E，∵M(jìn)1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1∴∠AM1B=2∠ACB∵△ANB為等腰直角三角形.∴AH=BH=NH=2∴N（3，2）設(shè)AC的函數(shù)解析式為y=kx+b∵C(0，5),A(1，0)∴解得b=5，k=-5∴AC的函數(shù)解析式為y=-5x+5設(shè)EM1的函數(shù)解析式為y=x+n∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）∴=×+n，解得：n=∴EM1的函數(shù)解析式為y=x+∵解得∴M1的坐標(biāo)為（）；在直線BC上作點(diǎn)M1關(guān)于N點(diǎn)的對稱點(diǎn)M2設(shè)M2（a，-a+5）則有：3=，解得a=∴-a+5=∴M2的坐標(biāo)為（，）．綜上，存在使與直線的夾角等于的2倍的點(diǎn)，且坐標(biāo)為M1（），M2（，）．3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的拋物線與x軸的正半軸相交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）若P為線段AB上一點(diǎn)，，求AP的長；（3）在（2）的條件下，設(shè)M是y軸上一點(diǎn)，試問：拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得以A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【詳解】（1）令，則，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，3)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(0，3)，C(1，0)，∴，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）令，則，解得：，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，0)，∴OA=3，OB=3，OC=1，，∵，且，∴△PAO△CAB，∴，即，∴；（3）存在，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，∵OA=3，OB=3，∠AOB=，∴∠BAO=∠ABO=，∴△PAD為等腰直角三角形，∵，∴PD=AD=2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，2)，當(dāng)N在AB的上方時，過點(diǎn)N作NE⊥y軸于點(diǎn)E，如圖，∵四邊形APMN為平行四邊形，∴NM∥AP，NM=AP=，∴∠NME=∠ABO=，∴△NME為等腰直角三角形，∴Rt△NMERt△APD，∴NE=AD=2，當(dāng)時，，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，3)，當(dāng)N在AB的下方時，過點(diǎn)N作NF⊥y軸于點(diǎn)F，如圖，同理可得：Rt△NMFRt△APD，∴NF=AD=2，當(dāng)時，，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，)，綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，3)或(，)．4、已知點(diǎn)是拋物線，，為常數(shù)，，與軸的一個交點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)，時，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）若拋物線與軸的另一個交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線1平行于軸，是直線1上的動點(diǎn)，是軸上的動點(diǎn)，．①當(dāng)點(diǎn)落在拋物線上（不與點(diǎn)重合），且時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②取的中點(diǎn)，當(dāng)為何值時，的最小值是？【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)，時，拋物線的解析式為．拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，解得，拋物線的解析式為．，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（Ⅱ）①拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，，，，即．，．拋物線的解析式為．根據(jù)題意得，點(diǎn)，點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由點(diǎn)，得點(diǎn)．在中，，，，，，解得．此時，點(diǎn)，點(diǎn)，有．點(diǎn)在軸上，在中，．點(diǎn)的坐標(biāo)為或．②由是的中點(diǎn)，得．根據(jù)題意，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓上，由點(diǎn)，點(diǎn)，得，，在中，．當(dāng)，即時，滿足條件的點(diǎn)在線段上．的最小值為，解得；當(dāng)，即時，滿足條件的點(diǎn)落在線段的延長線上，的最小值為，解得．當(dāng)?shù)闹禐榛驎r，的最小值是．5、如圖所示，二次函數(shù)的圖像（記為拋物線）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別記為，，且．（1）若，，且過點(diǎn)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若關(guān)于x的一元二次方程的判別式．求證：當(dāng)時，二次函數(shù)的圖像與x軸沒有交點(diǎn)．（3）若，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作直線l垂直于y軸，且拋物線的頂點(diǎn)在直線l上，連接OP、AP、BP，PA的延長線與拋物線交于點(diǎn)D，若，求的最小值．【詳解】解：（1）由題意得：，∵函數(shù)過點(diǎn)，∴，∴，∴．（2）由題意，一元二次方程的判別式．∴，∴，在函數(shù)中，∵，∴，即函數(shù)圖象與x軸沒有交點(diǎn)．（3）因?yàn)楹瘮?shù)頂點(diǎn)在直線l上，則有，即①∵，∴，即，∴，由①得：②∵，∴∵，∴，則．∴，∴，∴．∴，∴．由②得：，∴，∴當(dāng)時，．6、如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，其對稱軸與線段交于點(diǎn)，垂直于軸的動直線分別交拋物線和線段于點(diǎn)和點(diǎn)，動直線在拋物線的對稱軸的右側(cè)（不含對稱軸）沿軸正方向移動到點(diǎn)．（1）求出二次函數(shù)和所在直線的表達(dá)式；（2）在動直線移動的過程中，試求使四邊形為平行四邊形的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接，，在動直線移動的過程中，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【解答】解：（1）將點(diǎn)，，代入，得：，解得：，二次函數(shù)的表達(dá)式為：，當(dāng)時，，，設(shè)所在直線的表達(dá)式為：，將、代入，得：，解得：，所在直線的表達(dá)式為：；（2）軸，軸，，只要，四邊形即為平行四邊形，，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，將代入，即，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為：，的坐標(biāo)為：，，由得：，解得：（不合題意舍去），，當(dāng)時，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，；（3）存在，理由如下：如圖2所示：由（2）得：，，又與有共同的頂點(diǎn)，且在的內(nèi)部，，只有時，，，、，，，由（2）得：，，的坐標(biāo)為：，，，，，解得：，當(dāng)時，，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，．7、如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，．為線段上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，請用含的代數(shù)式表示線段的長，并求出當(dāng)為何值時有最大值，最大值是多少？（3）試探究點(diǎn)在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得，解得，故拋物線的表達(dá)式為：；（2）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：；設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，點(diǎn)，，，故，，，，故當(dāng)時，有最大值為；（3）存在，理由：點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則，①當(dāng)時，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，即，解得：（舍去負(fù)值），故點(diǎn)，；②當(dāng)時，則，在中，由勾股定理得：，解得：或0（舍去，故點(diǎn)；③當(dāng)時，則，解得：（舍去）；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，．8、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對稱軸為直線，其圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）直接寫出拋物線的解析式和的度數(shù)；（2）動點(diǎn)，同時從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以每秒3個單位的速度在線段上運(yùn)動，點(diǎn)以每秒個單位的速度在線段上運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為秒，連接，再將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，若點(diǎn)恰好落在拋物線上，求的值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，設(shè)為拋物線上一動點(diǎn)，為軸上一動點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時，請直接寫出點(diǎn)及其對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．（每寫出一組正確的結(jié)果得1分，至多得4分）【詳解】解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線，∴，則b=-3a，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（4，0），∴16a+4b+1=0，將b=-3a代入，解得：a=，b=，拋物線的解析式為：，令y=0，解得：x=4或-1，令x=0，則y=1，∴A（-1，0），C（0，1），∴tan∠CAO=,∴；（2）由（1）易知，過點(diǎn)N作于E，過點(diǎn)D作于F，∵∠DMN=90°，∴∠NME+∠DMF=90°，又∠NME+∠ENM=90°，∴∠DMF=∠ENM，

，，（AAS），，由題意得：，，，，，，，又，故可解得：t=或0（舍），經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)t=時，點(diǎn)均未到達(dá)終點(diǎn)，符合題意，此時D點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）由（2）可知：D，t=時，M（，0），B（4，0），C（0，1），設(shè)點(diǎn)P（m，），如圖，當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，點(diǎn)Q在y軸正半軸，過點(diǎn)P作PR⊥y軸于點(diǎn)R，過點(diǎn)D作DS⊥x軸于點(diǎn)S，則PR=m，DS=，若△CPQ∽△MDB，∴，則，，解得：m=0（舍）或1或5（舍），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，∵△CPQ∽△MDB，∴，當(dāng)點(diǎn)P時，，解得：CQ=，，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，），；同理可得：點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：；；；；；；；；；；.9、如圖所示，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對稱軸為直線.點(diǎn)是拋物線上一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接，，，．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)?shù)拿娣e等于的面積的時，求的值；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)是軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【詳解】（1）由題意得，解得故拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴∵點(diǎn)的坐標(biāo)為∴∴∴當(dāng)時，，解得，.∴設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為則，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴．∴．則有解得(不合題意，舍去)，．∴的值為3．（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，在中，當(dāng)時，，分三種情況討論：①當(dāng)為對角線時，如圖（1），易知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱．∴，，∴，又∵，∴②當(dāng)為對角線時，如圖（2），，，∴．又∵，∴③當(dāng)為對角線時．∵易知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．將代入中，得，解得，．當(dāng)時，點(diǎn)的位置如圖（3）所示，則分別過點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)，易證．∵，∴，又∵，∴當(dāng)時，點(diǎn)的位置如圖（4）所示，則．同理易得點(diǎn)的坐標(biāo)為綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．10、如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)與軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得是等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）以為圓心，為半徑作，當(dāng)與坐標(biāo)軸相切時，求出的半徑．【解答】解：（1）把點(diǎn)和點(diǎn)代入得：，解得：，拋物線的解析式為：；（2）不存在，理由如下：①當(dāng)點(diǎn)在軸右邊時，如圖1所示：假設(shè)為等邊三角形，過點(diǎn)作于，點(diǎn)，，則，，，，，把代入，得：，假設(shè)不成立，當(dāng)點(diǎn)在軸右邊時，不存在為等邊三角形；②當(dāng)點(diǎn)在軸的左邊時，如圖2所示：假設(shè)為等邊三角形，過點(diǎn)作于，點(diǎn)，，則，，，，，把代入，得：，假設(shè)不成立，當(dāng)點(diǎn)在軸左邊時，不存在為等邊三角形；綜上所述，在拋物線上不存在一點(diǎn)，使得是等邊三角形；（3）令，解得：，，，設(shè)直線的解析式為：，把、的坐標(biāo)代入則，解得：，直線的解析式為：，當(dāng)在線段上，與軸相切時，如圖3所示：延長交于點(diǎn)，則點(diǎn)為與軸的切點(diǎn)，即，設(shè)，，則，，，解得：，（不合題意舍去），的半徑為：；當(dāng)在線段上，與軸相切時，如圖4所示：延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于，則點(diǎn)為與軸的切點(diǎn)，即，，設(shè)，，則，，，解得：，（不合題意舍去），的半徑為：；當(dāng)在延長線，與軸相切時，如圖5所示：點(diǎn)與重合，的橫坐標(biāo)為，的半徑為：的縱坐標(biāo)的值，即：；當(dāng)在延長線，與軸相切時，如圖6所示：延長交軸于，過點(diǎn)作軸于，則點(diǎn)為與軸的切點(diǎn)，即，，設(shè)，，則，，，解得：，（不合題意舍去），的半徑為：；綜上所述，的半徑為或或或．11、如圖，已知拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，若．①求直線的解析式；②已知點(diǎn)在該拋物線的對稱軸上，且縱坐標(biāo)為1，點(diǎn)是該拋物線上位于第一象限的動點(diǎn)，且在右側(cè)，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，若是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過，，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式為中，得，，拋物線的解析式為；（2）①如圖1，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，，代入中，得，，直線的解析式為，過點(diǎn)作軸于，，，，，，，，，，將代入直線中，得，，，設(shè)直線的解析式為，，，直線的解析式為；②Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)在直線右側(cè)時，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，拋物線的對稱軸為直線，點(diǎn)，如圖2，設(shè)點(diǎn)，，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，，，，，，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，，，，，，，，由①知，直線的解析式為，，或（舍，當(dāng)時，，，Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)在直線左側(cè)時，記作，設(shè)點(diǎn)，，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，，，同Ⅰ的方法得，△△，，，，，由①知，直線的解析式為，，或（舍，當(dāng)時，，，，即滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或，．12、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為，拋物線過B，C兩點(diǎn)，動點(diǎn)M從點(diǎn)D開始以每秒5個單位長度的速度沿的方向運(yùn)動到達(dá)C點(diǎn)后停止運(yùn)動．動點(diǎn)N從點(diǎn)O以每秒4個單位長度的速度沿方向運(yùn)動，到達(dá)C點(diǎn)后，立即返回，向方向運(yùn)動，到達(dá)O點(diǎn)后，又立即返回，依此在線段上反復(fù)運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M停止運(yùn)動時，點(diǎn)N也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為．（1）求拋物線的解析式；（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)M，N同時開始運(yùn)動時，若以點(diǎn)M，D，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)B，O，N為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；（4）過點(diǎn)D與x軸平行的直線，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)Q，將線段沿過點(diǎn)B的直線翻折，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為，求的最小值．【詳解】（1）將代入得，解得∴拋物線的解析式為：（2）作于點(diǎn)E∵∴∴∵∴∴∴∴∴（3）若點(diǎn)M在DA上運(yùn)動時，當(dāng)，則，即不成立，舍去當(dāng)，則，即，解得：若點(diǎn)M在BC上運(yùn)動時，當(dāng)，則，即∴當(dāng)時，∴，解得（舍去）當(dāng)時，∴，無解；當(dāng)，則，即∴當(dāng)時，∴，解得（舍去）當(dāng)時，∴，解得綜上所示：當(dāng)時，；時（4）作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F，連接QF交x軸于點(diǎn)N∵點(diǎn)D，∴點(diǎn)由得對稱軸為∴點(diǎn)∴∴故最小值為．13、綜合與探究在