01 第一節(jié) 參數(shù)估計(jì)

第一節(jié)參數(shù)估計(jì)在實(shí)際問題中,當(dāng)所研究的總體分布類型已知,但分布中含有一個或多個未知參數(shù)時,如何根據(jù)樣本來估計(jì)未知參數(shù)，這就是參數(shù)估計(jì)問題.參數(shù)估計(jì)問題分為點(diǎn)估計(jì)問題與區(qū)間估計(jì)問題兩類.所謂點(diǎn)估計(jì)就是用某一個函數(shù)值作為總體未知參數(shù)的估計(jì)值；區(qū)間估計(jì)就是對于未知參數(shù)給出一個范圍，并且在一定的可靠度下使這個范圍包含未知參數(shù).例如，燈泡的壽命X是一個總體，根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)知道,X服從N(PQ2),但對每一批燈泡而言，參數(shù)PQ2是未知的，要寫出具體的分布函數(shù)，就必須確定出參數(shù).此類問題就屬于參數(shù)估計(jì)問題.參數(shù)估計(jì)問題的一般提法:設(shè)有一個統(tǒng)計(jì)總體，總體的分布函數(shù)為F(x，9)，其中9為未知參數(shù)(9可以是向量).現(xiàn)從該總體中隨機(jī)地抽樣，得一樣本XX…，X，12n再依據(jù)該樣本對參數(shù)9作出估計(jì)，或估計(jì)參數(shù)9的某已知函數(shù)g(9).第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)分布圖示引言點(diǎn)估計(jì)的概念★例1 ★例2無偏性區(qū)間估計(jì) ★置信區(qū)間的概念尋求置信區(qū)間的方法 ★例3正態(tài)總體方差的置信區(qū)間★例4★例5★例6★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)★習(xí)題13-1內(nèi)容要點(diǎn)一、點(diǎn)估計(jì)的概念設(shè)XX…，X是取自總體X的一個樣本，xi,x2，…，x是相應(yīng)的一個樣本值.9是總體12n12n分布中的未知參數(shù)，為估計(jì)未知參數(shù)9，需構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量9(X，X，…,X)，12n然后用其觀察值9(x,x,…，x)12n來估計(jì)9的值.稱9(X,X，…,X)為9的估計(jì)量.稱9(x,x,…,x)為9的估計(jì)值.在不致混淆的情況下,12n12n估計(jì)量與估計(jì)值統(tǒng)稱為點(diǎn)估計(jì)，簡稱為估計(jì)，并簡記為9.注：估計(jì)量9(X,X，…,X)是一個隨機(jī)變量，是樣本的函數(shù)，即是一個統(tǒng)計(jì)量，對不同12n的樣本值，9的估計(jì)值9一般是不同的.二、評價估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)從例1可見，參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的概念相當(dāng)寬松，對同一參數(shù)，可用不同的方法來估計(jì)，因而得到不同的估計(jì)量，故有必要建立一些評價估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn).無偏性估計(jì)量是隨機(jī)變量,對于不同的樣本值會得到不同的估計(jì)值.一個自然的要求是希望估計(jì)值在未知參數(shù)真值的附近,不要偏高也不要偏低.由此引入無偏性標(biāo)準(zhǔn).定義1設(shè)9(X，…,X)是未知參數(shù)9的估計(jì)量，若1ne(9)=e,則稱9為e的無偏估計(jì)量.注:無偏性是對估計(jì)量的一個常見而重要的要求,其實(shí)際意義是指估計(jì)量沒有系統(tǒng)偏差，只有隨機(jī)偏差.在科學(xué)技術(shù)中,稱E(9)-9為用9八估計(jì)9而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差.對一般總體而言，我們有定理1設(shè)X],...,X”為取自總體X的樣本，總體X的均值為卩,方差為Q2.則樣本均值X是I的無偏估計(jì)量；樣本方差S2是Q2的無偏估計(jì)量；1_樣本二階中心矩X(X-X)2是Q2的有偏估計(jì)量.nii=1三、置信區(qū)間的概念定義1設(shè)9為總體分布的未知參數(shù)，X,X，…,X是取自總體X的一個樣本，對給定12n的數(shù)1-a(0<a<1),若存在統(tǒng)計(jì)量9=9(X,X，…,X),9=9(X,X，…,X),1 2 n 1 2 n使得P{0<9<9}=1-a,則稱隨機(jī)區(qū)間(9,9)為9的1-a雙側(cè)置信區(qū)間，稱1-a為置信度，又分別稱9與孑為9的雙側(cè)置信下限與雙側(cè)置信上限.注：1.置信度1-a的含義：在隨機(jī)抽樣中，若重復(fù)抽樣多次，得到樣本X,X，…,X的1 2 n多個樣本值(x,x，…,x),對應(yīng)每個樣本值都確定了一個置信區(qū)間(9,9),每個這樣的區(qū)間1 2 n要么包含了9的真值,要么不包含9的真值.根據(jù)伯努利大數(shù)定理,當(dāng)抽樣次數(shù)充分大時,這些區(qū)間中包含9的真值的頻率接近于置信度(即概率)1-a,即在這些區(qū)間中包含9的真值的區(qū)間大約有100(1-a)%個,不包含9的真值的區(qū)間大約有100a%個.例如，若令1-a=0.95,重復(fù)抽樣100次,則其中大約有95個區(qū)間包含9的真值,大約有5個區(qū)間不包含9的真值. _置信區(qū)間@,0)也是對未知參數(shù)9的一種估計(jì)，區(qū)間的長度意味著誤差，故區(qū)間估計(jì)與點(diǎn)估計(jì)是互補(bǔ)的兩種參數(shù)估計(jì).置信度與估計(jì)精度是一對矛盾?置信度1-a越大，置信區(qū)間(9,9)包含9的真值的概率就越大，但區(qū)間(9,9)的長度就越大，對未知參數(shù)9的估計(jì)精度就越差.反之，對參數(shù)9的估計(jì)精度越高，置信區(qū)間@,9)長度就越小，(9,9)包含9的真值的概率就越低，置信度1-a越小.一般準(zhǔn)則是：在保證置信度的條件下盡可能提高估計(jì)精度.四、尋求置信區(qū)間的方法尋求置信區(qū)間的基本思想：在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上,構(gòu)造合適的函數(shù),并針對給定的置信度導(dǎo)出置信區(qū)間.一般步驟：選取未知參數(shù)9的某個較優(yōu)估計(jì)量9;圍繞9構(gòu)造一個依賴于樣本與參數(shù)9的函數(shù)u=u(X1,X2,…,X,9);1 2 n

對給定的置信水平1-Q,確定九與九，使12P{X<u<X}=1—a,12通?？蛇x取滿足P{u<X}=P{u>X}=a的X與X，在常用分布情況下，這可由分位數(shù)12212表查得;對不等式作恒等變形化后為 _p{0<e<e}=i—a,則(e,e)就是e的置信度為i-a的雙側(cè)置信區(qū)間。五、正態(tài)總體的置信區(qū)間正態(tài)總體均值(方差已知)的置信區(qū)間設(shè)總體X?N(PQ2),其中Q2已知，而卩為未知參數(shù)，X,X，…,X是取自總體X的一12n,X+u七n a/2個樣本.對給定的置信水平1-a,,X+u七n a/2X—ua/2正態(tài)總體均值(方差未知)的置信區(qū)間設(shè)總體X?N(PQ2),其中卩Q2未知，X,X，…,X是取自總體X的一個樣本.1 2 n此時可用Q2的無偏估計(jì)S2代替Q2,構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量從第4章第3節(jié)的定理3知T=蘭二匕?t(n—1).SHn對給定的置信水平1-a,由TOC\o"1-5"\h\zC — 、P」一t(n—1)<<t(n—1)[=1—a,I a/2 S/Jn a/2I sP彳X—t (n—1)? <卩<X+1 (n—1)?I a/2 n a/2因此，均值卩的1-a置信區(qū)間為(— s —X—t (n—1) ,X+1 (n—1)-a/2 弓兀 a/2正態(tài)總體方差的置信區(qū)間設(shè)總體X?NgQ2),其中卩Q2未知,X1,X???,X是取自總體X的一個樣本.求方差1 2nQ2的置信度為1-a的置信區(qū)間.Q2的無偏估計(jì)為S2,從第五章第三節(jié)的定理知，口S2?X2(n—1),Q2對給定的置信水平1-a,由/2(n—1)<口S2<xa/2(n—1)|=1—a,I 1—a/2 2 a/2pj(n-1)S2<y2<(n-1)S2h；2(n-1) X2-a/2(n-1)于是方差y2的1—a置信區(qū)間為/(n—1)S2 (n—1)S2、而方差y的1-a置信區(qū)間(I 1 、I(n_1)S2 [(n_1)S2YX2(n_1門%2 (n_1)'/2 1_a/2例題選講點(diǎn)估計(jì)的概念例1(E01)在一化學(xué)制品廠隨機(jī)地選擇10天，測得其日產(chǎn)量(噸)為776810790788822806795807812791.試以該樣本值估計(jì)這個工廠的日產(chǎn)量的平均值卩與標(biāo)準(zhǔn)差b。解日產(chǎn)量的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為-1x二(776+810+…+791)二799.7,10I[s二：一丈0(x_x)2沁13.897,9i'i=1故得卩和b的點(diǎn)估計(jì)介二799.7(噸)｛沁13.897(噸)例2(E02)設(shè)某種零件的長度(以cm計(jì))X?N(比b2)，隨機(jī)地取8只零件測得其長度分別為37.037.438.037.338.137.137.637.9試求參數(shù)卩，b2的點(diǎn)估計(jì)。解由于X?N(比b2)，卩=E(X),b2=D(X),故可以分別用樣本均值X和樣本方差S2作為卩，b2的點(diǎn)估計(jì)。因x=(37.0+37.4+…+37.9)/8=37.55,s2=丈(x一x)2/7?0.17,ii=1所以|i=37.55(cm),,2沁0.17(cm2).評價估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)例3(E03)設(shè)總體X?N(p,b2),b2為已知，卩為未知，設(shè)X,X，…,X是來自X的樣本,1 2 n求卩的置信水平為1_a的置信區(qū)間.解已知X是卩的無偏估計(jì)，且蘭二蘭?N(0,1),而N(0,l)不依賴于任何未知參數(shù)?按b/7n標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)a分位數(shù)的定義，有P；|星一^<ua/2>=1_a,口口 丨 b b “即P\X—-7=u<u<X+-—u >=1_a.I Vna/n 寸na/2一(-b_a)這樣，就得到了U的一個罡信水平為1-a的置信區(qū)間X_—u,X+—u,常寫( Jna/n Vna/2丿

—CX+—j=u需M2丿若取a=0.05,即1-a=0.95,及c=1,n=16,查表得u=u=1.96,則得到一個置/2 0.025信水平為0.95的置信區(qū)間(X土0.49).若由一個樣本值得樣本均值的觀察值X=5.20,則進(jìn)一步得到一個置信水平為0.95的置信區(qū)間(5.20土0.49)=(4.71,5.69).這個區(qū)間的含義是:若反復(fù)抽樣多次,每個樣本值均確定一個區(qū)間,在這些區(qū)間中,包含卩的約占95%,或者說該區(qū)間屬于包含卩的區(qū)間的可信程度為95%.例4(E04)某旅行社為調(diào)查當(dāng)?shù)匾宦糜握叩钠骄M(fèi)額，隨機(jī)訪問了100名旅游者，得知平均消費(fèi)額x=80元.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，已知旅游者消費(fèi)服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差c=12元，求該地旅游者平均消費(fèi)額卩的置信度為95%的置信區(qū)間.解 對于給定的置信度1-a=0.95,a=0.05,a/2=0.025,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表u =1.96,將數(shù)據(jù)n=100,X=80,c=12,u=1.96,0.025 0.025代入X土u臬計(jì)算得卩的置信度為95%的置信區(qū)間為(77.6,82.4),即在已知c=122\n情形下，可以95%的置信度認(rèn)為每個旅游者的平均消費(fèi)額在77.6元至82.4元之間.例5(E05)某旅行社隨機(jī)訪問了25名旅游者，得知平均消費(fèi)額X=80元，子樣標(biāo)準(zhǔn)差s=12元，已知旅游者消費(fèi)額服從正態(tài)分布，求旅游者平均消費(fèi)額卩的95%置信區(qū)間.解 對于給定的置信度95%(a=0.05),ta/2(n-1)=10025(24)=2.0639,將X=80,s=12,n=25,10025(24)=2.0639,代入計(jì)算得卩的置信度為95%的置信區(qū)間為(75.05,84.95),即在c2未知情況下，估計(jì)每個旅游者的平均消費(fèi)額在75.05元至84.95元之間,這個估計(jì)的可靠度是95%.例6(E06)為考察某大學(xué)成年男性的膽固醇水平，現(xiàn)抽取了樣本容量為25的一樣本，并測得樣本均值X=186,樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=12.假定所論膽固醇水平X?N(p,c2),卩與c2均未知?試分別求出卩以及c的90%置信區(qū)間.解卩的置信度為1-a的置信區(qū)間為(X土ta(n-1)-s/喬./2按題設(shè)數(shù)據(jù)a=0.1,X=186,s=12,n=25,查表得101/2(25—1)=1.7109,于是ta/2(n—1)-s/蟲=1.7109x12M.;25=4.106,即(181.89,190.11).(I的置信度為1-a置信區(qū)間為1 (n-1)S的置信度為1-a置信區(qū)間為1 (n-1)S212—a/2(n-1)查表得%02.1/2(25-1)=查表得%02.1/2(25-1)=36.42,%12-0.1/2x24x122/36.4