2018屆高考理科數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)檢測7

第五章平面向量第一節(jié)平面向量的觀點(diǎn)及線性運(yùn)算本節(jié)主要包含2個知識點(diǎn)：1.平面向量的有關(guān)觀點(diǎn)；2.平面向量的線性運(yùn)算.打破點(diǎn)(一)平面向量的有關(guān)觀點(diǎn)基礎(chǔ)聯(lián)通抓骨干知識的“源”與“流”名稱定義備注既有大小又有方向的量叫平面向量是自由向量，平面向量做向量；向量的大小叫做向向量可自由平移量的長度(或稱模)零向量長度為0的向量；其方向是記作0隨意的非零向量a的單位向量為單位向量長度等于1個單位的向量±a|a|平行向量方向同樣或相反的非零向0與任一直量平行或共線量，又叫做共線向量相等向量長度相等且方向同樣的向兩向量只有相等或不等，不量能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向0的相反向量為0量考點(diǎn)貫穿抓高考命題的“形”與“神”平面向量的有關(guān)觀點(diǎn)[典例]ab(1)設(shè)a，b都是非零向量，以下四個條件中，使|a|＝|b|成立的充分條件是

(

)A．a(chǎn)＝－bC．a(chǎn)＝2b

B．a(chǎn)∥bD．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|(2)設(shè)a0為單位向量，以下命題中：①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|·a；②若a與a平行，則00＝1，則a＝a0.假命題的個數(shù)是(

a＝|a|a；③若0)

a與

a平行且|a|0A．0

B．1

C．2

D．3[分析]

(1)由于向量

a|a|的方向與向量

ba同樣，向量|b|的方向與向b量b同樣，且|a|＝|b|，所以向量a與向量b方向同樣，故可清除選項(xiàng)A，，D.當(dāng)＝2b時，a＝2b＝b，故a＝2b是a＝b成立的充分Ba|a||2b||b||a||b|條件．(2)向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模同樣，但方向不必定同樣，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種狀況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3.[答案](1)C(2)D[易錯提示](1)兩個向量不可以比較大小，只能夠判斷它們能否相等，但它們的模能夠比較大??；(2)大小與方向是向量的兩個因素，分別是向量的代數(shù)特色與幾何特色；(3)向量能夠自由平移，隨意一組平行向量都能夠移到同向來線上．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1．給出以下命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則AB＝DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.此中正確命題的序號是()A．②③B．①②C．③④D．①④分析：選A①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不必定同樣．②正確．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC.又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則AB∥DC且AB＝DC，所以，AB＝||||DC③正確．∵＝，∴，的長度相等且方向同樣，又＝，∴，.ababbcbc的長度相等且方向同樣，∴a，c的長度相等且方向同樣，故a＝c.④不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時，即便|a|＝|b|，也不可以獲得a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必需不充分條件．綜上所述，正確命題的序號是②③.應(yīng)選A.2．給出以下命題：①兩個擁有公共終點(diǎn)的向量，必定是共線向量；②兩個向量不可以比較大小，但它們的模能比較大??；③λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零；④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．此中錯誤的命題的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4分析：選C①錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)．②正確，由于向量既有大小，又有方向，故它們不可以比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故能夠比較大?。坼e誤，當(dāng)a＝0時，無論λ為什么值，λa＝0.④錯誤，當(dāng)λ＝μ＝0時，λa＝μb＝0，此時，a與b能夠是隨意愿量．錯誤的命題有3個，應(yīng)選C.3．如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，則圖中與OC相等的向量有________．答案：AB，ED，F(xiàn)O14．如圖，△ABC和△A′B′C′是在各邊的3處訂交的兩個全a等的等邊三角形，設(shè)△ABC的邊長為a，圖中列出了長度均為3的若干個向量，則(1)與向量GH相等的向量有________；(2)與向量GH共線，且模相等的向量有________；(3)與向量EA共線，且模相等的向量有________．分析：向量相等?向量方向同樣且模相等．向量共線?表示有向線段所在的直線平行或重合．答案：(1)LB，HC(2)EC，LE，LB，GB，HCEF，F(xiàn)B，HA，HK，KB基礎(chǔ)聯(lián)通

打破點(diǎn)(二)平面向量的線性運(yùn)算抓骨干知識的“源”與“流”1．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)定義法例(或幾何意義)運(yùn)算律算互換律：求兩個向a＋b＝b＋a；加法量和的運(yùn)聯(lián)合律：算(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的a－b＝a＋(－b)相反向量－b的和的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，務(wù)實(shí)數(shù)λ與當(dāng)λ＞0時，λa與a的數(shù)乘向量a的積方向同樣；當(dāng)λ＜0時，的運(yùn)算λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0

λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb2.平面向量共線定理向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.考點(diǎn)貫穿抓高考命題的“形”與“神”平面向量的線性運(yùn)算[例1](1)在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若點(diǎn)D知足BD＝2DC，則AD＝()1252A.3b＋3cB.3c－3b2121C.3b－3cD.3b＋3c1(2)在△ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)且AN＝2NC，P是BN上一點(diǎn)，若＝m＋2m的值是．AC，則實(shí)數(shù)APAB9________[分析](1)由題可知BC＝AC－AB＝－，∵BD＝2DC，∴BDbc＝2BC＝2(b－c)，則AD＝AB＋BD＝c＋2(b－c)＝2b＋1c，應(yīng)選D.33333(2)如圖，由于AN＝1NC，所以AN＝1AC，所23以＝m＋2AC＝mAB＋2AN由于，，三APAB93.BPN21點(diǎn)共線，所以m＋3＝1，則m＝3.1[答案](1)D(2)3[方法技巧]1．平面向量的線性運(yùn)算技巧(1)不含圖形的狀況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法例求解．(2)含圖形的狀況：將它們轉(zhuǎn)變到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解．2．利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路(1)沒有圖形的正確作出圖形，確立每一個點(diǎn)的地點(diǎn)．(2)利用平行四邊形法例或三角形法例進(jìn)行轉(zhuǎn)變，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蟮南蛄啃问剑?3)比較，察看可知所求．平面向量共線定理的應(yīng)用[例2]設(shè)兩個非零向量a和b不共線．(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求證：A，B，D三點(diǎn)共線．(2)試確立實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．[解](1)證明：由于AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，所以BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB，所以AB，BD共線．又AB與BD有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線．(2)由于ka＋b與a＋kb共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，k＝λ，即解得k＝±1.1＝λk，即k＝1或－1時，ka＋b與a＋kb共線．[方法技巧]平面向量共線定理的三個應(yīng)用(1)證明向量共線：對于非零向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線．(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使AB＝λAC，AB與AC有公共點(diǎn)A，則A，B，C三點(diǎn)共線．(3)求參數(shù)的值：利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．[提示]證明三點(diǎn)共線時，需說明共線的兩向量有公共點(diǎn)．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.[考點(diǎn)一]如下圖，以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()①PQ＝3＋3；②PT＝3－；③＝3－2a2b2abPS2a132b；④PR＝2a＋b.A．①②B．③④C．①③D．②④分析：選C依據(jù)向量的加法法例，得PQ＝3＋3，故①正確；2a2b33依據(jù)向量的減法法例，得PT＝2a－2b，故②錯誤；PS＝PQ＋QS＝33313332a＋2b－2b＝2a－2b，故③正確；PR＝PQ＋QR＝2a＋2b－b＝2a1＋2b，故④錯誤．應(yīng)選C.[考點(diǎn)二]已知，是不共線的向量，AB＝λa＋，AC＝＋μb，2.abbaλ，μ∈R，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件為()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1分析：選D∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴AB∥AC，設(shè)AB＝λ＝m，mAC(m≠0)，則λa＋b＝m(a＋μb)，∴∴λμ＝1，應(yīng)選1＝mμ，D.3.[考點(diǎn)一]在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，DE交AF于H，記AB，BC分BCCD別為a，b，則AH＝()2424A.5a－5bB.5a＋5b2424C．－5a＋5bD．－5a－5b分析：選B如圖，過點(diǎn)F作BC的平行線交11DE于G，則G是DE的中點(diǎn)，且GF＝2EC＝4BC，114∴GF＝4AD，則△AHD∽△FHG，從而HF＝4AH，∴AH＝5AF，AF＝AD＋DF＝＋1，∴AH＝4b＋1a＝2＋4，應(yīng)選B.b2a525a5b4.[考點(diǎn)二]已知a，b是兩個不共線的非零向量，且a與b起點(diǎn)相1同．若a，tb，3(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同向來線上，則t＝________.分析：∵a，tb，1＋三向量的終點(diǎn)在同一條直線上，且a與3(ab)121起點(diǎn)同樣．∴a－tb與a－3(a＋b)共線，即a－tb與3a－3b共線，2∴存在實(shí)數(shù)λ，使a－tb＝λ2a－1b，∴1＝3λ，解得λ＝3，t＝1，33122t＝3λ，11若a，tb，3(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上，則t＝2.1答案：2[全國卷5年真題集中操練——明規(guī)律]1.(2015新·課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝3CD，則()A．AD＝－143AB＋3AC14B．

＝3AB－3AC1C．AD＝3AB＋3AC1D．AD＝3AB－3AC分析：選A11AD＝AC＋CD＝AC＋3BC＝AC＋3(AC－AB)＝4AC－1AB＝－1AB＋4AC，應(yīng)選A.33332．(2014·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則EB＋FC＝()11A．ADB.2ADC．BCD.2BC分析：選A11EB＋FC＝2(AB＋CB)＋2(AC＋BC)＝12(AB＋AC)＝AD，應(yīng)選A.3．(2015新·課標(biāo)全國卷Ⅱ)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________.分析：∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，1即λa＋b＝ta＋2tb，∴λ＝t，λ＝2，＝，解得112tt＝2.答案：12[課時達(dá)標(biāo)檢測]要點(diǎn)保分課時——一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過高考[練基礎(chǔ)小題——加強(qiáng)運(yùn)算能力]1．(2017·杭州模擬)在△ABC中，已知M是BC中點(diǎn)，設(shè)CB＝a，CA＝b，則AM＝()11A.2a－bB.2a＋b11C．a(chǎn)－2bD．a(chǎn)＋2b分析：選A11AM＝AC＋CM＝－CA＋2CB＝－b＋2a，應(yīng)選A.2．已知O，A，B，C為同一平面內(nèi)的四個點(diǎn)，若2AC＋CB＝0，則向量OC等于()2112A.3OA－3OBB．－3OA＋3OBC．2OA－OBD．－OA＋2OB分析：選C由于AC＝OC－OA，CB＝OB－OC，所以2AC＋CB＝2(OC－OA)＋(OB－OC)＝OC－2OA＋OB＝0，所以O(shè)C＝2OAOB.3．在四邊形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是()A．矩形B．平行四邊形C．梯形D．以上都不對分析：選C由已知得，AD＝AB＋BC＋CD＝a＋2b－4a－b5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，故AD∥BC.又由于AB與CD不平行，所以四邊形

ABCD

是梯形．4．已知向量

a，b，c中隨意兩個都不共線，但

a＋b與

c共線，且b＋c與

a共線，則向量

a＋b＋c＝(

)A．a(chǎn)

B．bC．c

D．0分析：選D依題意，設(shè)a＋b＝mc，b＋c＝na，則有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a與c不共線，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.5．已知△ABC和點(diǎn)M知足MA＋MB＋MC＝0.若存在實(shí)數(shù)m使得AB＋AC＝mAM成立，則m＝________.分析：由MA＋MB＋MC＝0知，點(diǎn)M為△ABC的重心，設(shè)點(diǎn)2211D為底邊BC的中點(diǎn)，則AM＝3AD＝3×2(AB＋AC)＝3(AB＋AC)，所以AB＋AC＝3AM，故m＝3.答案：3[練?？碱}點(diǎn)——查驗(yàn)高考能力]一、選擇題331．設(shè)M是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，且MB＋2MA＋2MC＝0，D是AC的中點(diǎn)，則|MD|)的值為(|BM|11A.3B.2C．1D．2分析：選A∵D是AC的中點(diǎn)，如圖，延伸MD至E，使得DE＝MD，∴四邊形MAEC為平行四邊形，∴MD＝1ME＝1(MA＋MC)，∴MA＋MC＝2MD.∵M(jìn)B＋3MA＋322223|MD|MC＝0，∴MB＝－2(MA＋MC)＝－3MD，∴BM＝3MD，∴|BM|＝|MD|＝1，應(yīng)選A.|3MD|32．在△ABC中，BD＝3DC，若AD＝λ1AB＋λ2AC，則λλ12的值為()13110A.16B.16C.2D.9分析：選B由題意得，＝＋＝33ADABBDAB＋4BC＝AB＋413＝1，λ＝3，∴λ＝3(AC－AB)＝4AB＋4AC，∴λ14241λ216.3．設(shè)D，E，F(xiàn)分別是△ABC的三邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，則AD＋BE＋CF與BC()A．反向平行B．同向平行C．相互垂直D．既不平行也不垂直分析：選A由題意得＝＋＝1ADABBDAB＋3BC，BE＝BA＋11AE＝BA＋3AC，CF＝CB＋BF＝CB＋3BA，所以AD＋BE＋CF＝121CB＋3(BC＋AC－AB)＝CB＋3BC＝－3BC，故AD＋BE＋CF與BC反向平行．4．已知點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心，且OA＋OB＋CO＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于()A．30°B．45°C．60°D．90°分析：選A由OA＋OB＋CO＝，得OA＋OB＝0OC，由O為△ABC外接圓的圓心，可得|OA|＝|OB|＝|OC|.設(shè)OC與AB交于點(diǎn)D，如圖，由OA＋OB＝OC可知D為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C＝2OD，D為OC的中點(diǎn)．又由|OA|＝|OB|可知OD⊥AB，即OC⊥AB，所以四邊形OACB為菱形，所以△OAC為等邊三角形，即∠CAO60°，故A＝30°.5．已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作一條直線與AB，ACxy兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且AM＝xAB，AN＝y(tǒng)AC，則x＋y的值為()11A．3B.3C．2D.2分析：選B由已知得M，G，N三點(diǎn)共線，所以AG＝λ＋AM(1－λ)AN＝λxAB＋(1－λ)yAC.∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴2AG＝311λx＝1，λ＝1，33x×2(AB＋AC)＝3(AB＋AC)，∴1即11－λy＝3，1－λ＝3y，1111x＋yxy1得3x＋3y＝1，即x＋y＝3，通分得xy＝3，∴x＋y＝3.6．若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且知足5AM＝AB＋3AC，則△ABM與△ABC的面積的比值為()1234A.5B.5C.5D.5分析：選C設(shè)AB的中點(diǎn)為D，如圖，連結(jié)MD，MC，由5AM＝AB＋3AC，得5AM＝2AD＋3AC①，即AM＝2AD＋3AC，即2＋3＝1，故C，5555，三點(diǎn)共線，又AM＝AD＋DM②，①②聯(lián)立，得5DM＝3DC，MD3即在△ABM與△ABC中，邊AB上的高的比值為5，所以△ABM與3△ABC的面積的比值為5.二、填空題7．已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且11BC＝a，CA＝b，給出以下命題：①AD＝2a－b；②BE＝a＋2b；③11CF＝－2a＋2b；④AD＋BE＋CF＝0.此中正確命題的個數(shù)為________．11分析：由BC＝a，CA＝b可得AD＝2CB＋AC＝－2a－b，BE＝111111BC＋2CA＝a＋2b，CF＝2(CB＋CA)＝2(－a＋b)＝－2a＋2b，AD＋BE＋CF＝－1－＋＋1－1＋1＝，所以①錯，②③④正確．所2aba2b2a2b0以正確命題的個數(shù)為3.答案：38．若|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，則|AB＋AC|＝________.分析：∵|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，∴△ABC是邊長為2的正三角形，∴|AB＋AC|為△ABC的邊BC上的高的2倍，∴|AB＋AC|π＝2×2sin3＝23.答案：239．若點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且知足|OB－OC|＝|OBOC－2OA|，則△ABC的形狀為________．分析：由于OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，所以|AB＋AC|＝|AB－AC|，即AB·AC0，故AB⊥AC，△ABC為直角三角形．答案：直角三角形10．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上，若AE＝AD＋μAB，則μ的取值范圍是________．分析：由題意可求得AD＝1，CD＝3，所以AB＝2DC.∵點(diǎn)E在線段CD上，∴DE＝λDC(0≤λ≤1)．∵AE＝AD＋DE，又AE＝AD2μ2μλ＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋λDE，∴λ＝1，即μ＝2.∵0≤λ≤1，11∴0≤μ≤2，即μ的取值范圍是0，2.答案：10，2三、解答題11.如圖，以向量OA＝a，OB＝b為鄰邊作?OADB，BM＝1BC，CN＝1CD，用，表示OM，33abON，MN.111解：∵BA＝OA－OB＝a－b，BM＝6BA＝6a－6b，∴OM＝OB＋BM＝＋1a－1b＝1＋5b666a6b.又∵OD＝a＋b，111ON＝OC＋3CD＝2OD＋6OD222＝3OD＝3a＋3b，221511∴MN＝ON－OM＝3a＋3b－6a－6b＝2a－6b.152211綜上，OM＝6a＋6b，ON＝3a＋3b，MN＝2a－6b.12.如下圖，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，2AC的中點(diǎn)，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.3(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．解：(1)延伸AD到G，1使AD＝2AG，連結(jié)BG，CG，獲得?ABGC，如圖，所以AG＝AB＋AC＝a＋b，11AD＝2AG＝2(a＋b)，21AE＝3AD＝3(a＋b)，1AF＝2AC＝2b，11BE＝AE－AB＝3(a＋b)－a＝3(b－2a)，11＝

－AB＝2b－a＝2(b－2a)．2(2)證明：由(1)可知BE＝3BF，又由于BE，BF有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示本節(jié)主要包含2個知識點(diǎn)：1.平面向量基本定理；2.平面向量的坐標(biāo)表示.打破點(diǎn)(一)平面向量基本定理基礎(chǔ)聯(lián)通抓骨干知識的“源”與“流”平面向量基本定理假如e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的隨意愿量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ，λ，使a＝λe＋λe.121122此中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底．考點(diǎn)貫穿抓高考命題的“形”與“神”基底的概念[例1]假如e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么以下四組向量中，不可以作為平面內(nèi)全部向量的一組基底的是()A．e1與e1＋e2B．e1－2e2與e1＋2e2C．＋e2與e1－e2D．1＋3e2與6e2＋2e1e1e[分析]選項(xiàng)A中，設(shè)e1＋e21＝λ，＝λe1，則無解；1＝01＝λ，選項(xiàng)B中，設(shè)e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，則－2＝2λ無解；1＝λ，選項(xiàng)C中，設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，則無解；1＝－λ1選項(xiàng)D中，e1＋3e2＝2(6e2＋2e1)，所以兩向量是共線向量，不可以作為平面內(nèi)全部向量的一組基底．[答案]D[易錯提示]某平面內(nèi)全部向量的一組基底一定是兩個不共線的向量，不可以含有零向量．平面向量基本定理的應(yīng)用[例2](2016江·西南昌二模)如圖，在△ABC中，設(shè)AB＝a，AC＝b，AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為R，CR的中點(diǎn)恰為P，則AP＝()1112A.2a＋2bB.3a＋3b2442C.7a＋7bD.7a＋7b[分析]如圖，連結(jié)，則AP＝AC＋CP＝＋BPbPR，①AP＝AB＋BP＝a＋RP－RB，②①＋②，得2AP＝a＋b－RB，③又RB＝111a－1AP，④2QB＝(AB－AQ)＝222將④代入③，得211AP，AP＝a＋b－2a－24解得AP＝7a＋7b.[答案]C[方法技巧]平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法例進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再經(jīng)過向量的運(yùn)算來解決．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.[考點(diǎn)二](2017·濰坊模擬)在△ABC中，P，Q分別是AB，BC的三均分點(diǎn)，且AP＝1，＝1，若AB＝，AC＝，則PQ＝3ABBQ3BCab()1111A.3a＋3bB．－3a＋3b1111C.3a－3bD．－3a－3b分析：選A由題意知PQ＝PB＋BQ＝2AB＋1BC＝2AB＋133331111(AC－AB)＝3AB＋3AC＝3a＋3b，應(yīng)選A.2.[考點(diǎn)一](2016·泉州調(diào)研)若向量a，b不共線，則以下各組向量中，能夠作為一組基底的是

(

)A．a(chǎn)－2b與－a＋2b

B．3a－5b與

6a－10bC．a(chǎn)－2b與

5a＋7b

13D．2a－3b與2a－4b分析：選C不共線的兩個向量能夠作為一組基底．由于a－2b與5a＋7b不共線，故a－2b與5a＋7b能夠作為一組基底．3.[考點(diǎn)二]如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，OP＝xOA＋yOB，且BP＝2PA，則()A．＝2，y＝1．＝1，y＝2x33Bx33C．＝1，y＝3D．＝3，y＝1x44x44分析：選A由題意知OP＝OB＋BP，又BP＝2PA，所以O(shè)P＝OB＋2＝OB＋2OA－OB＝2OA＋1OB，所以＝2，y＝13BA3()33x33.4.[考點(diǎn)二](2017·綿陽診療)在△ABC中，AN＝12AC，P是BN上一點(diǎn)，若AP＝mAB＋3AC，則實(shí)數(shù)m的值為．8________分析：∵B，P，N三點(diǎn)共線，1∴AP＝tAB＋(1－t)AN＝tAB＋2(1－t)AC，3又∵AP＝mAB＋8AC，m＝t，解得m＝t＝1.∴1321－t＝8，4答案：14打破點(diǎn)(二)平面向量的坐標(biāo)表示基礎(chǔ)聯(lián)通抓骨干知識的“源”與“流”1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則：a＋b＝(x＋x，y＋y)，a－b＝(x－x，y－y)，λa＝(λx，λy)，1212121211|a|＝x21＋y21.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．一般地，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝(x2－x1，y2－y1)．2．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，此中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.考點(diǎn)貫穿抓高考命題的“形”與“神”平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算[例1]已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)AB＝a，BCb，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求知足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量MN的坐標(biāo)．[解]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，－6m＋n＝5，＝－，∴m1解得1.n即所務(wù)實(shí)數(shù)m的值為－1，n的值為－1.(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，CM＝OM－OC＝3c，OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，即M(0,20)．又∵CN＝ON－OC＝－2b，ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，即N(9,2)．MN＝(9，－18)．[方法技巧]平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主假如利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法例來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩頭點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)同樣這一原則，經(jīng)過列方程(組)來進(jìn)行求解．平面向量共線的坐標(biāo)表示[例2]已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)當(dāng)k為什么值時，ka－b與a＋2b共線；(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值．[解](1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，ka－b與a＋2b共線，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，1∴k＝－2.(2)AB＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴AB∥BC，∴8m－3(2m＋1)＝0，3m＝2.[方法技巧]向量共線的坐標(biāo)表示中的乘積式和比率式(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0，這是代數(shù)運(yùn)算，用它解決平面向量共線問題的長處在于不需要引入?yún)?shù)“λ”，從而減少了未知數(shù)的個數(shù)，并且它使問題的解決擁有代數(shù)化的特色和程序化的特色．x1y1(2)當(dāng)x2y2≠0時，a∥b?x2＝y(tǒng)2，即兩個向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比率，這類形式不易出現(xiàn)搭配錯誤．(3)公式x1y2－x2y1＝0無條件x2y2≠0的限制，便于記憶；公式x1x2y1有條件x2y2≠0的限制，但不易犯錯．所以我們能夠記比率式，y2但在解題時改寫成乘積的形式．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”51.[考點(diǎn)一]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝0，2，則c可用向量a，b表示為()11A.2a＋bB.－2a－b3131C.2a＋2bD.2a－2b分析：選A設(shè)c＝xa＋yb，則5＝(2x－y，x＋2y)，所以0，22x－＝，1y0x＝，15解得2則c＝＋x＋2y＝2，y＝1，22.[考點(diǎn)一]已知點(diǎn)M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)分析：選AMN＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，設(shè)N(x，y)，則MN＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，x－5＝－3，x＝2，即N(2,0)．所以解得y＋6＝6，y＝0，3.[考點(diǎn)二]已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(－k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是()2411A．－3B.3C.2D.3分析：選AAB＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－OA＝(－2k，－2)．∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴AB，AC共線，∴－2×(4－k)2＝－7×(－2k)，解得k＝－3.4.[考點(diǎn)二]已知梯形ABCD，此中AB∥DC，且DC＝2AB，三個極點(diǎn)A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________．分析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，∴DC＝2AB.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則DC＝(4－x，2－y)，AB＝(1，－1)，(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，4－x＝2，解得x＝2，∴故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)．2－y＝－2，y＝4，答案：(2,4)5.[考點(diǎn)二]已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，設(shè)t∈R，假如3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t為什么值時，C，D，E三點(diǎn)共線？解：由題設(shè)知，CD＝OD－OC＝d－c＝2b－3a，CE＝OE－OC＝e－c＝t(a＋b)－3a＝(t－3)a＋tb.若a，b不共線，則有C，D，E三點(diǎn)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.若a，b共線，則t可為隨意實(shí)數(shù)；t－3＋3k＝0，2k－t＝0，6解得t＝5.6綜上，可知a，b共線時，t可為隨意實(shí)數(shù)；a，b不共線時，t＝5.[全國卷5年真題集中操練——明規(guī)律]1.(2015新·課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，則向量BC＝()A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)分析：選A設(shè)，y)，則AC＝(x，－＝－，－，所以C(xy1)(43)x＝－4，解得x＝－4，y－1＝－3，從而BC＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，y＝－2，4)．應(yīng)選A.2．(2016·全國甲卷)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________.分析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.答案：－6[課時達(dá)標(biāo)檢測]要點(diǎn)保分課時——一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過高考[練基礎(chǔ)小題——加強(qiáng)運(yùn)算能力]．若向量AB＝，AC＝，則BC＝()1(2,4)(1,3)A．(1,1)B．(－1，－1)C．(3,7)D．(－3，－7)分析：選B由向量的三角形法例，BC＝AC－AB＝(1,3)－(2,4)(－1，－1)．應(yīng)選B.2．(2017·臺期末豐)已知向量a＝(3，－4)，b＝(x，y)，若a∥b，則(

)A．3x－4y＝0C．4x＋3y＝0分析：選C

B．3x＋4y＝0D．4x－3y＝0由平面向量共線基本定理可得

3y＋4x＝0，應(yīng)選C.3．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，則c＝()A．(－23，－12)B．(23,12)C．(7,0)D．(－7,0)分析：選A由題意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，23＋x＝0，x＝－23，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以解得所以12＋y＝0，y＝－12，c＝(－23，－12)．．若AC為平行四邊形ABCD的一條對角線，AB＝，AC＝4(3,5)(2,4)，則AD＝()A．(－1，－1)B．(5,9)C．(1,1)D．(3,5)分析：選A由題意可得AD＝BC＝AC－AB＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)．5．若三點(diǎn)A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實(shí)數(shù)a的值為________．分析：AB＝(a－1,3)，AC＝(－3,4)，據(jù)題意知AB∥AC，∴4(a5－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－4.5答案：－4[練常考題點(diǎn)——查驗(yàn)高考能力]一、選擇題1．已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，m)，若a∥b，則3a＋2b＝(

)A．(7,2)B．(7，－14)C．(7，－4)D．(7，－8)分析：選B∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(2，－4)，3a＋2b＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．2．設(shè)向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，則x的值是()A．2B．－2C．±2D．0分析：選B由于a與b方向相反，所以b＝ma，m<0，則有(4，x)＝m(x,1)，∴4＝mx，解得m＝±2.又m<0，x＝m，m＝－2，x＝m＝－2.3．已知在平行四邊形ABCD中，AD＝(2,8)，AB＝(－3,4)，對角線AC與BD訂交于點(diǎn)M，則AM＝()A.－1，－6B.－1，62211C.2，－6D.2，6分析：選B由于在平行四邊形ABCD中，有AC＝AB＋AD，1111AM＝2AC，所以AM＝2(AB＋AD)＝2[(－3,4)＋(2,8)]＝2×(－1,12)1＝－2，6，應(yīng)選B.4．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相連能組成四邊形，則向量d＝()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)分析：選D設(shè)d＝(x，y)，由題意知4a＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b－2c＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6，20)，2(a－c)＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)，又4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．5．已知平行四邊形ABCD中，AD＝(3,7)，AB＝(－2,3)，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，則CO的坐標(biāo)為()A.－1，5B.1，52211C.2，－5D.－2，－5分析：選DAC＝＋1ABAD＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC＝211AC＝2，5.∴CO＝－2，－5.6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C為坐標(biāo)平π面內(nèi)第一象限內(nèi)一點(diǎn)且∠AOC＝4，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB，則λ＋μ＝(

)A．2

2

B.2

C．2

D．4

2分析：選

A

π由于|OC|＝2，∠AOC＝4，所以

C(

2，

2)，又OC＝λOA＋μOB，所以(2，

2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2

2.二、填空題7．在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且BP＝2PC，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，則BC＝________.分析：AQ＝PQ－PA＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC＝2AQ＝2(－3,2)＝(－6,4)．PC＝PA＋AC＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC＝PC＝3(－2,7)＝(－6,21)．答案：(－6,21)8．已知向量AC，AD和AB在正方形網(wǎng)格中的地點(diǎn)如下圖，若AC＝λAB＋μAD，則λμ＝________.分析：成立如下圖的平面直角坐標(biāo)系xAy，則AC＝(2，－2)，AB＝(1,2)，AD＝(1,0)，由題意2＝λ＋μ，可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1,0)，即解－2＝2λ，λ＝－1，得所以λμ＝－3.μ＝3，答案：－39．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是兩個向量會合，則P∩Q等于________．分析：P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．則－1＋m＝1＋2n，＝－，得m12此時a＝b＝(－13，－23)．1＋2m＝－2＋3n.n＝－7.答案：{(－13，－23)}10．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)．若AB＝λ＋μ，則λ＋μ＝________.AMAN1)1AC＋分析：由AB＝λAM＋μAN，得AB＝λ·AD＋AC＋μ·2(2(AB)，則μAB＋λ＋λμμAB＋λ2－12AD2＋2AC＝0，得2－12AD＋λμ113μ2＋2AD＋2AD＝0，得4λ＋4μ－1AB＋λ＋2AD＝0.又由于134λ＋4μ－1＝0，AB，AD不共線，所以由平面向量基本定理得μ解λ＋2＝0，4λ＝－5，4得8所以λ＋μ＝5.μ＝5.答案：45三、解答題11．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，且1AD＝3BC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點(diǎn)．設(shè)BA＝a，BC＝b，試用，為基底表示向量EF，DF，CD.ab111解：EF＝EA＋AB＋BF＝－6b－a＋2b＝3b－a，DF＝DE＋EF＝－1＋1b－a＝1－，6b36baCD＝CF＋FD＝－1－1b－a＝－22b6a3b.12.給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它2π們的夾角為3.如下圖，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動．若OC＝xOA＋yOB，此中x，y∈R，求x＋y的最大值．解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建1立平面直角坐標(biāo)系，如下圖，則A(1，0)，B－2，32π2，設(shè)∠AOC＝αα∈0，3，則C(cosα，sinα)，1cosα＝x－2y，由OC＝xOA＋yOB，得3sinα＝2y，所以x＝cosα＋3sinα，＝23sinα，3y3π所以x＋y＝cosα＋3sinα＝2sinα＋6，又α∈0，2πππ5π3，則α＋6∈6，6.πππ所以當(dāng)α＋6＝2，即α＝3時，x＋y獲得最大值2.第三節(jié)平面向量的數(shù)目積及其應(yīng)用本節(jié)主要包含3個知識點(diǎn)：平面向量的數(shù)目積；平面向量數(shù)目積的應(yīng)用；打破點(diǎn)(一)平面向量的數(shù)目積平面向量與其余知識的綜合問題.抓骨干知識的“源”與“流”基礎(chǔ)聯(lián)通1．向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角．(2)范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.(3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直．2．平面向量的數(shù)目積(1)定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)目|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)目積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，規(guī)定零向量與任一直量的數(shù)目積為0，即0·a＝0.(2)幾何意義：數(shù)目積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．(3)坐標(biāo)表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.3．平面向量數(shù)目積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a(互換律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(聯(lián)合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分派律).考點(diǎn)貫穿抓高考命題的“形”與“神”平面向量數(shù)目積的運(yùn)算1.利用坐標(biāo)計(jì)算數(shù)目積的步驟第一步，依據(jù)共線、垂直等條件計(jì)算出這兩個向量的坐標(biāo)，求解過程要注意方程思想的應(yīng)用；第二步，依據(jù)數(shù)目積的坐標(biāo)公式進(jìn)行運(yùn)算即可．2．依據(jù)定義計(jì)算數(shù)目積的兩種思路(1)若兩個向量共起點(diǎn)，則兩向量的夾角直接可得，依據(jù)定義即可求得數(shù)目積；若兩向量的起點(diǎn)不一樣，需要經(jīng)過平移使它們的起點(diǎn)重合，而后再計(jì)算．(2)依據(jù)圖形之間的關(guān)系，用長度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出要求數(shù)目積的兩個向量，而后再依據(jù)平面向量數(shù)目積的定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解．[典例](1)設(shè)向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，假如向量a＋2b與2a－b平行，那么a與b的數(shù)目積等于()A．－7B．－12235C.2D.2(2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠2ABC＝60°.點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且BE＝3BC，DF＝16DC，則AE·AF的值為________．[分析](1)a＋2b＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a－b＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由題意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，則＝－1，所以＝－1，1，所以·＝－×－1＋×＝5m2b2ab12212.(2)取BA，BC為一組基底，則2AE＝BE－BA＝3BC－BA，AF＝57AB＋BC＋CF＝－BA＋BC＋12BA＝－12BA＋BC，∴AE·AF＝2BC－BA－7BA＋BC72－2522＝73·12＝12|BA|18BA·BC＋3|BC|12251229×4－18×2×1×2＋3＝18.29[答案](1)D(2)18[易錯提示](1)解決波及幾何圖形的向量數(shù)目積運(yùn)算問題時，必定要注意愿量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等仍是互補(bǔ)．(2)兩向量a，b的數(shù)目積a·b與代數(shù)中a，b的乘積寫法不一樣，不能遺漏此中的“·”．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”．已知AB＝(2,1)，點(diǎn)C(－1,0)，，則向量AB在CD方向1D(4,5)上的投影為()A．－322B．－35C.322D．35分析：選C由于點(diǎn)C(－，，所以CD＝(5,5)，又AB＝1,0)D(4,5)，所以向量AB在CD方向上的投影為(2,1)AB·CD1532|AB|cos〈AB，CD〉＝|CD|＝52＝2.2．在邊長為1的等邊△ABC中，設(shè)BC＝a，CA＝b，AB＝c，則a·b＋b·c＋c·a＝()A．－3B．023C.2D．3分析：選A依題意有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos120°＋11131×1×cos120＋°1×1×cos120＝°－2＋－2＋－2＝－2.3．已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝60°，則BD·CD＝()A．－32B．－322a4a3232C.4aD.2a分析：選D如下圖，∵BD＝BA＋BC，CD＝BA，∴BD·CD＝(BA＋BC)·BA＝BA2＋BC·BA＝a2a·acos60＝°32a2.應(yīng)選D.4．已知向量a與b的夾角為60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，則a·b＝________.分析：由于a＝(－2，－6)，所以|a|＝－22＋－62＝210，又|b|＝10，向量a與b的夾角為60°，所以a·b＝|a||b|cos60°＝2101×10×2＝10.答案：105.如下圖，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，AB＝4AC，則OC·(OB－OA)＝________.分析：由已知得|AB|＝2，|AC|＝24，則OC·OB－OA＝OA＋AC)·AB＝OA·AB＋AC·AB＝×()(123π21cos4＋4×2＝－2.1答案：－2打破點(diǎn)(二)平面向量數(shù)目積的應(yīng)用基礎(chǔ)聯(lián)通抓骨干知識的“源”與“流”平面向量數(shù)目積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝a·a|a|＝x12＋y12a·bx1x2＋y1y2夾角cosθ＝|a||b|cosθ＝x12＋y12·x22＋y22a⊥b·＝＋y＝0ab0x1x21y2·與的關(guān)12＋y12≤|ab||a||b||xxy|系|a·b|≤|a||b|x12＋y12·x22＋y22考點(diǎn)貫穿抓高考命題的“形”與“神”平面向量的垂直問題1.利用坐標(biāo)運(yùn)算證明或判斷兩個向量的垂直問題第一，計(jì)算出這兩個向量的坐標(biāo)；第二，依據(jù)數(shù)目積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個向量的數(shù)目積為0即可．2．已知兩個向量的垂直關(guān)系，求解有關(guān)參數(shù)的值依據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，從而求解參數(shù)．[例1](1)△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足AB＝2a，AC＝2a＋b，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()A．|b|＝1B．a(chǎn)⊥bC．a(chǎn)·b＝1D．(4a＋b)⊥BC(2)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實(shí)數(shù)k＝(

)9A．－2

B．0

C．3

15D.2[分析](1)在△ABC中，由BC＝AC－AB＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2，A錯誤．又AB＝2a且|AB|＝2，所以|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1，B，C錯誤．所以(4a＋b)·BC＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥BC，D正確，應(yīng)選D.(2)∵(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0.a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，2a－3b＝(2k－3，－6)．(2k－3，－6)·(2,1)＝0，即(2k－3)×2－6＝0.k＝3.[答案](1)D(2)C[易錯提示]x1y2－x2y1＝0與x1x2＋y1y2＝0不一樣，前者是兩向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共線的充要條件，后者是它們垂直的充要條件．平面向量模的有關(guān)問題利用數(shù)目積求解長度問題是數(shù)目積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的辦理方法：(1)a2＝a·a＝|a|2；(2)|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2.π[例2](1)(2017衡水·模擬)已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為3，那么|4a－b|＝()A．2B．6C．23D．12(2)已知e1，e是平面單位向量，且e·＝1若平面向量b知足·21e22.be1b·e2＝1，則|b|＝________.[分析](1)|4a－b|2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－π8×1×2×cos3＝12.∴|4a－b|＝23.(2)∵e1·e2＝1，2∴|e12，e2＝1，∴e1，e2＝60°.||ee12又∵b·e1＝b·e2＝1＞0，∴b，e1＝b，e2＝30°.23由b·e1＝1，得|b||e1|cos30＝°1，∴|b|＝3＝3.23[答案](1)C(2)3[方法技巧]求向量模的常用方法(1)若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝x2＋y2.(2)若向量a，b是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱?yīng)用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再經(jīng)過向量數(shù)目積的運(yùn)算求解．平面向量的夾角問題求解兩個非零向量之間的夾角的步驟第一由坐標(biāo)運(yùn)算或定義計(jì)算出這兩個向量的數(shù)目積步第二分別求出這兩個向量的模步·x1x2＋y12第三＝y(tǒng)求解出這兩個依據(jù)公式cos〈a，b〉＝ab222|a||b|2x1＋y1·2＋y2x步向量夾角的余弦值第四依據(jù)兩個向量夾角的范圍是[0，π]及其夾角的余弦值，求出步這兩個向量的夾角[例3](1)若非零向量a，b知足|a|＝232|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為()ππ3πA.4B.2C.4D．π(2)已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cosα＝1，向量a＝3e132e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cosβ＝________.[分析](1)由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.22又∵|a|＝3|b|，設(shè)〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a||b|cosθ－2|b|2＝0，∴83|b|2－232|b|2·cosθ－2|b|2＝0.∴cosθ＝2又∵≤θ≤π，∴θ＝π2.04.(2)∵a2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－2×3×2×31＝9，b2＝(3e1－e2)2＝9＋1－2×3×1×13＝8，·＝－2e2·1－e2＝＋－×××1＝8，∴cosβ＝a·bab(3e1)(3e)929113|a||b|223×22＝3.22[答案](1)A(2)3[易錯提示](1)向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且向量a，b不共線．(2)向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且向量a，b不共線．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.[考點(diǎn)一]若向量a，b知足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，則|b|＝()A．2B.2C．1D.22＋·＝，2＋b·a＝0，①分析：選Baba0a由題意知＋·＝，即·＋2＝0，②將2abb02abb①×2－②得，2a2－b2＝0，∴b2＝|b|2＝2a2＝2|a|2＝2，故|b|＝2.的夾角為()A．30°B．60°C．120°D．150°分析：選C設(shè)向量a與b的夾角為θ，∵c＝a＋b，c⊥a，∴c·a2＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴|a|2＝－|a||b|·cosθ，∴cosθ＝－|a||b||a|＝－|a|1|b|＝－2，∴θ＝120°.3.[考點(diǎn)二](2016·蘭州一模)設(shè)x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝()．25D．10分析：選B∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，解得x＝2，∴ab＝(3，－1)，于是|a＋b|＝10，應(yīng)選B.4.[考點(diǎn)三](2017·湖北八校聯(lián)考)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，則向量a與向量c的夾角的余弦值是()51A.5B.551C．－5D．－5分析：選A由已知得a－c＝(3－k,3)，(a－c)∥b，3(3－k)－3＝0，∴k＝2，即c＝(2，－2)，·3×2＋1×－25∴cos〈a，c〉＝ac|a||c|＝×2＝5.1025.[考點(diǎn)一]已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________.分析：∵a與b為兩個不共線的單位向量，|a|＝|b|＝1，又a＋b與ka－b垂直，(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0，k－1＋ka·b－a·b＝0，即k－1＋kcosθ－cosθ＝0(θ為a與b的夾角)，∴(k－1)(1＋cosθ)＝0.又a與b不共線，cosθ≠－1，∴k＝1.答案：16.[考點(diǎn)二](2017·泰安模擬)已知平面向量a，b知足|b|＝1，且a與b－a的夾角為120°，則a的模的取值范圍為________．分析：在△ABC中，設(shè)AB＝a，AC＝b，則b－a＝AC－AB＝BC，∵a與b－a的夾角為120°，∴B＝1＝60°，由正弦定理得sin60°|a|，∴|a|＝sinC＝23，∵∈，2π，∴sinC∈(0,1]，∴s