2022年全國統(tǒng)一高考沖刺新課標Ⅲ數(shù)學沖刺（理科）

2020年全國統(tǒng)一高考新課標Ⅲ數(shù)學試卷（理科）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知集合，，，，則中元素的個數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．62．（5分）復數(shù)的虛部是A． B． C． D．3．（5分）在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，，，，且，則下面四種情形中，對應樣本的標準差最大的一組是A．， B．， C．， D．，4．（5分）模型是常用數(shù)學模型之一，可應用于流行病學領域．有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)的單位：天）的模型：，其中為最大確診病例數(shù)．當時，標志著已初步遏制疫情，則約為A．60 B．63 C．66 D．695．（5分）設為坐標原點，直線與拋物線交于，兩點，若，則的焦點坐標為A．， B．， C． D．6．（5分）已知向量，滿足，，，則，A． B． C． D．7．（5分）在中，，，，則A． B． C． D．8．（5分）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是A． B． C． D．9．（5分）已知，則A． B． C．1 D．210．（5分）若直線與曲線和圓都相切，則的方程為A． B． C． D．11．（5分）設雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為．是上一點，且．若△的面積為4，則A．1 B．2 C．4 D．812．（5分）已知，．設，，，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）若，滿足約束條件則的最大值為．14．（5分）的展開式中常數(shù)項是（用數(shù)字作答）．15．（5分）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為．16．（5分）關于函數(shù)有如下四個命題：①的圖象關于軸對稱．②的圖象關于原點對稱．③的圖象關于直線對稱．④的最小值為2．其中所有真命題的序號是．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）設數(shù)列滿足，．（1）計算，，猜想的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列的前項和．18．（12分）某學生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）鍛煉人次空氣質(zhì)量等級，，，1（優(yōu)216252（良510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關？人次人次空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：19．（12分）如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．（1）證明：點在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值．20．（12分）已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．21．（12分）設函數(shù)，曲線在點，處的切線與軸垂直．（1）求；（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22．（10分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)且，與坐標軸交于，兩點．（1）求；（2）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線的極坐標方程．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．設，，，，．（1）證明：；（2）用，，表示，，的最大值，證明：，，．

2020年全國統(tǒng)一高考新課標Ⅲ數(shù)學試卷（理科）參考答案與解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知集合，，，，則中元素的個數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．6【分析】利用交集定義求出，，，．由此能求出中元素的個數(shù)．【解答】解：集合，，，，，，，，．中元素的個數(shù)為4．故選：．2．（5分）復數(shù)的虛部是A． B． C． D．【分析】直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：，復數(shù)的虛部是．故選：．3．（5分）在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，，，，且，則下面四種情形中，對應樣本的標準差最大的一組是A．， B．， C．， D．，【分析】根據(jù)題意，求出各組數(shù)據(jù)的方差，方差大的對應的標準差也大．【解答】解：選項，所以；同理選項，；選項，；選項，；故選：．4．（5分）模型是常用數(shù)學模型之一，可應用于流行病學領域．有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)的單位：天）的模型：，其中為最大確診病例數(shù)．當時，標志著已初步遏制疫情，則約為A．60 B．63 C．66 D．69【分析】根據(jù)所給材料的公式列出方程，解出即可．【解答】解：由已知可得，解得，兩邊取對數(shù)有，解得，故選：．5．（5分）設為坐標原點，直線與拋物線交于，兩點，若，則的焦點坐標為A．， B．， C． D．【分析】法一：利用已知條件轉(zhuǎn)化求解、坐標，通過，求解拋物線方程，即可得到拋物線的焦點坐標．法二：畫出圖形，求出的坐標，代入拋物線方程，然后求解即可．【解答】解：法一：將代入拋物線，可得，，可得，即，解得，所以拋物線方程為：，它的焦點坐標，．故選：．法二：易知，，可得，代入拋物線方程，可得，解得，故選：．6．（5分）已知向量，滿足，，，則，A． B． C． D．【分析】利用已知條件求出，然后利用向量的數(shù)量積求解即可．【解答】解：向量，滿足，，，可得，，．故選：．7．（5分）在中，，，，則A． B． C． D．【分析】先根據(jù)余弦定理求出，再代入余弦定理求出結(jié)論．【解答】解：在中，，，，由余弦定理可得；故；，故選：．8．（5分）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是A． B． C． D．【分析】先由三視圖畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，利用三棱錐的表面積公式計算即可．【解答】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖是正方體的一個角，如圖：，、、兩兩垂直，故，幾何體的表面積為：，故選：．9．（5分）已知，則A． B． C．1 D．2【分析】利用兩角和差的正切公式進行展開化簡，結(jié)合一元二次方程的解法進行求解即可．【解答】解：由，得，即，得，即，即，則，故選：．10．（5分）若直線與曲線和圓都相切，則的方程為A． B． C． D．【分析】根據(jù)直線與圓相切，利用選項到圓心的距離等于半徑，在將直線與曲線求一解可得答案；【解答】解：直線與圓相切，那么圓心到直線的距離等于半徑，四個選項中，只有，滿足題意；對于選項：與聯(lián)立可得：，此時：無解；對于選項：與聯(lián)立可得：，此時解得；直線與曲線和圓都相切，方程為，故選：．11．（5分）設雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為．是上一點，且．若△的面積為4，則A．1 B．2 C．4 D．8【分析】利用雙曲線的定義，三角形的面積以及雙曲線的離心率，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：由題意，設，，可得，，，，可得，可得，解得．故選：．12．（5分）已知，．設，，，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)，可得，然后由和，得到，再確定，，的大小關系．【解答】解：，；，，，；，，，，綜上，．故選：．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）若，滿足約束條件則的最大值為7．【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上的截距的一半，只需求出可行域內(nèi)直線在軸上的截距最大值即可．【解答】解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，由解得，如圖，當直線過點時，目標函數(shù)在軸上的截距取得最大值時，此時取得最大值，即當，時，．故答案為：7．14．（5分）的展開式中常數(shù)項是240（用數(shù)字作答）．【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再令的冪指數(shù)等于0，求得的值，即可求得展開式中的常數(shù)項的值．【解答】解：由于的展開式的通項公式為，令，求得，故常數(shù)項的值等于，故答案為：240．15．（5分）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為．【分析】易知圓錐內(nèi)半徑最大的球應為圓錐的內(nèi)切球，作圖，求得出該內(nèi)切球的半徑即可求出球的體積．【解答】解：因為圓錐內(nèi)半徑最大的球應該為該圓錐的內(nèi)切球，如圖，圓錐母線，底面半徑，則其高，不妨設該內(nèi)切球與母線切于點，令，由，則，即，解得，，故答案為：．16．（5分）關于函數(shù)有如下四個命題：①的圖象關于軸對稱．②的圖象關于原點對稱．③的圖象關于直線對稱．④的最小值為2．其中所有真命題的序號是②③．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，對稱性的判定，對稱軸的求法，逐一判斷即可．【解答】解：對于①，由可得函數(shù)的定義域為，，故定義域關于原點對稱，由；所以該函數(shù)為奇函數(shù)，關于原點對稱，所以①錯②對；對于③，由，所以該函數(shù)關于對稱，③對；對于④，令，則，，，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)，可知，，，，所以無最小值，④錯；故答案為：②③．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）設數(shù)列滿足，．（1）計算，，猜想的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列的前項和．【分析】（1）法一利用數(shù)列的遞推關系式求出，，猜想的通項公式，然后利用數(shù)學歸納法證明即可．法二：利用數(shù)列的遞推關系式，轉(zhuǎn)化求解即可．（2）化簡數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求解數(shù)列的前項和．【解答】解：（1）法一：數(shù)列滿足，，則，，，猜想的通項公式為．證明如下：當，2，3時，顯然成立，假設時，成立，當時，，故時成立，由知，，猜想成立，所以的通項公式．法二：數(shù)列滿足，，則，，，猜想的通項公式為．證明：設，可得，，解得，，（不能說明是等比數(shù)列），，并且，所以恒成立．所以．（2）令，則數(shù)列的前項和，①兩邊同乘2得，，②①②得，，所以．18．（12分）某學生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）鍛煉人次空氣質(zhì)量等級，，，1（優(yōu)216252（良510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關？人次人次空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：【分析】（1）用頻率估計概率，從而得到估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；（2）采用頻率分布直方圖估計樣本平均值的方法可得得答案；（3）由公式計算的值，從而查表即可，【解答】解：（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級為1的概率為：；該市一天的空氣質(zhì)量等級為2的概率為：；該市一天的空氣質(zhì)量等級為3的概率為：；該市一天的空氣質(zhì)量等級為4的概率為：；（2）由題意可得：一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為：；（3）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得下面的列聯(lián)表，人次人次總計空氣質(zhì)量好333770空氣質(zhì)量不好22830總計5545100由表中數(shù)據(jù)可得：，所以有的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關．19．（12分）如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．（1）證明：點在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值．【分析】（1）在上取點，使得，連接，，，，由已知證明四邊形和四邊形都是平行四邊形，可得，且，，且，進一步證明四邊形為平行四邊形，得到，且，結(jié)合，且，可得，且，則四邊形為平行四邊形，從而得到點在平面內(nèi)；（2）在長方體中，以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系．分別求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值，再由同角三角函數(shù)基本關系式求得二面角的正弦值．【解答】（1）證明：在上取點，使得，連接，，，，在長方體中，有，且．又，，，．四邊形和四邊形都是平行四邊形．，且，，且．又在長方體中，有，且，且，則四邊形為平行四邊形，，且，又，且，，且，則四邊形為平行四邊形，點在平面內(nèi)；（2）解：在長方體中，以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系．，，，，，，1，，，0，，，1，，，1，，則，，．設平面的一個法向量為．則，取，得；設平面的一個法向量為．則，取，得．．設二面角為，則．二面角的正弦值為．20．（12分）已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．【分析】（1）根據(jù)，，，代入計算的值，求出的方程即可；（2）法一：設出，的坐標，得到關于，，的方程組，求出，，從而求出的面積．法二：畫出橢圓的圖象，求出點坐標，結(jié)合圖象求出的面積即可．【解答】解：（1）由得，即，，故的方程是：；（2）代數(shù)方法：由（1），設，點，根據(jù)對稱性，只需考慮的情況，此時，，，有①，又，②，又③，聯(lián)立①②③得或，當時，則，，而，則（法一），，，同理可得當時，，綜上，的面積是．法二：，，直線的方程為：，點到直線的距離，而，．數(shù)形結(jié)合方法：如圖示：①當點在軸左側(cè)時，過點作，直線和軸交于點，易知，，故時，，解得：，舍），故，易得，，故，②當點在軸右側(cè)時，同理可得，即，，，故，綜上，的面積是．21．（12分）設函數(shù)，曲線在點，處的切線與軸垂直．（1）求；（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．【分析】（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由題意可得，由此