專題十二 最不利原則

8/8專題十二最不利原則在國內(nèi)外數(shù)學競賽中，常出現(xiàn)一些在自然數(shù)范圍內(nèi)變化的量的最值問題，我們稱之為離散最值問題.解決這類非常規(guī)問題，尚無統(tǒng)一的方法，對不同的題目要用不同的策略和方法,就具體的題目而言，大致可從以下幾個方面著手：１。著眼于極端情形;2．分析推理—-確定最值;3。枚舉比較——確定最值；４。估計并構造。常常需要從最不利的情況出發(fā)分析問題，這就是最不利原則。例1口袋里有同樣大小和同樣質(zhì)地的紅、黃、藍三種顏色的小球各２0個。問：一次最少摸出幾個球，才能保證至少有４個小球顏色相同？分析與解答:如果碰巧,可能你一次取出的４個小球的顏色都相同。但顯然，僅僅摸出4個小球，并不能保證它們的顏色相同，因為它們的顏色也可能不相同。因此，為了“保證至少有4個小球顏色相同”，我們就要從最“不利”的情況出發(fā)來考慮。如果最不利的情況都滿足題目要求,那么其它情況必然也能滿足題目要求?！白畈焕钡那闆r是什么呢?它就是我們俗話說的運氣最差的情況，實際總是與所希望的相反。那么，在這里，什么樣的情況最“慘"呢?那就是我們摸出了３個紅球、3個黃球和3個藍球,此時三種顏色的球都是３個,卻無4個球同色。為什么說這就是最不利的了呢？因為這時我們接著再摸出一個球的話，無論是紅色還是黃色或者藍色，都能保證有４個小球顏色相同。所以，一次最少摸出10個球，才能保證至少有4個小球顏色相同.由此我們看到了,最不利原則就是從“極端糟糕"、從“運氣最差”的角度來考慮問題。什么樣的情況我們要用最不利原則來考慮呢?那就是題目中出現(xiàn)要“保證……”時，這“保證”二字就要求我們必須從最不利的情況去分析問題。例2口袋里有同樣大小和同樣質(zhì)地的紅、黃、藍三種顏色的小球共18個。其中紅球3個、黃球５個、藍球10個?，F(xiàn)在一次從中任意取出幾個，為保證這幾個小球至少有5個同色，那么最少要取多少個?分析與解答：與上例類似，這也要從“最不利”的情況考慮。最不利的情況是什么呢？是取了3個紅球、４個黃球和4個藍球,共11個.此時袋中只剩下黃球和藍球，所以再取一個球，無論是黃球還是藍球，都可以保證有5個球顏色相同。因此，所求的最小值是1２。

例3一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)有１0把鑰匙和1０把鎖，最少要試驗多少次就一定能使全部的鑰匙和鎖相匹配?分析與解答：最不利的情形、拿出第一把鑰匙試了９把鎖都不對，這時不用再試,這把鑰匙必定是剩下的最后一把鎖的。即第一把鎖最不利的情況是試驗了9次.同理,第二把鑰匙最不利的情形是前8次都沒打開，即試了８次?！裕谷康蔫€匙和鎖相匹配，最不利的情形共要試驗、9＋８＋7＋…＋2+1＝45次。例4在一副撲克牌中,最少要取出多少張，才能保證取出的牌中四種花色都有？分析與解答：一副撲克牌有大、小王牌各1張，“紅桃”、“黑桃”、“方塊”、“梅花”四種花色各13張，共計有54張牌。最不利的情形是、取出四種花色中的三種花色的牌各13張,再加上２張王牌。這41張牌中沒有四種花色。剩下的正好是另一種花色的１3張牌,再抽1張，四種花色都有了。因此，最少要拿出42張牌,才能保證四種花色都有。練習一1。有紅、黃、藍三種顏色的小珠子各4顆混放在口袋里,為了保證一次能取到2顆顏色相同的珠子，一次至少要取多少顆？如果要保證一次取到兩種不同顏色的珠子各2顆,那么一定至少要取出多少顆？２一付撲克牌共有54張(包括大王、小王),至少從中取多少張牌，才能保證其中必有3種花色？

3。在一付撲克牌中（５4張),最少要拿出多少張,才能保證在拿出的牌中四種花色都有？4．在一個口袋中有1０個黑球、6個白球、4個紅球。問:至少從中取出多少個球，才能保證其中有白球？5．口袋中有三種顏色的筷子各10根，問：（1)至少取多少根才能保證三種顏色都取到?（2)至少取多少根才能保證有2雙顏色不同的筷子?（3)至少取多少根才能保證有2雙顏色相同的筷子?6.袋里有紅、白、藍、黑四種顏色的單色球，從袋中任意取出若干個球。問：至少要取出多少個球，才能保證有３個球是同一顏色的?7。一只魚缸里有很多條魚，共有五個品種。問：至少撈出多少條魚，才能保證有5條相同品種的魚?8。某小學五年級的學生身高(按整數(shù)厘米計算），最矮的是1３8厘米,最高的是１60厘米.如果任意從這些學生中選出若干人，那么,至少要選出多少人，才能保證有5人的身高相同?9.一把鑰匙只能打開一把鎖，現(xiàn)有１0把鎖和其中的８把鑰匙，要保證將這８把鑰匙都配上鎖，至少需要試驗多少次？10．要把61個乒乓球分裝在若干個乒乓球盒子中，每個盒子最多可以裝５個乒乓球。證明:至少有５個盒子中的乒乓球數(shù)目相同。專題十三加法原理與乘法原理１．加法原理例１一個口袋中裝有8個小球，另一個口袋中裝有5個小球,所有這些小球的顏色各不相同.從兩個口袋中任取一個小球，共有多少種不同的取法?分析：在兩個口袋中任取一個小球有兩類辦法，第一類辦法是從裝有8個小球的口袋中任取一個,可以有8種取法。第二類辦法是從裝有5個小球的口袋中任取一個，可以有5種取法.根據(jù)加法原理，得到不同取法的種數(shù)是：5＋4=9（種)答:從兩個口袋中任取一個小球可以有９種不同的取法.例2從甲村到乙村有2條路可走,從乙村到丙村有3條路可走，從甲村到丙村有4條路可走，問甲村到丙村共有多少種不同的走法？分析：從甲村到丙村可按兩類辦法完成,第一類辦法是從甲村經(jīng)過乙村到達丙村,這類辦法是分兩個步驟進行的:第一步從甲村到乙村有2種走法；第二步由乙村到丙村有3種走法,這兩步缺一不可，根據(jù)乘法原理,這類辦法中共有２×3=６（種)走法.第二類辦法是從甲村直接到達丙村，有4種走法，于是根據(jù)加法原理得到從甲村到達丙村的不同走法的種數(shù)是2×３＋4＝10（種)。答：從甲村到達丙村共有10種不同的走法。練習一1.某火車站,上站臺有電梯2部，自動梯１部，扶梯3部.試問上站臺有多少種不同的走法？2．一個學生從3本不同的科技書、4本不同的文藝書、5本不同的外語書中任選一本閱讀，不同的選法有多少種？３．某人有一個5分幣、四個2分幣、八個１分幣。現(xiàn)在要拿出8分錢,有幾種不同的拿法？4.書架上有６本不同的畫報和7本不同的書.每次取一本看，有多少種取法?５.甲地到乙地,一天中三班汽車、二班火車,還有一班飛機.這一天從甲地到乙地有多少種不同的走法?６.從甲地到乙地,可以乘火車，也可乘輪船,還可以乘飛機。在一天中,從甲地到乙地有4班火車,2班輪船，1班飛機。那么在一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地,共有多少種不同的走法?７。如圖1,其中有7個點和1０條線段,一只甲蟲要從A點沿著線段爬到B點，要求任何線段和點不得重復經(jīng)過，問：這只甲蟲最多有幾種不同走法?ABCABCD圖1圖28.如圖2，一只小甲蟲從A點出發(fā)沿著線段爬到B點。要求任何點和線段都不重復經(jīng)過，問這只甲蟲有多少種不同的走法？9．十把鑰匙開十把鎖，但鑰匙已經(jīng)搞亂了，問最多試多少次即可將鑰匙和鎖配起來？1０。10名圍棋手舉行單循環(huán)賽（每兩名選手都要比賽一次），共要安排多少盤比賽？11。在兩位整數(shù)中，十位數(shù)字小于個位數(shù)字的共有多少個？12.從1—9這九個數(shù)中,每次取2個數(shù)，這兩個數(shù)的和必須大于10，能有多少種取法？

１３．20名同學進行象棋比賽,規(guī)則是輸?shù)娜瞬荒茉偕蠄霰荣悾刺蕴悾?問決出冠軍，要賽多少盤？1４．從0，1,２,…，9這十個數(shù)字中，任取兩個不同的數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的不同取法有多少種。1５．把全部三位正整數(shù)同時印刷出來，“0”這個鉛字需要多少個?16。小明為了練習加法,做了分別寫著１，2,3,4,5，6,7，8,９,１0這十個數(shù)的卡片放在右邊的抽屜里,又做了同樣的十張放在左邊的抽屜里，然后每次從兩個抽屜各取一張卡片做加法,這樣一共可以組成多少個不同的算式，其中和為偶數(shù)的情況有幾種？（1＋2和2＋1算作同一種算式)1７．一平面上有１５個點，每兩點之間可作一條直線.如果沒有三點或三個以上的點在同一條直線上，那么這１5個點之間可連成多少條直線？18。在一個十二邊形中，可作出多少條對角線？2。乘法原理從甲地到乙地有3條不同的道路,從乙地到丙地有2條不同的道路，那么從甲地經(jīng)乙地到丙地共有多少種不同的走法？從圖28—１可以看出，要從甲地經(jīng)乙地到丙地必須分成兩步,第一步是從甲地到乙地，有３種不同的走法,第二步是從乙地到丙地，有２種不同的走法,那么從甲地經(jīng)乙地到丙地共有不同走法：3×2=6(種）這個簡單的問題反映了一個重要的原理：例1書架上有６本不同的畫報、10本不同的科技書，請你每次從書架上任意取一本畫報、一本科技術，共有幾種不同的取法？解：第一步，取一本畫報，有6種方法；第二步，取一本科技書,有10種方法.根據(jù)乘法原理，一共有6×1０＝60(種)不同取法答:共有60種不同的取法。練習二１。王英、趙明、李剛?cè)藞竺麉⒓有＿\動會的跳高、跳遠、1００米跑和壘球四項中的一項比賽,問報名的結(jié)果會出現(xiàn)多少種不同的情形？2。王芳有四件上衣、三條褲子,兩雙皮鞋，她能有多少天穿戴裝束不同？３．一座房屋有四個門分別為A、B、C、D，從某一個門進,又從其它的門出的方法共有多少種？完成下列的樹狀圖。4。商場有3個大門,商場內(nèi)有2個樓梯，顧客從商場外到二樓的走法有多少種？5．從寫有1，2,3，…，9九張數(shù)字的卡片中,抽出兩張數(shù)字和為奇數(shù)的卡片，共有多少種不同的抽法。６．個學校進行圍棋比賽，雙方各出5名男隊員和3名女隊員.（１）每一方的一名隊員都要和另一方的每一個隊員進行一場比賽，一共要進行多少場比賽？(2）若一方的男隊員和另一方的男隊員，一方的女隊員和另一方的女隊員都賽一場，(男隊員與女隊員之間不進行比賽),一共要比賽多少場？7．一天中午,某學生食堂供應４種主食、6種副食，小明到食堂吃飯,主、副食各選一種，問他有多少種不同的選項?8。某班的小圖書室，有不同的文藝書8０本,不同的自然科學書１20本，如果從這兩類圖書中各借一本，共有多少種借法？9.用一張10元、一張5元、一張2元、一張1元，可組成多少種不同的幣值?１０.乒乓球隊里有男隊員5人,女隊員4人，從中選出男、女隊員各一名組成混合雙打,共有多少種不同的選法？11.游人登山，從東側(cè)通往山頂?shù)牡缆酚?條,從西側(cè)通往山頂?shù)牡缆酚校矖l，那么游人從上山到下山共有多少種不同的走法？12．紅、黃、藍三種顏色的旗幟各3面，在每種顏色的3面旗幟上分別標上號碼１，2，３,任取3面，它們的顏色與號碼均不相同的取法有多少種？１3．甲、乙兩人在方格中各放一枚棋子,要求兩枚棋子不在同一行,也不在同一列共有多少種放法?14。壹角的人民幣４張,貳角的人民幣2張,壹角的人民幣3張，如果至少取一張，至多取9張，可配成多少種不同的錢數(shù)？3。加法原理、乘法原理綜合運用這里請同學們注意乘法原理和加法原理的不同之處。若完成一件事要分成若干步驟，每一步驟一個接一個地完成，并且每一步驟都是缺一不可的,這件事才能完成，則用乘法原理．若完成一件事的方法分成幾類，每一類中的每一種方法都可以獨立地完成這件事，則用加法原理.但很多情況是這兩個原理的混合使用。例1書架上擺著6本不同的《兒童畫報》,1０本不同的《少年文藝》及7本不同的《故事會》。（1）每次從書架上任取一本《兒童畫報》、一本《少年文藝》、一本《故事會》,共有多少種不同的取法？（2）從書架上任取一本有多少種不同的取法？分析：(1）每次從書架上任取一本《兒童畫報》，一本《少年文藝》,一本《故事會》,必須分三步進行，第一步從《兒童畫報》中取一本，有6種不同的取法；第二步從《少年文藝》中取一本,有１0種不同的取法;第三步從《故事會》中取一本，有7種不同的取法，只有完成這三步才能完成從書架上取一本《兒童畫報》、一本《少年文藝》、一本《故事會》這件事，所以用乘法原理即可得出。(2）從書架上任取一本，只要從《兒童畫報》、《少年文藝》、《故事會》中任取一本，所以完成從書架上任取一本這件事，可分成三類。第一類從《兒童畫報》中任取一本，有6種不同的取法；第二類從《少年文藝》中任取一本，有10種不同的取法；第三類從《故事會》中任取一本，有7種不同的取法；而哪一類辦法中的任何一種方法都可獨立完成從書架上任取一本這件事，因此用加法原理．解:(１）6×10×7=420（種)（2）6+10+７=23(種）例２有9張卡片,分別寫上數(shù)字1，2，３，4,5,6，７，８，９。從這9張卡片中抽出兩張做加法，可以組成多少個不同的加法算式，其中和為偶數(shù)的有多少個？解：可以組成的加法算式的個數(shù)為：9×8=72（個）其中和為偶數(shù)的個數(shù)為：5×４+4×3=3２（個)例3從2名男生、3名女生中選出優(yōu)秀少先隊員3人，其中至少有一名女生，共有多少種不同的選法？解：3×1＋3×2＋1＝10種不同的選法。練習三1．書架上有6本不同的數(shù)學書,4本不同的語文書，(1）從中任取一本書,有多少種不同的取法？（2）數(shù)學、語文書各取一本，有多少種不同的取法?２.書架上有6本故事書，５本畫報，７本科普讀物，①小芳從書架上任取一本，有多少種不同的取法?②小芳從這三種書籍中各取一本，有多少種不同的取法？3.書架上層放有６本不同的數(shù)學書，下層放有5本不同的語文書：（1）從中任取一本書,有多少種不同的取法？(2）從中任取數(shù)學、語文書各一本,有多少種不同的取法?4．用數(shù)字1和2能組成多少個不同的三位數(shù)？5.有三個袋子,其中一個袋子裝有紅色小球20個，每個球上標有１至2０中的一個號碼，一個袋子裝有白色小球1５個,每個小球上標有１至1５中的一個號碼。第三個袋子裝有8個黃色小球，每個球上標有1至８中的一個號碼。6。某國際科研合作項目成員由11個美國人,４個法國人和5個中國人組成,(１）從中選出１人擔任組長，有多少種不同選法？(2)從中選出兩位不同