新利息理論教案

10第2章：等額年金2.1節(jié)：年金的含義本節(jié)內(nèi)容：一、年金的含義〔annuity〕年金是指一系列的付款〔或收款。但現(xiàn)在被廣泛應(yīng)用到其他更一般的情形，時(shí)期和金額都可以變化。二、年金的分類(lèi)1、確定年金和風(fēng)險(xiǎn)年金。2、定期年金和永續(xù)年金。3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付屢次年金和連續(xù)年金。4、期初付年金和期末付年金。5、即期年金和延期年金。本節(jié)重點(diǎn)：本節(jié)難點(diǎn)：年金的分類(lèi)。2.2節(jié)：年金的現(xiàn)值本節(jié)內(nèi)容：期末付定期年金的現(xiàn)值假設(shè)年金支付期限為n個(gè)時(shí)期，每個(gè)時(shí)期末支付1a末付定期年金。其現(xiàn)值一般用符號(hào) ni表示。在不引起混淆的狀況下，通常簡(jiǎn)a a記為 。n

的計(jì)算過(guò)程圖〔略〕aan

vv2v3...vnv(1vn)1vn二、理解三、例題

1v iiavnian8%，現(xiàn)在應(yīng)當(dāng)存入多少錢(qián)？解：應(yīng)用期末付年金現(xiàn)值公式：a4000

58%=4000×3.9927=15971說(shuō)明：a 的具體數(shù)值可以通過(guò)年金現(xiàn)值表查到58%4，105。i，nia a20解：201041v2051v10i i0.25i=0.148698期初付定期年金的現(xiàn)值假設(shè)年金支付期限為n個(gè)時(shí)期，每個(gè)時(shí)期初支付1a初付定期年金。其現(xiàn)值一般用符號(hào) ni表示。在不引起混淆的狀況下，通常簡(jiǎn)a a記為 。n

的計(jì)算過(guò)程圖〔略〕aa

n1vv2v3...vn1n(1vn)1vna 的關(guān)系n二、 與的關(guān)系nn

1v dnn1nnann1nn

〔可用公式開(kāi)放證明〕〔可用圖形表達(dá)〕三、例題500008假設(shè)年實(shí)際利率為6%，試計(jì)算假設(shè)每年初支付租金，該倉(cāng)庫(kù)的年租金應(yīng)當(dāng)為多少？a解：設(shè)倉(cāng)庫(kù)的年租金為A，可以建立a8，A=75968，A=7596期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值na

表示期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值，則有alima1 n n i期初付永續(xù)年金的現(xiàn)值一、公式a假設(shè)用 表示期初付永續(xù)年金的現(xiàn)值，則有alima1 n n d二、a與a的關(guān)系 a(1i)a 三、例題500008假設(shè)年實(shí)際利率為6%，試計(jì)算假設(shè)每年初支付租金，該倉(cāng)庫(kù)的年租金應(yīng)當(dāng)為多少？a解：設(shè)倉(cāng)庫(kù)的年租金為A，可以建立a8，A=75968，A=7596210000106%，比較下述三種〔1〕10〔2〕每年10〔31010〔1〕1017909因此支付的利息總額為：17909-10000=7909元〔2〕每年末支付的利息為100000.06600因此支付的利息總額為：6000元〔3〕A

1000010A=1359因此支付的利息總額為：135910135903、A10B，210CDB、C、Da解：此項(xiàng)財(cái)產(chǎn)實(shí)際上為100000×0.007=7000元其末付永續(xù)年金。a10B：7000 =7000×7.0236=4916510a C：7000〔 -

v10=24993aa20aaD：7000〔

102020

10v20=25842本節(jié)重點(diǎn)：本節(jié)難點(diǎn)：公式之間的關(guān)系。第2.3節(jié)：年金的終值本節(jié)內(nèi)容：期末付定期年金的終值s期末付定期年金的終值一般用符號(hào)ni一、公式

表示。s1(1i)(1i)2...(1i)n1n1(1i)n1(1i)

(1i)n1i二、解釋ns期初付定期年金的終值s表示。n表示。nis(1i)(1i)2...(1i)n1(1i)nn(1i)(1(1i)n)1(1i)

(1i)n1i/1i

(1i)n1ds s二、 與n

的關(guān)系nns nn11nnnn1

〔可用公式開(kāi)放證明〕〔可用圖形表達(dá)〕三、例題入一筆錢(qián)。假設(shè)基金的年實(shí)際利率為6%，那么他每年初應(yīng)當(dāng)存入多少錢(qián)才能保1040000解：假設(shè)每年初存入A元As4000010A=28632AB40100，41BY15A8B10%，Y-X。解：對(duì)于投資者A：100s Xa400.08 150.08得 X=3026.54B：100s Ya400.1 150.1得 Y-X=2792.40本節(jié)重點(diǎn)：本節(jié)難點(diǎn)：s s與 的關(guān)系。n n2.4節(jié)：年金的現(xiàn)值與終值的關(guān)系本節(jié)內(nèi)容：年金的現(xiàn)值與終值之間的換算關(guān)系san

(1i)nnnsnn

(1i)n年金的現(xiàn)值與終值之間的倒數(shù)關(guān)系1 1a sn n1 1nna nn本節(jié)重點(diǎn)：本節(jié)難點(diǎn)：年金的現(xiàn)值與終值之間的倒數(shù)關(guān)系。2.5節(jié)：年金在任意時(shí)點(diǎn)上的值本節(jié)內(nèi)容：a年金在支付期開(kāi)頭前任意時(shí)點(diǎn)上的值a一、延期m個(gè)時(shí)期的期末付定期年金的現(xiàn)值 。m| naam| am|

a(1i)mavmn nmnma mnma二、延期m個(gè)時(shí)期的期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值m| vma m| i〔略〕四、例題年金在支付期內(nèi)任意時(shí)點(diǎn)上的值年金在支付期完畢后任意時(shí)點(diǎn)上的值a本節(jié)重點(diǎn)：延期m個(gè)時(shí)期的期末付定期年金的現(xiàn)值 。am| na本節(jié)難點(diǎn)：延期m個(gè)時(shí)期的期末付定期年金的現(xiàn)值 。m| n2.6本節(jié)內(nèi)容：每筆款項(xiàng)都以其支付時(shí)的利率計(jì)算本節(jié)重點(diǎn)：本節(jié)難點(diǎn)：補(bǔ)充：二、非復(fù)利年金補(bǔ)充概念：一、利息結(jié)轉(zhuǎn)周期和年金支付周期度；年金支付周期是指支付一次年金所需要的時(shí)間長(zhǎng)度。2.7m〔m〕本節(jié)內(nèi)容：一、此類(lèi)問(wèn)題的直接計(jì)算56.09%，試計(jì)算每月末的付款金額。解：月實(shí)際利率12(0.06091 10.004938612假設(shè)每月末的付款金額為X，則有50000X=965二、公式

Xa600.0049386金的支付次數(shù)，i期末付年金i1/m11 1

n1a(m)n

m(vm

vm...v mvn)1vni(m)

iai(m) na二、相應(yīng)的，在每個(gè)支付周期末付款1/m元，那么該年金的終值為s(m)ni

(1i)na(m)nsi(m) n三、例題5解：m=12，i=5%，每年支付的總額為1200元。1200s(12)

i1200

s=6781.375 i(12) 555%，R解：每年付款總額為2R，2Ra(2)5

3000R=342.24期初付年金i1/m1a(m)a(m)n m

n1(1vmvm...v m)d(m) n1vn d dd(m) n二、相應(yīng)的，在每個(gè)支付周期初付款1/m元，那么該年金的終值為nns(mnndd(m) n

(1i)na(m)d s三、轉(zhuǎn)換關(guān)系na(m)n

(1i)ma(m)1n1ns(m)n四、例題

(1i)ms(m)1n16019%，試計(jì)算每月初的付款金額。解：設(shè)每月初的付款金額為X，那么全年付款總額為12X，因此有5000012Xa(12)50.0609X=960永續(xù)年金i1/m1 1 2a(m)

m(vmvm...) 1i(m)a(ma(m)1d(m)三、轉(zhuǎn)換關(guān)系a(m)本節(jié)重點(diǎn)：

(1i)ma(m)111 1

n1

1vn ia(m)

(vm

vm...v mvn)

a 的推導(dǎo)。n

m i(m)

i(m) n1 1

n1

1vn ia(m)

(vmvm

...v

mvn)

a 的推導(dǎo)。n m i(m) i(m) n第2.8節(jié) 連續(xù)年金本節(jié)內(nèi)容：連續(xù)年金的現(xiàn)值a一、假設(shè)總的利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)為n，每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期的實(shí)際利率為i，在每個(gè)利a息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)連續(xù)支付、支付總量為1元的年金現(xiàn)值用

表示，則有：na n

vn1 1vnvtdt n n0a二、 n

lnv0 三、其他關(guān)系a ian

a 1enn 四、例題10002解：d=0.05，則 1d0.95 ln(1i)ln(1/0.95)

，1i

10.95

1000a2

21000av31629.73226%500

0.06

500

8580.91連續(xù)年金的終值s一、假設(shè)總的利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)為n，每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期的實(shí)際利率為i，在每個(gè)利s息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)連續(xù)支付、支付總量為1元的年金終值用

表示，則有：ns n

(1i)n1(1i)tdt |nn0s二、 的其他推導(dǎo)n

三、其他關(guān)系sisn ns n四、例題

en1100010解：10

50.06

5804.56五、補(bǔ)充

a s與 的關(guān)系n ns(1i)nan n11as11n n本節(jié)重點(diǎn)：asn

計(jì)算公式。sn

的其他推導(dǎo)。第2.9節(jié)：年金問(wèn)題求解〔價(jià)值方程〕本節(jié)內(nèi)容：利率問(wèn)題求解一、年金問(wèn)題包含三個(gè)變量。1、年金的現(xiàn)值或終值；2、年金的支付次數(shù)；3、利率。二、計(jì)算未知利率的方法1、解析法；例、a 1.75，求i。1211( )2 1i 1.75解： i24524i72、線性插值法；3、迭代法。

f(x)

x n