考研數(shù)學沖刺掌握解題的思路

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考生在考研數(shù)學沖刺階段的時候，需要掌管好解題的思路。我為大家用心打定了考研數(shù)學沖刺掌管解題的思路指南，接待大家前來閱讀。

考研數(shù)學沖刺掌管解題的21個固定思路

第一片面《高數(shù)解題的四種思維定勢》

1.在題設條件中給出一個函數(shù)fx二階和二階以上可導，不管三七二十一，把fx在指定點展成泰勒公式再說。

2.在題設條件或欲證結論中有定積分表達式時，那么不管三七二十一先用積分中值定理對該積分式處理一下再說。

3.在題設條件中函數(shù)fx在[a，b]上連續(xù)，在a，b內可導，且fa=0或fb=0或fa=fb=0，那么不管三七二十一先用拉格朗日中值定理處理一下再說。

4.對定限或變限積分，若被積函數(shù)或其主要片面為復合函數(shù)，那么不管三七二十一先做變量替換使之成為簡樸形式fu再說。

其次片面《線性代數(shù)解題的八種思維定勢》

1.題設條件與代數(shù)余子式Aij或A*有關，那么立刻聯(lián)想到用行列式按行列開展定理以及AA*=A*A=|A|E。

2.若涉及到A、B是否可交換，即AB=BA，那么立刻聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析。

3.若題設n階方陣A得志fA=0，要證aA+bE可逆，那么先分解出因子aA+bE再說。

4.若要證明一組向量a1，a2，...，as線性無關，先考慮用定義再說。

5.若已知AB=0，那么將B的每列作為Ax=0的解來處理再說。

6.若由題設條件要求確定參數(shù)的取值，聯(lián)想到是否有某行列式為零再說。

7.若已知A的特征向量0，那么先用定義A0=00處理一下再說。

8.若要證明抽象n階實對稱矩陣A為正定矩陣，那么用定義處理一下再說。

第三片面《概率與數(shù)理統(tǒng)計解題的九種思維定勢》

1.假設要求的是若干事情中至少有一個發(fā)生的概率，那么連忙聯(lián)想到概率加法公式;當事情組相互獨立時，用對立事情的概率公式。

2.若給出的試驗可分解成0-1的n重獨立重復試驗，那么連忙聯(lián)想到Bernoulli試驗，及其概率計算公式。

3.若某事情是伴隨著一個完備事情組的發(fā)生而發(fā)生，那么連忙聯(lián)想到該事情的發(fā)生概率是用全概率公式計算。關鍵：探索完備事情組。

4.若題設中給出隨機變量X~N那么連忙聯(lián)想到標準化X~N0，1來處理有關問題。

5.求二維隨機變量X，Y的邊緣分布密度的問題，理應連忙聯(lián)想到先畫出訪聯(lián)合分布密度的區(qū)域，然后定出X的變化區(qū)間，再在該區(qū)間內畫一條//y軸的直線，先與區(qū)域邊界相交的為y的下限，后者為上限，而Y的求法類似。

6.欲求二維隨機變量X，Y得志條件YgX或YgX的概率，理應連忙聯(lián)想到二重積分的計算，其積分域D是由聯(lián)合密度的平面區(qū)域及得志YgX或YgX的區(qū)域的公共片面。

7.涉及n次試驗某事情發(fā)生的次數(shù)X的數(shù)字特征的問題，連忙要聯(lián)想到對X作0-1分解。

8.凡求解各概率分布已知的若干個獨立隨機變量組成的系統(tǒng)得志某種關系的概率或已知概率求隨機變量個數(shù)的問題，連忙聯(lián)想到用中心極限定理處理。

9.若為總體X的一組簡樸隨機樣本，那么只要涉及到統(tǒng)計量的分布問題，一般聯(lián)想到用分布，t分布和F分布的定義舉行議論。

考研高等數(shù)學九個重要定理證明

高數(shù)定理證明之微分中值定理:

這一片面內容對比豐富，包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會證。

費馬引理的條件有兩個：1.fx0存在2.fx0為fx的極值，結論為fx0=0。考慮函數(shù)在一點的導數(shù)，用什么方法?自然想到導數(shù)定義。我們可以按照導數(shù)定義寫出fx0的極限形式。往下如何推理?關鍵要看其次個條件怎么用。"fx0為fx的極值'翻譯成數(shù)學語言即fx-fx00或0，對x0的某去心鄰域成立。結合導數(shù)定義式中函數(shù)片面表達式，不難想到考慮函數(shù)片面的正負號。若能得出函數(shù)片面的符號，如何得到極限值的符號呢?極限的保號性是個橋梁。

費馬引理中的"引理'包含著引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我們下面要議論的羅爾定理。若在微分中值定理這片面推舉一個考頻最高的，那羅爾定理當之無愧。該定理的條件和結論想必各位都對比熟諳。條件有三："閉區(qū)間連續(xù)'、"開區(qū)間可導'和"端值相等'，結論是在開區(qū)間存在一點即所謂的中值，使得函數(shù)在該點的導數(shù)為0。

該定理的證明不好理解，需專心體會：條件怎么用?如何和結論建立聯(lián)系?當然，我們現(xiàn)在議論該定理的證明是"馬后炮'式的：已經(jīng)有了證明過程，我們看看怎么去理解掌管。假設在羅爾生活的時代，證出該定理，那可是十足的創(chuàng)新，是要流芳百世的。

閑言少敘，言歸正傳。既然我們議論費馬引理的作用是要引出羅爾定理，那么羅爾定理的證明過程中就要用到費馬引理。我們比較這兩個定理的結論，不難察覺是一致的：都是函數(shù)在一點的導數(shù)為0。話說到這，可能有同學要說：羅爾定理的證明并不難呀，由費馬引理得結論不就行了。大方向對，但過程沒這么簡樸。起碼要說清一點：費馬引理的條件是否得志，為什么得志?

前面提過費馬引理的條件有兩個"可導'和"取極值'，"可導'不難判斷是成立的，那么"取極值'呢?貌似不能由條件直接得到。那么我們看看哪個條件可能和極值產生聯(lián)系。留神到羅爾定理的第一個條件是函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有很好的性質，哪條性質和極值有聯(lián)系呢?不難想到最值定理。

那么最值和極值是什么關系?這個點需要想領會，由于直接影響下面推理的走向。結論是：若最值取在區(qū)間內部，那么最值為極值;若最值均取在區(qū)間端點，那么最值不為極值。那么接下來，分兩種處境議論即可：若最值取在區(qū)間內部，此種處境下費馬引理條件完全成立，不難得出結論;若最值均取在區(qū)間端點，留神到已知條件第三條報告我們端點函數(shù)值相等，由此推出函數(shù)在整個閉區(qū)間上的最大值和最小值相等，這意味著函數(shù)在整個區(qū)間的表達式恒為常數(shù)，那在開區(qū)間上任取一點都能使結論成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌管這兩個定理的證明有一箭雙雕的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個的定理的證明過程中表達出來的根本思路，適用于證其它結論。

以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們比較一下兩個定理的結論。羅爾定理的結論等號右側為零。我們可以考慮在草稿紙上對拉格朗日定理的結論作變形，變成羅爾定理結論的形式，移項即可。接下來，要從變形后的式子讀出是對哪個函數(shù)用羅爾定理的結果。這就是構造輔佐函數(shù)的過程看等號左側的式子是哪個函數(shù)求導后，把x換成中值的結果。這個過程有點像犯罪現(xiàn)場調查：根據(jù)這個犯罪現(xiàn)場，反推嫌疑人是誰。當然，構造輔佐函數(shù)遠比破案要簡樸，簡樸的題目直接查看;繁雜一些的，可以把中值換成x，再對得到的函數(shù)求不定積分。

高數(shù)定理證明之求導公式:

2021年真題考了一個證明題：證明兩個函數(shù)乘積的導數(shù)公式。幾乎每位同學都對這個公式怎么用對比熟諳，而對它怎么來的較為目生。實際上，從授課的角度，這種在2021年前從未考過的根本公式的證明，一般只會在根基階段講到。假設這個階段的考生帶慌張功近利的心態(tài)只關注結論怎么用，而不關切結論怎么來的，那很可能從未專心斟酌過該公式的證明過程，進而在考場上變得很被動。這里給2022考研學子提個醒：要重視根基階段的復習，那些真題中未考過的重要結論的證明，有可能考到，不要放過。

當然，該公式的證明并不難。先考慮fx*gx在點x0處的導數(shù)。函數(shù)在一點的導數(shù)自然用導數(shù)定義考察，可以按照導數(shù)定義寫出一個極限式子。該極限為"0分之0'型，但不能用洛必達法那么，由于分子的導數(shù)不好算乘積的導數(shù)公式恰好是要證的，不能用!。利用數(shù)學上常用的拼湊之法，加一項，減一項。這個"無中生有'的項要和前后都有聯(lián)系，便于提公因子。之后分子的四項兩兩配對，除以分母后考慮極限，不難得出結果。再由x0的任意性，便得到了fx*gx在任意點的導數(shù)公式。

高數(shù)定理證明之積分中值定理:

該定理條件是定積分的被積函數(shù)在積分區(qū)間閉區(qū)間上連續(xù)，結論可以形式地記成該定積分等于把被積函數(shù)拎到積分號外面，并把積分變量x換成中值。如何證明?可能有同學想到用微分中值定理，理由是微分相關定理的結論中含有中值?？梢园凑沾怂悸吠路治觯贿^更易理解的思路是考慮連續(xù)相關定理介值定理和零點存在定理，理由更充分些：上述兩個連續(xù)相關定理的結論中不但含有中值而且不含導數(shù)，而待證的積分中值定理的結論也是含有中值但不含導數(shù)。

若我們選擇了用連續(xù)相關定理去證，那么畢竟選擇哪個定理呢?這里有個小的技巧看中值是位于閉區(qū)間還是開區(qū)間。介值定理和零點存在定理的結論中的中值分別位于閉區(qū)間和開區(qū)間，而待證的積分中值定理的結論中的中值位于閉區(qū)間。那么何去何從，已經(jīng)不言自領略。

若順遂選中了介值定理，那么往下如何推理呢?我們可以比較一下介值定理和積分中值定理的結論：介值定理的結論的等式一邊為某點處的函數(shù)值，而等號另一邊為常數(shù)A。我們自然想到把積分中值定理的結論朝以上的形式變形。等式兩邊同時除以區(qū)間長度，就能達成我們的要求。當然，變形后等號一側含有積分的式子的長相還是挺有迷惑性的，要透過現(xiàn)象看本質，看領會定積分的值是一個數(shù)，進而定積分除以區(qū)間長度后仍為一個數(shù)。這個數(shù)就相當于介值定理結論中的A。

接下來如何推理，這就考察各位對介值定理的熟諳程度了。該定理條件有二：1.函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，2.實數(shù)A位于函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值之間，結論是該實數(shù)能被取到即A為閉區(qū)間上某點的函數(shù)值。再看若積分中值定理的條件成立否能推出介值定理的條件成立。函數(shù)的連續(xù)性不難判斷，僅需說明定積分除以區(qū)間長度這個實數(shù)位于函數(shù)的最大值和最小值之間即可。而要考察一個定積分的值的范圍，不難想到對比定理或估值定理。

高數(shù)定理證明之微積分根本定理:

該片面包括兩個定理：變限積分求導定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導定理的'條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導數(shù)為把積分號扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。留神該求導公式對閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導數(shù)要識別對待：對應開區(qū)間上每一點的導數(shù)是一類，而區(qū)間端點處的導數(shù)屬單側導數(shù)。花開兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開區(qū)間上任意點x處的導數(shù)。一點的導數(shù)仍用導數(shù)定義考慮。至于導數(shù)定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者斟酌的權利了。單側導數(shù)類似考慮。

"牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學與積分學的橋梁，它是微積分中最根本的公式之一。它證領略微分與積分是可逆運算，同時在理論上標志著微積分完整體系的形成，此后微積分成為一門真正的學科。'這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能純熟運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟諳的考生并不多。

該公式和變限積分求導定理的公共條件是函數(shù)fx在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個條件是Fx為fx在閉區(qū)間上的一個原函數(shù)，結論是fx在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值的差。該公式的證明要用到變限積分求導定理。若該公式的條件成立，那么不難判斷變限積分求導定理的條件成立，故變限積分求導定理的結論成立。

留神到該公式的另一個條件提到了原函數(shù)，那么我們把變限積分求導定理的結論用原函數(shù)的語言描述一下，即fx對應的變上限積分函數(shù)為fx在閉區(qū)間上的另一個原函數(shù)。根據(jù)原函數(shù)的概念，我們知道同一個函數(shù)的兩個原函數(shù)之間只差個常數(shù)，所以Fx等于fx的變上限積分函數(shù)加某個常數(shù)C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側的表達式結合推出的等式變形，不難得出結論。

考研數(shù)學沖刺攻堅的四步策略

1、堅持每天做確定數(shù)量的習題，保持題感

好多同學認為到了復習的后期，數(shù)學只需要看看以前的錯題和不會的題目，掃除盲點即可，這樣的想法是大錯特錯的。我們務必要保證每天做確定數(shù)量的習題，保持這樣的做題狀態(tài)一向到考試的前一天。建議同學們每三天做一套數(shù)學模擬卷，一天全真模擬，剩下的兩天留心看參考答案解析，并且還要堅持找一些題目來做。這樣就可以保證每天都做題目。其實數(shù)學是隔一段時間不接觸就會很快的遺忘的，三兩天不做數(shù)學題再做的時候就感覺很生疏，磕磕碰碰，思路不順暢。這樣的狀態(tài)分外不利于在真實考場上的發(fā)揮?？佳袛?shù)學雖然題目不會很難，對比根基，但是有一個特點就是計算量分外大，假設做題的時候不順手的話，一般很難全部完成全體的考題。堅持每天做數(shù)學題，這一點分外分外重要，夢想同學們能夠重視。

2、以前總結的錯題和不會的題目要經(jīng)?？?/p>

前期我們強調過確定要在平日做題的過程中留神把錯題和不會的題做好標記，這在復習的沖刺階段就派上了大用場。由于到后期的時候，時間很慌張，有了錯題集，就知道自己哪兒會哪兒不會，知道有限精力理應放在哪兒，后期時間很慌張，不成能再每個題目再過一遍，也沒有必要。考研后期有限的精力確定要放在刀刃上，查漏補缺，不能再像剛開頭的時候那樣面面俱到。對于以前總結的錯題和不會的題目，建議最好不要看解答，自己再做一遍?？佳袛?shù)學雖然本質上就是做題再做題，但是在后期的時候沒有必要再去搞題海戰(zhàn)術，沒有必要去找市場上充塞的大量的模擬題，不是什么題目都有質量值得你花名貴的時間去做。后期把主要精力花在曾經(jīng)的錯題和不會的題目上，掃除盲點，這樣更有針對性。

3、把根本概念弄懂，把根本理論弄透

數(shù)學的學識體系很浩瀚，從學識論的角度來講，它的內在布局很嚴正，很富有層次感。從概念、定義到公理，從公理到定理、推論，層層演進，步步深入。假設忽略了數(shù)學最根基的學識，好多人就可能知其然、不知其所以然，有時候你絞盡腦汁不得其解，很可能只是由于你對某個概念的理解不夠透徹。

考研數(shù)學需要掌管的學識點并不多，但相互之間聯(lián)系繁雜、千絲萬縷，點到點的規(guī)律關系和深層次的框架布局難于理清。任何一門學科學到確定的高度必然要求你對這門學科的學識布局有一個明顯的輪廓，要站在確定高度對全體內容有一個系統(tǒng)的熟悉。但是這個熟悉要建立在對全體的學識點透徹理解的根基上。

所謂把根本理論學透，是從以下幾