期權定價公式的推導

Black-Scholes期權定價公式的推導11973年，美國芝加哥大學教授FischerBlack和MyronScholes發(fā)表《期權定價與公司負債》一文，提出了著名的Black-Scholes期權定價模型，在學術界和實務界引起強烈的反響，Scholes并由此獲得1997年的諾貝爾經(jīng)濟學獎。這個公式的出現(xiàn)也被稱為是華爾街第二次革命。234

三個數(shù)學概念:

隨機游走布朗運動鞅

5證券交易價格是隨機的。雖然證券的當前價值一般并不等于其未來價值的數(shù)學期望，實際上，長期以來，金融學術界一直認為在一定條件下，證券的當前價值應該等于其未來價值的數(shù)學期望?！鹑趯W中的“學院派”的最根本的觀點。這一觀點的修正和發(fā)展在金融學上稱為是有效市場假設：如果由于金融市場的充分發(fā)展，使得它對證券價格的調(diào)整效率非常高，那么證券的市場價格已經(jīng)充分反映了證券的真實價值。即使它的未來價格還會有一定的隨機波動，但這種波動并不是一種價格趨勢，其平均值還是與當前價格一樣。所以，我們可以認為證券的未來價格與當前價格之間只相差一項隨機干擾。6假定某證券的當前價格為p0，p1，p2，…，pn，其中p0是證券的當前價格，它是一個定常數(shù)，p1，p2，…，pn等都是證券的未來價格，從當前來看都是隨機變量。于是它們之間就有這樣的關系：

其中“隨機干擾”是一些均值為0的隨機變量。如果我們認為這些“隨機干擾”互相獨立且同分布，就可以引出隨機游走和布朗運動的概念。7由上面這些關系式，我們可以引出由此得到的反映證券價格變化的隨機序列稱為隨機游走。這個名稱最初是對ε以相同概率取的隨機變量而言的。在這種情況下，這個隨機序列可形象地解釋為一個醉漢在路上橫行。在每一時刻，他既可以往左走一步，也可能往右走一步。它也就是所謂的“隨機游走”。盡管醉漢總圍繞原點徘徊，但時間越長，他就可能離原點越遠。8令?t代表一個小的時間間隔，?z代表隨機變量z在?t時間內(nèi)的變化，則標準的布朗運動?z具有下述兩個特征：特征1：，其中ε是服從標準正態(tài)分布的隨機變量。特征2：對于任意兩個不同的時間間隔?t，?z相互獨立。

由特征1可知，?z也服從正態(tài)分布，其均值為0，標準差為。由特征2可知，標準布朗運動是馬爾可夫過程的一種特殊形式。9“證券的未來的未來價格的平均值等于其未來價格”的明確數(shù)學定義鞅——一個隨機序列稱為鞅，就是指它滿足上述式子。10對于證證券來來說，，它并并不是是證券券價格格的直直接增增量形形成隨隨機游游走，，而是是證券券價格格的比比例增增量形形成隨隨機游游走。。其中是是均值值為1的獨獨立同同分布布隨機機變量量。令。。對上上式的的兩端端取對對數(shù)，，就得得到即（1））是隨機機游走走序列列。11不再成成立。。這里μμ在一一段時時期內(nèi)內(nèi)是常常數(shù)。。把這這一離離散的的價格格變化化的關關系式式連續(xù)續(xù)化，，就得得到這里zt是標準準布朗朗運動動。12由于dzt是標準準布朗朗運動動，因因此，，在一一個較較短的的時間間間隔隔?t以后，，證券券價格格的變變化為為：可見也也服服從正正態(tài)分分布，，其均均值為為μ?t，標準準差為為。。也也就是是13風險對對沖隨隨機機過程程偏偏微微分方方程f為期期權價價格Black-Scholes期權定定價公公式14資產(chǎn)定定價基基本原原理只要市市場沒沒有套套利機機會，，那么么一定定存在在一種種等價價的概概率測測度，，使得得所有有證券券及其其組合合的折折現(xiàn)價價格都都有““未來來價值值的均均值等等于其其當前前價值值”的的“鞅鞅性質質”。。證券折折現(xiàn)價價格的的“鞅鞅性質質”證券折折現(xiàn)價價格的的水平平始終終不變變，或或者說說，在在任何何時候候，證證券折折現(xiàn)價價格的的期望凈凈收益益率都是0，毛毛收益益率都都是1。15實際貼貼現(xiàn)率率（effectiverateofdiscount））實際貼貼現(xiàn)率率：一一定時時期內(nèi)內(nèi)的利利息與與期末末累積積值的的比率率，通通常用用字母母d表表示。。貼現(xiàn)因因子：：期末末的1元在在期初初的現(xiàn)現(xiàn)值，，一般般用v來表表示，，那么么16利息力力（forceofinterest）利息力力是在在確切切時點點上的的利息息強度度，可可以用用累積積函數(shù)數(shù)的相相對變變化率率定義義如下下：式中為為在時時點t的利利息力力。17在復利利條件件下的的利息息力可見在在復利利條件件下，，利息息力是是常數(shù)數(shù)，與與時間間t無無關。。將這個式子子變形，可可以得到復復利的實際際利率18實際利率i實際貼現(xiàn)率d貼現(xiàn)因子v常數(shù)利息力δ實際利率i—實際貼現(xiàn)率—1-v貼現(xiàn)因子v1-d—利息力δln(1+i)-ln(1-d)-lnv—19歐式股票買買入期權的的定價公式式其中T是到到期時間，，S是當前前股價，C（S，T）歐式買買入期權的的價格。X是期權的的協(xié)議價格格，r是無無風險證券券的（瞬時時）收益率率，σ稱為為股價的波波動率，N是標準整整體分布隨隨機變量的的分布函數(shù)數(shù)，它定義義為20這個公式當當T=0時時，有C(S,0)=(S-X)+，其中(S-X)+表示S-X的正部，，即當時時，它等于于S-X，，當S-X<0時，，它為0。。除股價的波波動率σ外，其他參參數(shù)都是直直接在市場場上可以找找到的。在嚴格的意意義下，r是無風險險瞬時收益益率，但是是在實際計計算中，它它直接可以以用短期利利率帶入。。21風險證券t時刻的價價格St遵循幾何布布朗運動，，而滿足下下列隨機微微分方程：：風險證券的的折現(xiàn)價格格就是折現(xiàn)價價格。這說明仍仍然然遵循幾何何布朗運動動，且只有有當時時才才是鞅。μ——股票價價格的平均均（瞬時））收益率;r——無風風險（瞬時時）收益率率。根據(jù)資產(chǎn)定定價基本原原理，只要要市場上沒沒有套利機機會，那么么就一定存存在一種等等價的概率率測度，使使得所有證證券及其組組合的折現(xiàn)現(xiàn)價格都成成為鞅。這這時所有證證券價格的的平均收益益率都與無無風險收益益率一致。。22股票的折現(xiàn)現(xiàn)價格對新新的等價概概率測度就就滿足這里表表示在在新的等價價概率測度度下的標準準布朗運動動。對于時時刻T，由由此可得其中是是t=0時的的股票價格格考慮到σWT是一個均值值為0、方方差為σ2T的正態(tài)隨機機變量，就就是一一個所謂對對數(shù)正態(tài)分分布隨機變變量。23歐式買入期期權的當前前價格就是是這里S是當當前的股價價，即S=S0，ST是T時刻的的股價，e-rT是折現(xiàn)因子子，X是期期權的協(xié)議議價格。24Black-Scholes期權定價價公式25可以證明其中WT是均值為0、方差為為T的正態(tài)態(tài)隨機變量量，即，，而x是標準正正態(tài)隨機變變量。該等式涉及及幾何布朗朗運動的特特殊性質，，需聯(lián)系““伊藤公式式”。在μ=r時股股價St的平均收益益率應為μ=r，但但把它寫成成指數(shù)函數(shù)數(shù)形式時，，指數(shù)是26當時2728風險中性理理論受制于主觀觀風險收益益偏好的標標的證券預預期收益率率μ并未包括在在期權的價價值決定公公式中：S——標的的證券當前前市價X——執(zhí)行行價格（X）t——時間間σ——證券價格的的波動率r——無風風險利率均是客觀變變量，獨立立于主觀變變量——風風險收益偏偏好。既然主觀風風險偏好對對期權價格格沒有影響響，這使得得我們可可以作出一一個可以大大大簡化我我們工作的的簡單假設設：——對衍生生證券定價價時，所有投資者者都是風險險中性的。。29風險中性定定價原理在所有投資資者都是風風險中性的的條件下，，所有證券券的預期收收益率都可可以等于無無風險利率率r，這是是因為風險險中性的投投資者并不不需要額外外的收益來來吸引他們們承擔風險險。同樣，，在風險中中性條件下下，所有現(xiàn)現(xiàn)金流量都都可以通過過無風險利利率進行貼貼現(xiàn)求得現(xiàn)現(xiàn)值。注意：風險險中性假定定僅僅是一一個人為假假定，但通通過這種假假定所獲得得的結論不不僅適用于于投資者風風險中性情情況，也適適用于投資資者厭惡風風險的所有有情況。30N(d2)——在風風險中性世世界中ST大于X的概概率，或者者說是歐式式看漲期權權被執(zhí)行的的概率。因此，e-rtXN(d2)是X的風風險中性期期望值的現(xiàn)現(xiàn)值，更樸樸素地說，，可以看成成期權可能能帶來的收收入現(xiàn)值。。SN(d1)=e-rtSTN(d1)是ST的風險中性性期望值的的現(xiàn)值，可可以看成期期權持有者者將來可能能支付的價價格的現(xiàn)值值。因此整個歐歐式看漲期期權公式就就可以被看看作期權未未來期望回回報的現(xiàn)值值。319、靜夜四無鄰鄰，荒居舊業(yè)業(yè)貧。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中中黃葉葉樹，，燈下下白頭頭人。。。01:28:4701:28:4701:281/6/20231:28:47AM11、以我獨沈久久，愧君相見見頻。。1月-2301:28:4701:28Jan-2306-Jan-2312、故人江海海別，幾度度隔山川。。。01:28:4701:28:4701:28Friday,January6,202313、乍見翻疑夢夢，相悲各問問年。。1月-231月-2301:28:4701:28:47January6,202314、他鄉(xiāng)生生白發(fā)，，舊國見見青山。。。06一一月20231:28:47上午午01:28:471月-2315、比比不不了了得得就就不不比比，，得得不不到到的的就就不不要要。。。。。一月月231:28上上午午1月月-2301:28January6,202316、行動出成果果，工作出財財富。。2023/1/61:28:4701:28:4706January202317、做前前，能能夠環(huán)環(huán)視四四周；；做時時，你你只能能或者者最好好沿著著以腳腳為起起點的的射線線向前前。。。1:28:47上上午1:28上上午午01:28:471月-239、沒有失失敗，只只有暫時時停止成成功！。。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事情努努力了未必有有結果，但是是不努力卻什什么改變也沒沒有。。01:28:4701:28:4701:281/6/20231:28:47AM11、成功就就是日復復一日那那一點點點小小努努力的積積累。。。1月-2301:28:4801:28Jan-2306-Jan-2312、世間成成事，不不求其絕絕對圓滿滿，留一一份不足足，可得得無限完完美。。。01:28:4801:28:4801:28Friday,January6,202313、不不知知香香積積寺寺，，數(shù)數(shù)里里入入云云峰峰。。。。1月月-231月月-2301:28:4801:28:48January6,202314、意志堅強強的人能把把世界放在在手中像泥泥塊一樣任任意揉捏。。06一月月20231:28:48上上午01:28:481月-2315、楚塞三湘接接，荊門九派派通。。。一月231:28上上午1月-2301:28January6,202316、少年十五五二十時，，步行奪得得胡馬騎。。。2023/1/61:28:4801:28:4806January202317、空山新新雨后，，天氣晚晚來秋。。。1:28:48上午午1:28上午午01:28:481月-239、楊楊柳柳散散和和風風，，青青山山澹澹吾吾慮慮。。。。1月月-231月月-23Friday,January6,202310、閱讀一切好好書如同和過過去最杰出的的人談話。01:28:4801:28:4801:281/6/20231:28:48AM11、越是沒沒有本領領的就越越加自命命不凡。。1月-2301:28:4801:28Jan-2306-Jan-