2022年湖北省荊門市中考數學試卷

第9頁（共9頁）2022年湖北省荊門市中考數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題中均給出了四個答案，其中有且只有正確答案，請將正確答案的字母代號涂在答題卡上.）1．（3分）如果|x|＝2，那么x＝（C）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或2．（3分）納米（nm）是非常小的長度單位，1nm＝0.000000001m，將數據0.000000001用科學記數法表示為（B）A．10﹣10 B．10﹣9 C．10﹣8 D．10﹣73．（3分）數學興趣小組為測量學校A與河對岸的科技館B之間的距離，在A的同岸選取點C，測得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如圖，據此可求得A，B之間的距離為（C）A．20 B．60 C．30 D．304．（3分）若函數y＝ax2﹣x+1（a為常數）的圖象與x軸只有一個交點，那么a滿足（D）A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝5．（3分）對于任意實數a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，則下列關系式正確的是（A）A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2） C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2） D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）6．（3分）如圖，一座金字塔被發(fā)現時，頂部已經淡然無存，但底部未曾受損．已知該金字塔的下底面是一個邊長為120m的正方形，且每一個側面與地面成60°角，則金字塔原來高度為（B）A．120m B．60m C．60m D．120m【解答】解：∵底部是邊長為120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝120m，∴AC＝＝m．答：這個金字塔原來有米高．故選：B．7．（3分）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為（A）A．36 B．24 C．18 D．728．（3分）拋物線y＝x2+3上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，則下列結論正確的是（D）A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不對9．（3分）如圖，點A，C為函數y＝（x＜0）圖象上的兩點，過A，C分別作AB⊥x軸，CD⊥x軸，垂足分別為B，D，連接OA，AC，OC，線段OC交AB于點E，且點E恰好為OC的中點．當△AEC的面積為時，k的值為（B）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【解答】解：∵點E為OC的中點，∴△AEO的面積＝△AEC的面積＝，∵點A，C為函數y＝（x＜0）圖象上的兩點，∴S△ABO＝S△CDO，∴S四邊形CDBE＝S△AEO＝，∵EB∥CD，∴△OEB∽△OCD，∴＝（）2，∴S△OCD＝1，則xy＝﹣1，∴k＝xy＝﹣2．故選：B．10．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數）的對稱軸為x＝﹣2，過點（1，﹣2）和點（x0，y0），且c＞0．有下列結論：①a＜0；②對任意實數m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，則y0＞c．其中正確結論的個數為（B）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解析】∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數）的對稱軸為x＝﹣2，過點（1，﹣2），且c＞0，∴拋物線開口向下，則a＜0，故①正確；∵拋物線開口向下，對稱軸為x＝﹣2，∴函數的最大值為4a﹣2b+c，∴對任意實數m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②錯誤；∵對稱軸為x＝﹣2，c＞0．∴當x＝﹣4時的函數值大于0，即16a﹣4b+c＞0，∴16a+c＞4b，故③正確；∵對稱軸為x＝﹣2，點（0，c）的對稱點為（﹣4，c），∵拋物線開口向下，∴若x0＞﹣4，則y0＜c，故④錯誤；故選：B．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.請將結果填寫在答題卡相應位置.）11．（3分）計算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣1．12．（3分）八（1）班一組女生的體重（單位：kg）分別是：35，36，38，40，42，42，45．則這組數據的眾數為42．13．（3分）如圖，點G為△ABC的重心，D，E，F分別為BC，CA，AB的中點，具有性質：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面積為3，則△ABC的面積為18．14．（3分）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向以50海里/小時的速度航行t小時后，到達位于燈塔P的南偏東30°方向上的點B處，則t＝（1+）小時．15．（3分）如圖，過原點的兩條直線分別為l1：y＝2x，l2：y＝﹣x，過點A（1，0）作x軸的垂線與l1交于點A1，過點A1作y軸的垂線與l2交于點A2，過點A2作x軸的垂線與l1交于點A3，過點A3作y軸的垂線與l2交于點A4，過點A4作x軸的垂線與l1交于點A5，?，依次進行下去，則點A20的坐標為（1024，﹣1024）．【解答】解：當x＝1時，y＝2，∴點A1的坐標為（1，2）；當y＝﹣x＝2時，x＝﹣2，∴點A2的坐標為（﹣2，2）；同理可得：A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），A6（﹣8，8），A7（﹣8，﹣16），A8（16，﹣16），A9（16，32），…，∴A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1），A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n為自然數）．∵20＝5×4，∴錯誤，應改為：∴點A20的坐標為（2的（2×4+2）次方，﹣2的（2×4+2）次方），即（2的10次方，﹣2的10次方），即（1024，﹣1024）．故答案為：（1024，﹣1024）．16．（3分）如圖，函數y＝的圖象由拋物線的一部分和一條射線組成，且與直線y＝m（m為常數）相交于三個不同的點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．設t＝，則t的取值范圍是＜t＜1．【解答】解：由二次函數y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：圖象開口向上，對稱軸為x＝1，∴當x＝1時函數有最小值為2，x1+x2＝2，由一次函數y＝﹣x+（x≥2）可知當x＝2時有最大值3，當y＝2時x＝，∵直線y＝m（m為常數）相交于三個不同的點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），∴y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3＝m，2＜m＜3，∴2＜x3＜，∴t＝＝，∴＜t＜1．故答案為：＜t＜1．三、解答題（本大題共8小題，共72分.請在答題卡上對應區(qū)域作答.）17．（8分）已知x+＝3，求下列各式的值：（1）（x﹣）2；（2）x4+．解：（1）∵＝∴＝＝＝﹣4x?＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．18．（8分）如圖，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半徑R＝3．（1）求扇形AOB的面積S及圖中陰影部分的面積S陰；（2）在扇形AOB的內部，⊙O1與OA，OB都相切，且與只有一個交點C，此時我們稱⊙O1為扇形AOB的內切圓，試求⊙O1的面積S1．解：（1）∵∠AOB＝60°，半徑R＝3，∴S＝＝，∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△OAB是等邊三角形，∴S△OAB＝，∴陰影部分的面積S陰＝﹣．（2）設⊙O1與OA相切于點E，連接O1O，O1E，∵相切兩圓的連心線必過切點，∴O、O1、C三點共線，∴∠EOO1＝∠AOB＝30°，∠OEO1＝90°，在Rt△OO1E中，∵∠EOO1＝30°，∴OO1＝2O1E，∴O1E＝1，∴⊙O1的半徑O1E＝1．∴S1＝πr2＝π．19．（8分）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），將△ACB沿AC對折到△ACE的位置，AE和CD交于點F．（1）求證：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根據折疊的性質得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF與△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：設DF＝a，則CF＝8﹣a，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根據折疊的性質得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．20．（8分）為了了解學生對“新冠疫情防護知識”的應知應會程度，某校隨機選取了20名學生“新冠疫情防護知識”的測評成績，數據如表：成績/分888990919596979899學生人數21a321321數據表中有一個數因模糊不清用字母a表示．（1）試確定a的值及測評成績的平均數，并補全條形圖；（2）記測評成績?yōu)閤，學校規(guī)定：80≤x＜90時，成績?yōu)楹细瘢?0≤x＜97時，成績?yōu)榱己茫?7≤x≤100時，成績?yōu)閮?yōu)秀．求扇形統(tǒng)計圖中m和n的值：（3）從成績?yōu)閮?yōu)秀的學生中隨機抽取2人，求恰好1人得97分、1人得98分的概率．解：（1）由題意可知，a＝20﹣（2+1+3+2+1+3+2+1）＝5，∴a＝5，＝（88×2+89+90×5+91×3+95×2+96+97×3+98×2+99）＝93，補全的條形統(tǒng)計圖如圖所示：（2）m＝×100＝15；n＝×100＝30；（3）從6個人中選2個共有30個結果，一個97分，一個98分的有12種，故概率為：＝．21．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在直徑AB上（點C與A，B兩點不重合），OC＝3，點D在⊙O上且滿足AC＝AD，連接DC并延長到E點，使BE＝BD．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）若BE＝6，試求cos∠CDA的值．（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠ADC，∵EB＝DB，∴∠E＝∠BDE，∴∠E+∠BCE＝90°，∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，∵OB是⊙O的半徑，∴BE是⊙O的切線；（2）解：設⊙O的半徑為r，∵OC＝3，∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，∵BE＝6，∴BD＝BE＝6，在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，∴36+（r+3）2＝（2r）2，∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，在Rt△EBC中，EC＝＝＝2，∴cos∠ECB＝＝＝，∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝，∴cos∠CDA的值為．22．（10分）已知關于x的不等式組（a＞﹣1）．（1）當a＝時，解此不等式組；（2）若不等式組的解集中恰含三個奇數，求a的取值范圍．解：（1）當a＝時，不等式組化為：，解得：﹣2＜x＜4；（2）解不等式組得：﹣2a﹣1＜x＜2a+3，∵不等式組的解集中恰含三個奇數，∴4＜4a+4＜5，解得：0＜a＜0.25．23．（10分）某商場銷售一種進價為30元/個的商品，當銷售價格x（元/個）滿足40＜x＜80時，其銷售量y（萬個）與x之間的關系式為y＝﹣x+9．同時銷售過程中的其它開支為50萬元．（1）求出商場銷售這種商品的凈利潤z（萬元）與銷售價格x函數解析式，銷售價格x定為多少時凈利潤最大，最大凈利潤是多少？（2）若凈利潤預期不低于17.5萬元，試求出銷售價格x的取值范圍；若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格x應定為多少元？解：（1）z＝y(tǒng)（x﹣30）﹣50＝（﹣）（x﹣30）﹣50＝﹣+12x﹣320，當x＝﹣＝60時，z最大，最大利潤為﹣＝40；（2）當z＝17.5時，17.5＝﹣+12x﹣320，解得x1＝45，x2＝75，∵凈利潤預期不低于17.5萬元，且a＜0，∴45≤x≤75，∵y＝﹣x+9．y隨x的增大而減小，∴x＝45時，銷售量最大．24．（12分）已知拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣2，0），B（4，0），D（0，﹣8）．（1）求拋物線的解析式及頂點E的坐標；（2）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c向上平移，使頂點E落在x軸上的P點，此時的拋物線記為C，過P作兩條互相垂直的直線與拋物線C交于不同于P的M，N兩點（M位于N的右側），過M，N分別作x軸的垂線交x軸于點M1，N1．①求證：△PMM1∽△NPN1；②設直線MN的方程為y＝kx+m，求證：k+m為常數．（1）解：將A（﹣2，0），B（4，0），D（0，﹣8）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣8，∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，∴E（1，﹣9）；（2）①證明