2023屆數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測：專題08 立體幾何解答題?？既珰w類（精講精練）（解析版）

專題08立體幾何解答題?？既珰w類【命題規(guī)律】空間向量是將空間幾何問題坐標(biāo)化的工具，是?？嫉闹攸c(diǎn)，立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計(jì)算相結(jié)合，以某個(gè)空間幾何體為依托，分步設(shè)問，逐層加深．解決這類題目的原則是建系求點(diǎn)、坐標(biāo)運(yùn)算、幾何結(jié)論．作為求解空間角的有力工具，通常在解答題中進(jìn)行考查，屬于中等難度．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：非常規(guī)空間幾何體為載體核心考點(diǎn)二：立體幾何探索性問題核心考點(diǎn)三：立體幾何折疊問題核心考點(diǎn)四：立體幾何作圖問題核心考點(diǎn)五：立體幾何建系繁瑣問題核心考點(diǎn)六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題核心考點(diǎn)七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系核心考點(diǎn)八：空間中的點(diǎn)不好求核心考點(diǎn)九：創(chuàng)新定義【真題回歸】1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面所成二面角的余弦值．【解析】（1）證明：在直三棱柱中，平面，且，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、，則，易知平面的一個(gè)法向量為，則，故，平面，故平面.（2），，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，.因此，直線與平面夾角的正弦值為.（3），，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，則，因此，平面與平面夾角的余弦值為.2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．【解析】（1）因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?，所以，?dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋允堑冗吶切?，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所?在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又因?yàn)?，所以，所以，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）過點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、．∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識(shí)易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，則，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中點(diǎn)，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．（2）因?yàn)槠矫?，過點(diǎn)做平行線，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為由，得，取，設(shè)直線與平面所成角為，∴．4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．【解析】（1）證明：連接并延長交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面（2）過點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以.設(shè)二面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為.5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．【解析】（1）由于，是的中點(diǎn)，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）[方法一]：判別幾何關(guān)系依題意，，三角形是等邊三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)最短時(shí)，三角形的面積最小過作，垂足為，在中，，解得，所以，所以過作，垂足為，則，所以平面，且，所以，所以.[方法二]：等體積轉(zhuǎn)換，，是邊長為2的等邊三角形，連接6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．【解析】（1）證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；?）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.7．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，而，則，而平面，平面，故平面，而，則，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，（2）因?yàn)閭?cè)面為正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因?yàn)椋势矫?，因?yàn)槠矫妫剩暨x①，則，而，，故平面，而平面，故，所以，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.若選②，因?yàn)?，故平面，而平面，故，而，故，而，，故，所以，故，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．【解析】（1）在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為；（2）取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)椋?又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點(diǎn)，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.【方法技巧與總結(jié)】1、用綜合法求空間角的基本數(shù)學(xué)思想主要是轉(zhuǎn)化與化歸，即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過解三角形求得．求解的一般步驟為：（1）作圖：作出空間角的平面角．（2）證明：證明所給圖形是符合題設(shè)要求的．（3）計(jì)算：在證明的基礎(chǔ)上計(jì)算得出結(jié)果．簡稱：一作、二證、三算．2、用定義作異面直線所成角的方法是“平移轉(zhuǎn)化法”，可固定一條，平移另一條；或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上．3、求直線與平面所成角的常見方法（1）作角法：作出斜線、垂線、斜線在平面上的射影組成的直角三角形，根據(jù)條件求出斜線與射影所成的角即為所求．（2）等積法：公式，其中是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長，是斜線段的長，其中求出垂線段的長（即斜線上的點(diǎn)到面的距離）既是關(guān)鍵又是難點(diǎn)，為此可構(gòu)造三棱錐，利用等體積法來求垂線段的長．（3）證垂法：通過證明線面垂直得到線面角為90°．4、作二面角的平面角常有三種方法（1）棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角．（3）空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角．【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：非常規(guī)空間幾何體為載體【規(guī)律方法】關(guān)鍵找出三條兩兩互相垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系．【典型例題】例1．（2022·陜西安康·統(tǒng)考一模）如圖，已知為圓錐底面的直徑，點(diǎn)C在圓錐底面的圓周上，，，平分，D是上一點(diǎn)，且平面平面.(1)求證：；(2)求二面角的正弦值.【解析】（1）證明：因?yàn)椋移椒?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?（2）取的中點(diǎn)M，連接，則兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系則，，，，，由（1）知平面，所以是平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量，因?yàn)?，，則取，則，因此，所以二面角的正弦值為.例2．（2022·安徽·校聯(lián)考二模）如圖，將長方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，其中，劣弧的長為為圓的直徑.(1)在弧上是否存在點(diǎn)（在平面的同側(cè)），使，若存在，確定其位置，若不存在，說明理由；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【解析】（1）存在，當(dāng)為圓柱的母線，.連接，因?yàn)闉閳A柱的母線，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?因?yàn)闉閳A的直徑，所以.，所以平面，因?yàn)槠矫妫?（2）以為原點(diǎn)，分別為軸，垂直于軸直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.，因?yàn)榈拈L為，所以，設(shè)平面的法向量，令，解得，所以.因?yàn)檩S垂直平面，所以設(shè)平面的法向量.所以.所以平面與平面夾角的余弦值為.例3．（2022·山東東營·勝利一中校考模擬預(yù)測）如圖，分別是圓臺(tái)上?下底面的直徑，且，點(diǎn)是下底面圓周上一點(diǎn)，，圓臺(tái)的高為.(1)證明：不存在點(diǎn)使平面平面；(2)若，求二面角的余泫值.【解析】(1)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)使平面平面，是底面直徑，故，作，垂足為，由于平面平面，平面平面，平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，平面，又平面，故，又，平面，故平面，故，同理可證，又平面于是平面，又圓臺(tái)上下底面圓心連線垂直于底面，但顯然上下底的圓心連線不和平行，于是假設(shè)矛盾，故不存在點(diǎn)使平面平面.(2)過作，垂足為，下以為原點(diǎn)，為軸，過垂直于且落在底面的射線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.列出各點(diǎn)坐標(biāo)，，設(shè)平面的法向量，可得，不妨取；，，設(shè)平面的法向量，可得，不妨取.于是法向量的夾角為.由圖所示二面角的大小是鈍角，故二面角大小的余弦值是.例4．（2022·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在圓臺(tái)中，上底面圓的半徑為2，下底面圓O的半徑為4，過的平面截圓臺(tái)得截面為，M是弧的中點(diǎn)，為母線，.(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【解析】(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)OO1的長度為t，則，，，，，，由題知，解得∴，，，∴，∴又∵，OM，OA1在平面內(nèi)所以平面；(2)設(shè)平面MBN的法向量為，平面ABN的法向量為，則，∴，∴設(shè)二面角為銳二面角，∴，∴故二面角的正弦值為.核心考點(diǎn)二：立體幾何探索性問題【規(guī)律方法】與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或二面角滿足特定要求時(shí)的存在性問題．處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)（有些是題中已給出），設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．【典型例題】例5．（2022·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面為菱形，點(diǎn)在底面上的投影為AC的中點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求點(diǎn)到側(cè)面的距離；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線DE與側(cè)面所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）證明：由點(diǎn)在底面ABC上的投影為AC的中點(diǎn)，知平面ABC，又平面ABC，故，因是以AC為斜邊的等腰直角三角形，故，而，平面，，故平面，由平面，得．（2）由點(diǎn)，為AC的中點(diǎn)，側(cè)面為菱形，知，由是以AC為斜邊的等腰直角三角形，，可得，，由（1）知直線，，兩兩垂直，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，又，故點(diǎn)到平面的距離為：（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E，并，則，于是，由直線DE與側(cè)面所成角的正弦值為，可得，即，解得．又，故．因此存在滿足條件的點(diǎn)，且．例6．（2022春·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形為菱形，，，.(1)求證：；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）連接與相交于點(diǎn)，連接，如圖所示：四邊形為菱形，∴為的中點(diǎn)，有，為等邊三角形，有，平面，，∴平面，平面，∴，四邊形為菱形，∴，平面，，平面，平面，∴（2）分別為的中點(diǎn)，連接，由（1）可知，又，平面，，平面，，平面，為等邊三角形，，以為原點(diǎn)，，，的方向分別為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由，，∴，，設(shè)，則，有,∴，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，令，則，，即，平面的一個(gè)法向量為的方向上的單位向量，若平面與平面的夾角的余弦值為，則有，，由，∴，解得.所以，點(diǎn)存在，.例7．（2022春·黑龍江綏化·高三海倫市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC的中點(diǎn)，將沿AE折起，使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PB＝PC，如圖2所示．F是棱PB上的一點(diǎn)．(1)若F是棱PB的中點(diǎn)，求證：平面PAE；(2)是否存在點(diǎn)F，使得二面角的余弦值為？若存在，則求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）如下圖，在上取中點(diǎn)，鏈接、.由題意知，，所以四邊形為平行四邊形，所以.又因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以，且，在平面內(nèi)，則平面平行于平面，而,則（2）如下圖，以為原點(diǎn)，為軸正向，為軸正方向，垂直平面于的為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由圖可知，，設(shè)，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令解得，即，平面的法向量設(shè)為，則，令，得，即.①，根據(jù)題意，，則，又，即，得,代入上式，解得,將、代入①式，解得.，故存在點(diǎn).例8．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）已知矩形中，，，是的中點(diǎn)，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面.(1)證明：；(2)若是否存在，使得與平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）依題意矩形，，，是中點(diǎn)，所以，又，所以，，，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，又平面，所?（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，，，設(shè)是的中點(diǎn)，因?yàn)椋裕制矫嫫矫?，平面平面，所以平面，，假設(shè)存在滿足題意的，則由.可得，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，，即，設(shè)與平面所成的角為，所以解得（舍去），綜上，存在，使得與平面所成的角的正弦值為.核心考點(diǎn)三：立體幾何折疊問題【規(guī)律方法】1、處理圖形翻折問題的關(guān)鍵是理清翻折前后長度和角度哪些發(fā)生改變，哪些保持不變．2、把空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，把握?qǐng)D形之間的關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)．【典型例題】例9．（2022春·江蘇南通·高三期中）已知梯形中，，，，，分別是，上的點(diǎn)，，，是的中點(diǎn)，沿將梯形翻折，使平面平面．(1)當(dāng)時(shí)①求證：；②求二面角的余弦值；(2)三棱錐的體積是否可能等于幾何體體積的一半？并說明理由．【解析】（1）證明：過點(diǎn)作的垂線交于，連接．如圖．且，，．四邊形是正方形.，四邊形是正方形.所以（正方形對(duì)角線互相垂直）.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?又平面，所以平面，又平面，所以.②以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，3，，，2，，，4，，，3，，，2，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，2，，又平面的法向量，0，，．鈍二面角的余弦值為．（2），平面平面，平面平面，平面．平面．結(jié)合平面，得，四邊形是矩形，得，故以、、、為頂點(diǎn)的三棱錐的高，又．三棱錐的體積為，，令，解得或，不合題意；棱錐的體積不可能等于幾何體體積的一半．例10．（2022春·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖1，在平面四邊形ABCD中，已知ABDC，，，E是AB的中點(diǎn)．將△BCE沿CE翻折至△PCE，使得，如圖2所示．(1)證明：；(2)求直線DE與平面PAD所成角的正弦值．【解析】（1）如圖取CE的中點(diǎn)F，連接PF，DF，由題易知△PCE，△DCE都是等邊三角形，?DF⊥CE，PF⊥CE，?，平面DPF，平面DPF?CE⊥平面DPF．?平面DPF?DP⊥CE．（2）解法一：由題易知四邊形AECD是平行四邊形，所以AD∥CE，又平面PAD，所以平面PAD，所以點(diǎn)E與點(diǎn)F到平面PAD的距離相等．由（1）知CE⊥平面DPF，所以AD⊥平面DPF．又平面PAD，所以平面PAD⊥平面DPF．過F作FH⊥PD交PD于H，則FH⊥平面PAD．，，故點(diǎn)F到平面PAD的距離．設(shè)直線DE與平面PAD所成的角為，則，所以直線DE與平面PAD所成角的正弦值為．解法二：由題易知四邊形AECD是平行四邊形，所以AD∥CE，由（1）知CE⊥平面DPF，所以AD⊥平面DPF．如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DF所在直線分別為x，y軸，過D且垂直于平面AECD的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，．易知，，故，，所以，，，設(shè)平面PAD的法向量為，則，得，令，得，所以．設(shè)直線DE與平面PAD所成的角為，則，故直線DE與平面PAD所成角的正弦值為．例11．（2022春·湖南長沙·高三寧鄉(xiāng)一中?？计谥校┤鐖D，平面五邊形PABCD中，是邊長為2的等邊三角形，，AB＝2BC＝2，，將沿AD翻折成四棱錐P－ABCD，E是棱PD上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），F(xiàn)，M分別是AB，CE的中點(diǎn)，且．(1)證明：；(2)當(dāng)直線EF與平面PAD所成的角最大時(shí)，求平面ACE與平面PAD夾角的余弦值．【解析】（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連接，三角形是等邊三角形，所以，.四邊形是直角梯形，，所以四邊形是平行四邊形，也即是矩形，所以，.折疊后，，所以，所以，由于平面，所以平面，則兩兩相互垂直，由此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，所以，則，所以，所以.（2）由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以是直線與平面所成角，在直角三角形中，，由于，所以當(dāng)最小時(shí)，最大，也即最大，由于三角形是等邊三角形，所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，取得最小值.由于，，故此時(shí)，平面的法向量為，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)平面與平面的夾角為，則.例12．（2022·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖①，為邊長為6的等邊三角形，E，F(xiàn)分別為AB，AC上靠近A的三等分點(diǎn)，現(xiàn)將沿EF折起，使點(diǎn)A翻折至點(diǎn)P的位置，且二面角的大小為120°（如圖②）．(1)在PC上是否存在點(diǎn)H，使得直線平面PBE？若存在，確定點(diǎn)H的位置；若不存在，說明理由．(2)求直線PC與平面PBE所成角的正弦值．【解析】（1）滿足條件的點(diǎn)H存在，且為PC上靠近P的三等分點(diǎn)．在PC上取靠近P的三等分點(diǎn)H，連接AP，F(xiàn)H，如圖，則AP是平面PAB與平面PAC的交線，依題意，，則有，又平面PBE，平面PBE，因此直線平面PBE，所以在PC上是存在點(diǎn)H，為PC上靠近P的三等分點(diǎn)，使得直線平面PBE.（2）取BC中點(diǎn)G，連接AG，交EF于點(diǎn)D，連接PD，因，依題意，，，則為二面角的平面角，即，且平面，而平面，則平面平面，在平面內(nèi)過P作于O，又平面平面，因此平面，在平面內(nèi)過O作，顯然Ox，AD，OP兩兩垂直，分別以向量，，的方向?yàn)閤，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，所以，，，，設(shè)平面PBE的一個(gè)法向量為，由，令，得，設(shè)直線PC與平面PBE所成角為，則，所以直線PC與平面PBE所成角的正弦值為．核心考點(diǎn)四：立體幾何作圖問題【規(guī)律方法】（1）利用公理和定理作截面圖（2）利用直線與平面平行的性質(zhì)定理作平行線（3）利用平面與平面垂直作平面的垂線【典型例題】例13．（2022·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知平行六面體的底面是菱形，，且.(1)試在平面內(nèi)過點(diǎn)作直線，使得直線平面，說明作圖方法，并證明：直線；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【解析】（1）在平面內(nèi)過點(diǎn)作的平行線，則直線l即為所作.連接，如圖，因平面，平面，平面平面，則，平行六面體的對(duì)角面是平行四邊形，即，所以.（2）連，連接，如圖，菱形中，，則，，，在中，，同理，在中，，即為等腰三角形，有，且，在中，，則，而平面，于是得平面，對(duì)角面為平行四邊形，即，又平面，平面，則平面，因此點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，因，在中，，同理，等腰底邊上的高，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，，則，所以點(diǎn)到平面的距離.例14．（2022秋·河北石家莊·高一石家莊市第十五中學(xué)校考期中）如圖為一塊直四棱柱木料，其底面滿足：，．(1)要經(jīng)過平面內(nèi)的一點(diǎn)和棱將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線？（借助尺規(guī)作圖，并寫出作圖說明，無需證明）(2)若，，當(dāng)點(diǎn)是矩形的中心時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．【解析】(1)過點(diǎn)作直線分別交于連接(2)連接，由是矩形的中心可知，所以點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，平面，平面，平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，過點(diǎn)作于，，在直四棱柱中且平面，又平面，所以，又且，所以平面所以長即為點(diǎn)到平面的距離，在直角中，，，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖多面體中，面面，為等邊三角形，四邊形為正方形，，且，，分別為，的中點(diǎn).（1）求二面角的余弦值；（2）作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AB交點(diǎn)為P，寫出的值（不需要說明理由，保留作圖痕跡）.【解析】（1）因?yàn)槊婷妫瑸榈冗吶切?，設(shè)中點(diǎn)為，所以又因?yàn)槊婷婷鍲AB，則平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)?，則則，，，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則取得，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為則取得，所以所以則二面角的余弦值為；（2），如圖所示：例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，.,且平面，，點(diǎn)分別是線段上的中點(diǎn)，在上.且.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面的成角的正弦值；（Ⅲ）請(qǐng)畫出平面與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟.【解析】分析：（Ⅰ）推導(dǎo)出，由此能證明平面；（Ⅱ）推導(dǎo)出，，，軸建立空間直角坐標(biāo)系息，利用向量法能求出直線AB與平面EFG的所成角的正弦值；（Ⅲ）法1：延長分別交延長線于，連接，發(fā)現(xiàn)剛好過點(diǎn)，,連接，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.法2：記平面與直線的交點(diǎn)為，設(shè)，，利用向量法求出，從而即為點(diǎn).連接，，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.解析：解:（Ⅰ）在中，因?yàn)辄c(diǎn)分別是線段上的中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫?，平?所以平面.（Ⅱ）因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的菱形，所以，因?yàn)槠矫妫?，，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則依題意可得，，，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則由可得，令，可得因?yàn)?所以直線與平面的成角的正弦值為（Ⅲ）法Ⅰ：延長分別交延長線于，連接，發(fā)現(xiàn)剛好過點(diǎn)，,連接，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.法2：記平面與直線的交點(diǎn)為，設(shè)，則由，可得.所以即為點(diǎn).所以連接，，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.核心考點(diǎn)五：立體幾何建系繁瑣問題【規(guī)律方法】利用傳統(tǒng)方法解決【典型例題】例17．如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，，分別為，的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)．過和的平面交于，交于．（1）證明：，且平面平面；（2）設(shè)為△的中心．若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）證明：，分別為，的中點(diǎn)，底面為正三角形，，四邊形為矩形，，，，，，，，平面，平面，平面平面，綜上，，且平面平面．（2）解：三棱柱上下底面平行，平面與上下底面分別交于，，，面，面，面面，，四邊形為平行四邊形，是正三角形的中心，，，，，由（1）知直線在平面內(nèi)的投影為，直線與平面所成角即為等腰梯形中與所成角，在等腰梯形中，令，過作于，則，，，，直線與平面所成角的正弦值為．例18．如圖，在錐體中，是邊長為1的菱形，且，，，，分別是，的中點(diǎn)（1）證明：平面（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，在中，根據(jù)余弦定理可以算出，發(fā)現(xiàn)，可以得出，又，又，可以得出，而，平面，而平面，，又，．又，平面．（2）由（1）知，平面，所以為二面角的平面角，在中，，，，由余弦定理得，因此二面角的余弦值為．例19．（2022春·福建南平·高三校考期中）在三棱柱中，，平面，、分別是棱、的中點(diǎn).(1)設(shè)為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若，直線與平面所成角的正切值為，求多面體的體積.【解析】（1）連接，，因?yàn)辄c(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，所以且，，，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?）因?yàn)槠矫?，所以，，又因?yàn)椋云矫?，所以即是直線與平面所成的角，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以，因?yàn)?，所以，，所以，由?）知多面體為四棱錐，且四邊形是平行四邊形，所以.核心考點(diǎn)六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題【規(guī)律方法】構(gòu)造垂直的全等關(guān)系【典型例題】例20．如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，，分別為，的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)．過和的平面交于，交于．（1）證明：，且平面平面；（2）設(shè)為△的中心．若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）證明：，分別為，的中點(diǎn)，底面為正三角形，，四邊形為矩形，，，，，，，，平面，平面，平面平面，綜上，，且平面平面．（2）解：三棱柱上下底面平行，平面與上下底面分別交于，，，面，面，面面，，四邊形為平行四邊形，是正三角形的中心，，，，，由（1）知直線在平面內(nèi)的投影為，直線與平面所成角即為等腰梯形中與所成角，在等腰梯形中，令，過作于，則，，，，直線與平面所成角的正弦值為．例21．如圖，在錐體中，是邊長為1的菱形，且，，，，分別是，的中點(diǎn)（1）證明：平面（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，在中，根據(jù)余弦定理可以算出，發(fā)現(xiàn)，可以得出，又，又，可以得出，而，平面，而平面，，又，．又，平面．（2）由（1）知，平面，所以為二面角的平面角，在中，，，，由余弦定理得，因此二面角的余弦值為．核心考點(diǎn)七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系【規(guī)律方法】利用傳統(tǒng)方法證明關(guān)系，然后通過幾何關(guān)系建坐標(biāo)系．【典型例題】例22．如圖：長為3的線段與邊長為2的正方形垂直相交于其中心．（1）若二面角的正切值為，試確定在線段的位置；（2）在（1）的前提下，以，，，，，為頂點(diǎn)的幾何體是否存在內(nèi)切球？若存在，試確定其內(nèi)切球心的具體位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】解：（1）取線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，．由于四邊形是正方形，為其中心，所以，又面面，所以，而，所以面，面，所以，同理可以證出，為二面角的平面角，．設(shè)，，，則．且在中，，同理在中，由，得：故在線段上的靠近點(diǎn)的三分點(diǎn)位置；（2）幾何體存在內(nèi)切球，令球心為，若設(shè)線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，內(nèi)切球的半徑為，由對(duì)稱性可知：平面四邊形的內(nèi)切圓的圓心為，半徑即為，故，而，．所以，得．由三角形相似有：所以．故其內(nèi)切球心在點(diǎn)距離為的位置上．（注：也可用分割體積法求例23．在四棱錐中，為棱的中點(diǎn)，平面，，，，，為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若二面角為，求直線與平面所成角的正切值．【解析】解：（Ⅰ）證明：連接交于點(diǎn)，連接，，且，，又，線段是的中位線，，面，面，面；（Ⅱ），，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形，；又平面，，；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，0，，，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，1，；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，由，得；令，得，，，取平面的一個(gè)法向量為，0，；，，由二面角為，得，解得；平面，就是直線與平面所成角，在中，，直線與平面所成角的正切值為．例24．三棱柱中，，，側(cè)面為矩形，，二面角的正切值為．（Ⅰ）求側(cè)棱的長；（Ⅱ）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正切值為，若存在，判斷點(diǎn)的位置并證明；若不存在，說明理由．【解析】解：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，，，側(cè)面為矩形，，，平面，則，則是二面角的平面角，則，則，，設(shè)，，，，，，又，在中，即，平方整理得，得或（舍，即側(cè)棱的長為2；（Ⅱ）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：過作底面，，，則，，則，，則，0，，，0，，，，，，，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，由，，則，令，則，即，0，，，0，，設(shè)，0，，，，，，0，，，，與平面所成角的正切值，，即，，平方得，得，即在處．即在側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正切值為．核心考點(diǎn)八：空間中的點(diǎn)不好求【規(guī)律方法】方程組思想【典型例題】例25．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知三棱臺(tái)的體積為，且，平面.(1)證明：平面平面；(2)若，，求二面角的正弦值.【解析】（1）由已知，平面，平面，所以，在三棱臺(tái)中，，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，且，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，得證.（2）取，的中點(diǎn)，連接，所以，又因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，由（1）問可知，平面平面，且平面平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別為軸的正方向，因?yàn)?，，且，所以，所以，，，，，，在三棱臺(tái)中，設(shè)，，，，所以或，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，，，由可知，平面的一條法向量為，設(shè)平面的法向量為，，，由可知，平面的一條法向量為，所以，所以二面角的正弦值為.例26．（2022春·浙江·高三浙江省新昌中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是邊長為2的菱形，，平面平面，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，均為銳角.(1)求證：；(2)若異面直線與所成角正弦值為，四棱錐的體積為1，求二面角的平面角的余弦值.【解析】（1）底面是菱形，，又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，.（2）解法一：由（1）知面，又平面，平面平面，作交線，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，則面，又平面，所以.再作，垂足為，面，面，所以面，又面則，所以為二面角的平面角，因?yàn)槠矫?，所以到底面的距離也為.作，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面＝，平面，所以平面，所以，又為銳角，所以又，所以為等邊三角形，故，所以，因?yàn)椋?，所?所以二面角的平面角的余弦值為.解法二：由（1）知面，又平面，平面平面，作，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面＝，平面，所以平面，如圖，建立直角坐標(biāo)系：為原點(diǎn)，為軸方向，軸.因?yàn)槠矫妫缘降酌娴木嚯x也為.所以，又為銳角，所以又，所以為等邊三角形，故，在空間直角坐標(biāo)系中：，設(shè)，則則，設(shè)平面的法向量為，，取設(shè)平面的法向量為，，取所以，由題知二面角為銳角，故二面角的平面角的余弦值為.例27．（2022春·遼寧沈陽·高三沈陽市第一二〇中學(xué)校考期中）如圖，在幾何體中，底面為以為斜邊的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.(1)證明；平面；(2)若，設(shè)為棱的中點(diǎn)，求當(dāng)幾何體的體積取最大值時(shí),與所成角的余弦值.【解析】（1）過點(diǎn)D作交與點(diǎn)O，∵平面平面，且兩平面的交線為,面，∴平面,又平面,∴,又且平面,∴平面;（2）過點(diǎn)E作交與點(diǎn)N，連接,∵平面平面，且兩平面的交線為,平面，∴平面,又平面,∴到平面的距離相等,∴且，故四邊形為平行四邊形，所以,平面，則平面平面，故,又因?yàn)?所以，而底面為以為斜邊的等腰直角三角形,,故,故，又,，令,令,,所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，如圖所示，以點(diǎn)O為原點(diǎn)以為建立空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)與所成角為，則，即當(dāng)幾何體體積最大時(shí)，與所成角的余弦值為.核心考點(diǎn)九：創(chuàng)新定義【規(guī)律方法】以立體幾何為載體的情境題都跟圖形有關(guān)，涉及在具體情境下的圖形閱讀，需要通過數(shù)形結(jié)合來解決問題．圖形怎么閱讀?一是要讀特征，即從圖形中讀出圖形的基本特征；二是要讀本質(zhì)，即要善于將所讀出的信息進(jìn)行提升，實(shí)現(xiàn)“圖形→文字→符號(hào)”的轉(zhuǎn)化；三是要有問題意識(shí)，帶著問題閱讀圖形，將研究圖形的本身特征和關(guān)注題目要解決的問題有機(jī)地融合在一起；四是要有運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，要“動(dòng)手”去操作，動(dòng)態(tài)地去閱讀圖形．【典型例題】例28．（2022·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知頂點(diǎn)為S的圓錐面（以下簡稱圓錐S）與不經(jīng)過頂點(diǎn)S的平面α相交，記交線為C，圓錐S的軸線l與平面α所成角θ是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線所成角θ的一半，為探究曲線C的形狀，我們構(gòu)建球T，使球T與圓錐S和平面α都相切，記球T與平面α的切點(diǎn)為F，直線l與平面α交點(diǎn)為A，直線AF與圓錐S交點(diǎn)為O，圓錐S的母線OS與球T的切點(diǎn)為M，，．(1)求證：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，關(guān)系式；(2)求證：曲線C是拋物線．【解析】（1）∵平面AOS截球T的截面圓與直線AO相切于F，∴，記P是平面內(nèi)不在直線OA上的點(diǎn)，平面TFP截球T的截面圓與直線FP相切于點(diǎn)F，∴，∵平面內(nèi)直線AO，F(xiàn)P相交于點(diǎn)F，∴TF⊥平面，∵直線TF平面AOS，∴平面AOS⊥平面，∴．連TO，TM，∴，，∴球T的半徑且，∴.（2）在平面AOS內(nèi)圓錐的另一條母線與球T的切點(diǎn)記為N點(diǎn)∵，∴以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，過O與TF平行的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.∵OM，OF與球T相切，∴，∴，，設(shè)交線C上任意點(diǎn)，記圓錐S的母線SP與球T相切于E．∵PF與球T相切于點(diǎn)F，∴，，∴，即（1），兩邊平方整理得：（2），兩邊平方整理得：（3），易知：（3）（2）（1），∴交線C在坐標(biāo)平面xOy中方程為，∴交線C是以F為焦點(diǎn)，O為頂點(diǎn)的拋物線.例29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線，，構(gòu)成的三面角，，，，二面角的大小為，則．（1）當(dāng)、時(shí)，證明以上三面角余弦定理；（2）如圖2，四棱柱中，平面平面，，，①求的余弦值；②在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．【解析】（1）證明：如圖，過射線上一點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接，則是二面角的平面角．在中和中分別用余弦定理，得，，兩式相減得，∴，兩邊同除以，得．（2）①由平面平面，知，∴由（1）得，∵，，∴．②在直線上存在點(diǎn)，使平面．連結(jié)，延長至，使，連結(jié)，在棱柱中，，，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴．在四邊形中，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，又平面，平面，∴平面．∴當(dāng)點(diǎn)在的延長線上，且使時(shí)，平面．例30．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)重合為點(diǎn)所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；（2）若正六棱柱的側(cè)面積一定，當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)的曲率的余弦值．【解析】（1）蜂房曲頂空間的彎曲度為頂端三個(gè)菱形的7個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，根據(jù)定義其度量值等于減去三個(gè)菱形的內(nèi)角和，再減去6個(gè)直角梯形中的兩個(gè)非直角內(nèi)角和，即蜂房曲頂空間的彎曲度為.（2）設(shè)底面正六邊形的邊長為1，如圖所示，連接AC，SH，則，設(shè)點(diǎn)在上底面ABCDEF的射影為O，則,令，則，菱形SAHC的面積，的面積為，令正六棱柱的側(cè)面積為定值時(shí)，蜂房的表面積為，，令得到，經(jīng)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)在處取得極小值，此時(shí)，在中，令，由余弦定理得,頂點(diǎn)的曲率為，其余弦值為.【新題速遞】1．（2022·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，，.(1)證明：平面平面；(2)若，，，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）證明：設(shè),連接,如圖所示：則為的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，即，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）因?yàn)?，所以為正三角形，四邊形為菱形，因?yàn)椋?，設(shè)，則，，所以為等腰直角三角形，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，即兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系：所以，，，，，設(shè)，由可得，所以，所以，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，即有，令，得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則有.所以直線與平面所成角的正弦值為.2．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）如圖，三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，.(1)證明:；(2)若，求與平面所成角的正弦值.【解析】（1）證明:連接，在中，，由余弦定理得，，，，.又為等腰直角三角形，且，，，平面，平面.∵平面，∴（2），，，如圖，以A為原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，得，平面的一個(gè)法向量為.，設(shè)與平面所成角的大小為，，與平面所成角的正弦值為.3．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）如圖在四棱錐中，底面，且底面是平行四邊形.已知是中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【解析】（1）面，且，.∵是中點(diǎn),所以.同理可證：.又面，面，,平面.∵面，∴平面平面.（2），.以A為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸正方向建系，如圖：則.設(shè)平面的法向量則，得，不妨取，則.由（1）得是平面的一個(gè)法向量，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.4．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，平面平面，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，.(1)證明：平面；(2)若，且與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值.【解析】（1）設(shè)的交點(diǎn)為，連接，已知為的重心，所以，，所以在中，，所以，所以平面，平面，則平面.（2）因?yàn)樗运詾榈冗吶切危?，又因?yàn)椋?，所以，取的中點(diǎn)為，連接，則，平面平面，平面平面，則平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榕c平面所成的角為，所以，設(shè)菱形的邊長為，所以，所以，因?yàn)?，所以，，設(shè)平面，，令，所以，設(shè)平面，，令，所以，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.5．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如圖，在四面體中，已知.點(diǎn)是中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)已知，作出二面角的平面角，并求它的正弦值.【解析】（1）是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，面所以面（2）由題知，，，取的中點(diǎn)，連接，,根據(jù)三角形全等證明方法,可以證明,,所以是二面角的平面角，利用勾股定理計(jì)算出,由余弦定理得，解得，所以，，所以，所以中，.6．（2022·上海浦東新·統(tǒng)考一模）如圖，三棱錐中，側(cè)面PAB垂直于底面ABC，，底面ABC是斜邊為AB的直角三角形，且，記O為AB的中點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若，直線PC與底面ABC所成角的大小為60°，求四面體PAOC的體積.【解析】（1）連接，因?yàn)?，所以，?cè)面垂直于底面，平面，平面平面，所以底面，底面，所以，是斜邊為的直角三角形，且，所以，又因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，所以,所以為等邊三角形，又E為OC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，，，所以平面，又平面，所以；?）由（1）知底面ABC，所以直線PC與底面ABC所成角為，因?yàn)橹本€PC與底面ABC所成角的大小為，，因?yàn)椋?，在中，，，所?7．（2022·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，，，是棱的中點(diǎn)，且平面(1)證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，，，，面，面，故面，面，，面面，平面平面，平面平面，故.，，，，故，，是中點(diǎn)，故，，平面，故面，，故面.（2）如圖所示以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，設(shè)平面法向量為，，取，，設(shè)平面法向量為，，取，，，設(shè)二面角的平面角為，.8．（2022春·江蘇徐州·高三期末）如圖，四棱錐中，底面，∥，為的中點(diǎn).(1)若點(diǎn)M在AD上，，，證明：平面；(2)若，，求二面角的余弦值.【解析】（1）證明：如圖所示：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椤?，所以∥，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以∥且，即有∥且，所以四邊形是平行四邊形，所以∥，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）連接，因?yàn)?，所以為等腰三角形，取中點(diǎn)，連