山東省濟(jì)南市第十九中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

山東省濟(jì)南市第十九中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且滿足，f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，數(shù)列{an}滿足a1=﹣1，且Sn=2an+n，（其中Sn為{an}的前n項和）．則f（a5）+f（a6）=（）A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．2參考答案：A【考點】8B：數(shù)列的應(yīng)用；82：數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】先確定f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，再由a1=﹣1，且Sn=2an+n，推知a5=﹣31，a6=﹣63，由此即可求得結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x）∵f（﹣x）=f（x），∴f（﹣x）=﹣f（﹣x）∴f（3+x）=f（x），∴f（x）是以3為周期的周期函數(shù)．∵a1=﹣1，且Sn=2an+n，∴a2=﹣3，∴a3=﹣7，a4=﹣15，∴a5=﹣31，a6=﹣63∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3故選A．【點評】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的轉(zhuǎn)化，考查數(shù)列的通項，考查學(xué)生的計算能力，確定f（x）是以3為周期的周期函數(shù)是關(guān)鍵．2.在銳角三角形ABC中，BC=1，B=2A，則的值等于(

)A．3 B．2 C．﹣2 D．0參考答案：B【考點】正弦定理．【專題】計算題．【分析】利用正弦定理表示出=，把BC的長及B=2A代入，其中的sin2A利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡后，變形可得所求式子的值．【解答】解：由BC=1，B=2A根據(jù)正弦定理得=，即==，則=2．故選B【點評】此題考查了正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．3.某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與19秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，成績大于等于13秒且小于14秒；第二組，成績大于等于14秒且小于15秒；……；第六組，成績大于等于18秒且小于19秒。右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖。設(shè)成績小于17秒的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為x，成績大于等于15秒且小于17秒的學(xué)生人數(shù)為y，則從頻率分布直方圖中可分析出x和y分別為（

）

A．0.9,35

B．0.9,45

C．0.1,35

D．0.1,45

參考答案：答案：A4.已知正三棱錐A-BCD的所有頂點都在球O的球面上，其底面邊長為3，E，F(xiàn)，G分別為側(cè)棱AB，AC，AD的中點.若O在三棱錐A-BCD內(nèi)，且三棱錐A-BCD的體積是三棱錐O-BCD體積的3倍，則平面EFG截球O所得截面的面積為（

）A. B. C. D.4π參考答案：A【分析】是底面的中心，則在上，而由得，與平面交于點，是過平面的截面圓圓心，在中由勾股定理求得，再由截面圓性質(zhì)可求得截面圓半徑．【詳解】如圖，是底面的中心，則在上，而由得，設(shè)，則，又，是中心，則，∴由得，解得，設(shè)與平面交于點，∵分別是的中點，則是的中點，∴，，設(shè)平面截球所得截面圓半徑為，則，∴此圓面積為．故選A．

【點睛】本題考查棱錐與其外接球，解題關(guān)鍵首先是確定球的半徑，然后根據(jù)截面圓性質(zhì)求得截面圓半徑從而得出其面積．記住結(jié)論：正棱錐的外接球球心一定在其高上．5.已知，則（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由復(fù)數(shù)除法計算出，再由共軛復(fù)數(shù)定義求出?！驹斀狻?，∴。故選：B?！军c睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念。屬于基礎(chǔ)題。6.設(shè)函數(shù)，，若實數(shù)，滿足，，則A．

B．C．

D．參考答案：B略7.已知函數(shù)。在區(qū)間上，函數(shù)最大值為2。（1）求實數(shù)的值；（2）在中，角所對的邊是。若為銳角，且滿足，，面積為，求邊長。參考答案：解:（1）∵

……4分

∴函數(shù)時取得最大值。解得

…………7分

略8.如果（，表示虛數(shù)單位），那么(

)

A．1

B．

C．2

D．0參考答案：A略9.棱長均為三棱錐，若空間一點P滿足，則的最小值為

（）A、

B、

C、

D、參考答案：A略10.把已知正整數(shù)表示為若干個正整數(shù)（至少3個，且可以相等）之和的形式，若這幾個正整數(shù)可以按一定順序構(gòu)成等差數(shù)列，則稱這些數(shù)為的一個等差分拆．將這些正整數(shù)的不同排列視為相同的分拆．如：（1，4，7）與（7，1，4）為12的相同等差分拆．正整數(shù)27的不同等差分拆有(

)個.A.

9

B.10

C.11

D.12參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)P為△ABC中線AD的中點，D為邊BC中點，且AD=2，若，則=．參考答案：0考點：平面向量數(shù)量積的運算．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：利用向量的三角形法則可得=（）?（）=﹣（）?+，由數(shù)量積運算即可得出結(jié)論．解答：解：由題意可得PA=PD=1，=2，∴=（）?（）=﹣（）?+=﹣3+2×1×1+1=0．故答案為0．點評：本題主要考查向量加減的運算法則及數(shù)量積運算等知識，屬于基礎(chǔ)題．12.參考答案：6413.若，則直線被圓所截得的弦長為

_____________.。參考答案：略14.已知某班在開展?jié)h字聽寫比較活動中，規(guī)定評選一等獎和二等獎的人數(shù)之和不超過10人，一等獎人數(shù)與二等獎人數(shù)之差小于等于2人，一等獎人數(shù)不少于3人，且一等獎獎品價格為3元，二等獎獎品價格為2元，則本次活動購買獎品的最少費用為________.參考答案：11元15.已知向量,滿足，，則在方向上的投影為

．參考答案：向量在方向上的投影為．16.已知，且，則____________．參考答案：略17.函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖像恒過定點A，若點A在直線mx＋ny－1＝0上，則＋的最小值為________．參考答案：4函數(shù)y＝a1－x的圖像過點(1,1)，故m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，故＋的最小值是4．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC邊上的動點(含端點)，記∠BAD＝α，∠ADC＝β.（I）求的最大值；（II）若BD＝1，，求△ABD的面積．參考答案：(1)由△ABC是等邊三角形，得β＝α＋，0≤α≤，故2cosα－cosβ=2cosα－cos(α＋)＝sin(α＋)，故當(dāng)α＝，即D為BC中點時，原式取最大值.(2)由cosβ＝，得sinβ＝，故sinα＝sin(β－)＝sinβcos－cosβsin＝，由正弦定理＝，故AB＝BD＝×1＝，故S△ABD＝AB·BD·sinB＝××1×＝.19.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且滿足csinA=acosC．（Ⅰ）求角C的大?。唬á颍┣髎inA-cos（B+）的最大值，并求取得最大值時角A、B的大小。參考答案：解析：（I）由正弦定理得因為所以（II）由（I）知于是取最大值2．綜上所述，的最大值為2，此時20.（14分）已知函數(shù)f（x）=（x2+a）ex（a是常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）與x軸相切．（Ⅰ）求實數(shù)a的值；（Ⅱ）設(shè)方程f（x）=x2+x的所有根之和為S，且S∈（n，n+1），求整數(shù)n的值；（Ⅲ）若關(guān)于x的不等式mf（x）+2x+2＜2ex在（﹣∞，0）內(nèi)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）設(shè)曲線y=f（x）于x軸的切點為（x0，0），則．解得a．（Ⅱ）方程f（x）=x2+x可化為z=0或xex﹣x﹣1=0．而方程xex﹣x﹣1=0．的根就是函數(shù)g（x）=ex﹣﹣1的零點．求出g（x）=ex﹣﹣1的零點范圍即可；（Ⅲ）不等式mf（x）+2x+2＜2ex可化為，設(shè)h（x）=，只需h（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立．分①當(dāng)m≤1，②當(dāng)m＞1討論求出實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（x2+2x+a）ex，x∈R，設(shè)曲線y=f（x）于x軸的切點為（x0，0），則．即，解得a=0．（Ⅱ）方程f（x）=x2+x可化為z=0或xex﹣x﹣1=0．而方程xex﹣x﹣1=0．的根就是函數(shù)g（x）=ex﹣﹣1的零點．∵，∴g（x）在（0，+∞），（﹣∞，0）都遞增．∵，．∴函數(shù)g（x）在（﹣∞，0）內(nèi)有唯一零點x1，x1∈（﹣，﹣1）．∵，∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）內(nèi)有唯一零點x2，x2∈（，1）．．∴方程f（x）=x2+x的所有根之和為S=0+x1+x2∈（﹣1，0）．（Ⅲ）不等式mf（x）+2x+2＜2ex可化為，設(shè)h（x）=，由題意得h（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立．，∵恒成立．①當(dāng)m≤1時，h′（x）＞0在（﹣∞，0）恒成立，∴h（x）在（﹣∞，0）為增函數(shù)，又∵h(yuǎn)（0）=0，∴當(dāng)x＜0時，h（x）＜0，即h（x）＜0在（﹣∞，0）恒成立．②當(dāng)m＞1時，令h′（x）=0，得x=0或x=﹣lnm，在（﹣lnm，0）上h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（﹣lnm，0）為減函數(shù)，又∵h(yuǎn)（0）=0，∴當(dāng)x∈（﹣lnm，0）時，h（x）＞0，不符合題意．綜上：實數(shù)m的取值范圍（﹣∞，1]．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)與方程思想，恒成立中的參數(shù)問題，屬于難題．21.選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若對任意的實數(shù)恒成立，求的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）等價于，∴，∴或，∴不等式的解集為．（Ⅱ）令，對任意的實數(shù)恒成立，即的圖象恒在直線的上方，故直線的斜率滿足，即的范圍為．22.設(shè)函數(shù)(I)若x=2是函數(shù)f(x)的極值點，1和是函數(shù)的兩個不同零點，且，求。(II)若對任意,都存在(e為自然對數(shù)的底數(shù))，使得成立，求實數(shù)的取值范圍。參考答案：（Ⅰ），∵是函數(shù)的極值點，∴.∵1是函數(shù)的零點，得，由解得.∴,，令，，得；

令得，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.故函數(shù)至多有兩個零點，其中，因為，，所以，故．（Ⅱ）令，，則為