第15章物理-15-08量子力學(xué)簡(jiǎn)介

微觀粒子具有波粒二象性又遵循不確定關(guān)系，因此不能用經(jīng)典的方法（以及）來描述和研究，那么考慮到微觀粒子具有波動(dòng)性,1924年德布羅意首先提出用物質(zhì)波函數(shù)來描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).一波函數(shù)概率密度1）經(jīng)典的波與波函數(shù)

機(jī)械波

經(jīng)典波為實(shí)函數(shù)經(jīng)典概念中粒子及波的意義

電子既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，但是我們也可以說，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)一。”這個(gè)波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？2）量子力學(xué)波函數(shù)（復(fù)函數(shù)）微觀粒子的波粒二象性

自由粒子能量和動(dòng)量是確定的，其德布羅意頻率和波長(zhǎng)均不變，可認(rèn)為它是一平面單色波.根據(jù)不確定原理，粒子在

x方向上的位置完全不確定.

自由粒子平面波函數(shù)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量

某一時(shí)刻出現(xiàn)在某點(diǎn)附近在體積元中的粒子的概率為

歸一化條件(束縛態(tài))

某一時(shí)刻在整個(gè)空間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為3）波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義概率密度表示在某處單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率.正實(shí)數(shù)二薛定諤方程（1925年）

自由粒子薛定諤方程的建立上式取x

的二階偏導(dǎo)數(shù)和t的一階偏導(dǎo)數(shù)得自由粒子一維運(yùn)動(dòng)自由粒子的含時(shí)薛定諤方程自由粒子平面波函數(shù)一維運(yùn)動(dòng)粒子的含時(shí)薛定諤方程若粒子在勢(shì)能為的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)質(zhì)量為m

的粒子在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)

粒子在恒定勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

其中（仍稱波函數(shù)）

可證明概率穩(wěn)定分布

在三維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)粒子的定態(tài)薛定諤方程拉普拉斯算子定態(tài)薛定諤方程定態(tài)波函數(shù)在勢(shì)場(chǎng)中一維運(yùn)動(dòng)粒子的定態(tài)薛定諤方程

波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：?jiǎn)沃档?，有限的和連續(xù)的.1）

可歸一化;2）和連續(xù);3）為有限的、單值函數(shù).1）勢(shì)能Ep、能量E

不隨時(shí)間變化；2）概率密度不隨時(shí)間變化.定態(tài)波函數(shù)性質(zhì)一維定態(tài)薛定諤方程的應(yīng)用（1）微觀粒子運(yùn)動(dòng)所遵循的運(yùn)動(dòng)規(guī)律（2）求解程序定態(tài)方程Ep(x)形式

通解(含待定常數(shù))確定常數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件邊界條件空間概率量子化(能級(jí))三一維勢(shì)阱問題粒子勢(shì)能滿足的邊界條件1）是固體物理金屬中自由電子的簡(jiǎn)化模型；

2）數(shù)學(xué)運(yùn)算簡(jiǎn)單，量子力學(xué)的基本概念、原理在其中以簡(jiǎn)潔的形式表示出來.意義在勢(shì)場(chǎng)中一維運(yùn)動(dòng)粒子的定態(tài)薛定諤方程

波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：?jiǎn)沃?、有限和連續(xù).量子數(shù)

基態(tài)能量

激發(fā)態(tài)能量

一維無限深方勢(shì)阱中粒子的能量是量子化的.

歸一化條件量子數(shù)

概率密度

能量

波動(dòng)方程

波函數(shù)

量子數(shù)討論:（2）用駐波法(舊量子論)討論能量問題勢(shì)阱中粒子兩端固定弦駐波考慮波動(dòng)性簡(jiǎn)正模式物質(zhì)波（1）“平均化”→經(jīng)典情況例1試求一維無限深勢(shì)阱中粒子概率密度最大值的位置。解：粒子的概率密度n=1,2,3,…因?yàn)樵谮鍍?nèi)(0<x<a)，只有得當(dāng)n=1,N=0最大值位置當(dāng)n=2,N=0,1最大值位置當(dāng)n=3,N=0,1,2最大值位置52.例2已知?jiǎng)葳逯辛Ｗ犹幱诘诙ぐl(fā)態(tài)，求(1)粒子出現(xiàn)概率最大值的位置及概率的值.(2)0—a/3區(qū)間粒子出現(xiàn)的概率.解:(1)(如未歸一化,首先應(yīng)歸一化,確定常數(shù)A)第二激發(fā)態(tài)n

=

3求極值得對(duì)應(yīng)概率為2

/

a(2)0—a/3區(qū)間概率已知?dú)w一化函數(shù)四對(duì)應(yīng)原理

勢(shì)阱中相鄰能級(jí)之差能量

當(dāng)很大時(shí)，，量子效應(yīng)不明顯，能量可視為連續(xù)變化，此即為經(jīng)典對(duì)應(yīng).量子力學(xué)宏觀條件經(jīng)典力學(xué)相對(duì)論力學(xué)v<<c經(jīng)典力學(xué)另新舊兩種理論極限條件趨于一致啟示：新理論是否正確—對(duì)應(yīng)原理檢驗(yàn)

能級(jí)相對(duì)間隔當(dāng)時(shí)，，能量視為連續(xù)變化.對(duì)應(yīng)原理：當(dāng)量子數(shù)很大時(shí)，量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的結(jié)論將趨于一致；經(jīng)典力學(xué)是量子力學(xué)在高量子數(shù)條件下的近似結(jié)果。例2

電子在

的勢(shì)阱中.（近似于連續(xù)）當(dāng)時(shí),（能量分立）五一維方勢(shì)壘隧道效應(yīng)

一維方勢(shì)壘粒子的能量隧道效應(yīng)

從左方射入的粒子，在各區(qū)域內(nèi)的波函數(shù)寫出定態(tài)薛定諤方程：區(qū)域Ⅰ

區(qū)域Ⅱ

區(qū)域Ⅲ

可以解得ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ可以解得：因?yàn)橥干洳?，無反射波，故C'

=0再由標(biāo)準(zhǔn)條件可求得其它5個(gè)系數(shù)ⅠⅡⅢ

討論：----隧道效應(yīng)在粒子總能量低于勢(shì)壘壁高時(shí)，粒子有一定的概率穿過勢(shì)壘

重大意義：隧道效應(yīng)→STM（掃描隧道顯微鏡）→納米科學(xué)，生命科學(xué)。ⅠⅡⅢ1981年賓尼希和羅雷爾利用電子的隧道效應(yīng)制成了掃描遂穿顯微鏡(STM),可觀測(cè)固體表面原子排列的狀況.1986年賓尼希又研制了原子力顯微鏡.

應(yīng)用

圖像可放大到1億倍，橫向分辨率為0.6-1.2nm，縱向分辨率為0.001nm，最突出的優(yōu)點(diǎn)是不損壞樣品。掃描隧道顯微鏡（STM）的基本原理是利用量子理論中的隧道效應(yīng)，將原子線度的極細(xì)探針和被研究物質(zhì)的表面作為兩個(gè)電極，當(dāng)樣品與針尖的距離非常接近時(shí)（通常小于1nm），在外加電場(chǎng)的作用下，電子會(huì)穿越兩個(gè)電極之間的勢(shì)壘流向另一個(gè)電極，這種效應(yīng)即是隧道效應(yīng)。利用電子線路控制隧道電流的恒定，并用壓電陶瓷材料控制針尖在樣品表面的掃描，將針尖在樣品表面掃描運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡直接在熒光屏或記錄紙上顯示出來。量子阱48個(gè)Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波.碘原子在鉑晶體上的吸附硅表面的硅原子排列砷化鉀表面的砷原子排列觀看原子石墨晶體表面原子的STM照片一維諧振子的勢(shì)能函數(shù)為，其中m為諧振子的質(zhì)量。若t=0時(shí)，諧振子的波函數(shù)為，其中，而a為常數(shù)。