多元函數(shù)微積分張建梅

多元函數(shù)微積分張建梅第一頁，共六十三頁，2022年，8月28日一、平面點(diǎn)集二、二元函數(shù)的概念☆例☆例☆例三、二元函數(shù)的極限四、二元函數(shù)的連續(xù)性五、內(nèi)容小結(jié)★思考題★習(xí)題解答☆例☆例☆例☆例★作業(yè)本節(jié)內(nèi)容:第二頁，共六十三頁，2022年，8月28日1.鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑,也可寫成點(diǎn)P0的去心鄰域記為一.平面點(diǎn)集第三頁，共六十三頁，2022年，8月28日P0P0當(dāng)不關(guān)心鄰域半徑時(shí),簡記為和.第四頁，共六十三頁，2022年，8月28日在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?。因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.第五頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.平面上的點(diǎn)與點(diǎn)集之間的關(guān)系(1)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集E

及一點(diǎn)

P:若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)E,若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,若對(duì)點(diǎn)P的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E的外點(diǎn)

;則稱P為E

的邊界點(diǎn)

.的外點(diǎn),顯然,E的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E的外點(diǎn)必不屬于E,E的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.第六頁，共六十三頁，2022年，8月28日x+y=0xy0如圖D如z=ln(x+y)的定義域D={(x,y)|x+y>0}易見,直線上方每一點(diǎn)都是D的內(nèi)點(diǎn).即D=D,但直線上的點(diǎn)不是D的內(nèi)點(diǎn).第七頁，共六十三頁，2022年，8月28日(2)聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的

,點(diǎn)P

的去心鄰域內(nèi)總有E中的點(diǎn),則稱P是E的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為E的邊界點(diǎn))第八頁，共六十三頁，2022年，8月28日3.幾個(gè)重要的平面點(diǎn)集(1)若點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集；(2)若點(diǎn)集E

E

,則稱E為閉集；(3)

若集D中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連,則稱D是連通集;

E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界,記作E;第九頁，共六十三頁，2022年，8月28日如圖XYE連通YXE不連通第十頁，共六十三頁，2022年，8月28日(4)連通的開集稱為區(qū)域(region)或開區(qū)域．例如，例如，第十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日★整個(gè)平面★

點(diǎn)集是開集，是最大的開域,也是最大的閉域;但非區(qū)域.(6)對(duì)區(qū)域D,若存在正數(shù)K,使一切點(diǎn)PD與某定點(diǎn)A的距離APK,則稱D為有界域,

界域.否則稱為無第十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域第十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日鄰域,內(nèi)點(diǎn),邊界點(diǎn),開集,連通,有界,開區(qū)域,閉區(qū)域,聚點(diǎn)這些概念都可毫無困難地推廣到三維空間R3中去,且有類似的幾何意義.它們還可推廣到4維以上的空間中去,但不再有幾何意義.第十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日設(shè)D是xy平面上的一個(gè)點(diǎn)集,即D

R2,若對(duì)任意的點(diǎn)X=(x,y)DR2,按照某個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f,總有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng),則稱f是定義在D上的二元實(shí)值函數(shù),記作f:D

R,X=(x,y)z.二、二元函數(shù)的概念1.二元函數(shù)概念第十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日稱z為點(diǎn)X=(x,y)在f下的像,記作f(X)或f(x,y),即z=f(X)=f(x,y).也稱作X=(x,y)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.稱D為函數(shù)

f的定義域.D在f下的像集f(D)={f(X)|XD}稱為f的值域.習(xí)慣上,稱z=f(X)=f(x,y)為二元函數(shù),另外,稱x,y為自變量,z為因變量.比如z=sinx+cosy,z=3x2+ey.第十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日注1.一般說來,自變量x,y都是獨(dú)立變化的.它們只受到(x,y)D的限制.f(x,y)的表達(dá)式,算f(x0,y0)的方法與一元函數(shù)類似.另外,若給出了第十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日注2.特別,若定義域D是x

y面上一條曲線.D:y=g(x).g事實(shí)上,x

D上的點(diǎn)

(x,g(x))=(x,y)

z.f=

f(x,g(x))成為一元函數(shù).則二元函數(shù)z

=

f(x,y)第十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日注3.

任何一個(gè)一元函數(shù)都可擴(kuò)充為一個(gè)二元函數(shù).事實(shí)上,z=f(x)=f(x)+0·y只須將z作為一元函數(shù)的定義域D

R擴(kuò)充為R2中點(diǎn)集即可.注2,注3說明二元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣,而一元函數(shù)則是二元函數(shù)的特殊情形.第十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日注5.約定,凡用算式表達(dá)的多元函數(shù),除另有說明外,其定義域是指的自然定義域．注4.與一元函數(shù)類似，當(dāng)我們用某個(gè)算式表達(dá)多元函數(shù)時(shí)，凡是使算式有意義的自變量所組成的點(diǎn)集稱為這個(gè)多元函數(shù)的自然定義域．注6.一元函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)的定義在多元函數(shù)中不再適用，但有界性的定義仍然適用.第二十頁，共六十三頁，2022年，8月28日設(shè)D

Rn

,若對(duì)任意的X=(x1,x2,…,xn)D

Rn

,按某個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f,總有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng),則稱f是定義在D上的n元實(shí)值函數(shù).記作f:D

R,X=(x1,x2,…,xn)

z.并記z=f(X),或z=f(x1,x2,…,xn).補(bǔ)充：n元函數(shù)定義第二十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日解:

與一元函數(shù)類似.就是要求使這個(gè)式子有意義的平面上的點(diǎn)的集合.例求z=ln(x+y)的定義域D,并畫出D的圖形.x+y>0.故定義域D={(x,y)|x+y>0}畫直線y=–x.由于D中點(diǎn)(x,y)的縱坐標(biāo)y要大于直線y=–x上點(diǎn)的縱坐標(biāo)y,故D表示直線y=–x上方點(diǎn)的集合.(不包括邊界y

=–x上的點(diǎn))為畫D的圖形,由x+y>0,得y>–x.第二十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日x+y=0xyo如圖y>–xD(不包括直線x+y=0)第二十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日例.

解:故故D表示到原點(diǎn)距離不超過1的點(diǎn)的集合.即,D為單位圓盤(包括圓周).第二十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日xyox2+y2=1(包括圓周)D第二十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日求函數(shù)解定義域中的點(diǎn)應(yīng)滿足條件

故所求定義域?yàn)?/p>

的定義域第二十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日故得

即有

第二十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日設(shè)z=f(X)=f(x,y)的定義域是平面區(qū)域D.按二元函數(shù)定義,X=(x,y)D.可以唯一確定實(shí)數(shù)z,從而確定了空間一個(gè)點(diǎn)M(x,y,z).2.二元函數(shù)的幾何意義第二十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日當(dāng)X在D中變動(dòng)時(shí),點(diǎn)M(x,y,z)在空間中變動(dòng),當(dāng)X取遍D中一切點(diǎn)時(shí),M(x,y,z)在三維空間中"織"出一片曲面.即,二元函數(shù)表示空間中一片曲面,D是該曲面在xOy面上的投影區(qū)域.第二十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第三十頁，共六十三頁，2022年，8月28日回憶一元函數(shù)的極限.設(shè)y=f(x),當(dāng)x不論是從x0的左邊還是從x0的右邊無限接近于x0時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無限接近于數(shù)A.表示如圖xyA0f(x)f(x)y=f(x)x0xxxx0就是>0,>0.當(dāng)0<|x–x0|<時(shí),有|f(x)–A

|<.三、二元函數(shù)的極限第三十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日設(shè)二元函數(shù)z=f(X)=f(x,y),定義域?yàn)镈.如圖Dz=f(x,y)XX如果當(dāng)X在D內(nèi)變動(dòng)并無限接近于X0時(shí)(從任何方向,以任何方式),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(X)無限接近于數(shù)A,則稱A為當(dāng)X趨近于X0時(shí)f(X)的極限.MX0Ayzxof(X)第三十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日設(shè)二元函數(shù)z=f(X)=f

(x,y).定義域?yàn)镈.X0=(x0,y0)是D的一個(gè)聚點(diǎn).A為常數(shù).若>0,>0,當(dāng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足|f(X)–A|<則稱A為z=f(X)的,當(dāng)X趨近于X0時(shí)(二重)極限.記作或也可記作f(X)A(XX0)或f

(x,y)A(xx0,yy0)第三十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日如圖xx0xx第三十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日xoX0XD對(duì)二元函數(shù)f(X),如圖有點(diǎn)X以任何方式、任何方向趨近于X0時(shí),f(X)的極限都存在且為A.Dz=f(x,y)Xf(X)MX0Ayzxo第三十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日第三十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日1.因此,如果當(dāng)X以某幾種特殊方式趨于X0時(shí),f(X)的極限為A.不能斷定二重極限2.若X以不同方式趨于X0時(shí),f(X)的極限不同,則可肯定二重極限3.極限定義可推廣到三元以上函數(shù)中去,且多元函數(shù)極限的運(yùn)算法則等都與一元函數(shù)相同.注：第三十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日證令則

注在可能的情況下通過換元，變成一元函數(shù)的極限，所有一元函數(shù)求極限的方法都可以用，如羅比塔法則、重要極限等.第三十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日解

第三十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日設(shè)f(x,y)=證明f(x,y)在(0,0)點(diǎn)的極限不存在.證:

方法一：由注2知,只須證明當(dāng)X沿不同的線路趨于(0,0)時(shí),函數(shù)f(x,y)對(duì)應(yīng)的極限也不同即可.第四十頁，共六十三頁，2022年，8月28日考察點(diǎn)(x,y)沿平面直線y=kx趨于(0,0)的情形.如圖對(duì)應(yīng)函數(shù)值xoy第四十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日從而,當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿y=kx趨于(0,0)時(shí),函數(shù)極限當(dāng)k不同時(shí),極限也不同.因此,f(x,y)在(0,0)的極限不存在.方法二：請(qǐng)考察當(dāng)X=(x,y)沿x軸,沿y軸趨于(0,0)的情形.第四十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日沿x軸,y=0.函數(shù)極限=0沿y軸,x=0.函數(shù)極限=0但不能由此斷定該二重極限為0(注2).第四十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日因?yàn)檠刂本€y=x,函數(shù)極限由此斷定該二重極限不存在方法三利用極坐標(biāo)代換，則令上述極限隨角度的變化而變化，因此函數(shù)在極限不存在

第四十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日四、多元函數(shù)的連續(xù)性第四十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日定義在區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)z=f(X)=f(x,y)表示了在D上的一片沒有"空洞",沒有"裂縫"的連續(xù)曲面.這里條件"D是一區(qū)域"是必要的.若D不是區(qū)域,z=f(X)可能不是通常意義下的連續(xù)曲面.2.二元連續(xù)函數(shù)的幾何意義:第四十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日補(bǔ)充例.設(shè)D={(x,y)|x,y均為有理數(shù)}R2.z=f(x,y)是定義在D上的,在D上恒等于1,在別的點(diǎn)上無定義的函數(shù),即f(x,y)=1,當(dāng)(x,y)D時(shí),無定義,當(dāng)(x,y)D時(shí).

如圖xyzo1可知,(x0,y0)D,但曲面z=f(x,y)不是通常意義下的連續(xù)曲面.第四十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日例如討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．第四十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日

多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的則四運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子表示的函數(shù)。結(jié)論：

一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．又如,函數(shù)在圓周上間斷.第四十九頁，共