泊松分布和二項(xiàng)分布的近似的解釋解析

§2.3幾種重要的離散型分布

1假設(shè)一個(gè)隨機(jī)變量X只有一個(gè)取值Ｃ，則稱X一、單點(diǎn)分布聽(tīng)從單點(diǎn)分布．明顯，它的分布列為分布函數(shù)為

任何常數(shù)都可以看作是一個(gè)隨機(jī)變量，并稱為常數(shù)值隨機(jī)變量．2假設(shè)一個(gè)隨機(jī)變量Ｘ只有兩個(gè)可能取值，則二、兩點(diǎn)分布稱Ｘ聽(tīng)從兩點(diǎn)分布．◆新生嬰兒是男還是女；

◆一次抽樣的結(jié)果是正品還是次品；

◆擲一枚骰子是否擲出點(diǎn)2；◆一次投籃是否投中；

◆一次投標(biāo)是否中標(biāo)．

都可以用一個(gè)服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量來(lái)描述

3任何兩點(diǎn)分布，均可通過(guò)變換化成如下標(biāo)準(zhǔn)概型或用公式表示為此時(shí)，稱Ｘ聽(tīng)從參數(shù)為的0-1分布，其分布函數(shù)為

4三、二項(xiàng)分布

努利試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則可把伯努利公式(1.9)重新寫(xiě)成如下的形式若X表示每次試驗(yàn)成功概率為的重伯其中稱X服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記作5二項(xiàng)式定理每個(gè)恰好是二項(xiàng)式開(kāi)放式中的各項(xiàng)，這就是“二項(xiàng)分布”這個(gè)名稱的來(lái)歷．

分布列正則性驗(yàn)證：

6

例2.7

設(shè)從學(xué)校乘汽車(chē)到火車(chē)站的途中有3個(gè)交通崗，其概率均為0.4，求途中遇到紅燈的概率.交通崗３交通崗２交通崗1在各交通崗遇到紅燈是相互獨(dú)立的，特別地，若則Ｘ服從參數(shù)為的0-1分布．7中遇到紅燈的次數(shù)，則Ｘ就是在每次成功概率為0.4的3重伯努利試驗(yàn)中恰好成功的次數(shù)，從而于是，所求概率為

解

考察在每個(gè)交通崗是否遇到紅燈相當(dāng)于作一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)有兩個(gè)可能結(jié)果：遇到紅燈或沒(méi)有遇到紅燈，即成功或失敗．用Ｘ表示途8解

由

得

故

于是

例2.8

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，已知求9例2.9某種疾病患者自然痊愈率為0.1，為了鑒定一種新藥是否有效，醫(yī)生把它給10個(gè)病人服用，且事先規(guī)定一個(gè)決策準(zhǔn)則：這10個(gè)病人中至少有3個(gè)人治好此病，則認(rèn)為這種藥有效，提高了痊愈率；反之，則認(rèn)為此藥無(wú)效．求新藥完全無(wú)效，但通過(guò)試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率．

解每次成功(病人痊愈)的概率為0.1，用X表示10個(gè)病人中痊愈的人數(shù)，則于是，所求概率為10四、泊松分布

兩點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布都是以伯努利試驗(yàn)為背假設(shè)離散型隨機(jī)變量Ｘ的分布列為景，馬上要爭(zhēng)論的分布以法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家——泊松的名字來(lái)命名．其中則稱Ｘ服從參數(shù)為的泊松分布，記作11聽(tīng)從或近似聽(tīng)從泊松分布的例子是大量存在：分布列正則性驗(yàn)證：

◎效勞系統(tǒng)在單位時(shí)間內(nèi)來(lái)到的顧客數(shù)；◎擊中飛機(jī)的炮彈數(shù)；

◎大量螺釘中不合格品消失的次數(shù)；◎數(shù)字通訊中傳輸數(shù)字中發(fā)生的誤碼個(gè)數(shù)；◎母雞在一生中產(chǎn)蛋的只數(shù)．

12例2.10

某城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)求該城市一天內(nèi)發(fā)生3次或3次以上火災(zāi)的概率．解對(duì)立事件公式查泊松分布表（附表1）13泊松分布有一個(gè)特別有用的特性——二項(xiàng)分布的泊松近似．具體地講，設(shè)

其中

較大，

很小，而

如果要計(jì)算

那么可近似計(jì)算

即

14這個(gè)結(jié)論可表達(dá)為：的二項(xiàng)分布的概率計(jì)算問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成參數(shù)較大，很小的條件下，參數(shù)為?

在的泊松分布的概率計(jì)算問(wèn)題．為例2.11在例2.9中，依據(jù)二項(xiàng)分布我們已經(jīng)計(jì)算出了認(rèn)為新藥有效的概率約為7.02℅，現(xiàn)在我們利用二項(xiàng)分布的泊松近似重新計(jì)算認(rèn)為新藥有效的概率．15解二項(xiàng)分布的泊松近似

查泊松分布表（附表1）

它與例2.9的結(jié)果相比較，近似效果是良好的．假設(shè)p較大，那么二項(xiàng)分布不宜轉(zhuǎn)化泊松分布，該如何辦的問(wèn)題將在§5.3中答復(fù)．16

例2.12

某出租汽車(chē)公司共有出租汽車(chē)500輛，解設(shè)X是每天內(nèi)消失故障的出租汽車(chē)數(shù)，則設(shè)每天每輛出租汽車(chē)消失故障的概率為0.01，試求一天內(nèi)消失故障的出租汽車(chē)不超過(guò)10輛的概率．17

例2.13

設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M件是次品，隨*五、超幾何分布機(jī)地從這Ｎ件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品，我們關(guān)心的是在所抽的件產(chǎn)品中恰有件次品的概率．

解顯然，且在所抽的件產(chǎn)品中的正品數(shù)也不能超過(guò)整個(gè)產(chǎn)品的正品數(shù)即于是滿足約束條件(2.4)

18典概型簡(jiǎn)潔計(jì)算出否則相應(yīng)的概率為0．若滿足(2.4)式，則所求概率由(2.5)式?jīng)Q定，用X表示所抽的件產(chǎn)品的次品數(shù)，利用古(2.5)

假設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布由式〔2.5〕和分布.記作(2.4)給出，則稱X服從參數(shù)為的超幾何19超幾何分布與抽樣檢驗(yàn)有親密的聯(lián)系，下面分布列正則性驗(yàn)證：

舉一個(gè)計(jì)數(shù)抽樣方案的例子．所謂計(jì)數(shù)抽樣是對(duì)產(chǎn)品的檢驗(yàn)只分“好”與“次”兩種狀況，假設(shè)在一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了n件產(chǎn)品，并規(guī)定假設(shè)其中的次品數(shù)≤c，則判定這批產(chǎn)品合格，否則判定不合格，通常用(n︱c)表示這個(gè)抽樣方案．20制定一個(gè)計(jì)數(shù)抽樣方案就是依據(jù)實(shí)際狀況選擇適宜n的和c．

例2.14

設(shè)有一批產(chǎn)品，批量為1000件，假定該批產(chǎn)品的次品率為1℅．假設(shè)承受抽樣方案〔150︱2〕，求承受這批產(chǎn)品為合格的概率．解此例中，承受產(chǎn)品為合格的概率是21即當(dāng)承受〔150︱2〕方案時(shí)，在每100批這樣產(chǎn)品中，約有82批被判定是合格的.下面我們把二項(xiàng)分布與超幾何分布作一比較．N件M件次品N-M件正品22◆假設(shè)每抽一件產(chǎn)品放回后，再抽下一件產(chǎn)品，如此有放回地隨機(jī)地抽取n件，這是n重伯努利試驗(yàn)，那么所抽的n件產(chǎn)品的次品數(shù)其中表示次品率.

◆假設(shè)產(chǎn)品數(shù)量足夠多，不放回與放回抽樣對(duì)下一次抽到次品還是正品影響甚微．于是，當(dāng)Ｎ很大，而較小時(shí)，超幾何分布可用二項(xiàng)分布去近似．即23*六、幾何分布在一個(gè)每次成功概率為的伯努利試驗(yàn)序列中，用X表示首次成功時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，則X的全部可能取值為1，2，…，其分布列為稱X服從參數(shù)為的幾何分布，記作分布列正則性驗(yàn)證：

24

每個(gè)恰好是幾何級(jí)數(shù)中的各項(xiàng)，這就是“幾何分布”這一名稱的由來(lái)．

◎某種產(chǎn)品的次品率為0.01，則首次檢◎某投籃手的命中率為0.8，則首次投中幾何分布大量存在

查到次品的檢查次數(shù)

時(shí)的投籃次數(shù)25例2.15某人獨(dú)立重復(fù)地做一個(gè)試驗(yàn)，前兩次都失敗的概率是前三次都失敗的概率的2倍，求每次試驗(yàn)成功的概率．從而

成功時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，則整理得將(2.6)式代入，解得解

設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為Ｘ表示首次26

幾何分布的無(wú)記憶性：概率意