考研數(shù)學(xué)沖刺掌握解題的思路

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考生在考研數(shù)學(xué)沖刺階段的時(shí)候，需要掌管好解題的思路。我為大家用心打定了考研數(shù)學(xué)沖刺掌管解題的思路指南，接待大家前來(lái)閱讀。

考研數(shù)學(xué)沖刺掌管解題的21個(gè)固定思路

第一片面《高數(shù)解題的四種思維定勢(shì)》

1.在題設(shè)條件中給出一個(gè)函數(shù)fx二階和二階以上可導(dǎo)，不管三七二十一，把fx在指定點(diǎn)展成泰勒公式再說(shuō)。

2.在題設(shè)條件或欲證結(jié)論中有定積分表達(dá)式時(shí)，那么不管三七二十一先用積分中值定理對(duì)該積分式處理一下再說(shuō)。

3.在題設(shè)條件中函數(shù)fx在[a，b]上連續(xù)，在a，b內(nèi)可導(dǎo)，且fa=0或fb=0或fa=fb=0，那么不管三七二十一先用拉格朗日中值定理處理一下再說(shuō)。

4.對(duì)定限或變限積分，若被積函數(shù)或其主要片面為復(fù)合函數(shù)，那么不管三七二十一先做變量替換使之成為簡(jiǎn)樸形式fu再說(shuō)。

其次片面《線性代數(shù)解題的八種思維定勢(shì)》

1.題設(shè)條件與代數(shù)余子式Aij或A*有關(guān)，那么立刻聯(lián)想到用行列式按行列開(kāi)展定理以及AA*=A*A=|A|E。

2.若涉及到A、B是否可交換，即AB=BA，那么立刻聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析。

3.若題設(shè)n階方陣A得志fA=0，要證aA+bE可逆，那么先分解出因子aA+bE再說(shuō)。

4.若要證明一組向量a1，a2，...，as線性無(wú)關(guān)，先考慮用定義再說(shuō)。

5.若已知AB=0，那么將B的每列作為Ax=0的解來(lái)處理再說(shuō)。

6.若由題設(shè)條件要求確定參數(shù)的取值，聯(lián)想到是否有某行列式為零再說(shuō)。

7.若已知A的特征向量0，那么先用定義A0=00處理一下再說(shuō)。

8.若要證明抽象n階實(shí)對(duì)稱矩陣A為正定矩陣，那么用定義處理一下再說(shuō)。

第三片面《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解題的九種思維定勢(shì)》

1.假設(shè)要求的是若干事情中至少有一個(gè)發(fā)生的概率，那么連忙聯(lián)想到概率加法公式;當(dāng)事情組相互獨(dú)立時(shí)，用對(duì)立事情的概率公式。

2.若給出的試驗(yàn)可分解成0-1的n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，那么連忙聯(lián)想到Bernoulli試驗(yàn)，及其概率計(jì)算公式。

3.若某事情是伴隨著一個(gè)完備事情組的發(fā)生而發(fā)生，那么連忙聯(lián)想到該事情的發(fā)生概率是用全概率公式計(jì)算。關(guān)鍵：探索完備事情組。

4.若題設(shè)中給出隨機(jī)變量X~N那么連忙聯(lián)想到標(biāo)準(zhǔn)化X~N0，1來(lái)處理有關(guān)問(wèn)題。

5.求二維隨機(jī)變量X，Y的邊緣分布密度的問(wèn)題，理應(yīng)連忙聯(lián)想到先畫(huà)出訪聯(lián)合分布密度的區(qū)域，然后定出X的變化區(qū)間，再在該區(qū)間內(nèi)畫(huà)一條//y軸的直線，先與區(qū)域邊界相交的為y的下限，后者為上限，而Y的求法類(lèi)似。

6.欲求二維隨機(jī)變量X，Y得志條件YgX或YgX的概率，理應(yīng)連忙聯(lián)想到二重積分的計(jì)算，其積分域D是由聯(lián)合密度的平面區(qū)域及得志YgX或YgX的區(qū)域的公共片面。

7.涉及n次試驗(yàn)?zāi)呈虑榘l(fā)生的次數(shù)X的數(shù)字特征的問(wèn)題，連忙要聯(lián)想到對(duì)X作0-1分解。

8.凡求解各概率分布已知的若干個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量組成的系統(tǒng)得志某種關(guān)系的概率或已知概率求隨機(jī)變量個(gè)數(shù)的問(wèn)題，連忙聯(lián)想到用中心極限定理處理。

9.若為總體X的一組簡(jiǎn)樸隨機(jī)樣本，那么只要涉及到統(tǒng)計(jì)量的分布問(wèn)題，一般聯(lián)想到用分布，t分布和F分布的定義舉行議論。

考研高等數(shù)學(xué)九個(gè)重要定理證明

高數(shù)定理證明之微分中值定理:

這一片面內(nèi)容對(duì)比豐富，包括費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會(huì)證。

費(fèi)馬引理的條件有兩個(gè)：1.fx0存在2.fx0為fx的極值，結(jié)論為fx0=0?？紤]函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，用什么方法?自然想到導(dǎo)數(shù)定義。我們可以按照導(dǎo)數(shù)定義寫(xiě)出fx0的極限形式。往下如何推理?關(guān)鍵要看其次個(gè)條件怎么用。"fx0為fx的極值'翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言即fx-fx00或0，對(duì)x0的某去心鄰域成立。結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義式中函數(shù)片面表達(dá)式，不難想到考慮函數(shù)片面的正負(fù)號(hào)。若能得出函數(shù)片面的符號(hào)，如何得到極限值的符號(hào)呢?極限的保號(hào)性是個(gè)橋梁。

費(fèi)馬引理中的"引理'包含著引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我們下面要議論的羅爾定理。若在微分中值定理這片面推舉一個(gè)考頻最高的，那羅爾定理當(dāng)之無(wú)愧。該定理的條件和結(jié)論想必各位都對(duì)比熟諳。條件有三："閉區(qū)間連續(xù)'、"開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)'和"端值相等'，結(jié)論是在開(kāi)區(qū)間存在一點(diǎn)即所謂的中值，使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0。

該定理的證明不好理解，需專(zhuān)心體會(huì)：條件怎么用?如何和結(jié)論建立聯(lián)系?當(dāng)然，我們現(xiàn)在議論該定理的證明是"馬后炮'式的：已經(jīng)有了證明過(guò)程，我們看看怎么去理解掌管。假設(shè)在羅爾生活的時(shí)代，證出該定理，那可是十足的創(chuàng)新，是要流芳百世的。

閑言少敘，言歸正傳。既然我們議論費(fèi)馬引理的作用是要引出羅爾定理，那么羅爾定理的證明過(guò)程中就要用到費(fèi)馬引理。我們比較這兩個(gè)定理的結(jié)論，不難察覺(jué)是一致的：都是函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0。話說(shuō)到這，可能有同學(xué)要說(shuō)：羅爾定理的證明并不難呀，由費(fèi)馬引理得結(jié)論不就行了。大方向?qū)Γ^(guò)程沒(méi)這么簡(jiǎn)樸。起碼要說(shuō)清一點(diǎn)：費(fèi)馬引理的條件是否得志，為什么得志?

前面提過(guò)費(fèi)馬引理的條件有兩個(gè)"可導(dǎo)'和"取極值'，"可導(dǎo)'不難判斷是成立的，那么"取極值'呢?貌似不能由條件直接得到。那么我們看看哪個(gè)條件可能和極值產(chǎn)生聯(lián)系。留神到羅爾定理的第一個(gè)條件是函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有很好的性質(zhì)，哪條性質(zhì)和極值有聯(lián)系呢?不難想到最值定理。

那么最值和極值是什么關(guān)系?這個(gè)點(diǎn)需要想領(lǐng)會(huì)，由于直接影響下面推理的走向。結(jié)論是：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，那么最值為極值;若最值均取在區(qū)間端點(diǎn)，那么最值不為極值。那么接下來(lái)，分兩種處境議論即可：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，此種處境下費(fèi)馬引理?xiàng)l件完全成立，不難得出結(jié)論;若最值均取在區(qū)間端點(diǎn)，留神到已知條件第三條報(bào)告我們端點(diǎn)函數(shù)值相等，由此推出函數(shù)在整個(gè)閉區(qū)間上的最大值和最小值相等，這意味著函數(shù)在整個(gè)區(qū)間的表達(dá)式恒為常數(shù)，那在開(kāi)區(qū)間上任取一點(diǎn)都能使結(jié)論成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來(lái)的。掌管這兩個(gè)定理的證明有一箭雙雕的效果：真題中直接考過(guò)拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個(gè)的定理的證明過(guò)程中表達(dá)出來(lái)的根本思路，適用于證其它結(jié)論。

以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們比較一下兩個(gè)定理的結(jié)論。羅爾定理的結(jié)論等號(hào)右側(cè)為零。我們可以考慮在草稿紙上對(duì)拉格朗日定理的結(jié)論作變形，變成羅爾定理結(jié)論的形式，移項(xiàng)即可。接下來(lái)，要從變形后的式子讀出是對(duì)哪個(gè)函數(shù)用羅爾定理的結(jié)果。這就是構(gòu)造輔佐函數(shù)的過(guò)程看等號(hào)左側(cè)的式子是哪個(gè)函數(shù)求導(dǎo)后，把x換成中值的結(jié)果。這個(gè)過(guò)程有點(diǎn)像犯罪現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查：根據(jù)這個(gè)犯罪現(xiàn)場(chǎng)，反推嫌疑人是誰(shuí)。當(dāng)然，構(gòu)造輔佐函數(shù)遠(yuǎn)比破案要簡(jiǎn)樸，簡(jiǎn)樸的題目直接查看;繁雜一些的，可以把中值換成x，再對(duì)得到的函數(shù)求不定積分。

高數(shù)定理證明之求導(dǎo)公式:

2021年真題考了一個(gè)證明題：證明兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式。幾乎每位同學(xué)都對(duì)這個(gè)公式怎么用對(duì)比熟諳，而對(duì)它怎么來(lái)的較為目生。實(shí)際上，從授課的角度，這種在2021年前從未考過(guò)的根本公式的證明，一般只會(huì)在根基階段講到。假設(shè)這個(gè)階段的考生帶慌張功近利的心態(tài)只關(guān)注結(jié)論怎么用，而不關(guān)切結(jié)論怎么來(lái)的，那很可能從未專(zhuān)心斟酌過(guò)該公式的證明過(guò)程，進(jìn)而在考場(chǎng)上變得很被動(dòng)。這里給2022考研學(xué)子提個(gè)醒：要重視根基階段的復(fù)習(xí)，那些真題中未考過(guò)的重要結(jié)論的證明，有可能考到，不要放過(guò)。

當(dāng)然，該公式的證明并不難。先考慮fx*gx在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)。函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)自然用導(dǎo)數(shù)定義考察，可以按照導(dǎo)數(shù)定義寫(xiě)出一個(gè)極限式子。該極限為"0分之0'型，但不能用洛必達(dá)法那么，由于分子的導(dǎo)數(shù)不好算乘積的導(dǎo)數(shù)公式恰好是要證的，不能用!。利用數(shù)學(xué)上常用的拼湊之法，加一項(xiàng)，減一項(xiàng)。這個(gè)"無(wú)中生有'的項(xiàng)要和前后都有聯(lián)系，便于提公因子。之后分子的四項(xiàng)兩兩配對(duì)，除以分母后考慮極限，不難得出結(jié)果。再由x0的任意性，便得到了fx*gx在任意點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)公式。

高數(shù)定理證明之積分中值定理:

該定理?xiàng)l件是定積分的被積函數(shù)在積分區(qū)間閉區(qū)間上連續(xù)，結(jié)論可以形式地記成該定積分等于把被積函數(shù)拎到積分號(hào)外面，并把積分變量x換成中值。如何證明?可能有同學(xué)想到用微分中值定理，理由是微分相關(guān)定理的結(jié)論中含有中值?？梢园凑沾怂悸吠路治?，不過(guò)更易理解的思路是考慮連續(xù)相關(guān)定理介值定理和零點(diǎn)存在定理，理由更充分些：上述兩個(gè)連續(xù)相關(guān)定理的結(jié)論中不但含有中值而且不含導(dǎo)數(shù)，而待證的積分中值定理的結(jié)論也是含有中值但不含導(dǎo)數(shù)。

若我們選擇了用連續(xù)相關(guān)定理去證，那么畢竟選擇哪個(gè)定理呢?這里有個(gè)小的技巧看中值是位于閉區(qū)間還是開(kāi)區(qū)間。介值定理和零點(diǎn)存在定理的結(jié)論中的中值分別位于閉區(qū)間和開(kāi)區(qū)間，而待證的積分中值定理的結(jié)論中的中值位于閉區(qū)間。那么何去何從，已經(jīng)不言自領(lǐng)略。

若順?biāo)爝x中了介值定理，那么往下如何推理呢?我們可以比較一下介值定理和積分中值定理的結(jié)論：介值定理的結(jié)論的等式一邊為某點(diǎn)處的函數(shù)值，而等號(hào)另一邊為常數(shù)A。我們自然想到把積分中值定理的結(jié)論朝以上的形式變形。等式兩邊同時(shí)除以區(qū)間長(zhǎng)度，就能達(dá)成我們的要求。當(dāng)然，變形后等號(hào)一側(cè)含有積分的式子的長(zhǎng)相還是挺有迷惑性的，要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，看領(lǐng)會(huì)定積分的值是一個(gè)數(shù)，進(jìn)而定積分除以區(qū)間長(zhǎng)度后仍為一個(gè)數(shù)。這個(gè)數(shù)就相當(dāng)于介值定理結(jié)論中的A。

接下來(lái)如何推理，這就考察各位對(duì)介值定理的熟諳程度了。該定理?xiàng)l件有二：1.函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，2.實(shí)數(shù)A位于函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值之間，結(jié)論是該實(shí)數(shù)能被取到即A為閉區(qū)間上某點(diǎn)的函數(shù)值。再看若積分中值定理的條件成立否能推出介值定理的條件成立。函數(shù)的連續(xù)性不難判斷，僅需說(shuō)明定積分除以區(qū)間長(zhǎng)度這個(gè)實(shí)數(shù)位于函數(shù)的最大值和最小值之間即可。而要考察一個(gè)定積分的值的范圍，不難想到對(duì)比定理或估值定理。

高數(shù)定理證明之微積分根本定理:

該片面包括兩個(gè)定理：變限積分求導(dǎo)定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導(dǎo)定理的'條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結(jié)論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為把積分號(hào)扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。留神該求導(dǎo)公式對(duì)閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)要識(shí)別對(duì)待：對(duì)應(yīng)開(kāi)區(qū)間上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是一類(lèi)，而區(qū)間端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)屬單側(cè)導(dǎo)數(shù)?；ㄩ_(kāi)兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上任意點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)。一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)仍用導(dǎo)數(shù)定義考慮。至于導(dǎo)數(shù)定義這個(gè)極限式如何化簡(jiǎn)，筆者就不能剝奪讀者斟酌的權(quán)利了。單側(cè)導(dǎo)數(shù)類(lèi)似考慮。

"牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它是微積分中最根本的公式之一。它證領(lǐng)略微分與積分是可逆運(yùn)算，同時(shí)在理論上標(biāo)志著微積分完整體系的形成，此后微積分成為一門(mén)真正的學(xué)科。'這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能純熟運(yùn)用該公式計(jì)算定積分。不過(guò)，提起該公式的證明，熟諳的考生并不多。

該公式和變限積分求導(dǎo)定理的公共條件是函數(shù)fx在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個(gè)條件是Fx為fx在閉區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，結(jié)論是fx在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的差。該公式的證明要用到變限積分求導(dǎo)定理。若該公式的條件成立，那么不難判斷變限積分求導(dǎo)定理的條件成立，故變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論成立。

留神到該公式的另一個(gè)條件提到了原函數(shù)，那么我們把變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論用原函數(shù)的語(yǔ)言描述一下，即fx對(duì)應(yīng)的變上限積分函數(shù)為fx在閉區(qū)間上的另一個(gè)原函數(shù)。根據(jù)原函數(shù)的概念，我們知道同一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)原函數(shù)之間只差個(gè)常數(shù)，所以Fx等于fx的變上限積分函數(shù)加某個(gè)常數(shù)C。萬(wàn)事俱備，只差寫(xiě)一下。將該公式右側(cè)的表達(dá)式結(jié)合推出的等式變形，不難得出結(jié)論。

考研數(shù)學(xué)沖刺攻堅(jiān)的四步策略

1、堅(jiān)持每天做確定數(shù)量的習(xí)題，保持題感

好多同學(xué)認(rèn)為到了復(fù)習(xí)的后期，數(shù)學(xué)只需要看看以前的錯(cuò)題和不會(huì)的題目，掃除盲點(diǎn)即可，這樣的想法是大錯(cuò)特錯(cuò)的。我們務(wù)必要保證每天做確定數(shù)量的習(xí)題，保持這樣的做題狀態(tài)一向到考試的前一天。建議同學(xué)們每三天做一套數(shù)學(xué)模擬卷，一天全真模擬，剩下的兩天留心看參考答案解析，并且還要堅(jiān)持找一些題目來(lái)做。這樣就可以保證每天都做題目。其實(shí)數(shù)學(xué)是隔一段時(shí)間不接觸就會(huì)很快的遺忘的，三兩天不做數(shù)學(xué)題再做的時(shí)候就感覺(jué)很生疏，磕磕碰碰，思路不順暢。這樣的狀態(tài)分外不利于在真實(shí)考場(chǎng)上的發(fā)揮?？佳袛?shù)學(xué)雖然題目不會(huì)很難，對(duì)比根基，但是有一個(gè)特點(diǎn)就是計(jì)算量分外大，假設(shè)做題的時(shí)候不順手的話，一般很難全部完成全體的考題。堅(jiān)持每天做數(shù)學(xué)題，這一點(diǎn)分外分外重要，夢(mèng)想同學(xué)們能夠重視。

2、以前總結(jié)的錯(cuò)題和不會(huì)的題目要經(jīng)常看

前期我們強(qiáng)調(diào)過(guò)確定要在平日做題的過(guò)程中留神把錯(cuò)題和不會(huì)的題做好標(biāo)記，這在復(fù)習(xí)的沖刺階段就派上了大用場(chǎng)。由于到后期的時(shí)候，時(shí)間很慌張，有了錯(cuò)題集，就知道自己哪兒會(huì)哪兒不會(huì)，知道有限精力理應(yīng)放在哪兒，后期時(shí)間很慌張，不成能再每個(gè)題目再過(guò)一遍，也沒(méi)有必要?？佳泻笃谟邢薜木Υ_定要放在刀刃上，查漏補(bǔ)缺，不能再像剛開(kāi)頭的時(shí)候那樣面面俱到。對(duì)于以前總結(jié)的錯(cuò)題和不會(huì)的題目，建議最好不要看解答，自己再做一遍。考研數(shù)學(xué)雖然本質(zhì)上就是做題再做題，但是在后期的時(shí)候沒(méi)有必要再去搞題海戰(zhàn)術(shù)，沒(méi)有必要去找市場(chǎng)上充塞的大量的模擬題，不是什么題目都有質(zhì)量值得你花名貴的時(shí)間去做。后期把主要精力花在曾經(jīng)的錯(cuò)題和不會(huì)的題目上，掃除盲點(diǎn)，這樣更有針對(duì)性。

3、把根本概念弄懂，把根本理論弄透

數(shù)學(xué)的學(xué)識(shí)體系很浩瀚，從學(xué)識(shí)論的角度來(lái)講，它的內(nèi)在布局很?chē)?yán)正，很富有層次感。從概念、定義到公理，從公理到定理、推論，層層演進(jìn)，步步深入。假設(shè)忽略了數(shù)學(xué)最根基的學(xué)識(shí)，好多人就可能知其然、不知其所以然，有時(shí)候你絞盡腦汁不得其解，很可能只是由于你對(duì)某個(gè)概念的理解不夠透徹。

考研數(shù)學(xué)需要掌管的學(xué)識(shí)點(diǎn)并不多，但相互之間聯(lián)系繁雜、千絲萬(wàn)縷，點(diǎn)到點(diǎn)的規(guī)律關(guān)系和深層次的框架布局難于理清。任何一門(mén)學(xué)科學(xué)到確定的高度必然要求你對(duì)這門(mén)學(xué)科的學(xué)識(shí)布局有一個(gè)明顯的輪廓，要站在確定高度對(duì)全體內(nèi)容有一個(gè)系統(tǒng)的熟悉。但是這個(gè)熟悉要建立在對(duì)全體的學(xué)識(shí)點(diǎn)透徹理解的根基上。

所謂把根本理論學(xué)透，是從以下幾