基本計(jì)數(shù)原理 【循津引渡+建構(gòu)遷移】高二數(shù)學(xué) 課件（人教B版2019選擇性必修第二冊(cè)）

第三章排列、組合與二項(xiàng)式定理教學(xué)目標(biāo)：通過(guò)講解基本計(jì)數(shù)原理，排列與排列數(shù)，組合與組合數(shù)，使學(xué)生能夠深刻理解并熟練運(yùn)用排列組合解決生活中的排列組合問(wèn)題?？记椋号帕薪M合是高考的一個(gè)重要考點(diǎn)，分值在5-10分之間，主要出題形式是填空題，選擇題，還有統(tǒng)計(jì)大題中也會(huì)有所涉及。3.1.1基本計(jì)數(shù)原理思考：一個(gè)由三個(gè)元素組成的集合，共有多少個(gè)不同的子集？列舉法設(shè)由三個(gè)元素組成的集合為，那么用列舉法得各個(gè)子集：共有8個(gè).思考：有四位同學(xué)和一位老師站成一排照相，如果老師站在正中間，如圖，則有多少種不同的站法？列舉法解決較為麻煩是否有其他方法幫助我們計(jì)數(shù)？思考：從甲地到乙地，可以乘火車，可以乘汽車，還可以乘輪船.假定火車每日有1班，汽車每日有3班，輪船每日有2班，那么一天中從甲地到乙地有多少種不同的走法呢？答：從甲地到乙地，可乘坐三類交通工具：火車、汽車或輪船，每類交通工具又各有若干個(gè)班次，選擇其中任何一類的任何一個(gè)班次都可以從甲地到乙地，因此一天中不同的走法有

種.一、分類加法計(jì)數(shù)原理

1+3+2=6

分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，如果有

類辦法，且：第一類辦法中有種不同的方法，第二類辦法中有種不同的方法第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有

種不同的方法.例1：有不同的紅球8個(gè)，不同的白球7個(gè)，不同的黃球6個(gè)，現(xiàn)從中任取不同的顏色的球兩個(gè)，不同的取法有__________.一、分類加法計(jì)數(shù)原理綜上：一共有56+48+42=146種.當(dāng)取出不同的球?yàn)榧t球和白球時(shí)，一共有種；當(dāng)取出不同的球?yàn)榧t球和黃球時(shí)，一共有種；146練習(xí)：某同學(xué)從4本不同的數(shù)學(xué)資料，2本不同的語(yǔ)文資料，2本不同的英語(yǔ)資料中任選一本購(gòu)買，則不同的選法共有（）A．6種 B．8種 C．12種 D．16種一、分類加法計(jì)數(shù)原理B思考：已知某公園的示意圖如圖所示，其中從西門到景點(diǎn)A共有3條不同的路，從景點(diǎn)A到東門共有兩條不同的路.王瑞從公園的西門進(jìn)入公園后，想去A景點(diǎn)游玩，然后從東門出公園.只考慮路的選擇，王瑞共有多少種不同的走法？二、分步乘法計(jì)數(shù)原理共有3×2=6（種）.完成一件事，如果需要分成個(gè)步驟，且：做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.分步乘法計(jì)數(shù)原理例2：用1，2，3，4，5可以排成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？二、分步乘法計(jì)數(shù)原理排成一個(gè)三位數(shù)，可分為三步：依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以排成數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為

.第二步，確定十位上的數(shù)字，因?yàn)閿?shù)字不能重復(fù)，所以不能是百位上已有的數(shù)字，共有4種方法；第三步，確定個(gè)位上的數(shù)字，共有3種方法；第一步，確定百位上的數(shù)字，共有5種方法；5×4×3=60練習(xí)：僅有甲、乙、丙三人參加四項(xiàng)比賽，所有比賽均無(wú)并列名次，則不同的奪冠情況共有

種.二、分步乘法計(jì)數(shù)原理由題意，每項(xiàng)比賽的冠軍都有3種可能，因?yàn)橛兴捻?xiàng)比賽，所以冠軍獲獎(jiǎng)?wù)吖灿?×3×3×3=81種可能.81例3：某班班委由2位女同學(xué)、3位男同學(xué)組成，現(xiàn)要從該班班委里選出2人去參加學(xué)校組織的培訓(xùn)活動(dòng)，要求至少有1位女同學(xué)參加，則不同的選法共有多少種？三、基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理合稱為基本計(jì)數(shù)原理.按照選擇的女同學(xué)人數(shù)分為兩種情況，即2位都是女同學(xué)和只有1位女同學(xué).例3：某班班委由2位女同學(xué)、3位男同學(xué)組成，現(xiàn)要從該班班委里選出2人去參加學(xué)校組織的培訓(xùn)活動(dòng)，要求至少有1位女同學(xué)參加，則不同的選法共有多少種？三、基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用2位都是女同學(xué)的選法顯然只有1種.只有1位女同學(xué)的選法，可以分為兩步完成：先從2位女同學(xué)中選1人，有2種選法；再?gòu)?位男同學(xué)中選出1人，有3種選法.依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有

種.

1+6=7例3：某班班委由2位女同學(xué)、3位男同學(xué)組成，現(xiàn)要從該班班委里選出2人去參加學(xué)校組織的培訓(xùn)活動(dòng)，要求至少有1位女同學(xué)參加，則不同的選法共有多少種？三、基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用注意：不能分為如下兩步來(lái)完成：首先選擇1為女同學(xué)，然后剩下的4人中選擇1人.事實(shí)上，如果用a1,a2代表2位女同學(xué)，b1,b2,b3代表3位男同學(xué)，則分步結(jié)果可用下圖表示，你能看出問(wèn)題嗎？1.

由數(shù)字1，2，3，4可組成

個(gè)三位數(shù)(各位上數(shù)字可重復(fù))．題型1：數(shù)字排列問(wèn)題由于各位上數(shù)字可重復(fù)，故每個(gè)位數(shù)上均有4種選擇，故組成的三位數(shù)個(gè)數(shù)為43

=64

.故答案為：64642.用0，1，2，3，…，9十個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)不同的題型1：數(shù)字排列問(wèn)題由于0不能在百位，故百位上數(shù)字有9種選法，十位與個(gè)位上的數(shù)字均有10種選法．所以不同的三位數(shù)共有9×10×10=900個(gè)．(1)三位數(shù)？2.用0，1，2，3，…，9十個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)不同的(1)三位數(shù)？題型1：數(shù)字排列問(wèn)題(2)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？百位上的數(shù)字有9種選法，十位上的數(shù)字有除百位上的數(shù)字以外的9種選法，個(gè)位上的數(shù)字應(yīng)從剩余8個(gè)數(shù)字中選取，所以共有9×9×8=648個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．2.用0，1，2，3，…，9十個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)不同的(1)三位數(shù)？(2)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？題型1：數(shù)字排列問(wèn)題(3)小于500且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？滿足條件的一位自然數(shù)有10個(gè)，兩位自然數(shù)有9×9=81個(gè)，三位自然數(shù)有4×9×8=288個(gè)，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有10+81+288=379個(gè)小于500且無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．3.用5種不同的顏色給圖中4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，涂色方法有______種.從先從左邊第一個(gè)格子開(kāi)始涂色，第一個(gè)格子有5種涂色方法，第二個(gè)格子有4種涂色方法，第三個(gè)格子有4種涂色方法，第四個(gè)格子有4種涂色方法，所以共有5×43=320種不同的涂色方法.題型2：涂色問(wèn)題3204.如圖，用4種不同的顏色把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開(kāi)，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（）種

A．144

B．73

C．48

D．32

先對(duì)區(qū)域B涂色，有4種選擇，其次再對(duì)區(qū)域C涂色，有3種選擇，然后再與區(qū)域A、D涂色，有兩種情況：（1）若區(qū)域A、D同色，有2種情況；（2）若區(qū)域A、D不同色，有2×1=2種情況.綜上所述，不同的涂法種數(shù)為4×3×（2+2）=48種.題型2：涂色問(wèn)題C5.某市人民醫(yī)院急診科有3名男醫(yī)生，3名女醫(yī)生，內(nèi)科有5名男醫(yī)生，4名女醫(yī)生，現(xiàn)從該醫(yī)院急診科和內(nèi)科各選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生組成4人組，參加省人民醫(yī)院組織的交流會(huì)，則所有不同的選派方案有（）A．180種 B．56種 C．29種 D．15種從急診科選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生有3×3=9種方案，從內(nèi)科選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生有5×4=20種方案，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，該醫(yī)院總共有9×20=180種不同的選派方案.故選：A.題型3：分配問(wèn)題A6.某公司新招聘進(jìn)8名員工，平均分給甲、乙兩個(gè)部門，其中2名英語(yǔ)翻譯人員不能分給同一個(gè)部門，另外3名電腦編程人員也不能分給同一個(gè)部門，則不同的分配方案種數(shù)是（）A．18 B．24 C．36 D．72由題意可得，分兩類：①甲部門要1名英語(yǔ)翻譯人員，2名電腦編程人員，共有2×3×3=18（種）.②甲部門要1名英語(yǔ)翻譯人員，1名電腦編程人員，共有2×3×3=18（種）.由分類加法計(jì)數(shù)原理，可得不同的分配方案共有18+18=36

(種)．故選：C題型3：分配問(wèn)題C7.為了豐富學(xué)生的課余生活，某學(xué)校開(kāi)設(shè)了籃球、書法、美術(shù)、吉他、舞蹈、擊劍共六門活動(dòng)課程，甲、乙、丙3名同學(xué)從中各自任選一門活動(dòng)課程參加，則這3名學(xué)生所選活動(dòng)課程不全相同的選法有（）A．120種 B．150種 C．210種 D．216種依題意，每名同學(xué)都有6種選擇方法，所以這3名學(xué)生所選活動(dòng)課程不全相同的選法有63-6=210種.故選：C題型4：間接法解題正難則反，補(bǔ)集思想C8.甲?乙?丙?丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓?東湖?漢口江灘游玩，每人只能去一個(gè)地方，漢口江灘一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為（）A．65 B．73 C．70 D．60從根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓?東湖?漢口江灘游玩，且每人只能去一個(gè)地方，則每人有3種選擇，則4人一共有3×3×3×3=81種情況，若漢口江灘沒(méi)人去，即四位同學(xué)選擇了黃鶴樓?東湖，每人有2種選擇方法，則4人一共有2×2×2×2=16種情況，故漢口江灘一定要有人去有81-16=65種情況，故選：A．題型4：間接法解題A9.如圖，從甲村到乙村有3條路可走，從乙村到丙村有2條路可走，從甲村不經(jīng)過(guò)乙村到丙村有2條路可走，則從甲村到丙村的走法種數(shù)為（）

A．3 B．6 C．7 D．8從由圖可知，從甲村直接到到丙村的走法有2種，從甲村到乙村再到丙村的走法有3×2=6種，所以從甲村到丙村的走法共有6+2=8種.故選:D.題型5：路徑問(wèn)題D思考：如何判斷用分類加法計(jì)數(shù)原理還是分步乘法計(jì)數(shù)原理？區(qū)別：分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方法都能獨(dú)立完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理中，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有每個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事.1.將6封信投入4個(gè)郵筒，且6封信全部投完，不同的投法有（）A．46種 B．64種 C．4種 D．24種將6封信投入4個(gè)郵筒，且6封信全部投完，根據(jù)乘法原理共有4×4×4×4×4×4=46種故選：A練習(xí)A2.用0，1，2，3，4能組成____________個(gè)可以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).從三位數(shù)的百位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮百位的排法，除0外共有4種排法，十位、個(gè)位都可以排0，有5種排法.，因此，共可排出4×5×5=100（個(gè)）.故答案為：100.練習(xí)100從根據(jù)題意，m可取的值為1,2,3,4,5,6,7，當(dāng)m=1時(shí)，由題意可知可取的值為1,2,3,4,5,6,7，共7種；當(dāng)m=2時(shí)，由題意可知可取的值為1,2,3,4,5,6，共6種；練習(xí)3.若且，則平面上的點(diǎn)共有（）．A．21個(gè) B．20個(gè) C．28個(gè) D．30個(gè)當(dāng)m=3時(shí)，由題意可知可取的值為1,2,3,4,5，共5種；當(dāng)m=4時(shí)，由題意可知可取的值為1,2,3,4，共4種；當(dāng)m=5時(shí)，由題意可知可取的值為1,2,3，共3種；當(dāng)m=6時(shí)，由題意可知可取的值為1,2，共2種；當(dāng)m=7時(shí)，由題意可知可取的值為1，共1種；則平面上的點(diǎn)(m,n)共有1+2+3+4+5+6+7=28個(gè)，故選：C練習(xí)3.若且，則平面上的點(diǎn)共有（）．A．21個(gè) B．20個(gè) C．28個(gè) D．30個(gè)C4.漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶.如圖所示的弦圖中，由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)有六種不同的顏色可供涂色，要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方案有（）

A．420

B．1020 C．1180 D．1560練習(xí)從第一步中間小正方形涂色，有6種方法，剩下5種顏色涂在四個(gè)直角三角形中，就按圖中所示1234的順序，1有5種方法，2有4種方法，3有4種方法，但要分類：與1相同和與1不相同，然后確定4的方法數(shù)，所以所求方法數(shù)為6×5×4×（1×4+3×3）=1560.故選：D.練習(xí)5.如圖，在由開(kāi)關(guān)組A與B組成的電路中，閉合開(kāi)關(guān)使燈發(fā)光的方法有（）種

A．6

B．5

C．18

D．21

第一類:第1步:A組開(kāi)關(guān)閉合一個(gè),有2種閉法,第2步:B組開(kāi)關(guān)閉合1個(gè),有3種閉法;B組開(kāi)關(guān)閉合2個(gè),有3種閉法;B組開(kāi)關(guān)閉合3個(gè),有1種閉法.此時(shí)共2×（3+3+1）=14種閉法.練習(xí)分兩類,每類中分兩步.6.如圖，在由開(kāi)關(guān)組A與B組成的電路中，閉合開(kāi)關(guān)使燈發(fā)光的方法有（）種

A．6

B．5

C．18

D．21

第二類:第1步:A組開(kāi)關(guān)閉合2個(gè),共1種閉法,第2步:B組開(kāi)關(guān)閉合1個(gè),有3種閉法;B組開(kāi)關(guān)閉合2個(gè),有3種閉法;B組開(kāi)關(guān)閉合3個(gè),有1種閉法.此時(shí)共1×（3+3+1）=7種閉法.綜上,共14+7=21種閉法.故選：D練習(xí)D7.直線

的方程為，若從0，1，3，5，7，8這6個(gè)數(shù)字中每次取兩個(gè)不同的數(shù)作為A，B的值，則可表示______條不同的直線．練習(xí)當(dāng)A或B中有一個(gè)為0時(shí)